【文档说明】山东省烟台市2022-2023学年高三上学期期末数学试题 含解析.docx，共(25)页，2.358 MB，由小赞的店铺上传

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2022~2023学年度第一学期期末学业水平诊断高三数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答

题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.若集合Axyx==，220Bxxx=−−，则AB=（）A.01x

xB.01xxC.02xxD.02xx【答案】D【解析】分析】分别求出集合,AB，求出交集即可.【详解】)0,Axyx===+，()()220120xxxx−−+−，12x−故()2201,2Bxxx=−−

=−，02ABxx=.故选：D.2.已知a，Rb，则“ab”的一个充分不必要条件为（）A.22abB.lnlnabC.11baD.22ab【答案】B【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定

义，利用特殊值法判断AC，利用对数函数的单调性和定义域判断B，利用指数函数的单调性判断D即可.【详解】选项A：取2a=−，1b=，满足22ab，但ab不成立，A错误；选项B：由对数函数的定义域和单调性可知若lnlnab

，则ab；若ab，ln,lnab可能无意义，所以【lnlnab是ab的充分不必要条件，B正确；选项C：取2a=−，1b=，满足11ba，但ab不成立，C错误；选项D：由指数函数的单调性可得若22ab

，则ab；若ab，则22ab，所以22ab是ab的充要条件，D错误；故选：B3.过点()0,3且与曲线321yxx=−+相切的直线方程为（）A.30xy−−=B.30xy−+=C.30xy++=D.30

xy+−=【答案】B【解析】【分析】设切点坐标，利用导数表示出切线斜率，得到切线方程，代入切线过的点，求出未知数即可得到方程.【详解】由321yxx=−+，则232yx=−，设切点坐标为()3000,21xxx−+，则切线的斜率0232kx=−，切线方程为()()()3000022132yx

xxxx−−+=−−，由切线过点()0,3，代入切线方程解得01x=−，则切线方程为21yx−=+，即30xy−+=.故选：B4.米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食的器具，鉴于其储物功能以及吉祥富足的寓意，现今多在超市、粮店等广泛使用.如

图为一个正四棱台形米斗（忽略其厚度），其上、下底面正方形边长分别为30cm、20cm，侧棱长为511cm，若将该米斗盛满大米（沿着上底面刮平后不溢出），设每立方分米的大米重0.8千克，则该米斗盛装大米约（）A.6.6千克B.6.8千克C.7.6千克D.7.8千克【答案】C【解析】【分析】计算出米斗

的高，进而可求得出该米斗的体积，结合题意可求得该米豆所盛大米的质量.【详解】设该正棱台为1111ABCDABCD−，其中上底面为正方形ABCD，取截面11AACC，如下图所示：易知四边形11AACC为等腰梯形，且302AC=

，11202AC=，11511AACC==，分别过点1A、1C在平面11AACC内作1AEAC⊥，1CFAC⊥，垂足分别为点E、F，由等腰梯形的几何性质可得11AACC=，又因为11AAECCF=，1190AEACFC==，所

以，11RtRtAAECCF△≌△，所以，AECF=，因为11//ACAC，易知11111190EACAEFEFCACF====，故四边形11ACFE为矩形，则11202EFAC==，522ACEFAECF−===，所以，221115AEAAAE=−=，故该正四棱台的高为15cm

，所以，该米斗的体积为()22223120302030159500cm3V=++=，所以，该米斗所盛大米的质量为9.50.87.6kg=.故选：C.5.设,AB分别为椭圆()2222:10xyCabab+=的左顶点和上顶点，F

为C的右焦点，若F到直线AB的距离为b，则该椭圆的离心率为（）A.312−B.31−C.212−D.21−【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的标准方程得到,,ABF的坐标，再利用两点式可得到直线AB的

方程，结合点到直线的距离公式和椭圆的离心率求解即可.【详解】由题意可得(,0),(0,),(,0)AaBbFc−，所以直线AB的方程l为000ybxba−−=−−−，整理得0aybxab−−=，所以F到直线AB的距离2222()cbabcbabdbabab−−+===+

