【文档说明】江苏省南京市中华中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题 含解析.docx，共(22)页，1.321 MB，由小赞的店铺上传

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南京市中华中学2021-2022学年第二学期期中考试试题高二数学考试时间:120分钟满分:150分一、选择题:共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知

集合03Axx=，2|43Bxx=，则AB=（）A.233xxB.2|43xxC.04xxD.03xx【答案】A【解析】【分析】在数轴上分别作出集合A，集合B，再由交集的概念取相交部分.【详解】因为03Axx=，2|

43Bxx=，所以2|33ABxx=．故答案为：A.2.十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数2n，关于x，y，z的方程nnnxyz+=没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德

鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（）A.对任意正整数n，关于x，y，z的方程nnnxyz+=都没有正整数解B.对任意正整数2n，关于x，y，z的方程nnnxyz+=至少存在一组正整数解C.存在正整数2n，关于x

，y，z的方程nnnxyz+=至少存在一组正整数解D.存在正整数2n，关于x，y，z的方程nnnxyz+=至少存在一组正整数解【答案】D【解析】【分析】根据命题的否定形式，直接写出命题的否定即可【详解】命题的否定形式为，原命题的题设不变，结论改否定

；故只有D满足题意；故选：D3.曲线23ln2xyx=−的斜率为－2的切线方程为（）A.250xy+−=B.4250xy+−=C.250xy++=D.4250xy++=【答案】B【解析】【分析】利用导数的几何意义

，即得.详解】∵23ln,02xyxx=−，∴3yxx=−，由32yxx=−=−，可得1x=，3x=−（舍去）当1x=时，12y=，∴曲线23ln2xyx=−的斜率为－2的切线方程为()1212yx−=−−，即4250xy+−=.故选：B.4.若命题“

()21,3,2130aaxaxa−−−+−”为假命题，则实数x的取值范围为（）A.1,4−B.50,3C.51,0,43−D.)51,0,43−【答案】

C【解析】【分析】等价于“()21,3,2130aaxaxa−−−+−”为真命题．令2()(21)30gaxxax=−−++，解不等式(1)0(3)0gg−即得解.详解】解：命题“()21

,3,2130aaxaxa−−−+−”为假命题，其否定为真命题，即“()21,3,2130aaxaxa−−−+−”为真命题．令22()23(21)30gaaxaxxaxxax=−++−=−−++，则(1)0(3)0gg−，即223403

50xxxx−++−，【【解得14503xxx−或，所以实数x的取值范围为51,0,43−.故选：C5.关于空间向量，以下说法不正确的是（）A.若两个不同平面α，β的法向

量分别是u，，且()()122212n=−=，，，，，，则⊥B.若直线l方向向量为()103e=，，，平面α的法向量为2203n=−，，，则直线l//αC若对空间中任意一点O，有1114

42OPOAOBOC=++，则P，A，B，C四点共面D.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线【答案】B【解析】【分析】由面面垂直的向量表示可判断A；由线面平行的向量表示可判断B；根据向量共线定理，可判断C；由空间向量基底的表示可判断D.【详

解】对于A，()22220u=++−=，所以u⊥，A正确；对于B，2020en=−++=，所以en⊥，B错误对于C，对空间中任意一点O，有111442OPOAOBOC=++，满足1111442++=，则P，A，B，C四点共面，可知C正确；对于D，两个非零向量与任何一个

向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，所以D正确.故选：B.6.如图，在三棱柱111ABCABC-中，侧棱垂直于底面，ABBC⊥，ABBC=，22AC=，12AA=，点E为11AC的中点，点F在BC的延长线上且14CFBC=，则异面直线BE与

1CF所成角的余弦值为（）的.A.32B.12−C.32−D.12【答案】D【解析】【分析】以B为坐标原点，BC，BA，1BB所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法，根据111cos,BECFBECFBECF=即可求出答案.【详解

】在三棱柱111ABCABC-中，因为侧棱垂直于底面，且ABBC⊥，所以以B为坐标原点，BC，BA，1BB所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由ABBC=，22AC=，12AA

=，得2ABBC==，所以(0,0,0)B，(2,0,0)C，1(0,2,2)A，1(2,02)C，(1,1,2)E．由14CFBC=，得11(2,0,0),0,042CF==，所以11CFCCCF=+=11(0,0,2),0,0,0,222−+

=−，(1,1,2)BE=，所以异面直线BE与1CF所成角的余弦值为111132122cos,321424BECFBECFBECF−====+．故选：D．7.在()*Nnn次独立重复试验中，每次试验的结果只有A，B，C三种，且A，B，C三个事件之间两两互斥.

