【文档说明】数学（新高考专用，2024新题型）022024年高考第二次模拟考试（全解全析）.docx，共(19)页，1.347 MB，由小赞的店铺上传

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2024年高考第二次模拟考试高三数学全解全析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合3(1)(4)lnlog(1)xxMxyx−−==−∣，2

R4Nyy=∣ð，则（）A.2MNB.{[2,2](4,)}MNaa=−+∣C.{(,2)(2,)}Naa=−+∣D.()R{[2,1]}MNaa=−∣ð【答案】B【解析】【分析】先求出集合,MN，然后再逐个分析判断即可.【详解】由33(1)(4)0log(

1)log(1)0xxxx−−−−，得3(1)(4)log(1)011xxxx−−−−，解得>4x或12x，所以4Mxx=或12x，因为2R4Nyy=∣ð，所以2422Nyyyy==−，对于A，因为(1

,2)MN=，所以2MN，所以A错误，对于B，因为4Mxx=或12x，22Nyy=−，所以[2,2](4,)MN=−+，所以B正确，对于C，因为22Nyy=−，所以C错误，对于D，因为4Mxx=或12x，所以R(,1][2,4]M=−ð，因为22

Nyy=−，所以()R[2,1]2MN=−ðU，所以D错误，故选：B2.已知1z，2z是关于x的方程2220xx+=−的两个根.若11iz=+，则2z=（）A.22B.1C.2D.2【答案】

C【解析】【分析】由1z，2z是关于x的方程2220xx+=−的两个根，由韦达定理求出2z，再由复数的模长公式求解即可.【详解】法一：由1z，2z是关于x的方程2220xx+=−的两个根，得122zz+=，所以()21221i1izz=−=−+=−，所以21i2z=−=.法二：由1z，2z是关

于x的方程2220xx+=−的两个根，得122zz=，所以21221izz==+，所以222221i1i2z====++.故选：C.3.已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝2π3，点D在线段BC上，且3ACDABDSS=，则ABAD的值为（

）A.72B.52C.32D.12−【答案】B【解析】【分析】根据3ACDABDSS=确定3CDBD=，从而可得3144ADABAC=+，从而用向量数量积的运算律即可求解.【详解】设等腰△ABC在BC边上的高为h，因为3ACDABDSS=，所以11322CDhBDh=，所以3CDBD=,

所以1113144444ADABBDABBCABACABABAC=+=+=+−=+，所以231314444ABADABABACABABAC=+=+2315cos442ABABACBAC=+=.故选:B.4.已知向量()1,0

a=−，(),1bxx=−，则0x是向量a，b夹角为钝角的（）A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件D.充分不必要条件【答案】C【解析】【分析】若向量a，b夹角为钝角，则满足()00ababb，求出x的范围，然后验证充分性与必要性.【详解】()

,1,0bxxb=−又因为向量a，b夹角为钝角所以满足()()000110abxxxabb−−−所以0x且1x因为0x推不出0x且1x，所以充分性不成立又因为0x且1x能推出0x，所以必要性成立所以0x是向量a

，b夹角为钝角的必要不充分条件故选：C5.一般地，声音大小用声强级IL（单位：dB）表示，其计算公式为：1210lg()10IIL−=，其中I为声强，单位2W/m，若某种物体发出的声强为1025W/m－，其声强级约为（lg20.3

0）（）A.50dBB.55dBC.60dBD.70dB【答案】A【解析】【分析】将声强1025W/m－代入1210lg()10IIL−=中，结合对数的运算化简求值，可得答案.【详解】由已知得()1011251010lg1012101

g51012101g102L−−==−=−()()10210lg2102100.3050=++=(dB).故选：A．6.“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅

游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B

为“两位游客选择的景点不同”，则()PBA=（）A．79B．89C．911D．1011【答案】D【分析】根据古典概型概率公式求出()(),PAPAB，然后利用条件概率公式即得.【详解】由题可得()6655116636PA−==，()2556618PAB==,所以()

()()51018111136PABPBAPA===.故选D.7.已知函数()π2sin1(0)6fxx=+−，若函数()fx在1,7x上恰有3个零点，则实数的取值范围是（）A.π2π,33B.2π,2π3

