【文档说明】安徽省A10联盟2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题 含解析.docx，共(22)页，1.367 MB，由小赞的店铺上传

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2022级高二上学期11月期中考数学（人教A版）试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卷上作答.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线310xy+−=的倾斜角为（）A.6B.3C.23D.56【答案】C【解析】【分析】由斜率直接求解倾斜角即可.【详解】设倾斜角为),0,，则tan3=−

，则23=.故选：C.2.若双曲线2212yxm−=的焦点与椭圆22149xy+=的焦点重合，则m的值为（）A.2B.3C.6D.7【答案】B【解析】【分析】先求出椭圆的焦点，再由两曲线的焦点重合，列方程可求出m的值.【详解】因为椭圆22149

xy+=的焦点为()()0,5,0,5−，所以双曲线的焦点为()()0,5,0,5−，故25m+=，解得3m=.故选：B.3.以()()2,0,0,4AB−两点为直径的两个端点的圆的方程为（）A.22(1)(2)20xy++−=B.22(1)(2)5xy++−=C.22(1)(2)2

0xy−++=D.22(1)(2)5xy−++=【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，求出圆心坐标及半径得解.【详解】依题意，圆心坐标为AB中点，即()1,2-，半径为2211||(20)(04)522AB=−++=，所以圆的方程为22(1)(

2)5xy−++=.故选：D4.堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图，在堑堵111ABCABC-中，π2ACB=，若1222AAACBC===，则异面直线1BC与1AB所成角的余弦值为（）A.3010B.3010−C

.7010D.7010−【答案】A【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.【详解】由题意得，1CC⊥平面,,ABCCACB⊥以C为坐标原点，1,,CACBCC分别为,,

xyz轴，建立空间直角坐标系如图所示，则()()11,0,2,0,1,0AB，()10,1,2B，所以()()110,1,2,1,1,2BCAB=−−=−−.设异面直线1BC与1AB所成的角为，则11111133

0coscos,1056BCABBCABBCAB====.故选：A.5.已知椭圆22:12516xyC+=的左､右焦点分别为12,,,FFAB两点都在C上，且,AB关于坐标原点对称，下列说法错误的是（）A.AB的最大值为10B.22AFBF+为定值C.C

的焦距是短轴长的34D.存在点A，使得12AFAF⊥【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合椭圆的定义以及几何性质，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】由题意得，2222225,16,9abcab===−=，所以5,4,3

abc===，而210ABa=，2324cb=，故选项A，C正确；由椭圆的对称性知，2212210AFBFBFBFa+=+==，故选项B正确；当A在y轴上时，22212556cos0255FAF+−=，则最大角12FAF为锐角，所以不存

在点A，使得12AFAF⊥，故选项D错误.故选：D.6.已知在ABC中，顶点()1,1A，点B在直线20lxy−+=:上，点C在x轴上，则ABC的周长的最小值为（）A.5B.25C.45D.552【答案】B【

解析】【分析】利用对称将三角形的周长转化为四点共线问题，求出两点之间距离即可.【详解】设点A关于直线20lxy−+=:的对称点为()111,Axy，点()1,1A关于x轴的对称点为()222,Axy，连接12AA交l于B，交x轴于C，则此时ABC的周长取最小值，且最小值为1

2AA，1A与()1,1A关于直线l对称，11111111112022yxxy−=−−++−+=，解得()1111,1,33xAy=−−=，易求得()21,1A−，1225AA=，即ABC周长的最小值为25.故选：B.7.《九章算术》是我国古代的数学名著

，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马PABCD−中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点,,OEF分别为,PDPB的中点，点G满足(01),4,2AGAPPAAB===，若OG//平面CEF，则=（）A.

14B.13C.12D.23【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的坐标运算求解.【详解】因为PA⊥平面,,ABCDABAD平面ABCD，所以,PAABPAAD⊥⊥，又底面ABCD是正方形，所以ABAD⊥，则,,PA

ABAD两两垂直，以点A为坐标原点，,,ABADAP的方向分别为,,xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()1,1,0,2,2,0OC，()()0,1,2,1,0,2EF，所以()()1,1,0,2,1,2EFEC=−=−设平面CEF的法向量为(),,mxyz=，则0220EFmx

yECmxyz=−==+−=，令2x=，得()2,2,3m=.设()()0,0,,1,1,GaOGa=−−，因为OG//平面CEF，所以0OGm=，即121230a−−+=，解得43a=，故43AG=，所以41343==.故选:B.8.

