【文档说明】宁夏银川一中2021届高三第四次月考数学（文科）试卷【精准解析】.doc，共(22)页，2.051 MB，由小赞的店铺上传

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银川一中2021届高三年级第四次月考文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集23525UAa==，，，，－，5UCA

=，则a的值为()A.2B.8C.2或8D.－2或8【答案】C【解析】【分析】根据补集的性质A∪（CUA）=U，再根据集合相等的概念列方程，从而可得结论．【详解】全集235U=，，，5UCA=，则2

,3A=，53aa−==28或故选C【点睛】本题的考点是集合关系中的参数取值问题，主要考查集合的基本运算，补集的性质，集合相等的概念．是基础题．2.已知命题“pq”为真，“p”为真，则下列说法正确的是（）A.p

真q真B.p假q真C.p真q假D.p假q假【答案】B【解析】【分析】根据逻辑或真假判断的真值表，p是假命题，又“pq”为真命题，进而可得q是真命题．【详解】解：命题“pq”和命题“非p”均为真命题，p为假命题，q为真命题，

故选B．【点睛】本题考查的知识点是复合命题的真假判断，熟练掌握复合命题真假判断的真值表是解答的关键．3.已知i为虚数单位，复数21iz=+，则||z=（）A.2B.2C.5D.22【答案】A【解析】【分析】对

复数21zi=+进行化简计算，然后根据复数的模长公式，得到答案.【详解】复数()()()2121111iziiii−===−++−，∴2z=，故选A．【点睛】本题考查复数的运算，求复数的模长，属于简单题.4.已知函数23xya−=+(0a且1a的图像恒过定点P，点

P在幂函数()yfx=的图像上，则3log(3)f=（）A.2−B.1−C.1D.2【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的图象与性质，求出定点P的坐标，再利用待定系数法求出幂函数()fx，从而求出3log(3)f的值．【详解】解：函数23xya−=+中，令2

0x−=，解得2x=，此时134y=+=，所以定点(2,4)P；设幂函数()ayfxx==，则24a=，解得2a=；所以2()fxx=，所以2(3)(3)9f==，33log(3)log92f==．故选D．【点睛】本题考查用待定系数法求幂函数解析式，以及指数函数的性质，是基

础题．5.已知将函数()cos4fxx=的图象向右平移()0个单位长度后所得的图象关于y轴对称，则的值可能为（）A.6B.3C.8D.4【答案】D【解析】【分析】先求出平移后的函数解析式，再结合图象关于y轴对称列出式子即可求解.【详解】将函数()cos4fxx=的

图象向右平移()0个单位长度后，得到()cos44yx=−的图象，由题意，得()4kk=Z，则()4kk=Z，取1k=，得4=.故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图象变换，属于基础题.6.在等差

数列na中，若981aa−，且它的前n项和nS有最小值，则当0nS时，n的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据已知条件得811520aaa=+，891160aaaa+=+，由等差数列前n

项和的公式，能求出0nS时，n的最小值．【详解】∵数列na是等差数列，它的前n项和nS有最小值∴公差0d，首项10a，na为递增数列∵981aa−∴8900aa，，890aa+由等差数列的性质知

：115820aaa+=，116890aaaa+=+.∵()12nnnaaS+=，15160,0SS∴当0nS时，n的最小值为16．故选C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，考查数列的函数特性．7

.函数()3cos1xfxx+=的部分图像大致是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由()()fxfx−=−得()fx为奇函数排除选项A，由函数值的变化趋势可以排除选项D，求特殊点的函数的正负可排除C，得到答案．【详解】函数()fx的定义域为()()00+，，−.()()()3c

os+13cos+1xxfxfxxx−−==−=−−,所以()fx为奇函数，故排除选项A.由当0x且0x→时，()fx→+，故排除选项D.由23034f=−，故排除选项C.故选：B【点睛】本题考查函数图象的

识别，关键是利用函数的奇偶性、函数值的变化趋势进行判断，属于基础题．8.若OAAB⊥，||1OA=，则()OAOAOB+=uuruuruuur（）A.2B.1C.−1D.0【答案】A【解析】【分析】由OAAB⊥可得0O

AAB=，可根据()ABAOOOAOAB=+求得1OAOB=，进而可求出()OAOAOB+uuruuruuur的值.【详解】OAAB⊥，||1OA=，2()||10OAOAOABAOAOOBAOB