C.8π3π,217D.8π4π,217【答案】D【解析】【分析】根据已知条件及函数零点的定义，列不等式组结合整数限制条件即可求解.【详解】令()π2sin106fxx=+−=，则π1sin62x+=，解得()ππ2π

+Z66xkk+=或()π5π2π+Z66xkk+=，即()2πZkxk=或()2π2πZ3kxk=+，因为函数()fx在1,7上恰有3个零点，所以2π12π2π2π112π2π3+72π8π72π8π3+>74π2π372π4π13kkkk

kkZkkk+++−，或，，第一个不等式组解得2π2π2π3118π4π02π8π632177212π4π77kkkkkk+−=

++，，第二个不等式组解得2π2π2π77112π8π67214π2π3kkkkZkk++−，所以所求取值范围为8π4π,217.故选：D.8.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左右焦点

分别为1F、2F，过1F的直线与曲线C的左右两支分别交于点MN、，且12||:||:||1:2:3FMFNMN=，则曲线C的离心率为（）A.2B.333C.223D.113【答案】B【解析】【分析】设1FMx=

，进而结合双曲线的定义得xa=，1FMa=，22,3FNaMNa==，23FMa=，进而在2MNF，12NFF△结合余弦定理求得122cos,cosFNFMNF，进而得113ac=，再求离心率即可.【详解】解：如图，设1FMx=，因为

12||:||:||1:2:3FMFNMN=,所以22,3FNxMNx==，由双曲线的定义得：1212422FNFNMNMFFNxxa−=+−=−=，212FMFMa−=所以，xa=，1FMa=，22,3FNaMNa==，23FMa=，所以

，在2MNF中，22222222229491cos22323NMNFMFaaaMNFNFNMaa+−+−===，在12NFF△中，2222222212121222116445cos22424NFNFFFaacacFNFNFNFaaa

+−+−−===因为122coscosFNFMNF=，所以2225143aca−=，即22113ac=，113ac=所以113333cea===故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的

得部分分，有选错的得0分．9.为庆祝江西籍航天员邓清明顺利从太空返航，邓清明家乡的某所中学举办了一场“我爱星辰大海”航天知识竞赛，满分100分，该校高一（1）班代表队6位参赛学生的成绩（单位：分）分别为：84，10

0，91，95，95，98，则关于这6位参赛学生的成绩.下列说法正确的是（）A．众数为95B．中位数为93C．平均成绩超过93分D．第25%分位数是91【答案】ACD【分析】根据题意将成绩排序，结合众数、中位数、平均数、百分位数相关知识求解即可.【详解】将成绩按从小到大的顺序排序为：84,91,

95,95,98,100，对于A，95出现两次，其他数据只出现一次，所以众数为95，故A正确；对于B，中位数为第3,4个数据的平均数，为9595952+=，故B错误；对于C，平均数为3849195959810056393.8966+=++++＞，故C正确；对于

D，625%1.5=，所以第25%分位数是第二个数，为91，故D正确.故选：ACD10.数列na的通项为3113nna−=，它的前n项和为nS，前n项积为nT，则下列说法正确的是（）A.数列na是递减数列B.当30n=或者31n=时，nS有最大值C.当17n=或者18n=时，

nT有最大值D.nS和nT都没有最小值【答案】ABC【解析】【分析】根据数列的通项得出数列na是以3013为首项，以113-为公差的等差数列,然后根据等差数列的特征分别对每个选项进行分析即可求解.【详解】因为数列

na的通项为3113nna−=，则1113nnaa+−=−，所以数列na是以3013为首项，以113-为公差的等差数列，因为公差0d，所以数列na是递减数列，故选项A正确；因为3113n

na−=，当31n时，0na；当30n时，0na，因为310a=，所以当30n=或者31n=时，nS有最大值，故选项B正确；由3113nna−=可知：1714113a=，181a=，1912113a

=，所以当17n=或者18n=时，nT有最大值，故选项C正确；根据数列前30项为正数，从第31项开始为负数可知：nS无最小值，因为310a=，当31n时，0na，但零乘任何数仍得零，所以nT有最小值0，故选项D错误，故选：ABC.11.设F为

抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点，点P在C上且在x轴上方，点()6,0A−，()0,23B，若2FAFPFB==，则（）A.抛物线C的方程为28yx=B.点P到y轴的距离为8C.直线AP与抛物线C相切D.,,

