【文档说明】四川省绵阳市三台中学校2024届高三上学期第四次月考数学（文）试题 含解析.docx，共(21)页，1.398 MB，由小赞的店铺上传

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高中2021级高三第四学月测试数学（文）本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔

将考号准确填涂在“考号”栏目内.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后将答题卡收回.第Ⅰ

卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.集合0.3122,log18xAxBxx==∣∣，则,AB间的关系是（）A.AB=RB.B

AC.AB=D.ABB=【答案】B【解析】【分析】分别求解两个集合，再判断集合的关系.【详解】311222228xx−，得31x−，则31Axx=−，0.3log1x，得00.3x，则00.3Bxx=

，所以BA.故选：B2.已知复数351i2i12iz++=+，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得31i55z

=−，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由复数()()()()351i12i1i2i1i31i12i12i12i12i55z+−+++====−+++−，可得复数z在复平面内对应的点为31(,)55Z−，位于第四象限.故选：D

.3.下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）A.13yx=B.2xy=C.13logyx=D.2yx=−【答案】D【解析】【分析】根据基本初等函数的单调即可排除ABC，结合奇偶性的判定即可求解D.【详解】对于A，133yxx==

为R单调递增函数，故不符合题意，对于B，2xy=为R上的单调递增函数，故不符合题意，对于C，13logyx=为()0,+内单调递减函数，由于定义域不关于原点对称，故不是奇函数，故不符合题意，对于D，2yx=−为R上的单调递减函数，且()()2fxxfx−==−，故2yx=−为奇函数，D正确，故选

：D4.与曲线2211636xy+=共焦点，且与双曲线22146xy−=共渐近线的双曲线的方程为（）A.221128yx−=B.221812yx−=C.221128xy−=D.221812xy−=【答案】A【解析】【分析】先由与椭圆共焦点得到220c=，且焦点在y轴上，从而巧设所

求双曲线为()22046xy−=，利用222cab=+即可得解.【详解】因曲线2211636xy+=为椭圆，焦点在y轴上，且2361620c=−=，为又因为所求双曲线与双曲线22146xy−=共渐近线，所

以设所求双曲线为()22046xy−=，即22164yx−=−−，则26420c=−−=，解得2=−，所以所求双曲线为221128yx−=.故选：A.5.2022年11月，国内猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、

食用油、鲜菜价格同比（与去年同期相比）的变化情况如图所示，则下列说法正确的是（）A.猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这6种食品中，食用油价格同比涨幅最小.B.这7种食品价格同比涨幅的平均值超过7%C.去年11月鲜菜价格要比今年11月低D.猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅

的5倍【答案】B【解析】【分析】根据统计图计算可得答案.【详解】由图可知，粮食价格同比涨幅比食用油价格同比涨幅小，故A不正确；这7种食品价格同比涨幅的平均值为34.4%10.4%9.6%8.5%3%7.6%21.2%7.47%7%7+

++++−，故B正确；因为鲜菜价格同比涨幅为21.2%−，说明去年11月鲜菜价格要比今年11月高，故C不正确；猪肉价格同比涨幅为34.4%，禽肉价格同比涨幅为8.5%，34.4%58.5%0−，故D不正确.故

选：B.6.已知角，满足tan2=-，()tan1+=，则tan=（）A.13−B.1C.－3D.3【答案】C【解析】【分析】根据两角差的正切公式，即可求解.【详解】()()()tantan

12tantan31tantan12+−+=+−===−++−.故选：C7.已知等比数列na的各项均为正数，56,aa是函数()3215e132fxxxx=−++的极值点

，则1210lnlnlnaaa+++=（）A.5B.6C.10D.15【答案】A【解析】【分析】利用极值点的定义得到56eaa=，再利用等比数列的下标和性质即可得解.【详解】因为()3215e132fxxxx=−++，所以2()5efxxx

=−+，因为56,aa是函数()fx的极值点，所以56,aa是()fx的两根，所以56eaa=，又1102956eaaaaaa====，则121051210ln()lne5lnlnlnaaaaaa+

+==+=，故选：A.8.已知圆22:40Cxyx+−=和直线:130lkxyk−+−=，则圆心C到直线l的最大距离为（）A.1B.2C.3D.2【答案】D【解析】【分析】根据圆的方程和直线方程可得圆心坐标

，以及直线所过定点，然后结合图形可得.【详解】将圆C化为标准方程得22(2)4xy−+=，所以圆心为(2,0)C，直线l的方程为1(3)ykx−=−，所以直线l过定点(3,1)P，过点C作CQl⊥，垂足为Q，当CP不垂直l时，显然CQCP，当CPl

⊥时，CQCP=，所以圆心C到直线l的最大距离为22(32)(10)2CP=−+−=.故选：D9.甲、乙两同学对同一组数据进行分析，甲同学得到的数据均值为x，方差为2S，乙同学不小心丢掉了一个数据，得到的均值仍为x，方差为2，则下列判断正确的是（）A.

