【文档说明】北京市东城区2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.472 MB，由小赞的店铺上传

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东城区2022-2023学年度第一学期期末统一检测高二数学本试卷共6页，满分100分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共36分）一、选择题共12小题，每小

题3分，共36分.在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知向量()8,2,1a=−，()4,1,bk=−，且//ab，那么实数k的值为（）A.12B.12−C.2−D.2【答案】B【解析】【分析】根据平行关系可知ba=，由向量坐标运算可构造方程求得结果.【详解】//a

b，()ba=R，4812k−==−=，解得：12k=−.故选：B.2.已知直线30xy−−=的倾斜角为（）度A.45B.135C.60D.90【答案】A【解析】【分析】根据给定的直线方程，求出其斜率，再求出倾斜角作答.【详解】直线30xy−−=的斜率为

1，所以直线30xy−−=的倾斜角为45度.故选：A3.抛物线22yx=−的准线方程是（）A.12y=B.1y=−C.12x=D.1x=【答案】C【解析】【分析】根据抛物线方程可直接求得结果.【详解】由抛物线方程可知其准线方程为：2142x−=−=.故选：C.4.20

21年9月17日，北京2022年冬奥会和冬残奥会主题口号正式对外发布——“一起向未来”（英文为：“TogetherforaSharedFuture”），这是中国向世界发出的诚挚邀约，传递出14亿中国人民的美好期待.“一起向未来”

的英文表达是：“TogetherforaSharedFuture”，其字母出现频数统计如下表：字母togehrfasdu频数32142422112合计频数为24，那么字母“e”出现的频率是（）A.18B.16C.112D.14【答案】B【解析】【分析】用字母“

e”出现的频数除以总数就是所求频率.【详解】由图中表格可知，字母“e”出现的频数为4，合计总频数为24，所以字母“e”出现的频率为41246=.故选：B5.设nS为数列na的前n项和，已知13a=，12nnnSS+=+，那么3a=（）A.4B.5C.7D.9【答

案】A【解析】【分析】由332aSS=−可直接求得结果.【详解】由12nnnSS+=+得：12nnnSS+−=，233224aSS=−==.故选：A.6.已知在长方体1111ABCDABCD−中，1ABAD

==，12AA=，那么直线1AC与平面11AADD所成角的正弦值为（）A.66B.356C.33D.63【答案】A【解析】【分析】由长方体性质易知1CAD为1AC与面11AADD所成的角，进而求其正弦值即

可.【详解】根据长方体性质知：CD⊥面11AADD，故1CAD为1AC与面11AADD所成的角，222112,11126AAABADCA====++=，所以116sin6ACADCDC==.故选：A7.如图，点O是正方形ABCD两条对角线的交点.从这个正方形的四个顶点中随机选取两个，那么这

两个点关于点O对称的概率为（）A.15B.14C.13D.12【答案】C【解析】【分析】先求出事件的基本总数，再求出满足条件的基本事件数，利用古典概型计算即可.【详解】从四个顶点选两个的情况数为：24C6=，选的两个点关于中心O对称的情况有：

,AC与,BD两种，所以所求概率为：2163P==，故选：C.8.圆心为()1,2-，半径3r=的圆的标准方程为（）A.()()22129xy−++=B.()()22129xy++−=C.()()22123xy−++=D.()()22

123xy++−=【答案】B【解析】【分析】根据圆的标准方程的形式，由题中条件，可直接得出结果.【详解】根据题意，圆心为()1,2-，半径3r=圆的标准方程为()()22129xy++−=；故选：B．9.已知正四棱锥PABCD−的

高为4，棱AB的长为2，点H为侧棱PC上一动点，那么HBD△面积的最小值为（）A.2B.32C.23D.423【答案】D【解析】【分析】根据正四棱锥的性质得到PO⊥平面ABCD，OHBD⊥，然后根据4PO=，2OC=，得到O

H的范围，最后根据三角形面积公式求面积的最小值即可.【详解】取BD中点O，连接OH、PO、OC，因四棱锥PABCD−为正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，DHBH=，因为O为BD中点，所以OHBD⊥，因为OC平面ABCD，所以POOC⊥，因为

2AB=，4PO=，所以22BD=，2OC=，在直角三角形POC中，当OHPC⊥时，OH最小，为2424342=+，当点H和点P重合时，OH最大，最大为4，所以4,43OH，12222HBDSOHOH==，所以当

43OH=时，HBD△的面积最小，为423.故选：D.10.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y，那么事件“216xy+”的概率为（）A.19B.536C.16D.13【答案】C【解析】【分析】由已知

先列举出事件总数，然后解出不等式，找出满足条件的事件数，结合古典概率计算即可.【详解】由题意第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y，为记为(),xy，则它的所有可能情况为：()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,()()()()(