已知底边BC长为2的等腰直角三角形,ABCD是平面ABC内一点，且满足:3:1DBDC=，则ABD△面积的最大值是（）A.362+B.362−C.32232+D.32232−【答案】A.【解析】【分析】建系求出D点的轨迹方程，利用圆上动点到直线距离最值的求法求出三角形高的最大值即可得解

.【详解】以BC的中点O为原点，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图，则()()()0,1,1,0,1,0ABC−，设(),Dxy，因为:3:1DBDC=，所以2222(1)3(1)3xyxy++=−+，得22(2)3xy−+=

，所以点D的轨迹为以()2,0为圆心，以3为半径的圆.当点D与直线AB距离最大时，ABD△面积最大，直线AB的方程为10xy−+=，2AB=，设圆心到直线的距离为d，则点D到直线AB的最大距离为2013223322dr−+++=+=，所以ABD△面积的最大值为1322

3362222++=.故选：A.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.直线l的方向向量为a，平面,的法向量分别为,nm，则下列命题为真命题的是（）A.若m

n⊥，则⊥B.若l，则an⊥C.若3cos,2an=，则直线l与平面所成角的大小为π6D.若1cos,2mn=，则平面,的夹角大小为π3【答案】ABD【解析】【分析】根据空间向量判断线面关系，即可判断AB，由空间向量计算空间角度，即可判断CD.【详解】若mn⊥，则⊥

，故A正确；若l，则an⊥，故B正确；因为直线与平面所成角的范围为π0,2，若3cos,2an=，则a与n的夹角为π6，所以直线l与平面所成角的大小为π3，故C错误；因为两平面夹角的范围为π0,2

，若1cos,2mn=，则平面,的夹角大小为π3，故D正确.故选：ABD.10.若方程22151xytt+=−−所表示的曲线为C，则（）A.曲线C可能是圆B.若15t，则C为椭圆C.若C为椭圆，且焦点在x轴上，则13tD.若C为双曲线，且

焦点在y轴上，则1t【答案】AC【解析】【分析】AB选项，计算出3t=时，曲线C表示圆，A正确，B错误；C选项，根据焦点在x轴上的椭圆所满足的条件得到不等式，求出答案；D选项，根据焦点在y轴上的双曲线所满足的条件得到不等式，求出答案.【详解】A选项，当510tt−=

−，即3t=时，方程22151xytt+=−−为222xy+=，表示圆心为原点，半径为2的圆，故选项A正确，选项B错误；C选项，若C为椭圆，且焦点在x轴上，则510tt−−，解得13t，故选项C正确

；D选项，若C为双曲线，且焦点在y轴上，方程22151xytt+=−−即22115yxtt−=−−，则1050tt−−，解得5t，故选项D错误.故选：AC.11.下列有关直线与圆的结论正确的是（）A.过点()3,4且在,xy轴

上的截距相等的直线方程为70xy−−=B.若直线10kxyk−−−=和以()()2,1,3,2MN为端点的线段相交，则实数k的取值范围为3,22C.若点(),Pab是圆222(0)xyrr+=外

一点，直线l的方程是2axbyr+=，则直线l与圆相离D.若圆22(1)4xy−+=上恰有3个点到直线yxb=+的距离等于1，则实数12b=−【答案】BD【解析】【分析】对于A，分截距为零和截距不为零两种情况求解判断，对于B，由于直线10kxyk−−−=过

定点()1,1P−，所以求出,PMPNkk可得答案，对于C，求出圆心到直线的距离与半径比较即可，对于D，由题意可得圆心()1,0到直线0xyb−+=的距离等于1，从而可求出b的值.【详解】对于A，若直线在坐标轴上的截距为零，设直线方程为ykx=，则43k=，得43k=，所以直线方程为43yx=

，即430xy−=，若直线在坐标轴上的截距不为零，则设直线方程为1xyaa+=，则341aa+=，得7a=，所以直线方程为177xy+=，即70xy+−=，综上过点()3,4且在,xy轴截距相等的直线方程为430xy−=或70xy+−=，所以A错误对于B

，由10kxyk−−−=，得(1)(1)0kxy−−+=，所以直线10kxyk−−−=过定点()1,1P−，因为1(1)2(1)32,21312PMPNkk−−−−====−−，所以322k≤≤，故B正确；对于C，因为点(),Pab是圆222(0)xyrr+=外一点，所以

222abr+，所以圆心()0,0到直线2axbyr+=的距离222rdrab=<+，所以直线l与圆相交，故C错误；对于D，由圆的方程22(1)4xy−+=，得圆心为()1,0，半径为2，若圆上恰有3个点到直线y

xb=+的距离等于1，则圆心()1,0到直线0xyb−+=的距离等于1，则112bd+==，解得12b=−，故D正确.故选：BD.12.已知O为坐标原点，12,FF分别为双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=，的左、右焦点，C的一条渐近线l的