OAOB=+=−+=−+=，1OAOB=，2()2OAOAOBOAOAOB+=+=.故选：A.【点睛】本题考查数量积的运算，考查垂直关系的向量表示，属于基础题.9.若1sin33−=，则cos23+=（）A.79−B.2

3C.23−D.79【答案】A【解析】【分析】本题首先可根据诱导公式得出1cos63+=，然后根据二倍角公式即可得出结果.【详解】因为1sincoscos32363−=−−=+=，所以22

17cos2cos22cos12133669+=+=+−=−=−，故选：A.【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角公式的应用，考查的公式有2sincosaa=−

、2cos22cos1aa=−，考查计算能力，是简单题.10.已知函数()2121xxfx−+＝，若不等式()()22120faamfa−−+−对任意的1,4a−均成立，则m的取值不可能是（）A.9B.8C.7D.6【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性定义和单调

性的性质可得到()fx的奇偶性和单调性，由此将恒成立的不等式化为241maa−+，通过求解241aa−+的最大值，可知()2max41maa−+，由此得到结果.【详解】()()11211221211212xxxxxxfxfx−−−−−−====−+++，()f

x是定义在R上的奇函数，又()212212121xxxfx+−==−++，21xy=+为增函数，221xy=+为减函数，()fx为增函数.由()()22120faamfa−−+−得：()()()221221faamfafa−−−−=−，222

1aama−−−，整理得：241maa−+，1,4a−，()()()22max4114116aa−+=−−−+=，6m，m的取值不可能是6.故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决

此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.11.如图所示，在长方体1111ABCDABC

D−，若ABBC=，E、F分别是1AB、1BC的中点，则下列结论中不成立的是（）A.EF与1BB垂直B.EF⊥平面11BDDBC.EF与1CD所成的角为45D.//EF平面1111DCBA【答案】C【解析】【分析】连接1AB、11AC、1AD，

则E为1AB的中点，可得11//EFAC，利用11AC与1BB，平面11BDDB，1CD，平面1111DCBA的关系可判断各选项．【详解】连接1AB、11AC、1AD，则E为1AB的中点，对于A选项，1BB⊥平面1111DCBA，1

1AC平面1111DCBA，111BBAC⊥，E、F分别为1AB、1BC的中点，则11//EFAC，1EFBB⊥，A选项正确；对于B选项，四边形1111DCBA为正方形，则1111ACBD⊥，又111ACBB⊥，1111BDBBB=，11AC⊥平面11BDDB，11//EFA

C，EF⊥平面11BDDB，B选项正确；对于C选项，易知11ACD为等腰三角形，11//EFAC，则EF与1CD所成的角为11ACD，∵2221111ADCDAC+，∴11ADC始终是锐角，而1111ACDCAD=，∴1145ACD=不可能成立．C选项错误；对于D选项，11//E

FAC，EF平面1111DCBA，11AC平面1111DCBA，//EF平面1111DCBA，D选项正确.故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查空间直线与直线，直线与平面的位置关系的判断．解题关键是掌握线

面垂直的判断定理与性质定理，线面平行的判定定理，掌握异面直线所成的角．本题考查了学生的空间想象能力．12.已知函数2()fxxa=−+，2()xgxxe=，若对于任意的2[1,1]x−，存在唯一的112[,]2x−，使得12()()fxgx=，则实数a的取值范围是（）A.（e，4）B

.（e14+，4]C.（e14+，4）D.（14，4]【答案】B【解析】【分析】结合导数和二次函数的性质可求出()fx和()gx的值域，结合已知条件可得[0e4[]a−,，1)4a−，从而可求出实数a的取值范

围.【详解】解：g（x）=x2ex的导函数为g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，当0x=时，()0gx=，由)1,0x−时，()0gx，(0,1x时，()0gx，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递

增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=e，所以对于任意的2[1,1]x−，2()[0,e]gx．因为2yxa=−+开口向下，对称轴为y轴，又10202−−−，所以当0x=时，max()fxa=，

当2x=时，min()4fxa=−，则函数2()fxxa=−+在[12−，2]上的值域为[a–4，a]，且函数f（x）在11[,]22−，图象关于y轴对称，在（12，2]上，函数()fx单调递减．由题意，得[0e4[]a−,，1)4a−，可得a–

