【文档说明】江苏省盱眙县都梁中学2020-2021学年高二下学期期末名师备考卷数学（理）试卷 含答案.doc，共(20)页，825.000 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年下学期高二期末名师备考卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草

稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合5Axx=Z，24xBx=，则AB=（）A．()2,5B．)2,5C．2,3,4D．1,2,3,4【答案】C【解析

】5554,3,2,1,0,1,2,3,4Axxxx==−=−−−−ZZ，242xBxxx==，所以2,3,4AB=，故选C．2．已知zC，则“22zz=−”是“z为纯虚数”的（）A

．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】22zzz=−为纯虚数，是错的，比如0z=，z不是纯虚数，故充分性不成立；z为纯虚数22zz=−，故必要性成立，故答案选B．3．某部门为了解某平台“直播带货”商品销售反馈情况，随机抽取了,,,,,,,ABC

DEFGH这8类商品，收集了这几类商品分别在新规实施前后的消费者评价得分，绘制成如图所示的雷达图．根据统计图判断，下面的叙述一定不正确的是（）A．新规实施后，D类商品的评价得分提升幅度最大B．新规实施后，,H

F类商品的评价得分低于新规实施前C．这8类商品评价得分的平均分高于新规实施前的平均分D．有7类商品的评价得分高于新规实施前【答案】D【解析】对于A，由雷达图知，D类商品在新规实施前后的评价得分差最大，A

正确；对于B，由雷达图知，新规实施后，,HF类商品的评价得分均低于新规实施前，B正确；对于C，新规实施后，除,HF类商品外，其余6类商品的评价得分均高于新规实施前，且增长幅度超过,HF评价得分下降幅度，则8类商品评价得分的平均分高于新规实施前，C正确；对于D，,HF

两类商品评价得分低于新规实施前，其余6类商品评价得分高于新规实施前，D错误，故选D．4．在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，π3A=，3a=，若满足条件的三角形有且只有一个，则边b的取值

不可能为（）A．3B．4C．22D．23【答案】B【解析】由已知，C到直线AB的距离为3sin3π2bb=，所以当32ab=或ab时，即23b=或ab时，满足条件的三角形有且只有一个．所以对于A，符合ab，故三角形有一解；

对于B：当4b=时，符合sin3πbab，故三角形有两解；对于C：符合ab，故三角形有一解；对于D：符合32ab=，故三角形有一解，故选B．5．设153a=，315b=，31log5c=，则a，b，c的大小关系为（）A．bac

B．acbC．cabD．cba【答案】D【解析】指数函数13,()5xxyy==分别是R上的增函数和减函数，10,305，则1035133()05，对数函数3logyx=在(0,)+

上单调递增，1015，则331loglog105=，所以有1353113()log55，即cba，故选D．6．一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言，这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三

年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有（）种．A．36B．48C．72D．120【答案】B【解析】先排高一年级学生，有22A种排法，①若高一年级学生中间有高三学生，有24A种排法；②若高一学生中间无高三学生，有111223CCC种排法，所以共有()22

11124223AAC8CC4+=种排法，故选B．7．已知()2sincos3cos2fxxxx=+，将()yfx=图象向左平移个单位（π02）得到函数()ygx=的图象，函数()gx的一个对称轴为π2x=，则下

列说法正确的是（）A．()gx最小正周期为π2B．()gx为奇函数C．6π=D．π16g=【答案】D【解析】()π2sincos3cos2sin23cos22sin(2)3fxxxxxxx=+=+=+，将(

)yfx=图象向左平移个单位（π02）得到函数()π2sin(22)3ygxx==++，函数()gx的一个对称轴为π2x=，πππ22π,232kk++=+Z，即π5π212k=−，kZ，π02，1k=时，1

2π=，()2cos2gxx=，2ππ2T==，()()gxgx−=，()gx为偶函数，π16g=，综上可知ABC错误，D正确，故选D．8．函数()()logafxxb=−−及()gxbxa=+，则()yfx=及()ygx=的图象可能为（）A．B．C．D．【答案】B