−+，所以22caab+=+①，又因为椭圆中222abc=+②，cea=③，所以联立①②③得22210ee+−=，解得132e−=，又因为0e，所以312e−=，故选：A6.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三

段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知2AB=，P为弧AC上的点且45PBC=，则BPCP的值为（）A.42−B.42+C.422−D.422+【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求解.【详解】以B为坐标原点，BC为x轴，垂直

于BC方向为y，建立平面直角坐标系，因为45PBC=，2PB=,所以(2cos45,2sin45)P，即(2,2)P，且(0,0),(2,0),BC所以()()2,2,22,2BPCP==−，所以2222422

BPCP=−+=−，故选:C.7.过直线210xy−+=上一点P作圆()2224xy−+=的两条切线PA，PB，若0PAPB=，则点P的横坐标为（）A.0B.35C.35D.155【答案】D【解析】【分析】由题意可得，PACPBC△△，则2PAAC==，222222

PC=+=，设(),21Paa+，由两点间的距离公式代入解方程即可得出答案.【详解】如下图，过直线210xy−+=上一点P作圆()2224xy−+=的两条切线PA，PB，设圆心()2,0C，连接,ACCB，,PAAC

PBBC⊥⊥，可得PACPBC△△，0PAPB=，则45APCBPC==，所以2PAAC==，所以222222PC=+=，因为点P在直线210xy−+=上，所以设(),21Paa+，()2,0C，()()22

22122PCaa=−++=，解得：=a155.故选：D.8.已知定义在R上的函数()fx满足：2fx−为偶函数，且()()8sin,021,02xxfxfxx−−=−；函数()lg2gxx=+，则当4,3x

−时，函数()()yfxgx=−的所有零点之和为（）A7−B.6−C.72−D.3−【答案】A【解析】【分析】由题意画出()(),fxgx的图象，由图知，()(),fxgx均关于2x=−对称，()(),fx

gx有14个交点，即可求出函数()()yfxgx=−的所有零点之和.【详解】因为2fx−为偶函数，所以()fx关于2x=−对称，所以当(),0x−时，()8sinfxx=−，当()0,x时，(),0x−−，()()18s

in4sin2fxxx=−−=，当(),2x时，()0,x−，()()14sin2sin2fxxx=−=−，当()2,3x时，(),2x−，()()12sinsin2fxxx=−−=，当(),0x−时，()0,x+，()()1

8sin4sin2fxxx=−+=，……函数()lg2gxx=+为lgyx=的图象向左平移2个单位，()(),fxgx的图象如下图所示，.()(),fxgx均关于2x=−对称，()(),fxgx有14个交点，所以函数()()yfxgx=−的所有零点之和为：7

272−=−.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图是某正方体的平面展开图，则在该正方体中（）A.11//AB

CDB.1//AB平面1ACDC.1AB与1CB所成角为60°D.1AB与平面1ABC所成角的正弦值为33【答案】BC【解析】【分析】利用11//ABCD即可判断A,B选项，证明11BCD为正三角形即可判断C，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面夹角

的正弦值即可.【详解】将展开图合成空间图形如下图并连接11,,ADCDAC,11BD,1111//,,//,ADADADADADBCADBC==，1111//,ADBCADBC=，四边形11ABCD为平行四边形，11//ABCD，若11//ABCD，则11//CDCD，显然不

成立，故A错误，11//ABCD，1CD平面1ACD，1AB平面1ACD，1//AB平面1ACD，故B正确，设正方体棱长为1，则11112DCCBBD===，故11BCD为正三角形，故1160BCD=o，而11//AB

CD，1AB与1CB所成角为60，故C正确，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则()()()()()111,0,0,0,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,0ACBAB,则()(