已知在每一次试验中，事件A，B发生的概率均为25，则事件A，B，C发生次数的方差之比为（）A.5：5：4B.4：4：3C.3：3：2D.2：2：1【答案】C【解析】【分析】事件A，B，C发生次数均服从二项分布，然后分别求出二项分布，再分别计算二项分布的方差即可【

详解】根据,,ABC事件的互斥性可得：每一次试验中，事件C发生的概率为15设事件A，B，C发生的次数为分别随机变量,,XYZ，则有：2~,5XBn2~,5YBn1~,5ZBn则事件A，B，C发生

次数的方差分别为：625n，625n，425n故事件A，B，C发生次数的方差之比为：3:3:2故选：C8.袋中有5个球，其中红、黄、蓝、白、黑球各一个，甲、乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件:A甲

和乙至少一人摸到红球，事件:B甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率()PBA=（）A.925B.25C.45D.89【答案】D【解析】【分析】求出()PAB和()PA的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知

，事件:AB甲、乙只有一人摸到红球，则()1242CA85525PAB==，()2491525PA=−=，因此，()()()82582599PABPBAPA===.故选：D.二、多选题:本题共4小题，每小题

5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱B.将一组数据中的

每个数据都乘2022后，方差也变为原来的2022倍C.已知回归模型为221yxx=++，则样本点()1,3的残差为1−D.对于独立性检验，随机变量2K的观测值k值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大【答案】CD【解析】【分析】根据相关系数

、方差的性质、残差的计算以及独立性检验的计算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故A错误；对B：将一组数据中的每个数据都乘2022后，方差变为原来的22022倍，故B错误；对C

：当1x=时，1214y=++=，所以样本点()1,3的残差为341−=−，故C正确；对D：对于独立性检验，随机变量2K的观测值k值越小，则“两变量有关系”的把握程度越小，则判定“两变量有关系”犯错误的概率

越大，故D正确.故选：CD．10.《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，

且ACa=，BCb=，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E.则该图形可以完成的所有的无字证明为（）A.()002ababab+，B.()22200ababab+，C.()10011

ababab+，D.()220022ababab++=，【答案】AC【解析】【分析】结合图形和基本不等式可得答案.【详解】,2+=+===abABabOAOBOD，由射影定理可知，2CDACBCab==，所以CDab=；在RtO

CD中，ODCD，当且仅当ODAB⊥时取等；所以A正确；在RtOCD中，2CDDEOD=，所以222112CDababDEabODabab====+++，由于CDDE，所以111abab+，所以C正确.故选

：AC.11.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以12AA，和3A表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则（）A.()922PB=B.()15|

11PBA=C.事件B与事件1A相互独立D.123AAA，，是两两互斥的事件【答案】ABD【解析】【分析】根据每次取一球，易得1A，2A，3A是两两互斥的事件，求得()()()123,,PAPAPA，然后由条件概率求得1()

PBA，123()()()()PBPBAPBAPBA=++，再逐项判断.【详解】解：因为每次取一球，所以1A，2A，3A是两两互斥的事件，故D正确；因为()()()123523,,101010PAPAPA===，所以11155()

51011()5()1110PBAPBAPA===，故B正确；同理3223232434()()4410111011(),()23()11()111010PBAPBAPBAPBAPAPA======，所以1235524349()

()()()10111011101122PBPBAPBAPBA=++=++=，故A正确；由于()()115559()10111022PBAPBPA==，故事件B与事件1A不相互独立，故C错误.故选：ABD12.如图，已知

四棱锥PABCD−的底面ABCD是直角梯形，,4ADBCAD=∥，90ABC=，PA⊥平面ABCD，2PAABBC===，下列说法正确的是（）A.PB与CD所成的角是60B.平面PCD与平面PBA所成的锐二面角余弦值是63C.PB与平面PCD所成的角的

正弦值是36D.M是线段PC上动点，N为AD中点，则点P到平面BMN距离最大值为433【答案】AC【解析】【分析】由题意，建立空间直角坐标系，利用向量处理问题，结合相关的夹角公式与点到面的距离公式运算求解，注意线上动点的向量设法.【详解】由

