【文档说明】北京市第八十中学2023-2024学年高二下学期3月阶段测评数学试题 Word版含解析.docx，共(13)页，648.381 KB，由小赞的店铺上传

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北京市第八十中学2023~2024学年第二学期阶段测评高二数学2024年3月班级__________姓名__________考号__________（考试时间90分钟满分100分）提示：试卷答案请一律填

涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答.一､选择题（每小题5分，共40分）1.()fx是函数()fx的导函数，()yfx=的图象如图所示，则()yfx=的图象最有可能是下列选项中的（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【

分析】根据导函数的正负与原函数单调性的关系，结合图象进行判断即可.【详解】由导函数图象可知：当0x时，()0fx¢>，函数()fx单调递增，当02x时，()0fx，函数()fx单调递减，当2x时，()0fx¢>，函数()fx单调递增，只有选项C符合，故选：C2.6

名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A.120种B.90种C.60种D.30种【答案】C的【解析】【分析】分别安排各场馆

的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060CC==种.故选：C【点睛】

本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.3.为庆祝中国共产党成立100周年，某校合唱团组织“唱支山歌给党听”演唱快闪活动.合唱团选出6个人站在第一排，其中甲、乙作为领唱需要站在第一排的正中间，则这6个人的排队方案共有（）A.2

4种B.48种C.120种D.240种【答案】B【解析】【分析】首先让甲、乙在中间位置上排序，然后剩下的4人在其余位置进行全排列即可.【详解】由题意可知，甲，乙站在正中间，有22A种排队方案，其它人随机排列，有44A24=种排

法，则这6个人的排队方案共有2424AA48=种.故选：B.4.最美人间四月天，赏花踏青正当时.某中学高二年级三个班级去国家植物园、圆明园、奥林匹克森林公园、香山四个公园观赏海棠花，若国家植物园必须有班级要去，除此之外去哪个公园可自由选择

，则不同的分配方案共有（）A.16种B.18种C.37种D.48种【答案】C【解析】【分析】根据国家植物园必须有班级去的对立事件求分配方案即可.【详解】国家植物园必须有班级去的对立事件为国家植物园没有班级去，国家植物园没有班

级去有3327=种方案，所以国家植物园必须有班级去有334337−=种方案.故选：C.5.函数31()43fxxxm=−+在[0,3]上的最大值为4，则m的值为（）A.7B.283C.3D.4【答案】D【解析】【分析】

本题先求导函数，并运用导函数判断原函数的单调性，最后求函数的最大值并令其等于4，建立方程求参数即可.【详解】解：∵31()43fxxxm=−+，∴2()4fxx=−∴导数()fx在[0,2)时，()

0fx，()fx单调递减；导数()fx在(2,3]时，()0fx，()fx单调递增；∵(0)fm=，31(3)34333fmm=−+=−，3mm−∴()fx在0x=处取得最大值为(0)fm=，即4m=，故选：D.【点睛】本题考查运用导函数求原函

数的最值以及求参数，是基础题.6.由0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位偶数的个数是（）A.180B.156C.108D.58【答案】B【解析】【分析】分个位为0、2、4三种情况，分别求出没有重复数字的四位偶

数的个数，最后加总即可.【详解】1、当个位为0，没有重复数字的四位偶数的个数为3560A=；2、当个位为2，没有重复数字的四位偶数的个数为124448CA=；3、当个位为4，没有重复数字的四位偶数的个数为124448CA=；∴共有156个没有重复

数字的四位偶数.故选：B7.已知函数()elnxfxax=−在(1,2)上是单调递增函数，则实数a的取值范围是（）A.1,e+B.21,2e+C.1e,+D.21,2e+

【答案】C【解析】【分析】根据区间单调性得()fx0对任意(1,2)x恒成立，即1exax，利用导数研究右侧单调性，进而求参数a的范围.【详解】因为函数()elnxfxax=−在(1,2)上是单调递增函数，所以()fx=1e0xax−对任意(1,2)x恒成立，

所以1exax，令()()1,1,2exgxxx=，则()gx210exxx+=−，所以()gx在()1,2内为减函数，所以1()(1)egxg=，则1ea．故选：C8.已知函数()e1,0,0xx

fxkxx−=，若存在非零实数0x，使得()()00fxfx−=成立､则实数k的取值范围是（）A.(),1−−B.(,1−−C.()1,0−D.)1,0−【答案】A【解析】【分析】不妨设00x，然后分0k和0k两种情况讨论求解.【详解】不妨设00x，

当0k时，()00e10xfx=−，()000fxkx−=−，所以不存在非零实数0x，使得()()00fxfx−=成立；当0k时，若存在非零实数0x，使得()()00fxfx−=成立，则方程00

e1xkx−=−有正根，即函数e1(0)xyx=−与(0)ykxx=−有交点，先考虑函数e1(0)xyx=−的图象与直线(0)ykxx=−相切的情况，设切点为11(,)xy，则11111ee1xxkykxy−==−=−，得11(1

