【文档说明】江苏省镇江市扬中市第二高级中学2021-2022学年高二下学期期末适应性测试数学试题 含解析.docx，共(24)页，1.452 MB，由小赞的店铺上传

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江苏省扬中市第二高级中学2021-2022第二学期高二数学期末适应性测试一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1.为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门德育校本课程，现有甲、乙、丙

、丁、戊五位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（）A.54种B.240种C.150种D.60种【答案】C【解析】【分析】根据已知对五位同学分3组，有两种情况，然后分类

讨论各自情况种数，采用加法原理即可求解.详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选A，B，C三门德育校本课程，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况，①三组人数为1、1、3，此时有1133543322CCCA60A=种；②三组人数

为2、2、1，此时有2213531322CCCA90A=种.所以共有60+90=150种.故选：C2.若(21)nx＋的展开式中3x项的系数为160，则正整数n的值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】【分析】利用二

项式定理计算即可.【详解】由二项式定理知：含3x项为()()()333312C218321nnnnnxx−−−=，由题意()()4121603nnn−−=，()()12120nnn−−=，解得6n=；故选：C.3.已知数列na，nb均为等差数列，且125a=，175b=

，22120ab+=，则3737ab+的值为（）【A.760B.820C.780D.860【答案】B【解析】【分析】数列na，nb均为等差数列，则数列nnab+也为等差数列，结合等差数列的定义与通项进行运算求解．【详解】∵数列na，

nb均为等差数列，设公差分别为12,dd()()()()111112nnnnnnnnababaabbdd+++++−+=−+−=+则数列nnab+也为等差数列11100ab+=，22120ab+=，数列nnab+的首项为100，公差为20∴37371002036820ab+=+=，故

选：B．4.已知数列na通项公式为)(1!nnan=+，则其前n项和为（）A.)(111!n−+B.11!n−C.12!n−D.)(121!n−+【答案】A【解析】【分析】)()(()1111!+1!1!1!nnnannnn+−===−++，然后可算出答案.【详解】因为)()

(()1111!+1!1!1!nnnannnn+−===−++所以其前n项和为())(111111111++++=12!2!3!3!4!!+1!1!nnn−−−−−+故选：A5.如果一个三位数的十位上的数字比个位和百位上的数字都大，则称这

个三位数为“凸数”（如132），现从集合1,2,3,4中任取3个互不相同的数字，组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（）的A.23B.112C.16D.13【答案】D【解析】【分析】讨论十位上的数为4，十位上的数为3，共8个，再计算概率得到答案.【详解】当十位上的数为4时，共

有236A=个；当十位上的数为3时，共有222A=个，共8个.故34881243pA===.故选：D.【点睛】本题考查了概率的计算，分类讨论是解题的关键.6.设函数,(),xxxafxexxa=，若函数存在最大值，则实数a的取值范围

是（）A1aB.1aC.1aeD.1ae【答案】C【解析】【分析】xa时，()fxa无最大值，因此xa时，()xxfxe=有最大值，利用导数求解．【详解】显然xa时，()fxa无最大值，xa时，()xx

fxe=存在最大值，1()xxfxe−=，当1x时，()0fx，()fx递增，当1x时，()0fx，()fx递减，所以1x=时，()fx取得极大值也是最大值．1(1)fe=，因此()fx要有最大值，必须满足11aa

e，所以1ae．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的最大值问题．解题时要注意()fx的最大值是在定义域内的最大值，对分段函数来讲，每一段的函数值都不能比最大值大．因此本题在xa时求得最大值1

(1)fe=，除.这个最大值取得到，即1a以外还有必须满足1ae，否则函数无最大值．7.现行排球比赛规则为五局三胜制，前四局每局先得25分者为胜，第五局先得15分者为胜，并且每赢1球得1分，每次得分者发球；当出现24平或14平时，要

