【文档说明】新疆和田地区策勒县2022-2023学年高二上学期期中数学试题 含解析.docx，共(17)页，777.409 KB，由小赞的店铺上传

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2022~2023学年度第一学期和田地区策勒县期中教学情况调研高二数学2022.11注意事项：1.本试卷包含选择题和非选择题两部分．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．本次考试时间为120分钟，满分值为150分．

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号（考试号）用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B铅笔将对应的数字标号涂黑．3.答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签

字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置答题一律无效．一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若A（1，2），B（3，5），C（5，m）三点共线，则m=A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】【分析】根据两点

间斜率公式，表示出kAB、kAC，由共线条件可知斜率相等，进而求得m的值．【详解】kAB=523312−=−，kAC=22514mm−−=−．∵A（1，2），B（3，5），C（5，m）三点共线，∴3224m−=．解得

m=8．故选C．【点睛】本题考查了利用两点求直线的斜率，属于基础题．2.等差数列{}na前n项和为nS，117a=，810=SS，则公差(d=)A.4−B.2−C.2D.4【答案】B【解析】【分析】由已知结合等差数列的通项公式

即可直接求解公差d．【详解】解：因为117a=，810=SS，所以9100aa+=，即217170d+=，解可得2d=−．故选：B．【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础题．3.椭圆的长轴长为5，焦距为3，则它的短轴长等于A.2B.2C.3D.4【答案】D【解

析】【分析】根据椭圆定义及a、b、c的关系，求得b，进而得到短轴长．【详解】因为25a=，23c=，所以52a=，32c=，所以2222253422bac=−=−=，即2b=，所以该椭圆的短轴长为4．故选D．【点睛】本题考查了椭圆方程中a、b

、c的关系，属于基础题．4.若直线10axya−−+=与直线330xaya−+−=平行，则实数a的值为（）A.0B.－1C.1D.－1或1【答案】B【解析】【分析】结合已知条件利用直线平行关系求解即可.【详解】因为直线10axya−−

+=与直线330xaya−+−=平行，所以()(1)10aa−−−=，解得1a=，当1a=时，易知两条直线重合，不符合题意；当1a=−时，符合题意.综上所述，实数a的值为1−.故选：B.的5.过点(2,0)−且在两坐标轴上的截距之差为3的直线方程是（）A.12xy+=−B.125xy

+=−−C.121xy+=−−D.12xy+=−或125xy+=−−【答案】D【解析】【分析】由于直线过点(2,0)−，所以直线在x轴上截距为2−，结合题意，即可求出直线在y轴上的截距为1或5−，最后根据直线的截距式方程，即可求出直线方程.【详解】解：由题可知，直线过点(2,0)−，

所以直线在x轴上的截距为2−，又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在y轴上的截距为1或5−，则所求直线方程为12xy+=−或125xy+=−−．故选：D.【点睛】本题考查直线的截距式方程的求法，属于基础题.6.已知双曲线22221(0,0)yxabab−=的一条

渐近线过点()3,2，且双曲线的一个焦点在抛物线247xy=的准线上，则双曲线的方程为（）A.2212128yx−=B.2212821xy−=C.22143xy−=D.22143yx−=【答案】D【解析】【分析

】根据题意列出,,abc满足的等量关系式，求解即可.【详解】因为()3,2在双曲线22221(0,0)yxabab−=的一条渐近线ayxb=上，故可得32ab=；因为抛物线247xy=的准线为7y=

−，故7c−=−，的又222abc+=；解得224,3ab==，故双曲线方程为：22143yx−=.故选：D.7.过双曲线22:13yMx−=的左焦点F作圆221:(3)2Cxy+−=的切线，此切线与M的左支、右支分别交于A，B两点，则线段AB的中点到x轴的距离为（）A.2B.3C.4D

