【文档说明】吉林省白城市第一中学2021届高三下学期质量检测数学（文科）试题（2021.03） 含解析【精准解析】.doc，共(17)页，904.000 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

2021年吉林省白城一中高考数学质检试卷（文科）（3月份）一、选择题（每小题5分）.1．已知集合A＝{x|6﹣x＞0}，B＝{x|﹣3＜x＜5}，则A∩B＝（）A．∅B．{x|5＜x＜6}C．{x|﹣3＜x＜5}D．{x|

x＜﹣3或5＜x＜6}2．若复数z＝（1﹣2i）2，则|1﹣z|＝（）A．20B．2C．32D．43．等差数列{3n﹣2}与等差数列{5﹣2n}的公差之和为（）A．1B．2C．3D．84．某校高一年级在某次数学测验中成绩不低于80分的所有考生的成绩统计表如表：成绩[80，90）[90，100]（

100，110]（110，120]（120，130]（130，140]（140，150]频数304015121052则及格（不低于90分）的所有考生成绩的中位数（）A．在[90，100]内B．在（100，110]内C．在（110

，120]内D．在（120，130]内5．若x，y满足约束条件，z＝2x﹣y，则（）A．z的最小值为1B．z的最大值为1C．z的最小值为4D．z的最大值为46．已知双曲线C：4x2﹣y2+64＝0的两个焦点分别为F1，F2

，O为坐标原点，若P为C上异于顶点的任意一点，则△POF1与△POF2的周长之差为（）A．8B．16C．﹣8或8D．﹣16或167．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）图象的两个对称中心为（，0），（，0），则f（x）的解析式可以为（）A．

f（x）＝sin（4x﹣）B．f（x）＝sin（x﹣）C．f（x）＝cos（6x﹣）D．f（x）＝sin（3x+）8．已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A．若α⊥β，a∥α，b∥β，则a⊥bB．若α∥β，则∃b⊂α，a⊂β，a⊥bC．若a⊥

α，α∥β，b∥β，则a∥bD．若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a与b异面9．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于鸡啄粟的问题：“今有三鸡共啄粟一千一粒，雏啄一，母啄二，翁啄四．主责本粟．问三鸡啄各偿各几何？”如图所示的程序框图反映了对此问题的一个

求解算法，运行该程序框图，则输出的x＝（）A．123B．133C．143D．15310．若log212＞xlog3，则x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣log32）B．（﹣log32，+∞）C．（﹣log23，+∞）D．（﹣∞，﹣log23）11．正八边形在生活

中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8中，+＝λ，则λ＝（）A．B．2C．D．12．已知函数f（x）＝cos（2x+1）

+4ax2+4ax只有一个零点，则a＝（）A．﹣2B．4C．2D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．函数f（x）＝2x3﹣2的图象在点（1，0）处的切线的斜率为．14．从集合{1，2，，3，，4，5}中任

意选取一个元素作为球O的半径，则球O的表面积不小于20π的概率为．15．已知等比数列{an}的前3项和为3，且a3＝4，则{an}的前n项和Sn＝．16．已知抛物线C：y2＝8x与圆D：x2+y2＝128交于A，B两点．F是C的焦点，△ABF的重心为G，设P是圆

D上一动点，则|PG|的最大值为．三.解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知

sinA+sinB＝，b＝2a．（1）求cosA．（2）若D是AB边上一点，且△ACD的面积为b2，证明：AD＝CD．18．某工厂的工人生产内径为25.40mm的一种零件，为了了解零件的生产质量，从该厂的1000件零

件中抽出50件，测得其内径尺寸如下（单位：mm）：25.41×825.42×625.40×425.38×1125.39×825.44×125.43×725.37×5这里用．x×n表示有n件尺寸为xmm的零件．（1）求这50件零件内径尺寸的平均数x；（2）设这50件零件内径尺寸的方差为s2，试估计

该厂1000件零件中其内径尺寸在（﹣s，+s）内的件数．参考数据：取＝2.04．19．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，以C的长轴为直径的圆的方程为x2+y2＝4．（1）求C的方程．（2）直线l与y轴平行，且与C交于P，Q两点，A，B分别为C的左、右顶

点，直线AP与BQ交于点G，证明：点P与点G的横坐标的乘积为定值．20．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面CDD1C1⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD1且DD1＝3，CD＝2AB＝4，AC＝5．（

1）证明：四边形ABCD为直角梯形．（2）若∠CDD1∈（，），求四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1体积的取值范围．21．已知函数f（x）＝．（1）若a＝1，讨论f（x）的单调性；（2）若∀x∈（0，1），f（x）＞

，求a的取值范围．（二）选考题：共10分。请考生从第22，23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一个题目计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线