)e10xx−+=，令()(1)e1(0)xgxxx=−+，则()0exgxx=，所以函数()gx在[0,)+上单调递增，则()(0)0gxg=，所以方程11(1)e10xx−+=的根只有一个，即10x=，所以1k−=，所以函数e1(0)xyx=−的图象与直线(0)ykxx=−

相切时，切点为原点，所以要使函数e1(0)xyx=−的图象与直线(0)ykxx=−有交点，只需1k−，即1k−，所以实数k的取值范围为(),1−−．故选：A.【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的应用

，解题的关键是将问题转化为当0k时，函数e1(0)xyx=−与(0)ykxx=−有交点，然后利用导数有几何意义求解函数e1(0)xyx=−的图象与直线(0)ykxx=−相切的情况，从而可得答案，考查数学转化思想，属于较难题.二､填空

题（每小题5分，共20分）9.在()42x−的展开式中，2x的系数为_______.（用数字作答）【答案】12【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】()()4422xx−=−的展开式的通项公式为()()44C2rrrx−−，取2r=，得2x的系数为()224C212

=.故答案：1210.已知函数()()ln32fxx=−，则()'1f=______.【答案】3【解析】【分析】运用复合函数求导公式计算即可.【详解】由题意知，113()(32)3323232fxxxx

x=−==−−−，为所以3(1)3312f==−.故答案为：3.11.已知曲线313yxx=+，该曲线的切线倾斜角的取值范围是__________.【答案】ππ,42【解析】【分析】利用导数的几

何意义结合正切函数的性质即可得解.【详解】因313yxx=+，所以21yx=+，显然211yx=+，所以该曲线的切线的斜率1k，设该曲线的切线的倾斜角为，)0,π，所以tan1，解得ππ,42

.所以该曲线切线倾斜角的取值范围为ππ,42.故答案为：ππ,42.12.对于函数()eexxfx−=−，给出下列四个结论：①()fx是奇函数；②方程()22fxxx=+有且仅有1个实数根；③()fx在R上是增函数；④如果对任意()0,

x+，都有()fxkx，那么k的最大值为2.其中正确结论的序号为__________.【答案】①③④【解析】【分析】对于①，根据奇函数的定义判断，对于②，令()()22gxfxxx=−−，可得()00g=，再结合零点存在性定理分析判

断，对于③，对函数求导后利用导数判断，对于④，问题转化为ee0xxkx−−−恒成为的立，构造函数()eexxhxkx−=−−，求导后分析判断.【详解】对于①，因为()eexxfx−=−的定义域为R，且()()()eeeexxxxfxfx−−−=−=−−=−，所以()

fx是奇函数，所以①正确，对于②，令()()222ee2xxgxfxxxxx−=−−=−−−，因为()00g=，所以方程所以()22fxxx=+有一个根为0，因为()222ee80g−=−−，()333ee150g−=−−，所以方程(

)22fxxx=+在(2,3)至少有一个根，所以②错误，对于③，由()eexxfx−=−，得()ee0xxfx−=+，所以()fx在R上是增函数，所以③正确，对于④，若对任意()0,x+，都有()fxkx，即ee0xxkx−−−恒成立，令()eexxhxkx−=−−，则()eexxh

xk−=+−，而ee2ee2−−+=xxxx，当且仅当eexx−=，即0x=时取等号，因为0x，所以取不到等号，所以ee2xx−+，当2k时，则()0hx恒成立，所以()hx在()0,x+上递增，所以()

(0)0hxh=，即ee0xxkx−−−恒成立；当2k时，则00(0)ee20hkk−=+−=−，又()hx是连续函数，所以在0x=附近必存在0(0,)x+，使得()hx在0(0,)x上单调递减，则()hx在0(0,)x上，有()(0)0hxh

=，不合题意；综上，2k，所以k的最大值为2，所以④正确，故选：①③④【点睛】关键点点睛：此题④结论解决的关键是，在讨论2k的情况时，利用导数的几何意义得到()hx在0x=附近的单调情况，从而得解.三､解答题13.已知函数32()231()fxxaxa=++R．（1）讨

论函数()fx的单调性；（2）当1a=−时，求函数()fx在区间0,2上的最值．【答案】（1）答案见解析（2）最小值为0，最大值为5【解析】【分析】（1）根据条件得到()6()fxxxa=+，分0a=，a<0和0a三种情况讨论导函数的

符号，即可得出结论；（2）求出函数的导函数，根据导函数的符号求出函数的单调区间，再根据函数的单调性即可求得函数在区间0,2上的最值.【小问1详解】因为()32()231fxxaxa=++R，所以2()666

()fxxaxxxa=+=+，①当0a=时，2()60fxx=恒成立，此时()fx在R上单调递增；②当a<0时，由()()60xfxxa=+，解得0x或xa−，由()()06xafxx=+，得到0xa−，此时()fx在(,0)−，(,)a−+

上单调递增，在(0,)a−上单调递减；③当0a时，由()6()0fxxxa=+，解得0x或xa−，由()6()0fxxxa=+，得到0ax−，此时()fx在(,)a−−，(0,)+上单调递增，在(),0a−上单调递减．【小问