)()111,1,0,0,1,1,0,1,1ACABAB=−==−,设平面1ABC的一个方向量(),,mxyz=，则100ACmABm==，即00xyyz−+=+=，令1y=，则1,1xz==−，则()1,1,1m=−，设1AB与平面1ABC所成角为

，则11126sincos,332mABmABmAB====，故D错误.故选：BC.10.已知函数()()sincosfxxaxa=−R的图象关于直线π6x=−对称，则（）A.()fx最小正周期为2πB.()fx在ππ

,33−上单调递增的C.()fx的图象关于点π,03对称D.若()()120fxfx+=，且()fx在()12,xx上无零点，则12xx+的最小值为2π3【答案】ACD【解析】【分析】由()π03=−ff解得3

a=，求出()π2sin3fxx=−，由2πT=可判断A；求出π3x−的范围，根据正弦函数的单调性可判断B；计算π03f=可判断C；12ππ2sin2sin33−=−−xx

，可得12πππ33−=−++xxk或12ππππ33−=−+++xxk，可得12xx+的最小值为2π3可判断D.【详解】因为函数()()sincosfxxaxa=−R的图象关于直线π6x=−对称，所以()π03=−

ff，即ππsincos33−=−−−aa，解得3a=，()13πsin3cos2sincos2sin223fxxxxxx=−=−=−，且πππ2sin2663−=−−=−

f，对于A，2πT=，故A正确；对于B，ππ,33x−，所以π2π,033−−x，因为sinyx=在2ππ,32−−x上单调递减，在π,02x−上单调递增，故B错误；对于C，πππ2sin0333=−

=f，故C正确；对于D，若()()120fxfx+=，则122πππ2sin2sin2sin333−=−−=−+xxx，可得12πππ33−=−++xxk或者12ππππ33−=−+

++xxk，kZ，122ππ3+=+xxk或125ππ3+=+xxk，kZ，且()π2cos3=−fxx的半周期为π，在()12,xx上无零点，则12xx+的最小值为2π3，故D正确.故选：ACD.11.已知0a，0b

，且21ab+=，则（）A.18abB.11421ab++C.2sin21ab+D.2lne1ba−−−【答案】ACD【解析】【分析】根据均值不等式和常见的不等式放缩即可求解.【详解】0a，0b，且21ab+=，所以2112122228ababab+==

，故选项A正确；()112111121211121212221abbaababab++++++==++++++，故选项B错误；要证2sin21ab+，证2sin12ab−，即证2sinaa，由

0a，0b，且21ab+=，知01a，所以222()sinsin0faaaaa=−−，故选项C正确；要证2lne1ba−−−，即证1ln1eaa−+，因为ln11exxxxx−+，所以1ln1eaaa−+，前后取得等号条件分别是0a=和1a=，所以不同时取

得等号，故D选项正确；故选：ACD.12.已知过抛物线2:4Cyx=焦点F的直线l交C于,AB两点，交C的准线于点M，其中B点在线段AM上，O为坐标原点，设直线l的斜率为k，则（）A.当1k=时，8AB=B.当22k=时，BMAB=C.存在k使得AOB90=D.存

在k使得120AOB=o【答案】ABD【解析】【分析】特殊值法分别令1k=和22k=代入直线l，再由抛物线的定义,过抛物线的焦点的弦长12||ABxxp=++,选项,AB得解,由AOB90=,则12120OAOBxxyy=+=,联立方程组，结合韦达定理,可判断选项C,若120AOB=o,1

cos2||||OAOBAOBOAOB==−,联立方程组结合韦达定理,可判断选项D.【详解】对于选项A.当1k=时,过抛物线24yx=的焦点(1,0)F的直线方程为:1yx=−,设该直线与抛物线交于()11,A

xy,()22,Bxy两点,联立方程组214yxyx=−=,整理可得:2610xx−+=,则126xx+=,由抛物线的定义:12||628ABxxp=++=+=,故A正确.对于选项B.当22k=