)()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,()()()()()()4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6,()()()()()()5,1,5,2,5,3,5,4

,5,5,5,6,()()()()()()6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6共36种，由216xy+，即422xy+，由2xy=在R单调递增，所以4xy+，所以满足条件的(),xy有：()()()1,1,1,2,1,3,()()2,1,2,2,()3,1共6种，所以事件“216

xy+”概率为：61366P==，故选：C.11.地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收

到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台A站和B站相距10km.根据它们收到的信息，可知震中到B站与震中到A站的距离之差为6km.据此可以判

断，震中到地震台B站的距离至少为（）A.8kmB.6kmC.4kmD.2km【答案】A【解析】【分析】设震中为P，根据双曲线的定义以及||||||10PAPBAB+=可求出结果.【详解】设震中为P，依题意有||||6PBPA−=||10AB=，所以点P的轨迹是以,AB为焦点的双曲线靠近A

的一支，因为||||||10PAPBAB+=，当且仅当,,APB三点共线时，取等号，所以||6||10PBPB−+,所以||8PB，所以震中到地震台B站的距离至少为8km.故选：A的12.对于数列na，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有naM，则称数列

na是有界的.若这样的正数M不存在，则称数列na是无界的.记数列na的前n项和为nS，下列结论正确的是（）A.若1nan=，则数列na是无界的B.若sinnann=，则数列na是有界的C.若()1nna=−

，则数列nS是有界的D.若212nan=+，则数列nS是有界的【答案】C【解析】【分析】根据1na可知A错误；由sinnann=可知na不存在最大值，即数列na无界；分别在n为偶数和n为奇数的情况下得到nS，由此可确定1nS，知C正确；采用放缩法可求得22221nSnn−

++，由21,213nn−++可知D错误.【详解】对于A，111nann==恒成立，存在正数1M=，使得naM恒成立，数列na是有界的，A错误；对于B，sinsinnann

nn==，sin1n，nan，即随着n的增大，不存在正数M，使得naM恒成立，数列na是无界的，B错误；对于C，当n为偶数时，0nS=；当n为奇数时，1nS=−；1nS，存在正数1M=，使得nSM恒成立，数列nS是有界的，C正确；对于D，()(

)22144114421212121nnnnnn==−−+−+，2221111111121241233352121nSnnnnn=+++++−+−++−−+182241222212

121nnnnnnn=+−=+=−++++；221yxx=−+在()0,+上单调递增，21,213nn−++，不存在正数M，使得nSM恒成立，数列nS是无界的，D错误.故选：C【点睛】关键点点睛：

本题考查数列中的新定义问题，解题关键是理解数列有界的本质是对于数列中的最值的求解，进而可以通过对于数列单调性的分析来确定数列是否有界.第二部分（非选择题共64分）二、填空题共6小题，每小题3分，共18分.13.已知空间向量()1,1,0a=−，(),1,1mb=−，若ab⊥，则实数m=_

____．【答案】1【解析】【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.【详解】因为ab⊥，所以0101abmm=−==，故答案为：114.在等差数列na中，12a=，426aa=+，则na=______.【答案】*31,(N)nn−【解析】【分析】利用已知条件求出公差，利

用等差数列通项公式求解即可.【详解】设等差数列的公差为d，由12a=，426aa=+，所以11633aaddd+=+=+，所以*1(1)2(1)331,(N)nanandnn+−=+=−=−，故答案为：

*31,(N)nn−.15.两条直线1:3420lxy−−=与2:3480lxy−+=之间的距离是______.【答案】2【解析】.【分析】根据平行直线间距离公式可直接求得结果.【详解】由平行直线间距离公式可得：12,ll之间的距离()2282234d+==+−.故答案为：2.16.某单位组织知

识竞赛，按照比赛规则，每位参赛者从5道备选题中随机抽取3道题作答.假设在5道备选题中，甲答对每道题的概率都是23，且每道题答对与否互不影响，则甲恰好答对其中两道题的概率为______；若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对，则乙恰好答对两道题的概率为

______.【答案】①.49②.35【解析】【分析】（1）甲能够答对X道题目，则2~(3,)3XB，根据二项分布的概率即可进一步求解；（2）设乙能够答对Y道题目，根据超几何分布即可求出答案.【详解】解设甲能够答对X道题目，2~(3,)3XB，所以()232

2242C1339PX==−=，解设乙能够答对Y道题目，则()123235CC32C5PY===.故答案为：49；35.17.试写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为2yx=的双曲线方程__

_________.【答案】2214yx−=(或其它以2yx=为渐近线的双曲线方程)【解析】【分析】根据题意写出一个即可.【详解】中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为2yx=的双曲线方程为()2204yx−=故答案为：221