4≤0<e<14a−，解得e14+a≤4．故选:B．【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是12()()fxgx=这一条件的转化.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.两个半径为1的

铁球，熔化成一个球，这个球的半径是_______．【答案】32【解析】【分析】等体积法【详解】334421=33R32R=【点睛】等体积法14.已知向量(2,1)ABx=−−，(,1)BCx=，若A，B，C三点共线，则实数x=_____.【答案】2x=或1x=−【解析】【

分析】由向量共线定理即可求得x的值.【详解】解：A，B，C三点共线，R，使ABBC=，21xx−=−=，解得：2x=或1x=−.故答案为：2x=或1x=−.15.在三棱柱111ABCABC−中，1AA⊥底面ABC，ABC是正三角形，若1223AAAB==

，则该三棱柱外接球的表面积为_______.【答案】16【解析】【分析】利用对称性可得到上下底面的中心连线的中点即为外接球的球心，然后在有关三角形中计算，求得球的半径，最后利用球的表面积公式计算即得.【详解】解：如图所示：取11,ACAC的中点,MN,两底面的中心分别为1

,GG,线段1GG的中点O即为该三棱柱的外接球的球心，连接OB.OB即为外接球的半径,RABC为正三角形，3AB=，2231332GBMBAB===,123AA=,223,2OGOBOGBG==+=,2O416SR==球,故答案为：16.【点睛】本题

考查几何体的外接球的表面积问题，关键是利用对称性找到球心的位置，属基础题.16.如图，在平面上作边长为1的正方形，以所作正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，再以新的正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，

如此这般的作正方形和等腰直角三角形，不断地持续下去，求前n个正方形与前n个等腰直角三角形的面积之和__________.【答案】51122nnS=−【解析】【分析】设第n个正方形的边长为na

，第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和为nS，得出1na+与na满足的递推公式，可知数列na为等比数列，并求出nS关于na的表达式，可得出数列nS也为等比数列，确定该数列的首项和公比，再利用比数列的和可求出结果.【详解】设依次所作的第n个正方形的边长为

na，第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和为nS，则第n个等腰直角三角形的腰长为22na，且11a=.第1n+个正方形的边长为122nnaa+=，122nnaa+=，2222125224nnnnSaaa=+=，222211112252

145224nnnnnnnnaSaaSaaa++++=====，且22115551444Sa===，所以数列nS是以54为首项，12为公比的等比数列.51(1)22nnS=−.三、解答题：

共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知数列na为递增的等差数列，其中35a=，且125,,aaa成等比数列.

（1）求na的通项公式；（2）设()()1111nnnbaa+=++记数列nb的前n项和为nT.【答案】（1）21nan=−；（2）4(1)nnTn=+.【解析】【分析】（1）由基本量法求得1a和d，然后可得通项公式；（2）由裂项相消法求和．【详解】（1）在等

差数列中，设公差为d≠0，由题意215235aaaa==，得()()21111425aadadad+=++=，解得112ad==.∴an＝a1+(n﹣1)d＝1+2(n﹣1)＝2n﹣1

；（2）由（1）知，an＝2n﹣1.则()()1111111122(1)41nnnbaannnn+===−++++，∴111111142231nTnn=−+−++−+111414(1)nnn

=−=++.【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法：设数列{}na是等差数列，{}nb是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列{}nnab的前n项和应用错位相减法；

（3）裂项相消法；数列1{}nnkaa+（k为常数，0na）的前n项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列{}nnpaqb+用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足mnm

aaA−+=（A为常数）的数列，需用倒序相加法求和．18.已如图所示，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，PAADa==.（1）求证：//MN平面PAD（2）求证：MN⊥平面PCD.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【

分析】（1）取CD的中点E，连接NE，ME，可证//NEPD，//EMDA，从而面//NEM面PDA，即可证明//MN平面PAD；（2）先证明MNCD⊥，由PMMC=，M、N分别是AB、PC的中点，可证MNPC⊥，CDPCC=，从而得证

．【详解】证明：（1）取CD的中点E，连接NE，ME，M、N分别是AB、PC的中点，//NEPD，//EMDA又NE面PDA，PD面PDA，所以//NE面PDA又ME面PDA，AD面PDA，所以//ME面PDA因为NEMEE=，,NEME面NEM面