方程为3yx=，且1F到l的距离为33，P为C在第一象限上的一点，点Q的坐标为()2,0，PQ为12FPF的平分线，则下列说法正确的是（）A.双曲线C的方程为221927xy−=B.双曲线C的离心率为2C.213PFPF=D.点P到x轴的距离为3152【答案】ABD【解析】【分

析】由1F到l的距离为33以及渐近线方程为3yx=可求得3,33,6abc===，即可得出方程，判断A；根据离心率公式即可判断B，由1122PFQFPFQF=可求出判断C；利用等面积法可求得点P到x轴的距离，判断D.【详解】对于A，由1(,0

)Fc−到渐近线3yx=的距离为33，得3332c=，解得6c=，由渐近线方程为3yx=，得ba=3，结合222+=abc可得3a=，33b=，则双曲线C的方程为221927xy−=，故A正确．对于B，2cea==，

故B正确．对于C，PQ为12FPF的平分线，则1122824PFQFPFQF===，故C错误．对于D，由双曲线定义可得126PFPF−=，则可得112PF=，26PF=，在12PFF△中，22212126121cos21264FPF+−==，212211co4ns15s

iFPFFPF==−，设点P到x轴的距离为d，则1212121211sin22PFFSFFdPFPFFPF==即111512126224d=，解得3152d=，故D正确．故选：ABD．第II卷（非选择题共90分）三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13

.已知圆22:4Cxy+=，过点()1,1P的直线被圆C截得弦长最短时，直线的方程为__________.【答案】20xy+−=【解析】【分析】根据题意，由条件可得过点P且弦长最短弦应是垂直于直线CP的弦，再由直线的点斜式方程，即可得到结果.【详解】显然点P在圆C内，过

点P且弦长最短的弦应是垂直于直线CP的弦，又直线CP的斜率为1，所以所求直线的斜率为1−，故所求直线的方程为()11yx−=−−，即20xy+−=.故答案为：20xy+−=14.在长方体1111ABCDABCD−中，底面是边长为1的正方形，12,AAE=为

1AD的中点，F为1CC上靠近点C的三等分点，则点E到平面BDF的距离为__________.【答案】41717【解析】【分析】先求出平面的法向量，然后再根据点到面的距离公式求出距离即可.【详解】如图所示，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，，则()1,0,0B，()1

20,1,0,0,,1,1,1,23DEF，所以()1,1,0BD=−，210,1,,1,,132BFBE==−，设平面BDF的法向量为(),,nxyz=r，则002003x

ynBDyznBF−+==+==，令3z=−，则2,2xy==，所以()2,2,3n=−，所以点E到平面BDF的距离44171717nBEdn===，的故答案为：4171715.已知双曲线2222:1xyCab−=的离心率是125,,FF分别为双曲线C的左､右焦点，过点

2F且垂直于x轴的垂线在x轴上方交双曲线C于点M，则12tanMFF的值为__________.【答案】255##255【解析】【分析】首先求出M点坐标，再由锐角三角函数及离心率计算可得.【详解】由题意得，5cea==，点M的横坐标为c，将xc=代入双曲线C的方程，得22221cyab

−=，所以2bya=，又0y，所以2,bMca，所以22221215125tan222525bcaeMFFacace−−−=====.故答案为：25516.过直线:40lxy−+=上任意点P作圆22:4Oxy+=的两条切线，切点分别

为,AB，直线AB过定点__________；记线段AB的中点为Q，则点Q到直线l的距离的最小值为__________.【答案】①.()1,1−②.2【解析】【分析】设00(,)Pxy，则可得以OP为直径的圆的方程为()()000xxxyyy−+−=，结合点P在直线

上，也在圆上化简可得004xxyy+=，从而可得直线AB的方程，进而可求得直线过的定点，设(),Qxy，则由0MQOQ=可求出点Q的轨迹方程，从而可求出点Q到直线l的距离的最小值.【详解】设00(,)Pxy，因为P是直线:40lxy−

+=上一点，所以004yx=+，以OP为直径的圆的方程为()()000xxxyyy−+−=，即22000xyxxyy+−−=，所以004xxyy+=，即直线AB的方程为004xxyy+=，又004,yx=+直线AB的方程为()0440

xxyy++−=，故直线AB过定点()1,1−.设(),Qxy，直线AB过定点为M，则()1,1M−，由0MQOQ=，得()()110xxyy++−=，整理得点Q的轨迹方程为22111222xy++−=，因为点11,22