.5【答案】B【解析】【分析】根据直线与圆的关系可得直线方程，然后联立双曲线方程，利用韦达定理法可得中点的纵坐标，即得.【详解】由题可得()2,0F−，可设直线为(2)ykx=+，由221:(3)2Cxy

+−=，可知圆心为()0,3C，半径为22，所以2|23|221kk−=+，解得1k=或177k=，当177k=时，不与双曲线右支相交，故舍去，所以直线方程为2yx=+，由22213yxyx=+−=，消元得2212

90yy−+=，所以6AByy+=，即中点的纵坐标为3，所以线段AB的中点到x轴的距离为3.故选：B.8.已知圆C：()()22111xy−+−=，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且2AM=，则点A的轨迹方程是（）A.24

yx=B.222230xyxy+−−−=C.22230xyy+−−=D.24yx=−【答案】B【解析】【分析】依题意可得5AC=，设(),Axy，根据平面直角坐标系上两点的距离公式得到方程，即可得解；【详解】解：因为圆C：()()22111xy−+−=，所以圆心()

1,1C，半径1r=，因为点M是圆上的动点，所以1MC=，又AM与圆相切，且2AM=，则225ACMCAM=+=，设(),Axy，则()()22115xy−+−=，即222230xyxy+−−−=，所以点A的轨迹方程为222230x

yxy+−−−=；故选：B二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.过点()2,3，并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（）A.50xy+−=B.320xy−=C.10xy−+=D.

32120xy+−=【答案】ABC【解析】【分析】设所求直线横、纵截距分别为a，b，分别讨论0ab==，32yx=，当0a且0b时，解方程组231abab+==求出,ab的值即可得所求直线的方程，进而可得正确选项.【

详解】设所求直线在x，y轴上的截距分别为a，b，当0ab==时，过点()2,3的直线为32yx=即320xy−=，当0a且0b时，设直线的方程为1xyab+=，则231abab+==，可得55ab==或11ab=−

=，此时直线方程为155xy+=或1xy−+=即50xy+−=或10xy−+=，综上所述：所求直线的方程为：50xy+−=或10xy−+=或320xy−=，故选：ABC.10.已知抛物线C：214yx=的焦点为F，P为C上一点，下列说法正确的是（）A.C的准线方程为116y=−B.直线1yx

=−与C相切C.若()0,4M，则PM的最小值为23D.若()3,5M，则PMF△的周长的最小值为11【答案】BCD【解析】【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A，联立直线与

抛物线方程，消元，由Δ0=判断B，设点(),Pxy，表示出2PM，根据二次函数的性质判断C，根据抛物线的定义转化求出PMF△的周长的最小值，即可判断D.【详解】解：抛物线C：214yx=，即24xy=，所以焦点坐标为()0,1F，准线方程为1

y=−，故A错误；由2141yxyx==−，即2440xx−+=，解得()24440=−−=，所以直线1yx=−与C相切，故B正确；设点(),Pxy，所以()()22222441621212xPyyyyM=+−=−+=−+，所以min23PM=，故C正确；如图过点P作

PN^准线，交于点N，NPPF=，()223515MF=+−=，所以5611PFMCMFMPPFMFMPPNMFMN=++=+++=+=，当且仅当M、P、N三点共线时取等号，故D正确；故选：BCD11.将一个椭

圆绕其对称中心旋转90，若所得椭圆两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”.下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是（）A.22184xy+=B.22135xy+=C.22163xy+=D.22169xy+=【答案】AC【解析】【分析】根据对偶椭圆的定义求出,ab，再根据

关系逐一判断即可.【详解】由题意，根据对偶椭圆定义，在椭圆标准方程中，bc=，则22222abcb=+=，A，28a=，24b=，222ab=，是对偶椭圆；B，25a=，23b=，不满足222ab=，不是对偶椭圆；C，26a=，2

3b=，满足222ab=，是对偶椭圆；D，29a=，26b=，不满足222ab=，不是对偶椭圆．故选：AC12.已知圆222:22(1)2230()CxymxmymmmR++−+++−=上存在两个点到点