继续比赛至领先2分才能取胜．在一局比赛中，甲队发球赢球的概率为12，甲队接发球赢球的概率为35，在比分为24∶24平且甲队发球的情况下，甲队以27∶25赢下比赛的概率为（）A.18B.320C.310D.720【答案】B【解析】【分析】根据题意可得甲第四局胜，

第1局或第2局输，再利用分类加法原理及相互独立事件得乘法公式即可得解.【详解】由比分可知甲需胜3局，输1局，且甲第四局胜，第1局或第2局输，故1311113132522225220+=．故选：B.8.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，N为BC的中点．当点M在平面DCC1

D1内运动时，有MN//平面A1BD则线段MN的最小值为（）A.1B.62C.2D.3【答案】B【解析】【分析】根据正方体性质及线面、面面平行的判定找到过N点平行于面1ABD的截面，进而确定M的运动轨迹，结合已知即可求MN最小值.【

详解】在正方体中,,,,,EFGHIN分别是111111,,,,,CDDDADABBBBC的中点，由正方体性质易知：//BDEN，而11//ABDC，1//EFDC，则1//ABEF，由BD面1ABD，EN面1ABD，则//EN面1ABD，同理有//

EF面1ABD，由ENEFE=，,ENEF面EFGHIN，故面//EFGHIN面1ABD，所以面EFGHIN中的直线平行于面1ABD，由//MN面1ABD，则M在直线EF上运动，要使MN最小，只需MNEF⊥，延长FE、1CC交

于K，故只需求出△ENK底边EK上的高即可，由已知可得：1CECKCN===，则△ENK为边长为2的等边三角形，所以底边EK上的高为62，即MN最小值为62.故选：B二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在

答题卡相应的位置上）9.一个不透明的口袋内装有若干张大小、形状完全相同的红色和黄色卡片，现从口袋内随机抽取卡片，每次抽取一张，随机变量表示抽到黄色卡片的张数，下列说法正确的有（）A.若口袋内有3张红色卡片，6张黄色卡片，从袋中不放回地抽取卡片，则第一次抽到红色卡片且第二次抽到黄色卡

片的概率为14B.口袋内有3张红色卡片，6张黄色卡片，从袋中有放回地抽取6次卡片，则随机变量26,3B，且8(21)3D−=C.若随机变量(6,,)HMN，且()4E=，则口袋内黄色卡片的张数是红色

卡片张数的2倍D.随机变量(3,)Bp:，()22,N−，若(1)0.784P=，(24)Pp=，则(0)0.1P=【答案】ACD【解析】【分析】A.直接列出概率，判断选项；B.利

用二项分布的方差公式，判断选项；C.利用超几何分布的期望公式判断选项；D.利用二项分布概率公式计算p，再利用正态分布的对称性判断.【详解】对于A，131344P==，正确；对于B，1216(21)4()46333DD−===，错误；对于C，有6()4MEN==，则23MN=，所

以黄卡是红卡数量的2倍，正确；对于D，有3(1)10.7840.216p−=−=，得0.4p=，所以12(0)0.12pP−==，正确；故选：ACD．10.在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−

中，下列结论正确的是（）A.异面直线AC与1BC所成的角为3B.1DA是平面11ABCD的一个法向量C.二面角1ABCB−−的正切值为22D.正方体1111ABCDABCD−的外接球的体积为32【答案】ABD【解析】【分析】建立空间直角坐

标系，利用空间向量法求出异面直线所成的余弦值及二面角的余弦值，即可判断AC，再根据线面垂直的判定定理即可说明B，根据正方体外接球的直径即可体对角线，即可求出外接球的体积；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则()1,0,

0A，()0,1,0C，()11,1,1B，()1,1,0B，()10,1,1C，所以()1,1,0AC=−，()11,0,1BC=−，设异面直线AC与1BC所成的角为，所以111cos2ACBCACBC==，因为10,2，所以3=，故A正确；在

正方体1111ABCDABCD−，AB⊥平面11ADDA，1DA平面11ADDA，所以平面1DAAB⊥，又11DAAD⊥，1ADABA=，1,ADAB面11ABCD所以1DA⊥平面11ABCD，所以1DA是平面11ABCD的一个