−到直线:40lxy−+=的距离11432222222d−−+==，所以直线:40lxy−+=与圆22111222xy++−=相离，所以点Q到直线l的距离的最小值为114222222−−+−=.故答案为：()1

,1−，2四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.已知ABC的三个顶点分别是()()()4,0,6,7,0,3ABC.（1）求边BC的高所在的直线方程；（2）求平分ABC的面积且过点

B的直线的方程.【答案】（1）32120xy+−=（2）118100xy−−=【解析】【分析】（1）先求直线BC的斜率，进而可得BC的高所在的直线的斜率，结合点斜式方程运算求解；（2）由题意可知：所求直线即

为边AC的中线所在的直线，结合点斜式方程运算求解.【小问1详解】由题意可得：直线BC的斜率372063BCk−==−，则边BC的高所在的直线的斜率32k=−，所求直线方程为()3042yx−=−−，即32120xy+−=.【小问2详解】由题意可知：所求直线即为边AC的中线所在的直线，则线段AC的中

点为32,2D，可得直线BD的斜率37112628BDk−==−，所以直线BD的方程为()311228yx−=−，即118100xy−−=.18.已知双曲线()2222:10,0xyCaba

b−=的一条渐近线与直线20xy+=垂直，且右顶点A到该条渐近线的距离为255.（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l与双曲线C交于A、B两点，线段AB的中点为()3,2M，求直线l的斜率.【答案】（1）2214yx−=（2）6【解析】【分析】（1）根

据已知条件求出ba的值，利用点到直线的距离求出a的值，即可得出b的值，由此可得出双曲线C的方程；（2）利用点差法可求得直线l的斜率.【小问1详解】解：因为双曲线C的一条渐近线与直线20xy+=垂直，且直线20xy+=的斜率为12−，且双曲线C的渐近线为byxa=，则112ba−=−，可得2

ba=，所以，双曲线C的渐近线方程为2yx=，即20xy=，因为右顶点(),0a到该条渐近线的距离为255，所以22555a=，解得1a=，所以2b=，所以双曲线C的方程为2214yx−=.【小问2详解】解：若直线lx⊥轴，则A、

B关于x轴对称，此时，线段AB的中点在x轴上，不合乎题意，设()11,Axy、()22,Bxy，设直线l的斜率为k，则221122221414yxyx−=−=，则()2222121204yyxx−

−−=，所以()()()()1212121204yyyyxxxx+−+−−=，化简得121212124yyyyxxxx+−=+−.因为线段AB的中点为()3,2M，所以126xx+=，124yy+=，所以446k=，解得6k=，即直线l的斜率为

6.19.已知点()4,0P，圆C的圆心在直线40xy−−=上，且圆C与y轴切于点()0,2M−.（1）求圆C的方程；（2）若直线l过点P且被圆C截得的弦长为22，求直线l的方程.【答案】（1）22(2)(2)4−++

=xy（2）()()234yx=+−或()()234yx=−−【解析】【分析】（1）设圆心坐标为(),Cab，则由题意列方程组可求出,ab，从而可求出圆的方程；（2）先由已知求出圆心到直线的距离，然后分直线l的斜率存在和不存在

两种情况讨论即可.【小问1详解】设圆心坐标为(),Cab，因为圆C的圆心在直线40xy−−=上，且圆C与y轴切于点()0,2M−，所以402abb−−==−，解得22ab==−，所以()2,2C−，半径2rMC==，所以圆C的方程为22(2)(2)4−++

=xy.【小问2详解】由题意得，圆心()2,2C−到直线l的距离为422−=.若直线l的斜率存在，设直线l的方程为()4ykx=−，则()224221kk−+=+，解得23k=+或23k=−.当直线l的斜率不存在，l的方程为4x=，此时圆心()2,2C−到直线l的距离为2，不满足题意

，舍去.综上，直线l的方程为()()234yx=+−或()()234yx=−−.20.一动圆与圆221:650Cxyx+++=外切，同时与圆222:6910Cxyx+−−=内切，动圆圆心的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）点P为E上一动点，点O为坐标

原点，曲线E的右焦点为F，求22||||POPF+的最小值.【答案】（1）2213627xy+=（2）45【解析】【分析】（1）设动圆圆心为(),Mxy，半径为R，由题意可得121212CMCMCC+=，从而可得点M的轨迹是焦点为()()123,0,3,0CC−，且长轴

