【文档说明】吉林省白城市第一中学2021届高三下学期质量检测数学（理）试卷（2021.03） 含解析【精准解析】.doc，共(17)页，980.500 KB，由小赞的店铺上传

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2021年吉林省白城一中高考数学质检试卷（理科）（3月份）一、选择题（共12小题）.1．若复数z＝（1﹣2i）2，则|1﹣z|＝（）A．20B．2C．32D．42．已知集合A＝{x|x＜6}，B＝{x|（x+3）（5﹣x）＜0}，则A∩B＝（）A．{x

|﹣3＜x＜6}B．{x|5＜x＜6}C．{x|﹣3＜x＜5}D．{x|x＜﹣3或5＜x＜6}3．等差数列{3n﹣2}与等差数列{5﹣2n}的公差之和为（）A．1B．2C．3D．84．某校高一年级在某次数学测验中成绩不

低于80分的所有考生的成绩统计表如表：成绩[80，90）[90，100]（100，110]（110，120]（120，130]（130，140]（140，150]频数304015121052则及格（不低于90分）的所有考生成绩的中位数（）A．在[90，100]内B．在（100，110]内C．在（

110，120]内D．在（120，130]内5．已知双曲线C：4x2﹣y2+64＝0的两个焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，若P为C上异于顶点的任意一点，则△POF1与△POF2的周长之差为（）A．8B．16C．﹣8

或8D．﹣16或166．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）图象的两个对称中心为（，0），（，0），则f（x）的解析式可以为（）A．f（x）＝sin（4x﹣）B．f（x）＝sin（x﹣）C．f（x）＝cos（6x﹣）D

．f（x）＝sin（3x+）7．已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A．若α⊥β，a∥α，b∥β，则a⊥bB．若α∥β，则∃b⊂α，a⊂β，a⊥bC．若a⊥α，α∥β，b∥β

，则a∥bD．若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a与b异面8．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于鸡啄粟的问题：“今有三鸡共啄粟一千一粒，雏啄一，母啄二，翁啄四．主责本粟．问三鸡啄各偿各几何？”如图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，运行该程序

框图，则输出的x＝（）A．123B．133C．143D．1539．若log212＞xlog3，则x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣log32）B．（﹣log32，+∞）C．（﹣log23，+∞）D．（﹣∞，﹣log23）10．正八边形在生活

中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8中，+＝λ，则λ＝（）A．B．2C．D．11．已知函数f（x）＝cos（2x+1）+4ax2+4ax只有一个零点，则a＝（）A．﹣2B．4

C．2D．112．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以A为球心的球A与线段A1C1交于点E，设BE与底面ABCD所成角为θ，且球A的表面积为24π，则cos2θ＝（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣二、填空题（共4小题）.13．8名志愿者到2个小区参加垃圾分类

宣传活动，每个小区安排4名志愿者，则不同的安排方法共有种．14．函数f（x）＝x（2x+1）3的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为．15．已知等比数列{an}的前3项和为3，且a3＝4，则{an}的前n项和Sn

＝．16．已知抛物线C：y2＝8x，直线l过点P（m，0）（m＞0）且交C于A，B两点．过点A和C的顶点O的直线交C的准线于点D，若BD与C的对称轴平行，则m＝．三.解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明

、证明过程或演算步骤。17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinB＝，b＝2a．（1

）求cosA．（2）若D是AB边上一点，且△ACD的面积为b2，证明：AD＝CD．18．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，以C的长轴为直径的圆的方程为x2+y2＝4．（1）求C的方程．（2）直线l与y轴平行，且与C交于P

，Q两点，A，B分别为C的左、右顶点，直线AP与BQ交于点G，证明：点P与点G的横坐标的乘积为定值．19．如图，在底面为矩形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别为侧棱PD，PB的中点，且PA＝AD＝2AB＝4．（1）证明：平面AEF⊥平面PCD．（2

）若PC是平面α的一个法向量，求α与平面AEF所成锐二面角的余弦值．20．现有甲、乙两个足球队打比赛，甲队每场赢乙队的概率为p（0＜p＜1）．若甲、乙两个足球队共打四场球赛，甲队恰好赢两场的概率为f（p），当p＝p

0时，f（p）取得最大值．（1）求p0；（2）设p＝p0，每场球赛甲队输给乙队的概率是甲队与乙队打平局的概率的两倍，每场比赛，胜方将获得奖励5万元，平局双方都将获得奖励1万元，败方将无奖励．经过两场比赛后，设甲队获得奖励总额与乙队获得奖励总额之差为X万元，求X的分布列及其数学期望．2