ABP三点在同一条直线上【答案】ACD【解析】【分析】由2FAFB=，先求设F点坐标，得抛物线方程，再验证每个选项.【详解】抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点,02pF，由2FAFB=，有()22622322pp+=+，解得4p=，所以

抛物线C的方程为28yx=，A选项正确；8FAFP==，点P在抛物线上且在x轴上方，到焦点距离为8，到准线2x=−距离也为8，所以点P到y轴的距离为6，B选项错误；点P在抛物线上且在x轴上方，到y轴的距离为6，有点P横坐标为6，代入抛物线方程，可得()6,

43P，则直线AP的方程为()363yx=+，由()23638yxyx=+=消去x得283480yy++=，()2Δ834480=−=，所以直线AP与抛物线C相切，C选项正确；由()6,0A−，()0,23B，()6,43P，得

()6,23ABBP==，则,,ABP三点在同一条直线上，D选项正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线:250lxy−+=与圆22:(1)(2)9Cxy−+−=交于,AB两点，则A

B=__________；若P是圆C上的一点，则PAB面积的最大值是__________．【答案】①.42②.82【解析】【分析】（1）先求圆心到直线的距离，然后结合垂径定理算出弦长即可；（2）结合上一空，三角形底边长一定，求出圆上一点到直线的距离的最大值，即可得到三角形面积的

最大值．【详解】由题意可知圆C的圆心坐标为(1,2)C，半径3r=，则圆心C到直线l的距离22|2125|121d−+==+，故22||242ABrd=−=；因为P是圆C上的一点，所以点P到直线l距离的最大值为134+=，所以PAB面积的最大

值是1424822=．故答案为：42；82．13.《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，内容十分丰富，在数学史上有其独到的成就．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”，将底面为长方形且有一条侧棱与

底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，几何体P－ABCD为一个阳马，其中PD⊥平面ABCD，若DEPA⊥，DFPB⊥，DGPC⊥，且PD＝AD＝2AB＝4，则几何体EFGABCD的外接球表面积为______．【答案】20π【解析】【分析】判

断出几何体EFGABCD外接球球心的位置，求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积.【详解】设ACBDO=，连接,BEBG.依题意，四边形ABCD是矩形，所以,,ADCDABADBCCD⊥⊥⊥，由于PD⊥平面ABCD，,,,ADCDABBC平面ABCD，所以,,,PDADPDCDPD

ABPDBC⊥⊥⊥⊥，由于,,PDADDPDAD=平面PAD，所以AB⊥平面PAD，由于DE平面PAD，所以ABDE⊥，由于DEPA⊥，,,PAABAPAAB=平面PAB，所以DE⊥面PAB，由于BE平面PAB，所以DEBE⊥.同理可证得DGBG⊥，由于

DFPB⊥，所以,,,,BDFBDABDCBDEBDG都是以BD为斜边的直角三角形，所以几何体EFGABCD外接球球心是O，且半径221124522RBD==+=，所以外接球的表面积为24π20πR=.故答

案为：20π14.已知ABC的三个内角ABC，，所对的边分别为abc，，，且43，acb==，则ABC面积的最大值是________；若rR，分别为ABC的内切圆和外接圆半径，则rR的范围为_________________．【答案】①.3；②.3,24

.【解析】【分析】对于第一空，利用余弦定理表示出cosA，再表示出sinA，再利用1sin2ABCSbcA=可得答案；对于第二空，利用212，sinABCSarRabcA==可得答案.【详解】因abc，，在三角形中，

则由三角形三边关系可得441224cbbbcbb+=−=，又利用余弦定理有：22222101626cosbcabAbcb+−−==，又2210cossin，sinAAA+=，则424224210025632045411363sinco

sbbbbAAbb+−−+−=−=−=.得242215925423224sinABCSbcAbbb==−+−=−−+，当且仅当252b=，即102b=时取等号.则ABC面积的最大值是3；对于第二空，因()12AB

CSabcr=++△，则2234444sinsinABCSbcAbArabcbb===++++，又222sinsinsinaaRRAAA===，则()22211633311244212121bbbrRbbbbb+−====++−