题意，以A为原点，以,,ABADAP所在的直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,4,0),(0,0,2)ABCDP，对于A中，可得(2,0,2),(2,2,0)BPCD

=−=−，所以41cos,22222BPCDBPCDBPCD===，所以BP与CD的夹角的余弦值为12，即夹角为60，所以A正确；对于B中，由平面PAB的法向量为(0,1,0)m=，又由(2,2,2),(2,

2,0)PCCD=−=−，设平面PCD的法向量为(,,)nxyz=，则2220220xyzxy+−=−+=，令1x=，可得1,2yz==，所以(1,1,2)n=，所以6cos,6mnmnmn==，所以平面PCD与平面PB

A所成的锐二面角余弦值是66，B错误.对于C中，由23cos,6226BPnBPnBPn===，所以PB与平面PCD所成的角的正弦值是36，C正确；对于D中，(0,2,0)N设,0,1PMPC=，则(

)2,2,22M−∴(2,2,0),(22,2,22)BNBM=−=−−设平面BMN的法向量为(,,)pxyz=，则()()220222220xyxyz−+=−++−=，令1x=−，则1,21yz=−=−，即(1,1,21)p=−−−∵(2,0,2)B

P=−∴点P到平面BMN距离为222268311386BPpdp===−+−+当0=时，则点M为点P∴点P到平面BMN距离为0当(0,1时，则)11,+∴2112386,3−++

，则(0,6d综上所述：点P到平面BMN距离取值范围为0,6，即最大值为6，D错误故选：AC.三．填空题:本题共4小题，每小题5分，共计20分.13.已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N，()40.84P=，则(0)P=_______.【答案

】0.16##425【解析】【分析】利用正态分布的对称性可得(0)(4)PP=，然后结合条件即得.【详解】因为随机变量服从正态分布2(2,)N，所以(0)(4)PP=，又()40.8

4P=，所以(0)1(4)10.840.16PP=−=−=.故答案为：0.16.14.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱

．如图，在堑堵111ABCABC-，中，M是11AC的中点，122ABAAAC==，的113BNBB=uuuruuur，3MGGN=，若1AGxAAyABzAC=++uuuruuuruuuruuur，则xyz++=__

_______．【答案】118【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量可以解决问题.【详解】设2AB=,如下图所示，建立空间直角坐标系，()000A，，，()200B，，，()001C，，，()1010A，，1012M，，，1203N，，，则11212001232

32MN=−=−，，，，，-，所以13213110122432228AGAMMG=+=+−=，，，-，，，又因为()131122,,228A

GxAAyABzACyxzyxz=++====，，所以131112488xyz++=++=故答案为：11815.若0m，0n，则214mnmn++的最小值为___________.【答案】4【解析】【分析】连续使用两次均值不等式即可求出结果.【详

解】22141444224mmnnnnmnmnnn+++=+=，当且仅当2142mmnn==，即2,1nm==时等号成立，所以214mnmn++的最小值为4.故答案为：4.16.给图中A，B，C，D，E五

个区域填充颜色，每个区域只填充一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则共有_________种不同的方案．【答案】72【解析】【分析】分为B，E同色和B，E不同色两种情形，再按照分步乘法原理计算即可.【详解】当B，E同色时，共有432248=种不

同的方案，当B，E不同色时，共有43224=种不同的方案，所以共有72种不同的方案．故答案为：72.四、解答题:本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合13Axx=−，22240Bxx

mxm=−+−.（1）命题p：x∈A，命题q:x∈B，且p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围:（2）若A∩B≠,求实数m的取值范围.【答案】（1）02m，（2）46m−，【解析】【分析】(1)要使p是q的必要不充分条

件，则BA即可；(2)求AB=时m的取值范围，然后求其补集.【小问1详解】因为p是q的必要不充分条件，所以BA，B集合：()22444160mm=−−=，所以B不可能为空集，因为()()222422xmxmxmxm−+−=−

−−+，所以22Bxmxm=−+，集合24Axx=−，所以2224mm−−+或2224mm−−+，分别解不等式组，取并集后可得02m，.【小问2详解】由（1）知2422AxxBxmxm=−

=−+，，当AB=时：22m+−或24m−，解之得：4m−或6m，则AB时，46m−，.18.已知()2Nnxnx+的展开式中第2项与第三项的二项式系数之和为36．（1）求n；（2）求展开式中系数最大的项．【答案】（1）8（2）7