(0,1)A−的距离为4，则m的可能的值为A.1B.1−C.3−D.5−【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，圆()()222:12Cxmym++−+=与圆()222:14Axy++=相交，再由两圆圆心距大于两圆半径之

差，小于两圆半径之和，列出不等式，解得即可.【详解】由题知，圆()()222:12Cxmym++−+=与圆()222:14Axy++=相交，的所以，4242CA−+，即()()222116mm++−−，解得()()

171,20,171m−−−−，即m的值可以为：1或3−或5−.故选：ACD.【点睛】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为两圆相交，属于基础题.三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13.若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则

满足△ABF1为等边三角形的椭圆的离心率是________.【答案】32【解析】【分析】根据题意用,,abc表示出等边三角形1ABF的边长和高，利用长度关系，构造出关于,,abc的等式，然后利用222abc=+，得到,ac关系，求出离心率.【详

解】由题意，等边1ABF的边为2b，高为c，所以3=cb即()222233cbac==−即23ca=所以离心率32cea==【点睛】本题考查椭圆中的几何关系，构造,,abc等式，求离心率，属于简单题.14.已知等差数列na的公差为3，若13

4,,aaa成等比数列，则2a=____.【答案】9−【解析】【分析】由题意得()()211169aaa+=+,即1a=-12,即可得出结论.【详解】解:等差数列na的公差为3，若134,,aaa成等比数列,()()211169aaa+=+.1a=-12

,2a=-9,故答案为:-9.【点睛】本题考查等差数列的通项,涉及等比中项的应用,属中档题.15.在ABC中，3AB=，2AC=，60BAC=，AD平分BAC交BC于点D，则ACD的面积为______．【答案】335【解析】【分析】根据三角形的面积公式

及角平分线即可求解.【详解】由题意得133sin22ABCSABACBAC==△，则1sin3212sin2ABDACDABADBADSABSACACADCAD===△△，所以23355ACDABCSS==△△．故答案为：335.1

6.已知抛物线24yx=的焦点为F，在抛物线上任取一点P，则P到直线3yx=+的最短距离为__________，P到y轴的距离与到直线3yx=+的距离之和的最小值为_______.【答案】①.2②.221−【解析】【分析】先设点()00,Pxy，再根据点到线的距离公式即可得得()00,Px

y到直线3yx=+的距离d为0032xyd−+=，再结合2004yx=和二次函数性质即可求得最小值为2；由于P到y轴的距离等于1PAPF=−，故P到y轴的距离与到直线3yx=+的距离之和为：1dPF+−，再根据图象即可得最小值.【详解

】解：设点()00,Pxy，则满足2004yx=，由点到直线的距离公式得()00,Pxy到直线3yx=+的距离d为：()2220000000244232434422222yyyyyxyd−−++−++−+====，当且仅当02y=，01x=时等号成立

；根据抛物线的定义知，P到y轴的距离等于1PAPF=−，所以P到y轴的距离PA与到直线3yx=+的距离d之和为：1dPF+−过点F作直线3yx=+的垂线，垂足为H，则103222PH−+==.如图，根据图象得：11221dPFPH+−

−=−，当且仅当,,PFH三点共线时等号成立；故P到y轴的距离与到直线3yx=+的距离之和的最小值为：221−.故答案为：2；221−【点睛】本题考查抛物线上的点到直线的距离的最值与抛物线的概念，考查化归转化思想和运算能力，是中档题.四、解答题；本题共6个小

题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知数列na是公差不为零的等差数列，且23a=，又458,,aaa成等比数列（I）求数列na的通项公式；（II）设nS为数列na的前n项和，求使nnaS=成立的所有n的值.【答案】（I）27nan=−+；（II）1n