【解析】当01a时，10txb=−单调递减，()logaftt=单调递减，所以1()logafxxb=−单调递增且定义域为(,)b+，此时()gxbxa=+与y轴的截距在(0,1)上，排除C；当1a时，10txb=−单调递减

，()logaftt=单调递增，所以1()logafxxb=−单调递减且定义域为(,)b+，此时()gxbxa=+与y轴的截距在(1,)+上，∴当0b时，()gx单调递增；当0b时，()gx单调递

减，故只有B符合要求，故选B．9．已知1=a，2=b，t=+mab，设函数()ft=m，当34t=时，()ft取得最小值，则a在b方向上的投影为（）A．3B．3−C．32D．32−【答案】D【解析】()2222244cos,1ftttttt

==+=++=++mabaabbab，由题意，4cos,3244t=−=ab，解得3cos,2=−ab，所以a在b方向上的投影为3||cos,2=−aab，故选D．10．数列na满足11a=且对任意*kN，2121kk

aa+=+，2212kkaa−=，则2020a=（）A．10112B．101122−C．10102D．101022−【答案】B【解析】因为数列na满足11a=且对任意*kN，2121kkaa+=+，22

12kkaa−=，所以22212222(1)22kkkkaaaa++==+=+，22222242(2)kkkaaa++=+=+，所以222222kkaa++=+，所以22222kkaa+++是以2为公比的等比数列，所以1009202020184201820162

2222222aaaaaa+++=+++，则100920202222aa+=+，当1n=时，22a=，解得1011202022a+=，所以1011202022a=−，故选B．11．已知双曲线22221(

,0)yxabab−=的上焦点为F，过F作一条直线l与直线40xy−=垂直，若l与双曲线的上､下支均有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．10,3+B．17,4+C．5,2+D．(2,)+【答案】

B【解析】依题意(0,)Fc，直线l的斜率为4−，则l的方程为4yxc=−+．设l与双曲线上､下支的交点分别为()11,Axy，()22,Bxy，联立直线l与双曲线方程222241yxcyxab=−+−=，

消去x得()22222222162160bayacyacab−+−−=，由l与双曲线上､下支均有交点，得22160ba−，且120,0yy，由韦达定理得2222122216016acabyyba+=−−，则22160ba−，即()22216

caa−，则221617ca，可得2221716cea=且1e，解得174e，所以离心率的取值范围是17,4+，故选B．12．已知定义在R上的偶函数()fx，其导函数为()fx，若()2()0xfxfx−，(3)1f−=，则不等式

()19fxxx的解集是（）A．(,3)(0,3)−−B．()3,3−C．(3,0)(0,3)−D．(,3)(3,)−−+【答案】A【解析】构造函数2()()fxgxx=，43()2()()2(

)()xfxfxxfxfxgxxxx−−==，当0x时，()2()0xfxfx−，故()0gx，()gx在(0,)+上单调递增，又()fx为偶函数，21yx=为偶函数，所以2()()fxgxx=为偶函数，在(),0−单调递减．

(3)1f−=，则(3)1f=，231(3)(3)39fgg−===（）；()19fxxx，当0x时，即2()19fxx，1()(3)9gxg=，所以(0,3)x；当0x时，即2()19fxx，1()(3)9gxg=−，所以(,3)x−−，综上所

述，(,3)(0,3)x−−，故选A．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若22()nxx−的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是_________．【答案】180【解

析】52122C()(2)CrnrrnrrrrnnTxxx−−+=−=−，由题意5654CCCCnnnn，此不等式组只有一解，因此10n=（46CCnn=）．10502r−=，2r=，所以常数项为2210(2)C180−=，故答案为180．14．正三棱台上下底

面棱长分别为3和6，侧棱长为2，则正三棱台的体积为______．【答案】2134【解析】如下图，正三棱台ABCABC−，将其补全为三棱锥PABC−，PO为其高，∴正三棱台的体积PABCPA