1．已知函数f（x）＝aexlnx（a≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若∀x∈（0，1），f（x）＜x2+xlna，求a的取值范围．（二）选考题：共10分。请考生从第22，23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一个题目计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系

xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ2＝．（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）若l与C交于M，N两点，P（1，0），求+的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+

|x+1|．（1）求f（x）的值域；（2）若f（x）的最小值为m，且a2+b2＝m，求+的最小值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．若复数z＝（1﹣2i）2，则|1﹣z|＝（）A．20B．2C．32D．4解：由题设知：z＝（1﹣

2i）2＝1﹣4﹣4i＝﹣3﹣4i，∴1﹣z＝4+4i，|1﹣z|＝＝4，故选：D．2．已知集合A＝{x|x＜6}，B＝{x|（x+3）（5﹣x）＜0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣3＜x＜6}B．{x|5＜x＜6}C．{x|﹣3＜x＜5}D．{x|x＜﹣3或5＜x＜6}解：∵A＝{x|

x＜6}，B＝{x|x＜﹣3或x＞5}，∴A∩B＝{x|x＜﹣3或5＜x＜6}．故选：D．3．等差数列{3n﹣2}与等差数列{5﹣2n}的公差之和为（）A．1B．2C．3D．8解：∵等差数列{3n﹣2}的公差为3，等差数列{5

﹣2n}的公差为﹣2，∴等差数列{3n﹣2}与等差数列{5﹣2n}的公差之和为3﹣2＝1．故选：A．4．某校高一年级在某次数学测验中成绩不低于80分的所有考生的成绩统计表如表：成绩[80，90）[90，100]（100，110]（110，120]（120

，130]（130，140]（140，150]频数304015121052则及格（不低于90分）的所有考生成绩的中位数（）A．在[90，100]内B．在（100，110]内C．在（110，120]内D．在（120，13

0]内解：由表中数据知，及格的考生共有40+15+12+10+5+2＝84（人），在[90，100]内有40人，在（100，110]内有15人，所以及格的所有考生成绩的中位数在（100，110]内．故选：B．5．已知双曲线C：4

x2﹣y2+64＝0的两个焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，若P为C上异于顶点的任意一点，则△POF1与△POF2的周长之差为（）A．8B．16C．﹣8或8D．﹣16或16解：双曲线C：4x2﹣y2+64＝0的方程为：＝1，所以a＝8．P为C上异于顶点的任意

一点，则△POF1与△POF2的周长之差为±2a＝16或﹣16，故选：D．6．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）图象的两个对称中心为（，0），（，0），则f（x）的解析式可以为（）A．f（x）＝sin（4x﹣）B．f（x）＝sin（x﹣）C．f（x）＝cos（6x﹣）

D．f（x）＝sin（3x+）解：设f（x）＝sin（ωx+φ）的最小正周期为T，则﹣＝，k∈Z，由T＝，则|ω|＝3k，k∈Z，排除A，B，而f（x）＝sin（3x+φ）图象不关于点（，0）对称，排除D，故选：C．7．已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同

的平面，则下列命题为真命题的是（）A．若α⊥β，a∥α，b∥β，则a⊥bB．若α∥β，则∃b⊂α，a⊂β，a⊥bC．若a⊥α，α∥β，b∥β，则a∥bD．若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a与b异面解：对于A，当a，b都平行于α和β的交线时，a∥b，所以A是假命题；对于B

，α∥β，∃b⊂α，a⊂β，a⊥b，例如正方体ABCD﹣A1B1C1D1，平面ABCD为α，A1B1C1D1为β，令a＝AB，b＝B1C1，满足AB⊥B1C1，所以B是真命题；对于C，a⊥α，α∥β，可知α⊥β；b∥β，则a∥b，也可能是异面

直线，所以C是假命题；对于D，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a与b异面，也可能平行，所以D是假命题．故选：B．8．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于鸡啄粟的问题：“今有三鸡共啄粟一千一粒，雏啄一

，母啄二，翁啄四．主责本粟．问三鸡啄各偿各几何？”如图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x＝（）A．123B．133C．143D．153解：因为y＝2x，z＝2y，所以s＝x+2x+4x＝7x，由算法的功能可知，输出的x＝＝143．故选：C．9．若log21

2＞xlog3，则x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣log32）B．（﹣log32，+∞）C．（﹣log23，+∞）D．（﹣∞，﹣log23）解：∵log212＞xlog3，∴＞x•，即＞x•，即＞﹣x•，即﹣x＜＝log23，求得x＞﹣l

og23，故选：C．10．正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8中，+＝λ，则λ＝（）A．B．2C．D．解：如图：连接A6A3，A