++++，因12b，则213b+.令()1fxxx=+，其中()2,3x，因()2210xfxx−=，则()fx在()2,3上单调递增，故51101213bb+++，得3,24rR.故答案为：3；3,

24.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，三棱柱111ABCABC-的侧棱长为3，底面是边长为2的等边三角形，,DE分别是1,BCAA的中点，DEBC⊥．（1）求证：侧

面11BCCB是矩形；（2）若1DEAA⊥，求直线1AA与平面11ACD所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）13013【解析】【分析】（1）连接AD，证明BC⊥平面ADE,根据线面垂直的性质定理证明1BCAA⊥，结合三棱柱性质，可证明结论；（2）取AD中点O，连接1OA，证明1AO⊥平

面ABC，即可建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面11ACD的法向量，根据线面角的向量求法，即可求得答案.【小问1详解】由题意D是BC的中点，连接AD，由已知ABC为等边三角形，所以ADBC⊥．由已知DEBC⊥,,,ADDEDADDE=

平面ADE,所以BC⊥平面ADE,又1AA平面ADE，故1BCAA⊥，因为11AABB∥，所以1BCBB⊥，又侧面11BCCB为平行四边形，所以侧面11BCCB是矩形.............................................6分【小问2详解】取AD中点O

，连接1OA，由已知得13AA=，底面ABC是边长为2的等边三角形，则3AD=，因为1DEAA⊥，E为1AA的中点，所以13ADAD==，1ADA△是等边三角形．故1AOAD⊥，由（1）知BC⊥平面ADE，AO平面AD

E,所以是1BCAO⊥，,,BCADDBCAD=平面ABC,所以1AO⊥平面ABC．.............................................9分以O为原点，过点O作CB

的平行线作为x轴，以1,ODOA所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系，如上图，故133330,,0,0,,0,0,0,1,,02222ADAC−−，，所以()111133330,,,1,3,0,0

,,2222AAACACDA===−=−，设平面11ACD的法向量为(),,nxyz=，则1110,0ACnDAn==，故3030xyyz−=−=，取3,3,1xyz===，则()3,3,1n=，..........

...................................10分设直线1AA与平面11ACD所成角为π,[0,]2Î，则111339sin|cos,|13133AAnAAnAAn====，故2130cos1sin13=−=，所以直线1AA与平面11ACD所成角的

余弦值为13013..............................................13分16．（15分）已知1F，2F为椭圆C：()222210xyabab+=的左、右焦点.点M为椭圆上一点，当12FMF取最大值π3时，()1216MFMFM

F+=.（1）求椭圆C的方程；（2）点P为直线4x=上一点（且P不在x轴上），过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，点B关于x轴的对称点为B，连接AB交x轴于点G.设2AFG△，2B

FG△的面积分别为1S，2S，求12SS−的最大值.【答案】（1）22143xy+=（2）334【解析】【分析】(1)由已知结合椭圆定义，可求a与c的倍数关系，结合向量相关条件以及椭圆中222abc=+，即可求得a与b，也就得出椭圆方程.(2)

利用过椭圆一点的切线方程的推导过程，得出切线方程，进而得出直线AB的定点坐标，然后解设AB的方程，并与椭圆联立，然后利用韦达定理化简整理出点G的坐标，由此求出12SS−的关系式，利用基本不等式即可求解.【小问1详解】依题意有当M为椭圆短轴端点时12FMF最大，此

时12π3FMF=，则12FMF△为正三角形，则2ac=.............................................3分且()1211π22cos366MFMFMFMOMFbaba+====23ba=，又222abc=+，2a=，3b=，1c=故椭

圆方程为22143xy+=..............................................5分【小问2详解】设()11,Axy，()22,Bxy，()()4,0Ptt，若10y=，则切线方程为1xx=，若10y，则在A处的切线的斜率必定存在，.........

....................................7分设该切线的方程为()1111ykxxykxykx=−+=+−，由11223412ykxykxxy=+−+=可得()22113412xkxykx++−=，整理得()()222

1111348()4120kxkykxxykx++−+−−=，.............................................8分故()()2222111164()4344120kykxkykx=−−+−−=，整理得到：2211211390216x

xkkyy++=，故1134xky=−，故切线方程为：211111111333124444xxxyxyxyyyy=−++=−+，故PA：11143xxyy+=，综上，PA：11143xxyy+=，同理PB：22143xxyy+=...........