//NEM面PDA，因为MN面NEM//MN平面PAD；（2）底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，CDPA⊥，CDAD⊥，PAADA=，AD平面PAD，PA平面PADCD\^平面PAD，PDQ平面PADC

DPD⊥，//ENPDENCD⊥又CDEM⊥，EMENE=CD\^平面ENMMNCD⊥2222221()2PMPAAMaABBCMBMC=+=+=+=，M、N分别是AB、PC的中点，MNPC⊥，CDPCC=，,CDPC面PCDMN⊥平面PCD．【点睛】本题考查了空间几何体的线面

位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键19.已知a，b，c分别为ABC内角A，B

，C的对边，若ABC同时满足下列四个条件中的三个：①2633()baaccab−+=+；②2cos22cos12AA+=；③6a=；④22b=.（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组

，并求对应ABC的面积.（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）【答案】（1）①，③，④或②，③，④；（2）3.【解析】【分析】（1）由①可求得cosB的值，由②可求出角A的值，结合题意得出AB+，推出矛盾，可得出①②不能同时成为ABC的条件，由此可

得出结论；（2）在符合条件的两组三角形中利用余弦定理和正弦定理求出对应的边和角，然后利用三角形的面积公式可求出ABC的面积.【详解】（1）由①()2633baaccab−+=+得，()222326acbac+−=−，所以2226cos23acbBac+−==−，由②2cos22cos

12AA+=得，22coscos10AA+−=，解得1cos2A=或cos1A=−（舍），所以3A=，因为61cos32B=−−，且()0,B，所以23B，所以AB+，矛盾.所以ABC不能同时满足①，②.故ABC满足①，③

，④或②，③，④；（2）若ABC满足①，③，④，因为2222cosbacacB=+−，所以2686263cc=++，即2420cc+−=.解得62c=−.所以ABC的面积1sin322SacB==−.若ABC满足②，③，④由

正弦定理sinsinabAB=，即622sin32B=，解得sin1B=，所以2c=，所以ABC的面积1sin32SbcA==.【点睛】本题考查三角形能否成立的判断，同时也考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形面积的计算，

要结合三角形已知元素类型合理选择正弦定理或余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.20.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，线段11BD上有两个动点E，F，且22EF=.（1）若P为1AA上的一点，则P到平面BEF的距离.（2）求三棱锥EABF−的体积

.【答案】（1）22；（2）112.【解析】【分析】（1）由1//AA平面11BBDD，可得P到平面BEF的距离等于1A到平面BEF的距离，而由正方体性质知1A到平面BEF的距离等于1A到11BD的距离，由此即得．（2）利用等体积法计算即

可.【详解】解：（1）11//AABB，1AA平面11BBDD，1BB平面11BBDD，1//AA平面11BBDD，即1//AA平面BEF，又正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，1A到平面BEF的距离为1A到11BD的距离22，若P为1AA上

的一点，则P到平面BEF的距离为22，（2）1221224BEFS==，由（1）知A到平面BEF的距离等于1A到平面BEF的距离为22，122134212EABFABEFVV−−===.【点睛】关键点点睛：本题考查点到平面的距离，考

查求棱锥的体积．掌握如下定理是求点面距离的常用方法：//a，则直线a上所有点到平面的距离相等．求棱锥的体积常用用到换底法，换成高易求的面为底．然后由体积公式计算即得．21.已知函数()212ln2fxxaxx=−+，aR.（1）讨论()fx的单调性；（2

）若()fx有两个极值点1x、()212xxx，求()()212fxfx−的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）13,ln222−+.【解析】【分析】（1）求出函数()yfx=的定义域和导数，对实数a的取值进行分类讨论，利用导数分析导函数()yfx=的符号变化，

由此可得出函数()yfx=的单调递增区间和递减区间；（2）由（1）可知1x、2x是关于x的二次方程2210xax−+=的两根，利用韦达定理可将()()212fxfx−表示为以2x为自变量的函数，换元2

21tx=，可得出()()211132ln122fxfxttt−=−+++，令()113ln122gtttt=−+++，利用导数求出函数()ygt=在()1,t+上的值域，由此可得解.【详解】（1）函数()212ln2fxxaxx=−+的定义域为()0