法向量，故B正确；设面1ABC的法向量为(),,mxyz=，则()1,1,0AC=−，()10,1,1AB=，所以00xyyz−+=+=，令1y=，则1x=，1z=−，所以()1,1,1m=−，显然面1BCB的一个法向量可为()0,1,0n=，设二面角1ABCB−−为，则13cos3

3mnnm===，因为二面角1ABCB−−为锐二面角，所以26sin1cos3=−=，所以tan2=，故C错误；正方体1111ABCDABCD−外接球的半径32R=，故其外接球的体积为3323424333R==，故D正确；故选：ABD．【点睛】本

题考查了立体几何中的线面垂直的判定和异面直线所成的角与二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法

向量，利用向量的夹角公式求解.11.已知()()()232012(21)212121nnnxxxxaaxaxax++++=++++下列说法正确的是（）A.设1nba=，则数列nb的前n项的和为2224nnSn+=−−B.2a22228233nn++=−

−C.1na−=222nnn+−(*nN)D.()*11nnanNa−−为等比数列【答案】AD【解析】【分析】对A，1a为x项系数，即每个括号中只有一个括号取x，其余都取1，则2312222na=++++；对B，2a为2x项系数，有2个括号取x，

其余取1；对C，1na−即为1nx−的系数，仅有1个括号取1，其余取x，23123111122222222nnna−=++++；对D，求出公式即可判断.【详解】对A，1a为x项系数，即每个括号中只有一个括号取x，其余都取1，则()23112

1222222212nnnnab+−=++++==−=−，()2412222412nnnSnn+−=−=−−−，故A正确；对B，2a为2x项系数，有2个括号取x，其余取1，则23232421222222222222222nnnna−=++++

+++++()()()341562783212222222222nnnn+++−=+++++++++++++()()()()31527321121221221221212121212nnnn−−−−−−−−=++++

−−−−()()()()23354722122222222nnnnn+++−=−+−+−++−()()21312122141214nnn+−−−−=−−−222182233nn++=−+，故B错误；对C，1na−即为1nx−的系数，仅有1个括号取1，其余取x，则23123111

122222222nnna−=++++()()()11122211122222112nnnnnnn++−−==−−，故C错误；对D，()123222222nnnna+==，()()()()()()()()()11

111122222211122212211222222212nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaa+−+−+−+++−−−−=−===−−−，()*11nnanNa−−为首项12−，公比12的等比数列，故D正确.故选：AD.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是正确理解不同

项所需x和1的个数.12.已知函数()()2lnfxxaxxaR=−−，则下列说法正确的是（）A.若1a=−，则()fx是10,2上的减函数B.若01a，则()fx有两个零点C.若1a=，则()0fxD.若1a，则曲

线()yfx=上存在相异两点M，N处的切线平行【答案】AC【解析】【分析】选项A.由()()()2110xxfxx−+=得出单调性可判断；选项B.转化为研究lnxaxx=−的根的各数，可判断；选项C.由()()()2110xxfxx+−=得出单调区间，可判断；选项D.设()12

txxx=−，转化为分析零点个数，从而可判断.【详解】()()212120xaxfxxaxxx−−=−−=选项A.当1a=−时，()()()221121xxxxfxxx−++−==由()()()2110xxfxx−+=，解得102x，所以()fx是10

,2上的减函数，故选项A正确.选项B.由()0fx=可得2ln0xaxx−−=，即lnxaxx=−设()lnxgxxx=−，则()2221ln1ln1xxxgxxx−−+=−=设()21lnhxxx=−+，则()()1200hxxxx=+所以()hx在()0+，上单调递

增,且()00h=所以当01x时，()g0x；当1x时，()0gx所以()gx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增.所以()()min11gxg==，当0x→时，()fx→+；当x→+时，()fx→+所以当01a