22S=B.22SC.22SD.2S与2的大小关系无法判断【答案】C【解析】【分析】根据题设知丢失数据为x，结合方差公式有221nSn=−，即可得答案.【详解】由题意知，丢失的数据为x，才可保证甲乙得到的

均值相等，结合方差公式()()()2222121nSxxxxxxn=−+−++−，2n，所以乙所得方差2221nSSn==−，即22(1)2nSn−=.故选：C10.设1F，2F是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且1260FPF=，若双曲线的离心率为2，则椭圆

的离心率为（）A.25B.105C.22D.12【答案】B【解析】【分析】根据双曲线以及椭圆的定义，以及在焦点三角形中运用余弦定理建立关于双曲线和椭圆离心率的的方程解出即可.【详解】如图，设椭圆的长半轴长为1a，双曲线的半实轴长为2a，则根据椭

圆及双曲线定义得：1211222,2PFPFaPFPFa+=−=，112212,PFaaPFaa=+=−，设1122620,FFFPFc==，则在12PFF△中由余弦定理得：222121212122cosFFPFPFPFPFFPF=+−，即()()()()2

221212121242cos60caaaaaaaa=++−−+−化简得：2221234aac+=，所以122212134(01,1)eeee+=，又因为双曲线的离心率为22e=，所以椭圆的离心率为1105e=，故选：B11.已知函数()2sineexx

fxx−=−+，则关于x的不等式()()2430fxfx−+的解集为（）A.()4,1−B.()1,4−C.()(),41,−−+UD.1,4−【答案】C【解析】的.【分析】根据函数奇偶性，以及求导判断函数的单调性，即可求解相应不等式.【详解】()2sine

exxfxx−−=−−+，()()0fxfx−+=，()fx\为奇函数，则()()2coseexxfxx−=−+，2cos2x，ee2−+xx，()0fx，()fx为减函数，又()()2430fxfx−+，则()()()2433fxfxfx−−=−，243xx−−，1x

或<4x−.故选：C12.已知过点()0,Ab作的曲线lnxyx=的切线有且仅有两条，则b的取值范围为（）A10,eB.20,eC.()0,eD.3220,e【答案】

D【解析】【分析】先根据导数求出切线斜率，再构造函数把有两条切线转化为函数有两个交点解决问题即可.【详解】设切点为()00,xy，由题意得21lnxyx−=，所以00002000ln1lnxbxybxkxxx−−−===，整理得002ln1xbx−=，

此方程有两个不等的实根．令函数()2ln1xfxx−=，则()232lnxfxx−=．当320ex时，()0fx¢>，所以()fx在320,e上单调递增;.当32ex时，()0fx，所以()fx在32e,+

上单调递减,且()0fx．32322()eefxf==极大值，方程有两个不等的实根,故3220,eb．故选：D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题

，每小题5分，共20分，把答案直接填答题卷的横线上.13.若x，y满足约束条件20,301,xyxyy−++−，则zxy=−的最大值是__________．【答案】1【解析】【分析】根据题意，做出可行域，结合图像，

代入计算，即可得到结果.【详解】根据题意，做出可行域，如图中阴影部分．由zxy=−，得yxz=−，则求z的最大值，需求z−的最小值．向右下方平移直线yx=，当直线yxz=−过点()2,1A时，z取得最大值，max211z=−=．故答案为：114.用系统抽样的方法从全校800人

中抽取40人做问卷调查，并将他们随机编号为0，1，2，3，…，799，已知第一组中采用抽签法抽到的号码为15，则第三组抽取到的号码是___________.【答案】55【解析】【分析】求出抽样间隔为：8002040=，由此利用第一组中采用抽签法抽到

的号码为15，能求出第三组抽取到的号码．【详解】解：用系统抽样的方法从全校800人中抽取40人做问卷调查，并将他们随机编号为0，1，2，3，，799，抽样间隔为：8002040=，第一组中采用抽签法抽到的号码为15，第三组抽取到的号码1520255+=．故答案为