时,过抛物线24yx=的焦点(1,0)F的直线方程为:22(1)yx=−,设该直线与抛物线交于()11,Axy,()22,Bxy两点,联立方程组222(1)4yxyx=−=,整理可得:22520xx−+=，则1212,2xx==,则1252xx+=,所以1(

2,22),,22AB−，由抛物线的定义:1259||2,22ABxxp=++=+=又因为直线22(1)yx=−与抛物线的准线=1x−交于点(1,42)M−−,则22191(422)22BM=−−+−+=，即|

|||BMAB=，故B正确.对于选项C.设过抛物线24yx=的焦点(1,0)F的直线方程为:(1)ykx=−与抛物线交于()()1122,,,AxyBxy两点,联立方程组2(1)4ykxyx=−=,整理可得:()2222240,kxkxk−++=则1212242,1xxxxk+=+=,()

()2121211yykxx=−−()212121kxxxx=−++2241214kk=−−+=−，所以1212143xxyy+=−=−.若AOB90=,则12120OAOBxxyy=+=,故不存在k，使得AOB90=,故C不正确.对于选项D.设过抛物线24y

x=的焦点(1,0)F的直线方程为:(1)ykx=−与抛物线交于()()1122,,,AxyBxy两点,联立方程组2(1)4ykxyx=−=,整理可得:()2222240kxkxk−++=,则121224

2,1xxxxk+=+=，()()2121211yykxx=−−()212121kxxxx=−++2241214kk=−−+=−,若120AOB=o,因为12123OAOBxxyy=+=−,1cos2||||OAOBAOBOAOB==−,即||||6OAOB

=,则()()2222112236xyxy++=,即:()()2211224436xxxx++=,可得:()()12124436xxxx++=,即:()12121241636xxxxxx+++=,则2161181636k++

+=,解得:21611k=,解得:41111k=.故存在k使得120AOB=o,故D正确;故选：ABD.【点睛】本题考查了抛物线与直线方程的位置关系，解方程组，焦点弦的应用，对与本题，运算能力，数形结合思想是关键，属于较难题.三

、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知236ab==，则11ab+=________.【答案】1【解析】【分析】首先利用指数和对数互化得到2log6a=，3log6b=，再利用换地公式即可得到答案。【详解】由236ab==可知2log6a=，3log6

b=，所以66611log2log3log61ab+=+==.故答案为：114.已知向量()sin,cosa=，()3,1b=，若ab∥，则2sinsin2+的值为______.【答案】32【解析】【分析】根据题目条件可得sin3cos=，代

入2222sin2sincossinsin2sincos++=+化简即可.【详解】已知向量()sin,cosa=，()3,1b=，若ab∥，则有sin3cos=，∴22222222sin2sincos9cos6cos153sinsin2sincos

9coscos102+++====++.故答案为：3215.“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛.设A是一个“0，1数列”，定义数列()fA：数列A中每个0都变为“1，0，1”，A中

每个1都变为“0，1，0”，所得到的新数列.例如数列A：1，0，则数列()fA：0，1，0，1，0，1.已知数列1A：1，0，1，0，1，记数列()1kkAfA+=，1k=，2，3，…，则数列4A的所有项之和为__

____.【答案】67【解析】【分析】根据题意，依次讨论1234,,,AAAA中0与1的个数，从而得解.【详解】依题意，可知经过一次变换()AfA→，每个1变成3项，其中2个0，1个1；每个0变成3项，其中2个1，1个0，因为数列1A：1，0，1，0，1，共有5项，3个1，2个0，所以()21Af

A=有53项，3个1变为6个0，3个1；2个0变为4个1，2个0；故数列2A中有7个1，8个0；()23AfA=有253项，7个1变为14个0，7个1；8个0变为16个1，8个0；故数列3A中有23个1，

22个0；()34AfA=有353项，23个1变46个0，23个1；22个0变为44个1，22个0；故数列4A中有67个1，68个0；所以数列4A的所有项之和为67.故答案为：67.16.在直四棱柱1111ABC