BCVVV−−=−，由题设易知4,33,7PCADPD===，∴设POx=，则2271633xx−+−=，即三棱锥PABC−的高2PO=，故PABC−的高为1，∴1111213266sin60133sin6032324V=−=，故答案为213

4．15．已知圆()22:21Cxy−+=及点()0,2A，点P、Q分别是直线0xy+=和圆C上的动点，则PAPQ+的最小值为__________．【答案】3【解析】作出点A关于直线0xy+=的对称点A，如图：设点00(,)Axy，则有000021002022yxxy−=−

+++=，解得0020xy=−=，即(2,0)A−，而C(2，0)，由圆的性质知：圆外点P与圆C上点Q距离||PQ满足||||1PQPC−(当且仅当Q是线段PC与圆C的交点时取“=”)，连接AC交直线0xy+=于点O

，P为直线0xy+=上任意一点，连接,,PAPAPC(线段PC交圆C于点Q)，则min(||||)||||1||||1||13PAPQPAPCPAPCAC+=+−=+−−=，当且仅当点P在线段AC上，即与点O重合时取“=”，所以PAPQ+的最小值为

3，故答案为3．16．如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________．11212131413141717141511111111115【答案】1191【解析】不妨令22a=，34a=，47a=，322aa−=，433aa−=，201919aa

−=，将以上各式相加得20223419aa−=++++，所以20191a=，所以第20行的第2个数是1191，故答案为1191．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤．17．（12分）在ABC△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2)coscos0bcAaC++=．（1）求角A的大小；（2）若23a=，求bc+最大值．【答案】（1）2π3A=；（2）4．【解析】（1）由(2)coscos0bcAaC+

+=，根据正弦定理有(2sinsin)cossincos0BCAAC++=，所以2sincossincossincos0BACAAC++=，所以2sincossin()0BACA++=，即2sinco

ssin0BAB+=，因为0πB，所以sin0B，所以1cos2A=−，因为0πA，所以2π3A=．（2）由（1）知2π3A=，所以π3BC+=，则0ππ33CBB=−，由正弦定理sin

sinsinabcABC==，得232πsinsinπsin33bcBB==−，所以4sinbB=，4sin23cos2sin3πcBBB=−=−．所以4sin23cos2sin

bcBBB+=+−2sin23cosBB=+134sincos4sin223πBBB=+=+．因为π03B，所以3sin123πB+，所以当6πBC==时，bc+的最大值为4．18．

（12分）如图，在四棱锥PABCD−，PA⊥底面ABCD，ADAB⊥，DCAB∥，1,2PAADDCAB====，E为棱PB上一点．（1）确定点E的位置，使得直线CE∥平面PAD；（2）若二面角EACP−−的正弦值为63，求直线AE与平面ABCD所成角的余弦值．【答案】（1）E

为PB的中点；（2）255．【解析】（1）E为PB的中点．取PA的中点F，连接EF､FD，E为PB的中点，即EFAB∥，12EFAB=，又CDAB∥，12CDAB=，则四边形CDFE为平行四边形，故//CEDF，DFPAD平面，CEPAD平面，故CE∥面PAD．（2）以A为坐

标原点，以AD，AB，AP分别为,,xyz轴正方向，建立空间直角坐标系Axyz−，如图所示，则()()()()0,0,0,0,0,1,0,2,0,1,1,0APBC，设(),,Exyz，则(),,1PExyz=−，()0,2,1PB=−，E在棱PB

上，可设PEPB=(01)，故()(),,10,2,1xyz−=−，解得021xyz===−，即()0,2,1E−．设平面PAC的法向量为()111,,xyz=u，()0,

0,1AP=，()1,1,0AC=，00APAC==uu，即11100zxy=+=，取11x=，则()1,1,0=−u；设平面EAC的法向量()222,,xyz=v，()0,2,1AE=−，()1,1,0A