=或7n=【解析】【分析】（I）由2548aaa=可得关于d的方程，解方程求得d，根据等差数列通项公式求得结果；（II）根据等差数列求和公式求得nS，利用nnaS=得到关于n的方程，解方程求得结果.【详解】（I）458,,aaa成等比数列2548aaa=

设等差数列na的公差为d，则()()()2222326adadad+=++即：()()()2333236ddd+=++，整理得：220dd+=0d2d=−()()2232227naandnn=+−=−−=−+（II）由题

意得：()()12227622nnnaanadnSnn+−−+===−+nnaS=2627nnn−+=−+解得：1n=或7n=【点睛】本题考查等差数列通项公式、前n项和公式的应用，关键是能够根据已知中的等比关

系求得等差数列的基本量，从而利用公式求得通项，并得到前n项和，考查学生对于基础公式的应用.18.已知直线l：y=x+m，m∈R.若以点M（2,0）为圆心圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程.【答案】2(2)8xy−+=【解析】【分析】根据圆M与直线L相切，求出P的坐标，然后根据两点

间距离公式求出圆的半径，进而求得圆的方程.【详解】解：依题意，点P的坐标为（0，m），因为，所以，解得m=2，即点P的坐标为（0，2）从而圆的半径故所求圆的方程为.【点睛】本题主要考查圆与圆的方程，由圆M

与直线L相切，求出P的坐标是解题的关键，注意运算准确.19.已知点(2,1)M−，直线:330laxy−+=，圆22:2430Cxyxy++−+=.（1）若连接点M与圆心C的直线与直线l垂直，求实数a的值；的（2）若直线l与圆C相交于,AB两点，且弦AB的长为41010，求实数a的值．【

答案】（1）3（2）实数a的值为1和9【解析】【分析】（1）由直线垂直，斜率乘积为1−可得a值；（2）求出加以到直线l的距离，由勾股定理求弦长，从而可得参数值．【小问1详解】圆()22:1)22Cxy+

+−=（，(12C−，），1MCk=−，3lak=，lMC⊥，()113a−=−，3a=【小问2详解】圆C半径为2，设圆心C到直线AB的距离为d，则222210822105ABdr=−=−=又由点到直线距离公式得：2263399aadaa−−++==+

+23859aa+=+化简得：21090aa−+=，解得：1a=或9a=所以实数a的值为1和9.20.已知△ABC的三个顶点分别为A(0，4)，B(－2，6)，C(－8，0)．（1）求边AC和AB所在直线的方程；（2）求AC边上的中线BD所在直线的方程；（3）求AC边上的中

垂线的方程．【答案】（1）直线AC：280xy−+=，直线AB：40xy+−=（2）2x－y＋10＝0（3）2x＋y＋6＝0【解析】【分析】（1）由截距式写出直线AC方程并整理，求出AB斜率，用斜截式写出方程后整理；（2）求出中点D的坐标，由两点式得直线方程并

整理；（3）再求出直线AC的斜率，得中垂线斜率，写出点斜式方程并整理．【小问1详解】解：由已知直线AC方程为184xy+=−，即280xy−+=，64120ABk−==−−−，直线AB方程为4yx=−+，即40xy+

−=；【小问2详解】由已知8042Dx−+==−，4022Dy+==，即(4,2)D−，所以中线BD方程为246224yx−+=−−+，整理得2100xy−+=；【小问3详解】041802ACk−==−−，所以AC边中垂

线斜率为2−，中垂线方程为22(4)yx−=−+，即260xy++=．21.过点P(-4,0)的动直线l与抛物线2:2(0)Cxpyp=相交于D、E两点，已知当l的斜率为12时，4PEPD=.（1）求抛物线C的方程；（2）设DE的中垂线在y轴上的截距为b,求b

的取值范围.【答案】()124xy=；()22b【解析】【分析】()1根据题意,求出直线方程并与抛物线方程联立,利用韦达定理,结合4PEPD=,即可求出抛物线C的方程；()2设():4lykx=+，DE的中点为()00,xy，