DABCD−中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱12AA=，M为侧棱1BB的中点，N在侧面矩形11ADDA内（异于点1D），则三棱锥1NMCD−体积的最大值为______.【答案】12##0.5【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式，结合

三棱锥的体积公式进行求解即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，1(0,1,0),(1,1,1),(0,0,2),(,0,)(01,02)CMDNxzxz，且0x=和2z=不同时成立，11(1,0,1

),(0,1,2),(1,1,1)CMCDMD==−=−−因为112,5,3CMCDMD===，所以有22211CMMDCD+=，所以1MCD是直角三角形，于是1162322MCDS==，设平面1MCD的法向量为111(,,)nxyz=，因此有

1111100200nCMxzyznCD=+=−+==，取11x=−，则112,1yz==，则(1,2,1)n=−为1(,0,2)NDxz=−−，设点N到平面1MCD的距离为d，126NDnxzdn+−==，三棱锥1NMCD−体积为22163266xzxzV+−−+

==，因为01,02xz，所以当1,0xz==时，V有最大值，显然满足0x=和2z=不同时成立，即max102162V−+==，故答案为：12【点睛】关键点睛：利用空间点到平面距离公式是解题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

.17.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cossinaCcAb+=.（1）求A；（2）2ADDC=，BD=3，求ABC面积的最大值.【答案】（1）π4A=（2）()27218+【解析】【分析】（1）由cossinaCcAb+=，利

用正弦定理结合两角和的正弦公式，得到sinsincossinACAC=求解.（2）利用余弦定理结合基本不等式得到()9222ABAD+，再利用三角形面积公式求解.【小问1详解】解：由正弦定理可得sincossinsinsinACACB+=，因为ABC++

=，所以()sincossinsinsinACACAC+=+，即sincossinsinsincoscossinACACACAC+=+，整理得：sinsincossinACAC=，因为0πC，所以si

n0C，所以tan1A=，因为0πA，所以π4A=.【小问2详解】在ABD△中，由余弦定理得：2222cosBDABADABADA=+−，即()229222ABADABADABAD=+−−.整理得(

)9222ABAD+，当且仅当ABAD=时，等号成立，所以()9211π2sin2444ABDSABADABAD+==△，因为2ADDC=，所以()2721328ABCABDSS+=△△，所以ABC面积的最大值为()27218+.1

8.已知数列na和nb的各项均不为零，nS是数列na的前n项和，且1122ba==，12nnnaaS+=，mnmnbbb+=，m，*nN.（1）求数列na和nb的通项公式；（2）设nnnc

ab=，求数列nc的前n项和nT.【答案】（1）nan=，2nnb=（2）()1122nnTn+=−+【解析】【分析】（1）由12nnnaaS+=，得出数列na的特征求出通项，由mnmnbbb+=，得出数列nb的特征求出通项公式.（2）由数列

nc的特征，运用错位相减法求前n项和nT.【小问1详解】因为()12*nnnaaSn+=N，所以()1122nnnaaSn−−=，两式相减得()()1122nnnnaaaan+−−=.又因为0na，所以()1122nnaan+−−=，所以数列21na−和2na都是以2为公

差的等差数列.因为11a=，所以在12nnnaaS+=中，令1n=，得22a=，所以()2112121nann−=+−=−，()22122nann=+−=，所以nan=.对于数列nb，因为112nn

nbbbb+==，且0nb，所以()12*nnbnb+=N，所以数列nb是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2nnb=.【小问2详解】由2nnnncabn==，有231222322nnTn=++++，()

23412122232122nnnTnn+=++++−+，两式相减得，()11112222222212212nnnnnnnTnn++++−+−=−−=++−−−−=，所以()1122nnTn+=−+.19.如图，ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，BCD△是等

边三角形，2BC=，7AD=.（1）求证：BCAD⊥；（2）求平面ABD与平面BCD夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析;（2）39331.【解析】【分析】（1）取BC中点O，在ABC与BCD△中分别得到OABC⊥，ODBC⊥，根据线面垂直的判定定理及性质定理即可证明；