21792x−和51792x−.【解析】【分析】（1）根据题意得到1236nnCC+=，求得8n=，即可求解；（2）由（1）知82()xx+，得到展开式的通项为34821882()()2rrrrrrrTCxCxx

−−+==，列出不等式组118811882222rrrrrrrrCCCC−−++，结合组合数的公式，求得56r，进而求得67,TT，即可求解.【小问1详解】解：由题意，()2Nnxnx+的展开式中第2项与第三

项的二项式系数之和为36，可得1236nnCC+=，即2720nn+−=，解得8n=或9n=−（舍去），所以8n=.【小问2详解】解：由（1）可得二项式82()xx+，其展开式的通项为34821882()()2

rrrrrrrTCxCxx−−+==，即展开式中项的系数为82rrC，设第1r+项的系数最大，则满足118811882222rrrrrrrrCCCC−−++，可得()()()()()()118!8!228!!9!1!8!8!

228!!7!1!rrrrrrrrrrrr−+−−−−−−，即2191281rrrr−−+，解得56r，当=5r时，7755226821792TCxx−−==；当

6r=时，66557821792TCxx−−==，所以展开式中系数最大的项为721792x−和51792x−.19.第24届冬季奥林匹克运动会（TheXXIVOlympicWinterGames），即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4

日开幕，2月20日闭幕．2022年北京冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目，延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．为调查学生对冬季

奥运会项目的了解情况，某中学进行了一次抽样调查，统计得到以下22列联表．了解不了解合计男生60200女生110200合计（1）完成22列联表，并判断有超过多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；（2）为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，按照性别采用分层抽样的方法

、从样本中不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取5人，再从这5人中抽取2人进行面对面交流，求“男、女生各抽到一名”的概率．附表：()20PKk0.0250.0100.0050.0010k5.0246.6357.87910.828附：()()()()()2

2nadbcKabcdacbd−=++++．【答案】（1）表格见解析；没有超过99.9%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；（2）35【解析】【分析】（1）完善2×2列联表，根据2K的计

算可得出关于n的等式，即可求得正整数n的值，结合临界值，即可求解．（2）根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及古典概型的概率公式，即可求解．【小问1详解】求22列联表可得:了解不了解合计男生14060200女生11090200合计250150400根据所给数据得22400(140

9011060)=9.6<10.828200200250150K−=故没有超过99.9%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；【小问2详解】由于在“不了解冬季奥运会项目”的学

生中，按男女比例为2:3，所以抽取的5人中包含3名女生，2名男生，设“男、女生各抽到一名”的事件为A，则1132253()5CCPAC==20.如图，在四棱锥PABCD−中，四边形ABCD是菱形，60BAD

BPD==，2PBPD==.（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD；（2）若二面角PBDA−−的余弦值为13，求二面角BPAD−−的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）223【解析】【分析】（1）依据面面垂直判定定理去证明平面PAC

⊥平面ABCD；（2）建立空间直角坐标系，以向量的方法去求二面角BPAD−−的正弦值.【小问1详解】设ACBDO=，连接PO，在菱形ABCD中，O为BD中点，且BDAC⊥，因为PBPD=，所以BDPO⊥，又因为POACO=，且PO，AC平面PAC，所以BD⊥平面PAC，因为BD平面

ABCD，所以平面PAC⊥平面ABCD；【小问2详解】作OM⊥平面ABCD，以,,OAOBOM为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，易知2PBPDBDABAD=====，则3OAOP==，1OB=，因为OABD⊥，OPBD⊥，所以POA为二面角PBDA−−的

平面角，所以1cos3POA=，则326,0,33P，()3,0,0A，()0,1,0B，()0,1,0D−，所以()3,1,0AD=−−，()3,1,0AB=−uuur，2326,0,33AP=−，设平面PAB的法向量为()111,,mxyz=

，由00mABmAP==，得1111302326033xyxz−+=−+=取11z=，则12x=，16y=，所以()2,6,1m=，设平面PAD的法向量为()222,,nxyz=，由00nADnAP==，得2

222302326033xyxz−−=−+=取21z=，则22x=，26y=−，所以()2,6,1n=−，设二面角BPAD−−为，则2611cos3261261mnmn−+===++++，又0,π，则222sin1cos3

=−=.21.核酸检测是诊断新冠病毒感染的重要手段，首先提取人的唾液或咽拭子样本，如果样本中有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．检测时既可以逐个化验，也可以将样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，需要再对各个样