1A4，A2A7，A6A3与A1A4相交于B，在A1A4上取一点C，使得＝，则＝，设||＝m，则||＝||＝m+m+m＝（2+）m，由图可知，+＝+＝2＝2×＝，λ＝．故选：D．11．已知函数f（x）＝cos（2x+

1）+4ax2+4ax只有一个零点，则a＝（）A．﹣2B．4C．2D．1解：f（x）＝cos（2x+1）+4ax2+4ax＝cos（2x+1）+a（2x+1）2﹣a，令t＝2x+1，则g（t）＝cost+at2﹣a，g（t）＝g（﹣t），所以g（t）为偶

函数，关于t＝0对称，所以f（x）关于x＝﹣对称，所以如果f（x）只有一个零点，那么零点一定是x＝﹣，证明如下：设x0为f（x）的零点，即f（x0）＝0，由于f（﹣1﹣x0）＝cos（﹣2x0﹣1）+a（﹣2x0﹣1）2﹣a＝cos（2x0+1）+a（2x0+1）2﹣a＝f（x0）＝0

，即﹣1﹣x0也是f（x）的一个零点，故只能是x0＝﹣1﹣x0，即x0＝﹣，即f（﹣）＝1﹣a＝0，即a＝1，下面证a＝1时，f（x）确实只有一个零点，当a＝1时，f（x）＝cos（2x+1）+a（2x+1）2

﹣a，f′（x）＝﹣2sin（2x+1）+4（2x+1），f″（x）＝﹣4cos（2x+1）+8≥8﹣4＝4＞0，所以f′（x）在R上单调递增，当x＜﹣时，f′（x）＜f′（﹣）＝0，f（x）单调递减，故f（x）＞f（﹣）＝0，当x＞﹣时，f′（x）＞f′（﹣）＝0，f（x）单

调递增，故f（x）＞f（﹣）＝0，所以当x＝﹣时，f（x）＝f（﹣）＝0，即当a＝1时，f（x）确实只有一个零点x＝﹣，故选：D．12．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以A为球心的球A与线段A1C1交于点E，设BE与底面ABCD所成角为θ，且球A的表面积为24π，则cos

2θ＝（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣解：设球的半径为r，因为球A的表面积为24π，所以4πr2＝24π，解得，因为AA1⊥平面A1B1C1D1，又A1E⊂平面A1B1C1D1，所以AA1⊥A1E，因为AE＝，则，所以E为A1C1的中点，故θ＝∠DBE，且，所以cos2θ＝2cos2θ﹣1＝．故选：A

．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．8名志愿者到2个小区参加垃圾分类宣传活动，每个小区安排4名志愿者，则不同的安排方法共有70种．解：由题意可得不同的

安排方法共有C＝70，故答案为：70．14．函数f（x）＝x（2x+1）3的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为81．解：函数f（x）＝x（2x+1）3，所以f'（x）＝（2x+1）3+3x（2x+1）2×2，故f'（1）＝27+54＝81．故答案为：81．15．已知等比数列{an}的前3

项和为3，且a3＝4，则{an}的前n项和Sn＝．解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，若S3＝3且a3＝4，则++a3＝3，即q2+4q+4＝0，解可得q＝﹣2，则a1＝＝1，则Sn＝＝，故答案为：．16．已知抛物线C：y2＝8x，直线l过点P（m，0

）（m＞0）且交C于A，B两点．过点A和C的顶点O的直线交C的准线于点D，若BD与C的对称轴平行，则m＝2．解：由抛物线C：y2＝8x，得其准线方程为x＝﹣2，设A（，y0）（y0≠0），则直线OA的方程为，联立，得，又直线AP的方程为：，联立，得，∵BD与C的对称轴平行，∴yB＝

yD，即，解得m＝2．故答案为：2．三.解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答

。（一）必考题：共60分。17．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinB＝，b＝2a．（1）求cosA．（2）若D是AB边上一点，且△ACD的面积为b2，证明：AD＝CD

．解：（1）因为b＝2a，所以sinB＝2sinA，又sinA+sinB＝，所以sinA＝，因为b＝2a，所以a＜b，A＜B，A∈（0，π），所以cosA＝＝．（2）证明：因为S△ACD＝b•AD•sinA＝b•AD＝b2，所以AD＝，由余弦定理可得CD2＝AC2+AD2﹣2AC•A

D•cosA＝b2+（）2﹣2b××＝（）2，所以CD＝，可得AD＝CD，得证．18．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，以C的长轴为直径的圆的方程为x2+y2＝4．（1）求C的方程．（2）直线l与y轴平行，且与C交于P