：55．15.已知椭圆22:1259xyC+=，点M在椭圆C上，已知点(1,3)N与点(4,0)F−，则||||MFMN+的最小值为_________.【答案】1023−【解析】【分析】先判断点N在椭圆内

部，利用椭圆定义将||||MFMN+转化为()10MFMN−−求出最大值即可.【详解】由题意，点(4,0)F−为椭圆22:1259xyC+=的左焦点，由于(1,3)N满足：()22:125931C+，故在椭圆

内部，设椭圆的右焦点为()4,0F，连接,MFNF，由于动点M在椭圆C上，则10MFMF+=，从而()1010MFMNMFMNMFMN+=−+=−−，因为()()2214323MFMNNF−=−+=，

当,,MNF共线，且N在线段MF上时取等号，故||||MFMN+的最小值为1023−，故答案为：1023−16.已知函数()22log1|,021,0xxfxxxx+=−−+，若存在互不相等的实数abcd,,,，

使得()()()()fafbfcfd===，则+++abcd的取值范围是__________．【答案】31,48−【解析】【分析】先作出函数()fx的图象，不妨设0abcd„，由对称性可以得到2ab+=−，再求出5()[4gmcd=+，17)8，即得解.【详解】设(

)fxm=，根据函数的图象及对应的方程，不妨设0abcd„，根据二次函数关于=1x−对称可以得到2ab+=−，由图象可知，()yfx=与ym=在0x部分的交点横坐标满足01cd，所以221log,1+logcmdm−−

==，所以(1)-1,22mmcd−+==，令)1(1()22mmgmcd−+−=+=+，(12)m，则当[1m，2)时，1(1)()(22)ln20mmgm−−+=−，所以函数()gm在[1m，2)上单调递增，所以5()[4gmcd=+，17)8，所以2()abcdg

m+++=−+3[4−，1)8．故答案为：31,48−三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答

．（一）必考题：共60分.17.某语文报社为研究学生课外阅读时间与语文考试中的作文分数的关系，随机调查了本市某中学高三文科班6名学生每周课外阅读时间x（单位：小时）与高三下学期期末考试中语文作文分数y，数据如下表：ix123456iy384043455054（1）根据上述数据

，求出高三学生语文作文分数y与该学生每周课外阅读时间x的线性回归方程，并预测某学生每周课外阅读时间为7小时时其语文作文成绩；（2）从这6人中任选2人，这2人中至少有1人课外阅读时间不低于5小时的概率.参考公式：ybxa=+，其中()()()1122211nniiiiiinniiiixxyyxy

nxybxxxnx====−−−==−−，aybx=−$$参考数据：611001iiixy==，62191iix==，45y=【答案】（1）3.233.8yx=+；预测某学生每周课外阅读时间为7小时时其语文作文

成绩为56.2（2）35【解析】【分析】(1)根据所给的公式计算对应的量x,y,,再代入公式求解,ba可求得线性回归方程.再令7x=即可求得预测值.(2)设这6人阅读时间依次为1、2、3、4、5、6的同学分别为A、B、C、D、E、F,再枚举

出所有可能的情况,分析其中至少有1人课外阅读时间不低于5小时的情况数,再根据古典概型的公式求解概率即可.【详解】解：（1）根据表中数据,计算3.5x=,45y=,61622216100163.5453.29163.56iiiiixyxybxx==−−===−

−.453.23.533.8aybx=−=−=,∴y关于x的线性回归方程为：3.233.8yx=+,当7x=时,3.2733.856.2y=+=.预测某学生每周课外阅读时间为7小时时其语文作文成绩为56.

2.（2）设这6人阅读时间依次为1、2、3、4、5、6的同学分别为A、B、C、D、E、F,从中任选2人,基本事件是AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF共

15种,其中至少1人课外阅读时间不低于5小时的事件是、AE、AF、BE、BF、CE、CF、DE、DF、EF共9种,故所求的概率为93155P==.【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求解以及实际运用,同时也考查了利用枚举法解决

古典概型的方法.属于基础题.18.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cs2ocAab=−．（1）求B；（2）若ABC的外接圆半径为2，且1coscos8AC=−，求ac．【答案】（1）π3B

=（2）6【解析】【分析】（1）由余弦定理化角为边得222acbac+−=，再利用余弦定理求解角B；（2）由π3B=，得2π3AC+=，利用两角和余弦得sinsinAC，由已知ABC的外接圆半径利用正弦定理化角为边得ac.【小问1详解】因为2cs2ocAab=−，所以2222