，则()fx无零点，当1a=时，()fx又一个零点，故选项B不正确.选项C.1a=时，()()()221121xxxxfxxx+−−−==由()()()2110xxfxx+−=，得1x，由()0

fx，得01x所以()fx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增.所以()()10fxf=，故选项C正确.选项D.由()12fxxax=−−，若存在相异的两点()()2211,,,MxyNxy，

在,MN处的切线平行.所以()()12fxfx=，12(,0xx，且12)xx即()120fxxax=−−=有两相异的正实数根.即方程12axx=−有两相异的正实数根设()12txxx=−，则()2120txx=+所以()tx在()0+，上单调递增，则

直线ya=与函数()tx的图像在()0+，上至多有1个交点.所以()120fxxax=−−=不可能有两个正实数根，即D选项不正确.故选：AC【点睛】关键点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，函数的几何意义的应用和零点问题，解答本

题的关键是分离参数由lnxaxx=−研究函数的零点个数问题，设()12txxx=−，由其零点个数，研究选项D，属于难题.三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．13.公差不为零的等差数列na中，23711220aaa−+=，数列nb是等比数列，

且77ba=，则68bb=______．【答案】16【解析】【分析】利用等差数列的性质求出774ba==，再利用等比数列的性质求解.【详解】解：∵()222371131177722240aaaaaaaa−+=+−=−=

，且770ba=，∴774ba==．∴268716bbb==．故答案为：1614.在平行六面体1111ABCDABCD−中，1AB=，2AD=，13AA=，90BAD=，1160BAADAA==，则AC与1BD夹角的余弦

值为__________.【答案】38534【解析】【分析】由1,,ABADAA表示出1,ACBD，再结合空间向量的夹角公式计算即可．【详解】设1,,ABaADbAAc===，则12cos900ab==，同理32ac=，3bc=，平行六面体1111ABCDABCD−中，

11BDBDDDabc=+=−++，222221()222BDabcabcabacbc=−++=++−−+14903617=++−−+=，117BD=；则ACab=+，2222()21405ACababab=+=++=++=，5AC=，221315(

)()41322ACBDababcbaacbc=+−++=−++=−++=设直线AC和1BD所成角，则11153852cos34517ACBDACBD===．所以AC与1BD夹角的余弦值为38534，故答案为：385

34.15.甲､乙两人进行围棋比赛，共比赛()*2nnN局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为12.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为()Pn，则()2P=___________；()5P=

___________.【答案】①.516②.193512【解析】【分析】2n=时，甲乙比赛四局，则甲要赢3局或4局才能获胜，计算4434441122()2PCC=+，101010101067891010101010101111152222(

)2PCCCCC=++++可得答案.【详解】2n=时，甲乙比赛四局甲获胜，则甲要赢3局或4局才能获胜，所以4434441152221()6PCC=+=；为101010101067891010101010101111

152222()2PCCCCC=++++()106789101010101010138619321024572CCCCC=++++==.故答案为：①516；②193512.16.已知

函数4,0(),0xxexfxexx+=，若存在10x，20x，使得12()()fxfx=，则12()xfx的取值范围是______.【答案】24,0e−【解析】【分析】由12()()fxfx=，得到2124xexex=−，再研究函数()f

x的单调性，得到224xeeex，将12()xfx表示出来，然后利用换元法转化为二次函数求最值即可.【详解】12()()fxfx=，2124xexex+=，2124xexex=−，10xQ，224xeex，当0x时，()xefxx=，22(1)(

)xxxexeexfxxx−−==，由()0fx得1x，由()0fx得01x，所以()fx在(0,1)上递减，在(1,)+上递增，()fx在1x=处取得最小值e，224xeeex，222221222

22()44xxxxeeeexfxeexxxx=−=−，令22xetx=，则4ete，()22212()424xfxtettee=−=−−当2te=时，12()xfx取得最小值24e−，当4te=时，12()xfx取得最大值0，所以12()

xfx的取值范围是24,0e−.故答案为：24,0e−【点睛】关键点点睛：本题考查利用导函数研究函数的最值，令22xetx=，将12()xfx转化为关于t的二次函数，根据二次函数求最值是解题的关键，考查学生分析试题