把直线l方程与抛物线方程联立,利用判别式求出k的取值范围,利用韦达定理求出0x,进而求出DE的中垂线方程,即可求得在y轴上的截距b的表达式,然后根据k的取值范围求解即可.【详解】()1由题意可知,直线l的方程为()142yx=+,与抛物线方程2:

2(0)Cxpyp=方程联立可得,()22880ypy−++=,设()()1122,,,DxyExy,由韦达定理可得,12128,42pyyyy++==,因为4PEPD=,()()22114,,4,PExyPDxy=+=+,所以214yy=,解得121,

4,2yyp===,所以抛物线C的方程为24xy=;()2设():4lykx=+,DE的中点为()00,xy,由()244xyykx==+,消去y可得24160xkxk−−=,所以判别式216640kk=

+,解得4k−或0k,由韦达定理可得,()20002,4242DExxxkykxkk+===+=+,所以DE的中垂线方程为()21242ykkxkk−−=−−,令0x=则b=()2224221ykkk=++=+,因4k−或0k,所以2b即为所求.【点睛】本题考查抛

物线的标准方程和直线与抛物线的位置关系,考查向量知识的运用;考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力;属于中档题.22.已知椭圆2222:1xyCab+=()0,0ab的焦点在x轴上，右焦点为F，且经过点F且与x轴垂直的直线交椭圆于

点31,2E，左顶点为D.（1）求椭圆C的离心率和DEF的面积；（2）已知直线1ykx=+与椭圆C交于A，B两点，过点B作直线3y=的垂线，垂足为G，判断直线AG是否过定点？若是，求出该定点：若不是，请说明理由．【答案】

（1）12，94（2）存在直线AG是否过定点，定点()0,2【解析】【分析】（1）由题意得到1c=，又由椭圆C经过点31,2E，求得a的值，得出椭圆的方程，结合离心率的定义求得离心率e，进而求得DEF的面积；为（2）联立方程组22114

3ykxxy=++=，求得12122288,4343kxxxxkk−−+==++，设点2(,3)Gx，得出AG的方程，令0x=，化简得到1212123xxkxxyxx−−=−，根据1212kxxxx=+，求得2y=，即可得到答案.【小问1详

解】解：由题意，经过右焦点F且与x轴垂直的直线交椭圆于点31,2E，可得1c=，则22221baca=−=−，可得椭圆2222:11xyCaa+=−则221314(1)aa+=−，解得24a=，即椭圆22:143xyC+=，所以椭圆C的离心率为12cea==，又由左顶点为

D，右焦点为F，所以(2,0),(1,0)DF−，所以DEF的面积为113932224ESDFy===.【小问2详解】解：设过点B作直线3y=的垂线的方程为xt=，由点(2,0)D−，31,2E，可得直线DE的方程为112yx=+，当3(2,0),(1,

),(1,)2ABGt−时，直线AG的方程为(2)3tyx=+，交y轴于点2(0,)3t，当3(1,),(2,0),(2,)2ABGt−−时，直线AG的方程为332(1)23tyx−−=−−，此时交y轴于点3(0,)3t+，若

直线AG经过y轴上的定点，则2333tt+=，解得3t=，直线AG交y轴于(0,2)点，下面证明存在实数3t=，使得直线AG经过y轴上定点(0,2)，联立方程组221143ykxxy=++=，整理得22(43)880kxkx++−=，设1122(,),(,)AxyBxy，则

12122288,4343kxxxxkk−−+==++，设点2(,3)Gx，所以AG的方程为121233()yyxxxx−−=−−，令0x=，可得212121121121212121212333(1)33xyxxxyxxk

xxxkxxyxxxxxxxx−−−−+−−=+===−−−−，因为1212kxxxx=+，所以12121212123()222xxxxxxyxxxx−−+−===−−，所以直线AG经过定点(0,2)，综上可得，存在实数3t=，使得直线AG经过y轴上定点(0,

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