，Q两点，A，B分别为C的左、右顶点，直线AP与BQ交于点G，证明：点P与点G的横坐标的乘积为定值．解：（1）因为以C的长轴为直径的圆的方程为x2+y2＝4，所以a2＝4，因为e＝＝，所以c2＝1，b2＝a2﹣c2＝3，所以

椭圆C的方程为+＝1．（2）证明：设直线l的方程为x＝m（m≠0），P（m，n），Q（m，﹣n），﹣2＜m＜2，且m≠0，直线AP的方程为y＝（x+2），直线BQ的方程为y＝﹣（x﹣2），所以，两式相除得﹣•＝1，解得x＝，即xG＝，所以xP•xG＝m×＝4为定值．

19．如图，在底面为矩形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别为侧棱PD，PB的中点，且PA＝AD＝2AB＝4．（1）证明：平面AEF⊥平面PCD．（2）若PC是平面α的一个法向量，求α与平面

AEF所成锐二面角的余弦值．解：（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，在矩形ABCD中，CD⊥AD，∵AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，则CD⊥AE，∵PA＝AD，E为PD的中点，∴AE⊥PD，又CD∩PD＝D，∴AE⊥平面

PCD，∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PCD；（2）以A为坐标原点，分别以AP，AB，AD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．A（0，0，0），P（4，0，0），E（2，0，2），F（2，1，0），C（0，2，4），，，，设平面AEF的一个法向量为，在，取x＝1，得

，∴cos＝．故α与平面AEF所成锐二面角的余弦值为．20．现有甲、乙两个足球队打比赛，甲队每场赢乙队的概率为p（0＜p＜1）．若甲、乙两个足球队共打四场球赛，甲队恰好赢两场的概率为f（p），当p＝p0时，f（p）取得最大值．（1）求p0；（2）设p＝p0，每

场球赛甲队输给乙队的概率是甲队与乙队打平局的概率的两倍，每场比赛，胜方将获得奖励5万元，平局双方都将获得奖励1万元，败方将无奖励．经过两场比赛后，设甲队获得奖励总额与乙队获得奖励总额之差为X万元，求X的分布列及其数学期望．解：（1）f（p）＝＝，因为当0＜p＜1，所以当时，f（p）取得最大值，则；

（2）因为p＝，每场球赛甲队输给乙队的概率是甲队与乙队打平局的概率的两倍，所以每场球赛甲队输的概率为，两队平局的概率为，当甲连赢两场时，X＝10，且P（X＝10）＝＝，当甲赢一场平一场时，X＝5，且P（X＝5）＝＝，当甲赢一场输一场或两队连平两场时，X＝0，

且P（X＝0）＝＝，当甲输一场平一场时，X＝﹣5，且P（X＝﹣5）＝＝，当甲连输两场时，X＝﹣10，且P（X＝﹣10）＝＝，所以X的分布列为：X1050﹣5﹣10P故X的数学期望为E（X）＝10×+5×+0×﹣5×﹣10×＝．21．已知函数f

（x）＝aexlnx（a≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若∀x∈（0，1），f（x）＜x2+xlna，求a的取值范围．解：（1）f（x）的定义域为．设函数，则．当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0，故g（x）⩾g（1）＝1，从而当a＞0时，f′（x）＞0，f（x

）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减．（2）由题意可知a＞0．由x2+xlna＞aexlnx，得，即，即对x∈（0，1）恒成立．令，则，当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，h（x）单调

递增，当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，当x∈（0，1）时，h（x）＜h（1）＝0．由，得h（x）＜h（aex），所以x＜aex，所以对x∈（0，1）恒成立．设，则，所以m（x）在（0，1）上单调递增，所以，即a的取值范围为．（二）选

考题：共10分。请考生从第22，23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一个题目计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系

．曲线C的极坐标方程为ρ2＝．（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）若l与C交于M，N两点，P（1，0），求+的值．解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为普通方程为x+y﹣1＝0．曲线C的极坐标方程为ρ2＝，根据，转换为直角坐标方程

为．（2）直线方程x+y﹣1＝0，转换为参数方程为（t为参数），代入，得到，所以，，故＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）的值域；（2）若f（x）的最小值为m，且a2+b2＝m，求+的最小值．解：（1）函数f（x）＝|2

x﹣1|+|x+1|，当x≤﹣1时，f（x）＝﹣3x≥3，当时，，当时，f（x）＝3x＞，综上所述，f（x）的值域为；（2）由（1）可知，故，所以，则+＝＝，当且仅当，即时取等号，所以+的最小值为2．