22bcacabcb+−−=，整理得222acbac+−=，所以2221cos222acbacBacac+−===，又因为()0,πB，所以π3B=．【小问2详解】因为π3B=，所以2π3AC+=，()1cos2AC+

=−，即1coscossinsin2ACAC−=−．又因为1coscos8AC=−，所以113sinsin288AC=−=．因为ABC的外接圆半径2R=，由正弦定理2sinsinacRAC==，得sin,sin2424aac

cACRR====，所以3sinsin44168acacAC===，解得6ac=．19.已知数列na满足111,(1)(1).nnananann+==+++（1）证明：数列nan为等差数列；（2）设数列nb满足1lnnnnaba+=，nS为数列nb的

前n项和，若ennSa在*Nn上恒成立，求的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）1(,)4+【解析】【分析】（1）根据题意，化简得到111nnaann+−=+，结合等差数列的定义，即可得证；（2）由（1）求得2nan=，得到()22ln1lnnbnn=+−，进而求

得()2ln1nSn=+，结合题意，转化为即221nnn++恒成立，结合基本不等式，即可求解.【小问1详解】证明：由()()111nnnanann+=+++，可得()111nnnaann++=++，整理得1111nnnnaaaann

nn+−=+−=+为常数，又由111a=，所以数列nan是首项为1，公差为1的等差数列.【小问2详解】解：由（1）可得()111nannn=+−=，所以2nan=，又由()()222121lnlnln1lnn

nnnabnnan++===+−，则()()222222ln2ln1ln3ln2ln(1)lnnSnn=−+−+++−()()22ln1ln12ln1nn=+−=+，因为若ennSa在*Nn上恒成立，即2ln(1)2211(1)212nnSnannneennnnn+====+++

++，所以maxnnSae，又因为112224nnnn+++=，当且仅当1nn=时，即1n=时，等号成成立，所以max14nnSae=，所以14，即实数的取值范围为1(,)4+.20.已知函数()2

e,xfxxkxk=−R.（1）当0k=时，求函数()fx在22−,上的值域；（2）若函数()fx在()0,+上仅有两个零点，求实数k的取值范围.【答案】（1）21,2ee−（2）()e,+

【解析】【分析】（1）利用导数求得()fx的单调区间，进而求得函数()fx在22−,上的值域；（2）由()()e0xfxxkx=−=，构造函数()exgxkx=-，利用导数，结合对k进行分类讨论来求得k的取值范围.【小问1

详解】当0k=时，()()exfxxx=R，所以()()1exfxx=+，令()0fx=，则=1x−，x()2,1−−1−()1,2-()fx−0+()fx单调递减极小值单调递增所以()1

min1()1eefxf−=−=−=−，又()()2222,22eeff−=−=，所以()fx在22−,上的值域为21,2ee−.【小问2详解】函数()()2eexxfxxkxxkx=−=−在()0,+上仅有两个零点，令()exgxkx=-，则问

题等价于()gx在()0,+上仅有两个零点，易求()exgxk¢=-，因为()0,x+，所以e1x.①当(,1k−时，()0gx在()0,+上恒成立，所以()gx在()0,+上单调递增，所以()()01gxg=，所以()gx在()0,

+上没有零点，不符合题意；②当()1,k+时，令()0gx=，得lnxk=，所以在()0,lnk上()0gx，在()ln,k+上()0gx，所以()gx在()0,lnk上单调递减，在()ln,k+上单调递增，所以()gx的最小值为()lnlngkkkk=

−，因为()gx在()0,+上有两个零点，所以()lnln0gkkkk=−，所以ek.因为()()()222010,lnln2lnggkkkkkkk==−=−，令()()222ln,1xhxxxhxxx−=−=−=，所以

在()0,2上()0hx，在()2,+上，()0hx，所以()hx在()0,2上单调递减，在()2,+上单调递增；所以()222ln2lneln40hx−=−，所以()()2ln2ln0gkkkk=−，所以当

ek时，()gx在()0,lnk和()ln,k+内各有一个零点，即当ek时，()gx在()0,+上仅有两个零点.综上，实数k的取值范围是()e,+.【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定()fx的定义域；（2）计算导数()fx；（

3）求出()0fx=的根；（4）用()0fx=的根将()fx的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内()fx的符号，进而确定()fx的单调区间：()0fx¢>，则()fx在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；()0fx，则()fx在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.如果导函数含

有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.21.已知抛物线()2:20Cxpyp=的焦点为F，点M为抛物线C上一点，且线段FM的中点为52,2N，该抛物线的焦点到准线的距离不大于3.