4yx−=(或其它以2yx=为渐近线的双曲线方程)18.已知点P是曲线221axby+=（其中a，b为常数）上的一点，设M，N是直线yx=上任意两个不同的点，且MNt=.则下列结论正确的是______.①当0ab时，方

程221axby+=表示椭圆；②当0ab时，方程221axby+=表示双曲线；③当124a=，18=b，且4t=时，使得MNP△是等腰直角三角形的点P有6个；④当124a=，18=b，且04t时，使得MNP△是等腰直角三角形的点P有8个.【答

案】②③④【解析】【分析】对①②，根据方程221axby+=表示的曲线可以是圆，椭圆，双曲线，直线判断；对③④，求出点P到直线yx=的距离d的取值范围，对点P是否为直角顶点进行分类讨论，确定d，t的等量关系，综合可得出结

论.【详解】方程221axby+=中当0ab=时可表示圆，当0ab时，221axby+=表示双曲线，故①错误，②正确；在③④中：椭圆方程为221248xy+=，椭圆与直线l均关于原点对称，设点(26cos,22sin)P，则点P到直线l的距离为

π42sin3|26cos22sin|π4sin[0,4].322d−−===−对③：4t=时，(1)若P为直角顶点，如图1，则||4MNt==，224d=，满足MNP△为等腰直角三角形的点P有四个，图1(2)若P不是直角

顶点，如图2，则||4MNt==，4d=，满足PMN是等腰直角三角形的非直角顶点P有两个，图2故4t=时，使得MNP△是等腰直角三角形的点P有6个，③正确；对④：04t时，(1)若P为直角顶点，如图1,则|

|MNt=，42td=，满足MNP△为等腰直角三角形的点P有四个..(2)若P不是直角顶点，如图3,则||MNt=，4dt=，满足MNP△是等腰直角三角形的非直角顶点P有四个，图3故04t时，使得MNP△是等腰直角三角形的点P有8个，④正确；故答案为：②③④.【点睛】椭圆的参数方程是

cos,sinxayb==，对于有关椭圆上点的横纵坐标问题的题目可以转化为三角函数问题求解，比如求23zxy=+的最大值，求点到直线的距离范围等问题都可以使用椭圆的参数方程来解决.三、解答题共5小题，共46分.解答应写出文字说明、证

明过程或演算步骤.19.某超市有A，B，C三个收银台，顾客甲、乙两人结账时，选择不同收银台的概率如下表所示，且两人选择哪个收银台相互独立.收银台顾客A收银台B收银台C收银台甲a0.20.4乙0.3b0.3（1

）求a，b的值；（2）求甲、乙两人在结账时都选择C收银台的概率；（3）求甲、乙两人在结账时至少一人选择C收银台的概率.【答案】（1）0.4a=，0.4b=（2）0.12（3）0.58【解析】【分析】（1）根据甲在三

个收银台结账的概率和为1求a值，同理求b的值；（2）“甲选择C收银台”与“乙选择C收银台”是相互独立事件，利用独立事件的概率公式求解；（3）利用对立事件求解.小问1详解】由表可知,甲选择A收银台的概率为10.20.40.4a=−−=,乙选择B收银台的概率为10

.30.30.4b=−−=【小问2详解】设事件A为“甲选择C收银台”,事件B为“乙选择C收银台”,事件C为“甲,乙两人在结账时都选择C收银台”.根据题意,()0.4,()0.3PAPB==,事件,AB相互独立.所以()()0.40.30.12PCPAB===.【小问3详解

】设事件D为“甲，乙两人在结账时至少一人选择C收银台”,()1()10.60.70.58PDPAB=−=−=.20.在四棱雉PABCD−中，底面ABCD是正方形，Q为棱PD的中点，PAAD⊥，2PAAB==，再从下列两

个条件中任选一个作为已知，求解下列问题.条件①：平面PAD⊥平面ABCD；条件②：PAAB⊥.【（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值；（3）求点B到平面ACQ的距离.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1

）证明见解析；（2）33（3）233【解析】【分析】（1）条件①利用面面垂直的性质定理可证得；条件②利用线面垂直的判定定理可证得；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求面面夹角；（3）利用空间向量求点到面的距离.【小问

1详解】条件①：平面PAD⊥平面ABCD证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，PAAD⊥，PA平面PAD，平面PAD平面ABCDAD=，所以PA⊥平面ABCD.条件②：PAAB⊥证明：因为PAAD⊥，PAAB⊥，且,ABAD平面ABCD，ABADA=，所以PA⊥平面ABCD.