..................................9分因PA，PB都过点()4,Pt，则1113ytx+=，2213ytx+=则AB方程为13ytx+=，即AB过定点()1,0.故设AB方程为1xm

y=+，0m，联立2213412xmyxy=++=，()2234690mymy++−=122634myym−+=+，122934yym−=+，又()22,Bxy−...................................

..........11分直线AB方程为：()211121yyyyxxxx−−−=−−，令0y=得()()122112211212121212112Gmyymyyxyxymyyyyxyyyyyy++++++===+++21212293421214634yymmmmyym−+=

+=+=−++，()4,0G.............................................13分12212122613322234mSSFGyyyym−=−=+=+2999

3343442123mmmm===++当且仅当43mm=即243m=，233m=时取等号故12SS−最大值为334..............................................15分17．（15分）现有一种

射击训练，每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立．已知射击训练有A，B两种型号的炮弹，对于A型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为p（00.4p），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.6，击中两弹目标飞行物必

坠段；对子B型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为q（01q），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.4，击中两弹目标飞行物坠毁的概率为0.8，击中三弹目标飞行物必坠毁．（1）在一次训练中，使用B型号炮弹，求q满足什么

条件时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于0.936；（2）若1pq+=，试判断在一次训练中选用A型号炮弹还是B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大？并说明理由．【答案】（1）0.61q（2）使用B型号炮弹，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意

，利用间接法与二项分布的概率公式得到关于q的不等式，解之即可；（2）先利用二项分布的概率公式求得两种类型的炮弹击毁目标飞行物的概率，再利用作差法与构造函数法，结合导数比较得两概率的大小，从而得到结论.【小问1详解】因为每次训练都是由高射炮向目标飞

行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立，所以在一次训练中，连发三发B型号炮弹，用X表示命中目标飞行物的炮弹数，则()3,XBq（X服从二项分布），则()()()30031101C10.936PXPXqq=−==−−，............................

.................4分即()3110.936q−−，则()3310.0640.4q−=，即10.4q−，则0.6q，又01q，故0.61q，所以当0.61q时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不

低于0.936..............................................6分【小问2详解】在一次训练中，连发三发A型号炮弹，用Y表示命中目标飞行物的炮弹数，则()3,YBp（Y服从二项分布），，记事

件C为“使用A型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，事件D为“使用B型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，则()1222333330.6(1)(2)0.6C(1)C(1)CPCPYPYppppp==+=−+−+()22322331.8(1)3

(1)1.81233ppppppppppp=−+−+=−++−+320.20.61.8ppp=−−+，.............................................8分()12

22333330.4(1)0.8(2)(3)0.4C(1)0.8C(1)CPDPXPXPXqqqqq==+=+==−+−+2231.2(1)2.4(1)qqqqq=−+−+()22331.2122.42.4qqqqqq=−++−+30.21.2qq=−+，因为1pq

+=，所以1qp=−，则()()3230.20.61.80.2(1)1.2(1)PCPDppppp−=−−++−−−()32230.20.61.80.21331.21.2ppppppp=−−++−+−−+30.42.41pp=−+−，..........................

...................10分令()30.42.41fppp=−+−()00.4p，则2()1.22.4fpp=−+，令()0fp，即21.22.40p−+，则22p，得22p−，又00.4p

，所以()0fp恒成立，.............................................13分所以()fp在(0,0.4上单调递增，又()40.40.42.40.410.0

2560.9610f=−+−=−+−，则()()0.40fpf，故()()0PCPD−，即()()PCPD，所以使用B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大..............................................15分【点睛】

关键点睛：本题解题的关键点有两次，一次是理解A、B型炮弹击中飞行物的次数服从二项分布，进而利用二项分布的概率公式求得两种类型的炮弹击毁目标飞行物的概率；二次是利用导数比较两者概率的大小.18．（17分）已知函数()()eln0xfxaxa=−.（1）若()1fx，求实数a的取

值范围.（2）求证：1111ln1232nn+++++.【答案】（1）1,e+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件得()11f，进而得出1ea，利用不等式的性质及构造函数，利用导数法求函数的最值即可求解；（2）根据（1）的结论及

已知条件，只需证当()1,2x时，11e2xx−−成立即可，转化成求函数的最值，利用不等式的性质构造函数及法求函数的最值即可求解.【小问1详解】因为()1fx，则()11f，即1ea，反之当1ea时，()1elnelnxxfxaxx−=−−，...