（1）求抛物线C的方程；（2）设点AB、为抛物线上的动点，若6AB=，当AB的中点到抛物线的准线距离最短时，求AB所在直线方程.【答案】（1）24xy=（2）212yx=+或212yx=−+【解析】【分析】（

1）先根据中点坐标设出M点，再代入抛物线，求出p的值即可；（2）先设出直线与,AB两点，联立后得到韦达定理，求出中点坐标，结合韦达定理求出直线中点到准线距离的最值，最后求出直线方程即可.【小问1详解】依题意得0,2pF，焦点到准线的距离不大于3，所以

3p，设(),mmMxy，由FM的中点坐标为52,2N，得0225222mmxpy+=+=，解得452mmxpy==−，因为(),mmMxy在抛物线22xpy=，所以16252pp=−即2

10160pp−+=，解得2p=或8p=（舍），所以抛物线C的方程为24xy=.【小问2详解】如图所示，根据题意直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为ykxb=+，设()()1122,,,,AxyBxyAB中点()00,Dxy，

由224404ykxbxkxbxy=+−−==，212120,4,4kbxxkxxb++==−，()2212121241616xxxxxxkb−=+−=+，所以()()222121116166ABkxxkkb=+−=++=，则()22941bkk=−+所以()22122212122

1202168422288xxxxxxyykbykb++−++=====+，又因为AB的中点到准线的距离等于0012pyy+=+，所以当0y最小时，AB的中点到准线的距离最短.因为()()()220229991121244141ykkkk=+=++−−=+

+≥，当且仅当()()229141kk+=+时，解得22k=，则1b=.所以直线AB的方程为212yx=+或212yx=−+.【点睛】关键点睛：本题的关键在于理解中点到准线的距离的最小值本质上是中点纵坐标的最小值，然后应用均值不等式求最值即可.（二）选考题：共10分.请考生在22、23

题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，圆1C的参数方程为44cos4sinxy=+=（为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C的极坐标方程是4sin=．（1）在直角坐标系中，求圆1

C和圆2C的公共弦所在直线方程；（2）若射线:(0)4πOA=与圆1C的交点为P，与圆2C的交点为Q，线段PQ的中点为M，求2OMC的面积．【答案】（1）20xy−=（2）3【解析】【分析】（1）将两圆方程化为普通方

程，两圆方程作差即可得结果；（2）在极坐标下求,,PQM的极坐标，结合极坐标的定义分析求解.【小问1详解】由圆1C的参数方程44cos4sinxy=+=可得()22416xy−+=，即2280xyx+−=，圆心()14,0C，半径14r=，由圆2C的极坐标方程两边同乘可得24

sin=，由222sinxyy=+=，则2240xyy+−=，即()2224xy+−=，圆心()20,2C，半径22r=，可知1225CC=，则121212rrCCrr−+，所以两圆相交，两圆相方程作差可得840xy−=，即20xy−=，所以圆1C与圆2C的公共弦所在直线的方

程为20xy−=.【小问2详解】由（1）知圆1C的极坐标方程为：8cos=，圆2C的极坐标方程为：4sin=联立1C的极坐标方程与射线OA：8cosπ4==可得π42,4P，联立2C的极坐标方程与射线OA：4sinπ4=

=可得π22,4Q，则π32,4M，所以22211πsin322sin3224OMCSOMOCMOC===.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()212fxxx=+−−．（1）解不等式()7fx；（2）若对xR，都有()

fxm，若a、b、c+R且0abcm+++=，求149abc++最小值．【答案】（1）113xx−（2）12【解析】【分析】（1）分段讨论自变量的范围，变化不等式，解出即可；（2）根据min()fxm=，求得m的值后，

利用柯西不等式即可求解.【小问1详解】因为()212fxxx=+−−，所以当1x−时，由()2(1)(2)47fxxxx=−++−=−−，得11x−，则111x−−；当12x−时，由()2(1)2)37fxxxx=++−=（得73x，则12x−；当2x时，

由()47fxx=+得3x，则23x．综上不等式()7fx的解集为113xx−．【小问2详解】因为对xR都有()fxm，则min()fxm=，4,1()2123,124,2xxfxxxxxxx−−−=+−−=−+，则()fx在(),1−−

上是减函数，在()1,−+上是增函数，所以min()(1)3fxf=−=−，因为0abcm+++=，即3(,,0)abcabc++=，则2222221491123()()()3abcabcabc++=++++

21123123abcabc++=，（当且仅当23bca==，即13,1,22abc===，时等号成立）．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com