【小问2详解】由（1）知PA⊥平面ABCD，ABAD⊥，,,ABADAP两两垂直，以A为原点，,,ABADAP分别所在的直线为,,xyz轴，建立如图空间直角坐标系，则()002P,,，()0,0,0A，()0,

1,1Q，()2,2,0C，所以()2,2,0AC=，()0,1,1AQ=由（1）知平面ABCD的法向量()0,0,2AP=，设平面ACQ的法向量为(),,nxyz=，则2200nACxynAQyz=+==+=，即00xyyz+=+=，令1y=，则()1,1,1n=−−，设平面

ACQ与平面ABCD夹角的为，则23coscos,323APnAPnAPn−====，所以平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值为33【小问3详解】由已知得()2,0,0B，()2,0,0AB=，所以点B到平面ACQ的距离为22333ABnn−==21.已知圆22:2440Cxyxy

+−+−=，圆()()221:314Cxy−+−=及点()3,1P.（1）判断圆C和圆1C的位置关系；（2）求经过点P且与圆C相切的直线方程.【答案】（1）相交（2）1y=或125410xy+−=【解析】【分析】（1）根据两圆方程可确定圆心和半径，由圆心距与两圆半径之间的关系可确定两圆位置关系；

（2）易知切线斜率存在，则可设其为()13ykx−=−，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得k，进而得到切线方程.【小问1详解】圆C方程可整理为：()()22129xy−++=，则圆心()1,2C−，

半径3r=；由圆1C方程可知：圆心()13,1C，半径12r=；()()221132113CC=−+−−=，15rr+=，11rr−=，1112rrCCrr−+，圆C和圆1C相交.【小问2详解】当过()3,1P的直线斜率不存在，即为3x=时，其与圆

C不相切，可设所求切线方程为：()13ykx−=−，即310kxyk−−+=，圆心C到切线的距离23231kdk−==+，即()229932kk+=−，解得：0k=或125k=−，切线方程：1y=或()12135yx−=−−

，即1y=或125410xy+−=.22.已知椭圆()2222:10xyEabab+=的离心率为22，一个顶点为()0,1A.（1）求椭圆E的方程；（2）若过点A的直线l与椭圆E的另一个交点为B，且423AB=，求点B的坐标.【答案】（1）2212xy+=（2）41,33−

【解析】【分析】（1）根据椭圆中,,abc的关系求解即可；（2）先利用423AB=求出点B的轨迹方程，然后求点B的轨迹方程与椭圆2212xy+=的交点即可，求值的时候一定要注意变量范围.为【小问1详解】由题可知22ca=；1b=，又因为222abc=+，解得211

abc===所以椭圆E的方程为2212xy+=【小问2详解】设(),Bxy，因为423AB=，所以有()223219xy+−=，则点B为椭圆2212xy+=与圆()223219xy+−=的交点，联立()2222321912xyxy+−=+=，解得13

y=−或53y=−（舍去，因为11y−）所以有4313xy==−或4313xy=−=−，故点B的坐标为41,33−23.已知无穷数列ny满足公式112,02122,12nnnnnyyyyy+=−，

设()101yaa=.（1）若14a=，求3y的值；（2）若30=y，求a的值；（3）给定整数()3MM，是否存在这样的实数a，使数列ny满足：①数列ny的前M项都不为零；②数列ny中从第1M+项起，每一项都是零.若存在，请将所

有这样的实数a从小到大排列形成数列na，并写出数列na的通项公式；若不存在，请说明理由.【答案】（1）31y=（2）10,1,2=a（3）存在这样的a，2121,1,2,3,,22−−−==MnMnanL，理由见解析【解析】【分析】（

1）根据1y，求出23,yy；（2）30=y，（i）当2102y时，可得20y=，由1y的范围可得与2y的关系可得a；（ii）当2112y时，由3222=−yy得2y，再分1102y、1112y根据2y与1y可得答案（3）存在这样的a，根据10,0+=MMyy和（2）可知11

1,2−==MMyy，分2102−My、2112−My讨论，根据1−My与2−My关系类推，可得答案.，【小问1详解】因为114==ya，所以213212,2212===−=yyyy；【小问2详解】因为30=y，（i）当2102y时，322yy=，所以20y=，此时，若110

2y，则211,02===yyay；若1112y，则211,122=−==yyay.（ii）当2112y时，3222=−yy，所以21y=，此时，若1102y，则21111,0,222=

==yyay；若1112y，则2111,222=−==yyay.综上所述，10,1,2=a；【小问3详解】存在这样的a，因为10,0+=MMyy，由（2）可知111,2−==MMyy，（i）当2102−My时，122−−=MMyy，所以214−=My，

（ii）当2112−My时，1222−−=−MMyy，所以234−=My，以此类推，()111111113521,,,,2222−−−−−−−−==MMMMMMMyyL，所以数列na的通项公式为2121,1,2,3,,22−−−==MnM

nanL.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是由递推关系可得数列的结果，寻找规律，本题考查数列的递推关系的应用，考查了学生推理能力、运算能力.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com