C的极坐标方程为ρ2＝．（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）若l与C交于M，N两点，P（1，0），求+的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）的值域；（2）

若f（x）的最小值为m，且a2+b2＝m，求+的最小值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|6﹣x＞0}，B＝{x|﹣3＜x＜5}，则A∩B＝（）A．∅B．{x|5＜x＜6}C．{x|﹣

3＜x＜5}D．{x|x＜﹣3或5＜x＜6}解：集合A＝{x|6﹣x＞0}＝{x|x＜6}，B＝{x|﹣3＜x＜5}，∴A∩B＝{x|﹣3＜x＜5}．故选：C．2．若复数z＝（1﹣2i）2，则|1﹣z|＝（）A

．20B．2C．32D．4解：由题设知：z＝（1﹣2i）2＝1﹣4﹣4i＝﹣3﹣4i，∴1﹣z＝4+4i，|1﹣z|＝＝4，故选：D．3．等差数列{3n﹣2}与等差数列{5﹣2n}的公差之和为（）A．1B．2C．3D．8解：∵等差数列{3n﹣2}的公差为3，等差数列{5﹣2n}的公差为

﹣2，∴等差数列{3n﹣2}与等差数列{5﹣2n}的公差之和为3﹣2＝1．故选：A．4．某校高一年级在某次数学测验中成绩不低于80分的所有考生的成绩统计表如表：成绩[80，90）[90，100]（100，110]（110，120]（1

20，130]（130，140]（140，150]频数304015121052则及格（不低于90分）的所有考生成绩的中位数（）A．在[90，100]内B．在（100，110]内C．在（110，120]内D．在（120，130]内解：由表中数据知，及

格的考生共有40+15+12+10+5+2＝84（人），在[90，100]内有40人，在（100，110]内有15人，所以及格的所有考生成绩的中位数在（100，110]内．故选：B．5．若x，y满足约束条件，z

＝2x﹣y，则（）A．z的最小值为1B．z的最大值为1C．z的最小值为4D．z的最大值为4解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，2），由z＝2x﹣y，得y＝2x﹣z，由图可得，当直线y＝2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为4．∴z的最小值为4．故选：C

．6．已知双曲线C：4x2﹣y2+64＝0的两个焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，若P为C上异于顶点的任意一点，则△POF1与△POF2的周长之差为（）A．8B．16C．﹣8或8D．﹣16或16解：双

曲线C：4x2﹣y2+64＝0的方程为：＝1，所以a＝8．P为C上异于顶点的任意一点，则△POF1与△POF2的周长之差为±2a＝16或﹣16，故选：D．7．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）图象的两个对称中心为（，0），

（，0），则f（x）的解析式可以为（）A．f（x）＝sin（4x﹣）B．f（x）＝sin（x﹣）C．f（x）＝cos（6x﹣）D．f（x）＝sin（3x+）解：设f（x）＝sin（ωx+φ）的最小正周期为T，则﹣＝，k∈Z，由T＝，则|ω|＝3k

，k∈Z，排除A，B，而f（x）＝sin（3x+φ）图象不关于点（，0）对称，排除D，故选：C．8．已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A．若α⊥β，a∥α，b∥β，则a⊥bB．若α∥β，则∃b

⊂α，a⊂β，a⊥bC．若a⊥α，α∥β，b∥β，则a∥bD．若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a与b异面解：对于A，当a，b都平行于α和β的交线时，a∥b，所以A是假命题；对于B，α∥β，∃b⊂α，a⊂β，a⊥b，例如正方体ABCD﹣A1B1C

1D1，平面ABCD为α，A1B1C1D1为β，令a＝AB，b＝B1C1，满足AB⊥B1C1，所以B是真命题；对于C，a⊥α，α∥β，可知α⊥β；b∥β，则a∥b，也可能是异面直线，所以C是假命题；对于D，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a与b异面，也

可能平行，所以D是假命题．故选：B．9．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于鸡啄粟的问题：“今有三鸡共啄粟一千一粒，雏啄一，母啄二，翁啄四．主责本粟．问三鸡啄各偿各几何？”如图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x＝（）A．123B．133C．143D．15

3解：因为y＝2x，z＝2y，所以s＝x+2x+4x＝7x，由算法的功能可知，输出的x＝＝143．故选：C．10．若log212＞xlog3，则x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣log32）B．（﹣log32，+∞）C．（﹣log23，+∞）D．（﹣∞，﹣log23）解：

∵log212＞xlog3，∴＞x•，即＞x•，即＞﹣x•，即﹣x＜＝log23，求得x＞﹣log23，故选：C．11．正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形A1A2A3A4A5