,+，()21212xaxfxxaxx−+=−+=，令221yxax=−+.当2440a=−，即11a−时，0y≥，则()0fx对任意的0x恒成立，此时函数()yfx=在()0,+上单调递增；当1a−时，()0fx对任意的0x恒成立，

此时函数()yfx=在()0,+上单调递增；当1a时，2210xax−+=有两个正根，分别为211xaa=−−，221xaa=+−，当10xx或2xx时，()0fx；当12xxx时，()0fx

.此时函数()yfx=在()10,x，()2,x+上单调递增，在()12,xx上单调递减.综上可得：当1a时，函数()yfx=的单调递增区间是()0,+，无递减区间；当1a时，函数()yfx=的单调递增区间是()20,

1aa−−，()21,aa+−+，单调递减区间是()221,1aaaa−−+−；（2）由（1）可知1x、2x是关于x的二次方程2210xax−+=的两根，由韦达定理可得122xxa+=，121xx=，1

a，21121axx=+，22221axx=+，1aQ，()10,1x，()21,x+，()()22212221111122ln22ln22fxfxxaxxxaxx−=−+−−+2221211ln

2ln12xxxx=−++−+2222222222211111ln2ln13ln122xxxxxxx=−++−+=−+++，令22tx=，则1t，设()113ln122gtttt=−+++

，()()()222212113322222ttttgttttt−−−−+−=−−+==，当12t时，()0gt，当2t时，()0gt.所以，函数()ygt=在()1,2单调递增，在()2,+单调递减，()()max132ln222gtg

==+，因此，()()212fxfx−的取值范围是13,ln222−+.【点睛】本题考查利用导数求解含参函数的单调区间，同时也考查了利用导数求解代数式的取值范围，考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题.22.在平面直角坐标系xOy中，射线l：3yx=(x≥0)

，曲线C1的参数方程为3cos2sinxy==（为参数），曲线C2的方程为22(2)4xy+−=；以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为8sin=．（1）写

出射线l的极坐标方程以及曲线C1的普通方程；（2）已知射线l与C2交于O，M，与C3交于O，N，求MN的值．【答案】（1）:(0)3l=，221:194xyC+=（2）23MN=【解析】【分析】（1）根据直线极坐标方程的形式可得射线():03l=，消去曲线1C参数方程

中的参数可得普通方程；（2）将圆的普通方程化为极坐标方程，设点,MN对应的极径分别为12,，然后根据12MN=−求解可得所求．【详解】（1）依题意，因为射线():30lyxx=，故射线():03l=消去方程

32xcosysin==中的参数可得22194xy+=，所以曲线1C的普通方程为：22194xy+=．（2）曲线2C的方程为()2224xy+−=，即2240xyy+−=，把222,sinxy

y+==代入上式可得曲线2C的极坐标方程为4sin=，设点,MN对应的极径分别为12,，则12=4sin8sin2333MN=−−=．【点睛】本题考查参数方程和极坐标方程，解题的关键是根据各种方程间的关系进行求解，同时还要注意在

极坐标方程中用极径求弦长的方法，属于基础题．23.已知()12fxxx=++−.（1）求不等式()4fxx+的解集；（2）若()fx的最小值为m，正实数a，b，c满足abcm++=，求证：111++2mabbcca+++.【答案】（1）1,5−；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1

）利用分类讨论法解绝对值不等式；（2）先求出3m=，再利用基本不等式证明不等式.【详解】解：（1）21,(1)()123,(12)21,(2)xxfxxxxxx−+−=++−=−−当1

x−时，由214xx−++，得1x−，此时()4fxx+无解；当12x−时，由34x+，得1x−，此时()4fxx+的解为12x−；当2x时，由214xx−+，解得5x，此时()4fxx+的解为25x

.综上，不等式()4fxx+的解集为1,5−；证明：（2）∵()()12123xxxx++−+−−=，故()fx的最小值为3m=，∴3abc++=.∵111()()()abbccaabbcca++++++++++，3313()()()39(

)()()abbccaabbcca+++=+++，等号当且仅当abbcca+=+=+，即abc==时等号成立.∵3abc++=，∴11169abbcca+++++，∴11132abbcca+++

++，即1112mabbcca+++++.【点睛】方法点睛：证明不等式常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）放缩法；（5）数学归纳法；（6）反证法.本题主要运用了综合法.