能力与转化化归能力，属于较难题.四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列na是递增的等差数列，nb是各项均为正数的等比数列13a=，12b=，63ab=，528ba=．（1）求数列na和nb的通项公式；（2）设3

nnac=，求数列nnbc的前9项的和9S．（注：x表示不超过x的最大整数）【答案】（1）2nan=+，2nnb=（2）2926【解析】【分析】（1）根据所给的条件列方程即可求解；（2）根据高斯函数的定义，分别求

出129,,ccc求和即可.【小问1详解】设na的公差为d，nb的公比为q，由113,2,ab==得()21141158adbqbqad+==+，而0d，0q，解得391,()25dd==−舍，22(

qq==−，舍），于是得2nan=+，2nnb=，所以数列na和nb的通项公式分别为2nan=+，2nnb=；【小问2详解】由（1）知，2[][]33nnanc+==，则有1234567981,2,3ccccccccc=========，依题意

，234678995121212222222323232S=++++++++=2926，综上，2nan=+，2nnb=，92926S=.18.已知在31nxx−的展开式中，_________（填

写条件前的序号）条件①第5项的系数与第3项的系数之比是14：3；条件②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55；条件③22110nnnCC−+−=.（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中含5x的项.【答案】（1）56252x−（2）5x【解析】【分析】（1）求

出二项展开式的通项，根据选择的条件求出n的值，即可知道二项式系数最大的项；（2）在通项公式中，令x的指数为5，求出k，再根据通项公式可求出结果.【详解】通项公式为356131()()(1)nkknkkkkknnT

CxCxx−−+=−=−，0,1,2,,kn=L，若填条件①，（1）依题意得4422(1)14(1)3nnCC−=−，即42314nnCC=，所以!!3144!(4)!2!(2)!nnnn=−−，整理得(10)(5)0nn−+=，所以10n=或5n=−（舍），因为

10n=，所以1031xx−的展开式共有11项，所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，所以30255556665110(1)252TTCxx−+==−=−.（2）通项公式为3056110(1)kkkkTCx−+=−，令

30556k−=，得0k=，所以展开式中含5x的项为5x.若填条件②，（1）依题意得1255nnnCC−+=，所以255nnC+=，所以(1)552nnn−+=，即21100nn+−=，所以10n=或11n=−（舍），因为10n=，所以1031xx

−的展开式共有11项，所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，所以30255556665110(1)252TTCxx−+==−=−.（2）通项公式为3056110(1)kkkkTCx−+=−，令30

556k−=，得0k=，所以展开式中含5x的项为5x.若填条件③，（1）依题意得22110nnnCC−+−=，则22110nnCC+−=，所以(1)(1)1022nnnn+−−=，所以10n=，因为10n=，所以1031xx−的展开式共有11项，所以展开式中二项式系数

最大的项是第6项，所以30255556665110(1)252TTCxx−+==−=−.（2）通项公式为3056110(1)kkkkTCx−+=−，令30556k−=，得0k=，所以展开式中含5x的项为5x.【点睛】关键点点睛：掌握二项展开式的通项公式和二项式系数的性质是解题关键.19.从装有

2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同.(Ⅰ)若抽取后又放回，抽3次.(ⅰ)分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率；(ⅱ)求抽到红球次数的数学期望及方差.(Ⅱ)若抽取后不放回，写出抽完红球所需次数

的分布列.【答案】(1)①24125;②见解析;(2)见解析.【解析】【详解】分析：（1）(ⅰ)放回事件是独立重复试验，根据独立重复试验概率公式求结果，(ⅱ)抽到红球次数服从二项分布，根据二项分布期望与方差公式求结果，（2

）先确定随机变量取法，再根据组合数求对应概率，列表可得分布列.详解：（1）抽1次得到红球的概率为，得白球的概率为得黑球的概率为①所以恰2次为红色球的概率为抽全三种颜色的概率②～B(3,),则，1825D=（2）的可能取值为2，3，4，5,,，即分布列为：2345P点睛：求解离散型随机