A6A7A8中，+＝λ，则λ＝（）A．B．2C．D．解：如图：连接A6A3，A1A4，A2A7，A6A3与A1A4相交于B，在A1A4上取一点C，使得＝，则＝，设||＝m，则||＝||＝m+m+m＝（2+）m，由图可知，+＝+＝2＝2×＝，λ＝．故选：D．1

2．已知函数f（x）＝cos（2x+1）+4ax2+4ax只有一个零点，则a＝（）A．﹣2B．4C．2D．1解：f（x）＝cos（2x+1）+4ax2+4ax＝cos（2x+1）+a（2x+1）2﹣a，令t＝2x+1，则g（t）＝cost+at2﹣a，g（t）＝g（﹣t），所以g（t）为偶函数

，关于t＝0对称，所以f（x）关于x＝﹣对称，所以如果f（x）只有一个零点，那么零点一定是x＝﹣，证明如下：设x0为f（x）的零点，即f（x0）＝0，由于f（﹣1﹣x0）＝cos（﹣2x0﹣1）+a（﹣2x0﹣1）2﹣

a＝cos（2x0+1）+a（2x0+1）2﹣a＝f（x0）＝0，即﹣1﹣x0也是f（x）的一个零点，故只能是x0＝﹣1﹣x0，即x0＝﹣，即f（﹣）＝1﹣a＝0，即a＝1，下面证a＝1时，f（x）确实只有一个零点，当a＝1时，f（x）＝cos（2x+1）+a（2x+1）2﹣a，f′（x）＝

﹣2sin（2x+1）+4（2x+1），f″（x）＝﹣4cos（2x+1）+8≥8﹣4＝4＞0，所以f′（x）在R上单调递增，当x＜﹣时，f′（x）＜f′（﹣）＝0，f（x）单调递减，故f（x）＞f（﹣）＝0，当x＞﹣时，f′（x）＞f′（﹣）＝0，f（x

）单调递增，故f（x）＞f（﹣）＝0，所以当x＝﹣时，f（x）＝f（﹣）＝0，即当a＝1时，f（x）确实只有一个零点x＝﹣，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．函数f（x）＝2x3﹣2的图象在点（1，0）处的切线的斜率

为6x﹣y﹣6＝0．解：函数f（x）＝2x3﹣2的导数为：f′（x）＝6x2，函数的图象在点（1，0）处切线的斜率为：f′（1）＝6，所求的切线方程为：y＝6（x﹣1），即6x﹣y﹣6＝0．故答案为：6

x﹣y﹣6＝0．14．从集合{1，2，，3，，4，5}中任意选取一个元素作为球O的半径，则球O的表面积不小于20π的概率为．解：从集合{1，2，，3，，4，5}中任意选取一个元素作为球O的半径，基本事件总数n＝7，∵球O的表面积不小于20

π，∴球O的半径r≥＝，∴球O的表面积不小于20π包含的基本事件有5个，∴球O的表面积不小于20π的概率P＝．故答案为：．15．已知等比数列{an}的前3项和为3，且a3＝4，则{an}的前n项和Sn＝．解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，若S3＝

3且a3＝4，则++a3＝3，即q2+4q+4＝0，解可得q＝﹣2，则a1＝＝1，则Sn＝＝，故答案为：．16．已知抛物线C：y2＝8x与圆D：x2+y2＝128交于A，B两点．F是C的焦点，△ABF的重心为G，设P是圆D上一动点，则|PG|的最大值为4+8．解：抛物线C：y2＝8x与圆

D：x2+y2＝128交于A，B两点．可得A（8，8），B（8，﹣8），F是C的焦点（2，0），△ABF的重心为G，G（6，0），设P是圆D上一动点，圆D：x2+y2＝128，圆心坐标（0，0），半径为：8，|PG|的最大值：8+4．故答案为：4+8．三.

解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinB＝，b＝

2a．（1）求cosA．（2）若D是AB边上一点，且△ACD的面积为b2，证明：AD＝CD．解：（1）因为b＝2a，所以sinB＝2sinA，又sinA+sinB＝，所以sinA＝，因为b＝2a，所以a＜

b，A＜B，A∈（0，π），所以cosA＝＝．（2）证明：因为S△ACD＝b•AD•sinA＝b•AD＝b2，所以AD＝，由余弦定理可得CD2＝AC2+AD2﹣2AC•AD•cosA＝b2+（）2﹣2b××＝（）2，所以CD＝，可得A

D＝CD，得证．18．某工厂的工人生产内径为25.40mm的一种零件，为了了解零件的生产质量，从该厂的1000件零件中抽出50件，测得其内径尺寸如下（单位：mm）：25.41×825.42×625.40×425.38×