（2）在AOD△中，利用余弦定理可得150AOD=，以OA，OB及过O点垂直于平面ABC的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz−，求出两个平面的法向量即可求解.【小问1详解】取BC中点O，连接OA，OD，因为ABC是以BC为斜边的等腰

直角三角形，所以OABC⊥.因为BCD△是等边三角形，所以ODBC⊥.OAODO=，OA平面AOD，OD平面AOD，所以BC⊥平面AOD.因为AD平面AOD，故BCAD⊥.【小问2详解】在AOD△中，1AO=，3OD=，7AD

=，由余弦定理可得，3cos2AOD=−，故150AOD=.如图，以OA，OB及过O点垂直于平面ABC的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz−，可得33,0,22D−，所以33,1,22BD=−−

，()0,2,0CB=，()1,1,0AB=−uuur，设()111,,xnyz=为平面ABD的一个法向量，则00nABnBD==，即11111033022xyxyz−+=−−+=，令3x=

，可得()3,3,5n=.设()222,,mxyz=为平面BCD的一个法向量，则00mCBmBD==，即22222033022yxyz=−−+=，令23x=，可得()3,0,3m=ur.所以3015393cos,313112nm++==，故平面ABD与平面

BCD夹角的余弦值为39331.20.某工厂拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的上端为半球形，下部为圆柱形，该容器的体积为1603立方米，且6lr.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分侧面的建造费用为每平方

米2.25千元，半球形部分以及圆柱底面每平方米建造费用为()2.25mm千元.设该容器的建造费用为y千元.（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该容器的建造费用最小时的r.【答案】

（1）()224031ymrr=−+，02r（2）见解析【解析】【分析】（1）由圆柱和球的体积的表达式,得到和r的关系.再由圆柱和球的表面积公式建立关系式,将表达式中的l用r表示，并注意到写定义域时,利用2lr,求出自变量r的范围.（2）用导数的知识解决,注意到

定义域的限制,在区间(0,2中,极值末必存在,将极值点在区间内和在区间外进行分类讨论.【小问1详解】设该容器的体积为V，则2323Vrlr=+，又1603V=，所以2160233lrr=−因为6lr，所以02r.所以建造费用222

91602923234334yrlrmrrrmr=+=−+，因此()224031ymrr=−+，02r.【小问2详解】由（1）得()()3226124040611mymrrrrm−

=−−=−−，02r.由于94m，所以10m−，令34001rm−=−，得3401rm=−.若34021m−，即6m，当3400,1rm−时，0y，()yr为减函数，当340,21rm

−时，0y，()yr为增函数，此时3401rm=−为函数()yr的极小值点，也是最小值点.若34021m−，即964m，当(0,2r时，0y，()yr为减函数，此时2r=是()yr的

最小值点.综上所述，当964m时，建造费用最小时2r=；当6m时，建造费用最小时3401rm=−.21.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的焦距为25，A，B为C的左、右顶点，点P为C上异于A，B的任意一点，满足14APBPkk=.（1）求双曲线C的方程

；（2）过C的右焦点F且斜率不为0的直线l交C于两点M，N，在x轴上是否存在一定点D，使得DMDN为定值？若存在，求定点D的坐标和相应的定值；若不存在，说明理由.【答案】（1）2214xy−=（2）存在定点75,08D，使得DMDN

为定值1164−【解析】【分析】(1)根据14APBPkk=可得2214ba=，结合5c=即可求解；(2)利用韦达定理表示出DMDN即可求解.【小问1详解】设(),0Aa−，(),0Ba，()11,Pxy，则2111221110014APBPyyy

kkxaxaxa−−===+−−，又因为点()11,Pxy在双曲线上，所以2211221xyab−=.于是2222221112144abyxxba=−=−，对任意10x恒成立，所以2214ba=，即224ab=.又因为5c=，222ca

b=+，可得24a=，21b=，所以双曲线C的方程为2214xy−=.【小问2详解】设直线l的方程为：5xty=+，()33,Mxy，()44,Nxy，由题意可知2t，联立22145xyxty−==+，消x可得，()2242510tyty−++=，则有342254tyyt−+=