本逐个化验；若混合样本呈阴性，则各个样本均为阴性．现有4例疑似病例，疑似病例核酸检测呈阳性的概率均为()01pp．（1）若12p=，求至多有1个疑似病例样本化验结果为阳性的概率；（2）如果逐个化验，需要化验4次．为了减少化验次数，可以考虑采用4例样本混合在一起进行化验，当p在什么范围时

，混合化验能减少化验次数？【答案】（1）516（2）当2012p−时，4例混合化验能减少化验次数【解析】【分析】（1）根据题意计算即可（2）根据题意，混合化验的次数是1次或者5次，分别求出其对应的概率，计算混合化验的期望，使期望值小于4即可【小问1详解】解：（1）设4例疑似病

例中化验结果为阳性的病例数为X，则1(4,)2XB，041444115(1)(0)(1)C()+C()2216PXPXPX==+===„所以，至多有1个疑似病例样本化验结果为阳性的概率为516【小问2详解】设4例混合化验的化验次数为Y，则Y可取1，5．00444(1)C(1)(1)PYpp

p==−=−，4(5)1(1)1(1)PYPYp==−==−−，所以，444()1(1)5[1(1)]54(1)EYppp=−+−−=−−．要使化验次数减少，须有()4EY，即454(1)4p−−．因为01p，解得2012p−．所以，当2012p−时，4例混合化

验能减少化验次数．22.已知函数()()21e2xhxaxrxaxax=−=−，（1）令()()()fxhxrx=+，当ae=时，讨论()fx的单调性:（2）当0x时，()()()3121312hxrxxax++−+，求a的取值范围.【答案】（1）()1x−，时，

()fx单调递减；()1x+，时，()fx单调递增（2）27e4a−+，【解析】【分析】（1）由题意得到()21e2e2xfxexx=−+，求得()e2eexfxx=−+，令()e2eexgxx=−+，取得()ee0xgx=+，且()10g=，进而得到函数(

)fx的单调性；（2）根据题意，把不等式可化为3211210exxaxx−++−，令()321121exxaxxgx−++=−，求得()gx，得到()0gx=的解，分210a+、2210a+和212a+三种情况讨论，结合函数的单调性与最值，即可求解.【小

问1详解】解：当ea=时，函数()()()2211eeeee2e22xxfxhxrxxxxexx=+=−+−=−+，可得()e2eexfxx=−+，令()e2eexgxx=−+，可得()ee0xgx=+，且()10g=，所以当()1x−，时，()0gx

，即()0fx，函数()fx单调递减；当()1x+，时，()0gx，即()0fx¢>，函数()fx单调递增.【小问2详解】解：由()()222e2e3xxhxrxaxaxaxaxax+=−+−=−+

，不等式可化为()231e3131,02xaxaxxaxx−++−+，化简可得321e12xxaxx−++，即321121exxaxx−++，即3211210exxaxx−++−，①令()321121ex

xaxxgx−++=−，可得()()()()3213121221222eexxxaxaxxxxagx−++−+−−−+==，令()0gx=，即()()122102xxxa−−−+=，解得1230221xxxa===+，，，若210a+，即12a

−时，当()02x，时，()0gx，()gx单调递增；当()2,x+时，()0gx，()gx单调递减；所以()()22741egxgxa−=−，且()00g=，所以()20g，即不等式①不恒成立；不合题

意；若2210a+，即1122a−时当()0gx，()gx单调递减；()21,2xa+，()0gx，()gx单调递增；当()2,x+时，()0gx，()gx单调递减；所以()()27421eagxg−=−，要不等式①恒

成立，只需()20g，即27410ea−−，解得274ea−，所以217e24a−.若212a+，即12a时，当()0,2x，()0gx()gx单调递减；当()2,21xa+，()0gx()gx单调递增

；当()21,xa+，()0gx()gx单调递减；所以()210ga+，即()31121exxxgx++−，只需当2x时，311210exxx++−，就可得到()210ga+就恒成立。下面证明311210exxx++−②令()31121exxxhx++=−，则()()212

exxxxhx−−−=，当2x时，()hx<0，所以()()227e20ehxh−=；即()0hx成立；所以②成立，所以()210ga+，所以12a时，不等式①成立，综上所述，实数a的

取值范围是27e4−+，.【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，

但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．