长等于12的椭圆，进而可求出其方程；（2）设(),Pxy，则222223||||26921662POPFxxxyx+=+=++−−，再结合x的取值范围可求得结果.【小问1详解】设动圆圆心为(),Mxy，半径为R，将圆的方程分别配方得：圆221:(3)4Cxy++=，圆222:(3)10

0Cxy−+=，当动圆M与圆1C外切时，12CMR=+，当动圆M与圆2C内切时，210CMR=−，所以121212CMCMCC+=，所以点M的轨迹是焦点为()()123,0,3,0CC−，且长轴长等于12的椭圆.设该椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦

距为2c，所以26,212ca==，所以3,6ca==，所以236927b=−=，所以动圆圆心轨迹方程2213627xy+=.【小问2详解】由（1）得，()3,0F，设(),Pxy，所以22222222||||(3)2692P

OPFxyxyxxy+=++−+=−++.因为点P在椭圆上，所以2236,6,274xyx−=−，所以222211||||663(6)4522POPFxxx+=−+=−+，所以当6x=时，()22min||||45POPF+=，故22||||P

OPF+的最小值为45.21.如图，在三棱锥SABC−中，SAB△是边长为2的等边三角形，AC⊥平面SAB，,,,MNPQ分别是,,,SBBCSACN的中点.为（1）求证：PQ平面AMN；（2）若2AC=，求平面AMN与平面SAC夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）155【解析】【分析

】（1）连接BP交AM于点I，由题意可证得NIPQ，进而得PQ平面AMN；（2）以A为坐标原点，分别以,ABAC为x轴，y轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面AMN及平面SAC的法向量，利用向量的夹角公式求解.【小问1详

解】连接BP交AM于点I，连接NI.因为,MP分别为,SBSA的中点，所以I为SBA的重心，所以23BIBP=.因为N为BC中点，Q为CN的中点，所以23BNBQ=，所以BIBNBPBQ=，所以NIP

Q.又因为PQ平面,AMNNI平面AMN，所以PQ平面AMN.【小问2详解】如图所示，以A为坐标原点，分别以,ABAC为x轴，y轴的正方向建立空间直角坐标系，的则()()()()()33130,0,0,2,0,0,0,2,0,1,0,3,,0,,1,1,0,,,02222ABCSMN

Q，所以()()()33,0,,1,1,0,1,0,3,0,2,022AMANASAC====.设平面AMN的法向量为(),,mabc=，则00mAMmAN==，即300acab

+=+=，取()1,1,3m=−−.设平面SAC的法向量为(),,nxyz=r，则00nASnAC==，即3020xzy+==，取()3,0,1n=−.设平面AMN与平面SAC夹角为，则231

5coscos,552mnmnmn====，所以平面AMN与平面SAC夹角的余弦值为155.22.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左､右焦点分别为12,FF，该椭圆的离心率为12，且椭

圆上动点M与点1F的最大距离为3.（1）求椭圆C的方程；（2）如图，若直线l与x轴､椭圆C顺次交于,,PQR（点P在椭圆左顶点的左侧），且11πPFQPFR+=，求1RQF面积的最大值.【答案】（1）22143xy+=（2）334【解析】【

分析】（1）根据题意，列出关于,,abc的方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，设直线PQ的方程为()0xmynm=+，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，再由三角形的面积公式，代入计算，结合基本不等式，即可得到结果.【小问

1详解】椭圆的离心率为11,22cea==，即2ac=.椭圆上动点M与点1F的最大距离为3,3ac+=，2,1,3,acb===椭圆C的方程为22143xy+=.【小问2详解】设()()1122,,,QxyRxy，由（1）知，()11,

0F−，1111,0QFRFPFQPFRkk+=+=，1212011yyxx+=++，化简整理，得1222110xyyxyy+++=.设直线PQ的方程为()0xmynm=+，联立22143xmynxy=++=，得()222346312

0mymnyn+++−=，()()222222Δ364343120,34mnmnnm=−+−+.212121122226312,,,3434mnnyyyyxmynxmynmm−+=−==+=+

++，()()1222111212210xyyxyymyynyy+++=+++=，()2223126210,0,43434nmnmnmnmm−++−==−++，直线PQ的方程为()40xmym=−.点()11,0F−

到直线PQ距离2214311dmm−+==++，()12221212221134141822341FQRmSQRdmyyyymm−==++−=++.22234,4,3416nmnm+=−+，即24m.令24mt−=，则22

0,4tmt=+，()2222411116343161683344323mttmtttttt−====+++++，当且仅当163tt=时，等号成立，此时222843mt=+=，直线l存在.的获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com