−，34214yyt=−，假设存在定点(),0Dm，则()()()()3434343455DMDNxmxmyytymtymyy=−−+=+−+−+()()()()223434155tyymtyym=++−++−()()()()222222222

25544851915444mtmtmmtmttt−−−−++=−+−=−−−令()224851944mmm−+=−，解得758m=，此时224511446464DMDNm=−=−=−，所以存在定点75,08D，使得DMDN为定值1164−22.已知0a，(

)()2e2=−+xfxxaxx，xR，()fx为()fx导函数.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若存在a使得()2fxba−对任意x恒成立，求实数b的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）1b【解

析】【分析】（1）求出()()()1e2xfxxa=+−，当0a时，方程e20xa−=的根为()ln2xa=，分12ea、102ea、12ea=讨论()fx即可；（2）转化为存在实数a使得ee2xxbxax+−恒成立，令(

)ee2xxgxxax=+−，则()minbgx，2x−时由导数判断函数()gx在()2,−+上单调递增，且存在()02,2xa−使得()00gx=，可得()()0mingxgx=，原命题可转化为存在a使

得()0001e2xbxax+−在()2,−+上成立，结合()00gx=求出2a，存在()02,x−+，使得()0200e1−−+xbxx成立，令()()2e1xhxxx=−−+，由导数得()()max01h

xh==可得答案.【小问1详解】()2e2xfxxaxax=−−，则()()()1e2xfxxa=+−，当0a时，方程e20xa−=的根为()ln2xa=，的当()ln21a−，即12ea时，当(),1x−−和()()ln2,xa+时

，()0fx¢>，()fx单调递增，当()()1,ln2xa−时，()0fx，()fx单调递减，当()ln21a−，即102ea，当()(),ln2xa−和()1,x−+时，()0fx¢>，()fx单调递增，当

()()ln2,1xa−时，()0fx，()fx单调递减，当()ln21a=−，即12ea=时，0y恒成立，函数在R上单调递增，综上所述，当102ea时，()fx在()(),ln2a−，()1,

−+上单调递增，在()()ln2,1a−上单调递减；当12ea=时，()fx在R上单调递增，当12ea时，()fx在(),1−−，()()ln2,a+上单调递增，在()()1,ln2a−上单调递减；【小问2详解】存在实数a使得()2fxba−

对任意x恒成立，即ee2xxbxax+−恒成立，令()ee2xxgxxax=+−，则()minbgx，因为()()2e2xgxxa=+−，当2x−时，()0gx恒成立；当2x−时，()()3e0xgxx

=+，函数()gx在()2,−+上单调递增，且()220ga−=−，()()2222e20agaaa=+−，所以，存在()02,2xa−，使得()00gx=，且()gx在()02,x−上单调递减，在()0,x+上单调递增，所以()()()0000min1e2xgxgxxax

==+−，于是，原命题可转化为存在a使得()0001e2xbxax+−在()2,−+上成立，又因为()()0002e20xgxxa=+−=，所以()0022exax=+，所以存在()02,x−+，使得()()()00022000001e2ee1xxx

bxxxxx+−+=−−+成立，令()()2e1xhxxx=−−+，()2,x−+，则()()2e3xhxxx=−−，所以当()2,0x−时，()0hx，()hx单调递增，当()0,x+时，()

0hx，()hx单调递减，所以()()max01hxh==，所以1b.【点睛】思路点睛：在第二问中，转化为存在实数a使得()2fxba−对任意x恒成立，即ee2xxbxax+−恒成立，再构造函数令()ee2xxgx

xax=+−，则()minbgx，考查了学生分析问题、解决问题以及运算能力.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com