1125.39×825.44×125.43×725.37×5这里用．x×n表示有n件尺寸为xmm的零件．（1）求这50件零件内径尺寸的平均数x；（2）设这50件零件内径尺寸的方差为s2，试估计该厂1000件零件中其内径尺寸在（﹣s，+s）内的件数．参考数据：取＝2.04．解：（1）计算这50

个零件内径尺寸的平均数为：＝×（25.41×8+25.42×6+25.40×4+25.38×11+25.39×8+25.44×1+25.43×7+25.37×5）＝25.40；（2）计算这50件零件内径尺寸的方差为：s2＝×[0.012×8+0.022

×6+02×4+（﹣0.02）2×11+（﹣0.01）2×8+0.042×1+0.032×7+（﹣0.03）2×5]＝×4.16，所以s＝×2.04＝0.0204，所以（﹣s，+s）＝（25.3796，25.4204），计算这50个零件内径尺寸在（﹣s，+s）内的件数

是8+6+4+11+8＝37，估计该厂1000件零件中其内径尺寸在（﹣s，+s）内的件数为1000×＝740．19．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，以C的长轴为直径的圆的方程为x2+y2＝4．（1）求C的方程．（2）直线l与y轴平行，且与C交于P，Q两点

，A，B分别为C的左、右顶点，直线AP与BQ交于点G，证明：点P与点G的横坐标的乘积为定值．解：（1）因为以C的长轴为直径的圆的方程为x2+y2＝4，所以a2＝4，因为e＝＝，所以c2＝1，b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆C的方程为+＝1．（2）证明：设直线l的方程为x＝m（m≠0），P（m

，n），Q（m，﹣n），﹣2＜m＜2，且m≠0，直线AP的方程为y＝（x+2），直线BQ的方程为y＝﹣（x﹣2），所以，两式相除得﹣•＝1，解得x＝，即xG＝，所以xP•xG＝m×＝4为定值．20．如图，在四棱柱

ABCD﹣A1B1C1D1中，平面CDD1C1⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD1且DD1＝3，CD＝2AB＝4，AC＝5．（1）证明：四边形ABCD为直角梯形．（2）若∠CDD1∈（，），求四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1体积的取值范围．【解答】

（1）证明：过点D1作D1H⊥CD，垂足为H，因为平面CDD1C1∩底面ABCD＝CD，平面CDD1C1⊥底面ABCD，D1H⊂平面CDD1C1，所以D1H⊥底面ABCD，因为AD⊂平面ABCD，所以D1H⊥AD，又AD⊥CD1，CD∩D1H＝H，所以AD⊥平面CD

D1C1，因为CD⊂平面CDD1C1，所以AD⊥CD，又AB∥CD，AB≠CD，所以四边形ABCD为直角梯形；（2）解：由（1）可知，D1H⊥底面ABCD，则D1H为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高，

因为∠CDD1∈（，），所以D1H＝DD1sin∠CDD1＝3sin∠CDD1∈，因为AD⊥CD，所以AD＝，所以四边形ABCD的面积，所以四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积V＝S•D1H∈，故四棱柱ABCD﹣

A1B1C1D1体积的取值范围为．21．已知函数f（x）＝．（1）若a＝1，讨论f（x）的单调性；（2）若∀x∈（0，1），f（x）＞，求a的取值范围．解：（1）函数f（x）的定义域是R，∵a＝1，∴f（x）＝，则f′（x）＝＝，令f′（x）＝0，解得x

＝1，当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）单调递减；（2）由＞，得＞，即＜对任意x∈（0，1）恒成立，令h（x）＝，则h′（x）＝，则当x∈（0，e）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，如图示：当

x∈（0，1）时，h（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，由＜，得h（x）＜h（aex），故x＜aex，故a＞对任意x∈（0，1）恒成立，设m（x）＝x∈（0，1），由（1）知m（x）在（0，1）上单调递增，故a≥m（1）＝，故a的取值范围是[，+∞）．（二）选考题：共10分。请考生

从第22，23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一个题目计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ2＝．（1）求l的普通方程和C的直角坐标方

程；（2）若l与C交于M，N两点，P（1，0），求+的值．解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为普通方程为x+y﹣1＝0．曲线C的极坐标方程为ρ2＝，根据，转换为直角坐标方程为．（2）直线方程x+y﹣1＝0，转换为参数方程为（t为参数），代入，得到，所以，，故＝．[选修4

-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）的值域；（2）若f（x）的最小值为m，且a2+b2＝m，求+的最小值．解：（1）函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|，当x≤﹣1时，f（x）＝﹣3x≥3，当时，，当时，f（x）＝3x＞，综上所

述，f（x）的值域为；（2）由（1）可知，故，所以，则+＝＝，当且仅当，即时取等号，所以+的最小值为2．