C=，00AEAC==vv，即()22222100yzxy+−=+=，取21x=，则21,1,1=−−v，二面角EACP−−的正弦值为63，则余弦值为33，3cos,3=uv，即()221

,1,01,1,13322111−−−==++−vuuv，即211=−．又01，解得12=，即10,1,2E，10,1,2A

E=，z轴⊥平面ABCD，平面ABCD的一个法向量为()0,0,1=m，设AE与平面ABCD所成角为，则2152sin51112AEAE===+mm，故AE与平面ABCD所成角的余弦值为255．19．（12分）随着时代发展和社会进

步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2020年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分视为100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：笔试成绩X)40,50

)50,60)60,70)70,80)80,9090,100人数51025302010（1）假定笔试成绩不低于90分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率；（2）由频数分布表可认为该市全体考生的笔

试成绩X近似服从正态分布()2,N，其中近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），2166=，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于85.9的人数；（结果四

舍五入精确到个位）（3）考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题答对得3分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得4分，答错得0分．已知考生甲答对前两题的概率都是34，答对最后一题的概率为710，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总

得分Y的分布列及数学期望．（参考数据：16612.9；若()2,XN，则()0.6827PX−+，()220.9545PX−+，()330.9973PX−+．）【答案】（1）4987；（2）1587人；

（3）分布列见解析，期望值为7310．【解析】（1）由已知，样本中笔试成绩不低于80分的考生共30人，其中成绩优秀10人，∴112201010230CCC49C87P+==．（2）由表格数据知，0.05450.1550.25650.3750.28

50.19573=+++++=，又2166=，即12.9，∴()()()185.910.158652PXPXPX=+=−−+，由此可估计该市全体考生笔试成绩不低于85.

9分的人数为100000.158651587人．（3）考生甲的总得分Y的所有可能取值为0，3，4，6，7，10．()21330410160PY===；()123131893C441016080PY====；()21774410160PY===

；()233276410160PY===；()1231742217C441016080PY====；()2376310410160PY===，Y的分布列为：Y0346710P316

0980716027160218063160()277811476373804080801610EY=++++=．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为22，且过点21,2，直线l与椭圆相交于M、N两点，过点(2,0)P的直线

PM、PN分别与椭圆相交于另外两点A、B，且直线AB的斜率为2．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：直线l恒过定点．【答案】（1）2212xy+=；（2）证明见解析．【解析】（1）由已知得22222221112cabcaab=−=+=，解得222,1ab==，所以椭圆

方程为2212xy+=．（2）设M、N两点的坐标分别为()11,xy，()22,xy，A、B的坐标分别为()33,xy，()44,xy，直线l的方程为ykxt=+，则直线PM的方程分别为11(2)2yyxx=−−，直线PN的方程分别为22(2)2yyxx=−−，由221112(2)2xyyyxx

+==−−消去y，整理得()()22211116448680xxxxxx−+−−+=①由题意可知，方程①有两个不同的解，且211314232xxxx−+=−，则1314332xxx−=−，代入11(2)2yyxx=−−，得111311143223232yxyyx

xx−=−=−−−，即A点坐标为111143,3232xyxx−−−；同理可得到B点坐标为222243,3232xyxx−−−，因为直线AB的斜率为2，所以121212123232243

433232yyxxxxxx−−−=−−−−−，即()()()()()()112212213232343243232xyxxxxyx−−−−−−=−−，则()()()()()()()()22122111323232322434

3kxtxktxxxxxx=−+−−+−−−−−，整理得()()2112322ktxxxx−−=+，则312tk=−−，所以331122ykxkkx=−−=−−，则直线恒过点3,12−．21．（12分）已知函数()2lnfxxaxx=+−，()3ln1

2xxgxxe=−++．（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若()()fxgx恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）27,4e−+．【解析】（1）函数()2lnfxxaxx=+−的定义域为()0,+，且()212121axxfxaxxx−+=+=