2详解】当1a=−时，32()231fxxx=−+，则2()666(1)fxxxxx=−=−，由()0fx=，得到0x=或1x=，所以()fx在[0,1]上单调递减，在(1,2上单调递增．又()01f=，()10f=，()25f=，所以当1a=−时，函数()fx在

0,2上的最小值为0，最大值为5．14.已知函数()()2e22axfxaxax=++（0a）.（1）若1a=，求()fx在0x=处的切线方程；（2）若2x=−为()fx的极大值点，求a的取值范围；（3）若()fx存在

最小值，直接写出a的取值范围.【答案】（1）42yx=+（2）()1,+（3）)2,+【解析】【分析】（1）求导，结合导数的几何意义分析求解；（2）求导，分1,1,00=aaa三种情况，结合导数与单调性和极值之间

的关系分析求解；（3）结合（2）中的单调性分析可知存在0xR，使得()()02000e220=++axfxaxax且1a，结合二次函数分析求解.【小问1详解】因为()()2e22axfxaxax=++则()()()()()2e22e2222e=++

++=++axaxaxfxaaxaxaxaaaxx，若1a=，可得()()02,044===ffa，即切点坐标为()0,2，切线斜率4k=，所以()fx在0x=处的切线方程为42yx=+.【小问2详解】由（1）可知：()()()22e=++axfxa

axx，因为0a，令()0fx=，解得12xa=−或2x=−，若1a，则22a−−，令()0fx¢>，解得2xa−或<2x−；令()0fx，解得22xa−−；则()fx在()2,2,,−−−+a上单调递增，在22,−−a上单调递减，所以2x=

为()fx的极大值点，符合题意；若1a=，则()()22e0xfxx+=恒成立，所以()fx在R上单调递增，无极值，不合题意；若01a，则22a−−，令()0fx¢>，解得2x−或2xa−；令()0fx，解得22−−xa；则()fx在()2,,2,−−−+

a上单调递增，在2,2−−a上单调递减，所以2x=−为()fx的极小值点，不合题意；综上所述：a的取值范围()1,+.【小问3详解】因为0a，可知：当x趋近于−时，()fx趋近于0，当x趋近于+时，()fx趋近于+，结合

（2）中单调性可知：存在0xR，使得()()02000e220=++axfxaxax且1a，即200220++axax且1a，则201Δ480aaaa=−，解得2a，所以a的取值范围为)2,+.15.已知函数()2ln21fxxax=++．（1）若曲线()

fx在点()()1,1f处的切线与直线210xy−+=垂直，求a的值；（2）讨论函数()fx的单调性；（3）设Za，当0x时，函数()fx的图象在函数()()22gxaxax=−+的图象的下方，求a的最大值．【答案】（1）38a=−（2）答案见详解（3）

2−【解析】分析】（1）对函数求导后，利用()121f=−，求解即可；（2）对函数求导后，讨论a的范围，考查()fx的正负即可；（3）依题意，()()gxfx恒成立，不等式化为()2ln210xaxax++++，构造函数()2()ln21,0hxxaxaxx=++++，

求得()hx的最大值，令最大值小于零，即12ln0aaa−+−，构造函数()12ln,0mxxxxx=−+−，考查函数()mx的单调性，进一步分析即可.【小问1详解】由题，函数()2ln21fxxax=++的定义域为()0,+，则()14fxaxx+=，()11

4fa=+，由于曲线()fx在点()()1,1f处的切线与直线210xy−+=垂直，则()121f=−，所以()11142fa=+=−，解得，38a=−.【小问2详解】()21414axfxaxxx=+=+，故当0

a时，()0fx恒成立，则()fx在()0,+上单调递增；当a<0时，令()0fx，得1102xa−，令()0fx，得112xa−，所以()fx在110,2a−上单调递增，在11,2a−+

上单调递减.综上所述：当0a时，()fx在()0,+上单调递增；当a<0时，()fx在110,2a−上单调递增，在11,2a−+上单调递减.【【小问3详解】依题知，当0x时，()()gxfx恒成立

，即()222ln21axaxxax−+++恒成立，化简为()2ln210xaxax++++，设()2()ln21,0hxxaxaxx=++++，则()()22211()22axaxhxaxaxx+++=+++=()()121axx

x++=，当0a时，()0hx恒成立，故()hx在()0,+单调递增，此时(1)230ha=+不符合题意；当a<0时，1102a−−，令()0hx，得10xa−，令()0hx，得1xa−，所以()hx在10,a−单调递增

，在1,a−+单调递减，则()21111()ln210hxhaaaaaa−=−+−++−+恒成立，化为12ln0aaa−+−，设()12ln,0mxxxxx=−+−

，则()21210mxxx=−++恒成立，则()mx在(),0−上单调递增，又Za，且()11210m−=−+=，()12ln2102m−=−+，故a的最大值为2−.【点睛】方法点睛：函数的单调性是函数的重要性

质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、

准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.