..........................................4分令()1elnxgxx−=−，则()111e1exxxgxxx−−−=−=，设()1e1xhxx−=−，由于()hx在()0,+单调递增，且()1

0h=，所以当()0,1x时，()0hx，即()0gx，当()1,x+时()0hx，即()0gx，所以()gx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增.所以()min()11gxg

==，即()1gx，所以()1fx..............................................9分【小问2详解】由（1）可知：11eln1,e1lnxxxx−−−−①下面证明当(

)1,2x时，11e2xx−−②等价于()12e10xx−−−，设()()()()112e1,1exxxxxx−−=−−=−，.............................................4分当()0,1x时，()0

,x当()1,2x时，()0x，所以()x在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减,所以()()max10x==，所以②式成立，由①､②可得：11ln2xx−−，当1x=时

取到“=”，取21kxk+=+有，()()()1ln2ln11,2,,kkknk+−+=，所以()1111ln2ln2ln1232nnn+++++−=+，不等式成立........................................

......17分【点睛】解决此题的关键第一问根据条件得出()11f，进而构造函数，将恒成立问题转化为求函数的最值，利用导数法求函数的最值即可，第二问的关键根据第一问得11eln1,e1lnxxxx−−−−，进而问题转化为只需证当()1,2x时，11e2xx−

−即可，不等式恒成立问题转化为求函数的最值，转而构造函数()()12e1,xxx−=−−利用导数法求函数的最值即可.19．（17分）约数，又称因数.它的定义如下：若整数a除以整数m()0m除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为

a的约数.设正整数a共有k个正约数，即为121,,,,kkaaaa−()12kaaa.(1)当4k=时，若正整数a的k个正约数构成等比数列，请写出一个a的值；(2)当4k时，若21321,,,k

kaaaaaa−−−−构成等比数列，求正整数a；(3)记12231kkAaaaaaa−=+++，求证：2Aa.【答案】(1)8.(2)12kaa−=()4k≥.(3)证明见解析.【分析】（1）根据题意即可写出a的一个值；（2）由题意可知11a=，kaa=

，12kaaa−=，23kaaa−=，结合21321,,,kkaaaaaa−−−−构成等比数列，可推出3a是完全平方数，继而可得232aa=，由此可知21321,,,kkaaaaaa−−−−为212222221,,,kkaaaaa−−−−−，即可求得a；（3）由题意

知1211,,,,kkikiaaaaaaaaa−+−===，()1ik，从而可得22212112kkkkaaaAaaaaaa−−−=+++，采用放缩法以及裂项求和的方法，即可证明结论.【详解】（1）当4k=时正整数a的4个正约数构成等比数列，比如1,2,4,8

为8的所有正约数,即8a=..........................................4分（2）由题意可知11a=，kaa=，12kaaa−=，23kaaa−=，因为4k，依题意可知3212112kkkkaaaaaaaa−−

−−−=−−，所以3222123aaaaaaaaaaa−−=−−，化简可得()()2232231aaaa−=−，所以232321aaaaa−=−，......................

...................9分因为*3Na，所以*3221Naaaa−−，因此可知3a是完全平方数.由于2a是整数a的最小非1因子，3a是a的因子，且32aa，所以232aa=，所以21321,,,kkaaaaaa−−−

−为212222221,,,kkaaaaa−−−−−，所以12kaa−=,()4k≥..........................................11分（3）证明：由题意知1211,,,,kkikiaaaaaaaaa−+−===

，()1ik，所以22212112kkkkaaaAaaaaaa−−−=+++，因为121121212111111111,,kkkkkkkkaaaaaaaaaaaaaaaa−−−−−−=−=−，所以22221211212112111kkkkkkkkaaaAaaaaaaaa

aaaaa−−−−−−=+++=+++.........................................14分2212231111111111kkkaaaaaaaa

aa−−+−++−=−，因为11a=，kaa=，所以1111kaa−，所以22111kAaaaa−，即2Aa............................

..............17分