−．①当0a=时，()1xfxx−=，若01x，则()0fx；若1x，则()0fx，此时，函数()fx的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+；②当0a时，180Δa=−，令()0fx=，可得1184axa+−=（舍）或1184axa−−=

．若11804axa−−，则()0fx；若1184axa−−，则()0fx，此时，函数()fx的单调递增区间为8,1014aa−−，单调递减区间为118,4aa−−+；③

当0a时，18Δa=−．（i）若180Δa=−，即当18a时，对任意的0x，()0fx，此时，函数()fx在()0,+上为增函数；（ii）若180Δa=−，即当108a时，由()0fx

=，可得1184axa+−=或1184axa−−=，且11811844aaaa+−−−．由()0fx，可得11804axa−−或1184axa+−；由()0fx，可得11811844aaxaa−−+−，此时，函数()fx的单调递减区

间为118118,44aaaa−−+−，单调递增区间为8,1014aa−−，118,4aa+−+，综上所述，当0a时，函数()fx的单调递增区间为8,1014aa−−，单调递减区间为118

,4aa−−+；当0a=时，函数()fx的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+；当108a时，函数()fx的单调递减区间为118118,44aaaa−−+−，单调递增区间为8,1014aa−−，118,4aa+−+

；当18a时，函数()fx在()0,+上为增函数．（2）由()()fxgx，可得32lnln12xxxaxxxe+−−++，即212xxexax−−−对任意的0x恒成立，令()212xxexhxx−−=−，其中0x，()()()

()233222222122xxxxxexexhxxx−++−−++=−=，令()2222xxxxe=++−，其中0x，则()222xxxe=+−，()220xxe=−．所以，函数()x

在()0,+上单调递减，则()()00x=，所以，函数()x在()0,+上单调递减，故()()00x=，所以，当02x时，()0hx，此时函数()hx在()0,2上单调递增；当2x时，()0hx，此时函数()hx在()2,+上单调递

减，所以，()()22max372144eehxh−−==−=，274ea−，因此，实数a的取值范围是27,4e−+．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分

．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为34212xtyt=−+=(其中t为参数)､在以O为极点x轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同

)中，曲线C的极坐标方程为2π43sin33=+−．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为()4,0−，直线l与曲线C交于,AB两点，弦AB的中点为,EN是曲线C上异于

,AB的点，求MNE△面积的最大值．【答案】（1）4:30xyl−+=，()()22339:xCy−+−=；（2）最大值是103．【解析】（1）直线l的参数标方程是34212xtyt=−+=，消参，可得直线l

的普通方程为340xy−+=，由2π43sin33=+−可得23143cossin36cos23sin322=+−=+−，将cos,sinxy==代入26cos23sin3

=+−得226233xxyy=+−+，即曲线C的直角坐标方程为()()22339xy−+−=．（2）点M恰好在直线l上，将34212xtyt=−+=代入22(3)(3)9xy−+−

=中，化简整理得283430tt−+=，设,AB两点对应的参数分别为12,tt，则1283tt+=，1243tt=，所以点E对应的参数为122tt+，即12432ttEM+==，又曲线C的圆心为()3,3C，半径为3的圆，所以圆心为C到直线l

的距离334213d−+==+，所以动点N到直线EM最大距离为5，则MNE△面积的最大值是15431032S==．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()421fxxx=−−−的最大值

为m．（1）求m；（2）若,,abc均为正数，且满足abcm++=，求证：2223bcaabc++．【答案】（1）3m=；（2）证明见解析．【解析】（1）当1x时，()23fxx=+；当14x时，()()366,3fxx=−+−；当4

x时，()26fxx=−−−，综上所述，函数()yfx=的最大值为3m=．（2）由（1）知，3abc++=．由基本不等式得222222abcabcabccabcabcab+++++=+++++

222abc++，当且仅当abc==时，等号成立，所以2223bcaabcabc++++=．