变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事

件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题

中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)XBnp)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()EXnp=)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.20.如图，在三棱锥SABC−中，平面S

BC⊥平面ABC，2SBSCABAC====，2BC=，若O为BC的中点.（1）证明：SO⊥平面ABC；（2）求点C到平面SAB的距离；（3）设线段SO上有一点M，当AM与平面SAB所成角的正弦值为3015时，求OM的长.【答案】（1）证明见解析；（2）233；（3）13.【解析】【分

析】（1）结合面面垂直的性质定理证得SO⊥平面ABC；（2）利用等体积法SABCCSABVV−−=可求得结果；（3）建立空间直角坐标系，设()0,0,Mt，()0,1t，利用AM与平面SAB所成角的正弦值为3015，结合向量运算

列方程，解方程求得t，由此求得OM的长.【详解】（1）∵SBSC=，BOOC=，∴SOBC⊥，∵平面SBC⊥平面ABC，平面SBCI平面ABCBC=，SO平面SBC，∴SO⊥平面SBC.（2）设点C到平面SAB的距离为h，由等体积法得SABCCSABVV−−=，即1133ABCSABSSOS

h=VV，即ABCSABSSOhS=VV2ABAC==Q，2BC=，BACA⊥，12212ABCS==又2SBSC==，BSCS⊥，则1SO=，连接AO，知1AO=故22112SA=+=，则13322222SABS==V故12333

2h==，即点C到平面SAB的距离为233（3）由已知得,,OAOBSO两两垂直，以O为空间坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,1,0A，()1,0,0B，()1,0,0C−，()0,0,1S设(),,mabc=为平面SBA的法向量，∵()1

,1,0AB=−uuur，()1,0,1SB=−uur，∴00mABabmSBac=−==−=，令1a=，得()1,1,1m=，设()0,0,Mt，()0,1t，∴()0,1,AMt=−uuur，设AM与平面SAB

所成角为，则sincos,mAMmAMmAM==uruuururuuururuuur，即21301531tt−=+，化简整理得：231030tt−+=，解得：3t=（舍），13t=，∴OM的长为13.【点睛】方法点睛：本题考查线面垂直，利用等体积求距离，及

线面角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则①两直线,lm所成的角为(02),cosabab=rrrr；②直线l与平面所成的角为(02),sinauau

=rrrr；③二面角l−−的大小为(0),cos.uvuv=rrrr21.随着原材料供应价格的上涨，某型防护口罩售价逐月上升．1至5月，其售价（元/只）如下表所示：月份x12345售价y（元/只）11.

222.83.4（1）请根据参考公式和数据计算相关系数（精确到0.01）说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求y关于x的线性回归方程ˆˆˆybxa=+；（2）某人计划在六月购进一批防护口罩，经咨询届时将有两种促销方案：方案一：线下促

销优惠．采用到店手工“摸球促销”的方式．其规则为：袋子里有颜色为红、黄、蓝的三个完全相同的小球，有放回的摸三次．若三次摸的是相同颜色的享受七折优惠，三次摸的仅有两次相同颜色的享受八折优惠，其余的均九折优惠．方案二：线上促销优惠．与店铺网页上的机器人进行“石头、剪刀、布”

视频比赛．客户和机器人每次同时、随机、独立地选择“石头、剪刀、布”中的一种进行比对，约定：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头．手势相同视为平局，不分胜负．客户和机器人需比赛三次，若客户连胜三次则享受七折优惠，三次都不胜享受九折优惠，其余八折优惠．请用（1）中方程对六月售价进行预估，用X表

示据预估数据促销后的售价，求两种方案下X的分布列和数学期望，并根据计算结果进行判断，选择哪种方案更实惠．参考公式：()()()()()()112222221111()()nniiiiiinnnniiiiiiiixxyyxxyyrxxyy

xnxyny======−−−−==−−−−，ˆˆˆybxa=+，其中()()()121ˆniiiniixxyybxx==−−=−，ˆˆaybx=−．参考数据：42.086.5，2.08y=，()()516.4iiixxyy=−−=，()5214.208iiy

y=−=．【答案】（1）相关系数0.98；ˆ0.640.16yx=+（2）6月预计售价为4元/只；方案一分布列见解析；期望为14645；方案二分布列见解析；期望为446135；应选择方案一【解析】【分析】（1）依据题中所给数据，计算出xy、的

值，带入参考公式计算即可.（2）根据（1）中线性回归方程，求得X可取的值，依次计算概率，列出分布列，求解数学期望，利用数学期望比较两种方案.【小问1详解】相关系数()()()()515522116.46.4

0.986.542.08iiiiiiixxyyrxxyy===−−==−−，由于0.98接近1，说明y与x之间有较强的线性相关关系．()()()515216.4ˆ0.6410iiiiixxyybx

x==−−===−，ˆ2.081.920.16a=−=，所以ˆ0.640.16yx=+．【小问2详解】由（1）可知，ˆ0.640.16yx=+，当6x=时，ˆ4y=，即6月预计售价为4元/只．X可取的值为2.8，3.2，3.6．若选优

惠方案一，1331(2.8)39CPX===；1111321332(3.2)33CCCCPX===；3332(3.6)39APX===；X2.83.23.6P192329此时122438146()2.83.23.693913545EX=++==.若选优惠方案二，客户每次和机

器人比赛时，胜出概率为132133C=，则不胜的概率为23．33311(2.8)327PXC===；211221331212242(3.2)3333993PXCC==+=+=；30328(3.6)327PXC==

=；X2.83.23.6P12723827此时128446()2.83.23.627327135EX=++=.438446135135，说明为使花费的期望值最小，应选择方案一．22.已知函数()lnfxxx=−．（1）已知直线ykx=是曲

线()yfx=的一条切线，求k的值；（2）若函数()()1Rmyfxxmx=−−+有两个不同的零点1x，2x，证明：122xxm+．【答案】（1）1=1ek−（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用切线的性质即可求

解；（2）属于极值点偏移问题，构造函数，求导，根据函数单调性即可证明.【小问1详解】()'11fxx=−，设切点为000(,ln)Pxxx−，则切线斜率为011,kx=−切线方程为00001ln(1)()yxxxxx−+=−−，即001(1)+1lnyxxx=−−，的因为直线ykx=是曲线

()yfx=的一条切线，所以01ln=0x−，即0=ex，故1=1ek−；【小问2详解】由题可知函数()()1Rmyfxxmx=−−+有两个不同的零点12,xx，即ln10mxx+−=，记()ln1

mhxxx=+−()0x，则()'221mxmhxxxx−=−=，当0m时，()'0hx，()hx单调递增，不可能有两个零点，当0m时，令()'20xmhxx−==，得xm=，当()0,xm时，()'0hx，函数()hx单调递减；当(),xm+时，()'0h

x，函数()hx单调递增，因为()hx有两个零点，所以()()min0hxhm=，解得01m，所以不妨设120xmx，要证122xxm+，即证212xmx−，因为12mxm−，2xm，又()hx在(),xm+单调递增，所以即证()()()1212hxh

xhmx=−，即证()()1120hxhmx−−，构造函数()()()2xhxhmx=−−()0xm，所以()2'2222114()02(2)(2)mmmxmxxmxxxmxxm−=+−−=−−−−，所以函数()x在()0,m

单调递减，且()0m=，所以当()0,xm时，()()()20xhxhmx=−−，即()()2hxhmx−，()()112hxhmx−，即()()212hxhmx−，又()hx在(),xm+单调递增，故122xxm+；【点睛】对于极值点偏移问题，传统的解法是构造函数，利用所构造

函数与原函数的对称性，再对所构造函数求导，利用函数的单调性即可证明.