【文档说明】【精准解析】江苏省苏州中学2019-2020学年高二下学期阶段调研数学试题.pdf，共(18)页，280.443 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

-1-高二数学阶段调研一、单选题（共8题，共40分）1.若i是虚数单位，复数21ii()A.1322iB.1322iC.3322iD.3322i【答案】B【解析】【分析】将2i1i的分子分母都乘以分母的共轭复数1i，即可化简出．【详解】2i1i2i13

i13i1i1i1i222，故选B．【点睛】本题考查复数的除法运算，关键是将其分子分母都乘以分母的共轭复数．2.设复数z＝﹣1+2i，（i为虚数单位），则复数z的共轭复数z在复平面上对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象

限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】写出共轭复数以及其对应点的坐标即可判断.【详解】因为复数z＝﹣1+2i，故其共轭复数为12i，则其对应的点为1,2,该点在第三象限.故选：C.【点睛】本题考查共轭复

数的求解，以及复数在复平面内对应点的求解.3.一个物体的运动方程为21stt，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A.5米/秒B.6米/秒C.7米/秒D.8米/秒【答案】

A【解析】【分析】-2-由物体的运动方程为21stt，得()12stt，代入3t，即可求解，得到答案．【详解】由题意，物体的运动方程为21stt，则()12stt，所以物体在3秒末的瞬时速度是(3)1235s米/秒，故选A．【点睛】本题主要考查了

导数的计算，以及瞬时速度的计算，其中解答中熟悉导数的计算公式和瞬时速度的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．4.函数exyx在0,2上的最小值是（）A.2eB.2eeC.23eD.e【答案】D【解析】【分析】利用导数分析函数exyx在区间

0,2上的单调性，进而可求得该函数在区间0,2上的最小值.【详解】xeyx，21xexyx，令0y，可得1x.当01x时，0y；当12x时，0y.所以，函数ex

yx在1x处取得极小值，亦即最小值，即minye.故选：D.【点睛】本题考查利用导数求函数在区间上的最值，考查计算能力，属于基础题.5.复数z满足3i13iz,则zA.1B.3C.2D.23【答案】A【解析】-3-由题知1-

3i3-i1-3iz===-i3+i3+i3-i，则22011z．故本题答案选A．6.如图，函数yfx的图象在点5,5Pf处的切线方程是855yxff，则A.12B.1C.2D.0【答案】C【解析】【详解】553(

1)2ff，选C7.欧拉公式cossinixexix（i为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2ie表示的复数记为z，则(1

2)zi的值为（）A.2iB.2iC.2iD.2i【答案】A【解析】【分析】根据欧拉公式求出2cossin22izeii，再计算(12)zi的值.【详解】∵2cossin22izeii，∴(12)(12)2ziiii.故选

：A.-4-【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z.8.已知函数()fxlnxxk，在区间1[,]ee上任取三个实数a，b，c均存在以(),(),()fafbfc为边长的三角形，则实数k的取值范围是()A.(,1)B.(,3)e

C.(1,)D.(3,)e【答案】D【解析】【分析】由条件可得2()()minmaxfxfx且()0minfx，再利用导数求得函数的最值，从而得出结论．【详解】任取三个实数a，b，c均存在以(),()

,()fafbfc为边长的三角形，等价于()()()fafbfc恒成立，可转化为2()()minmaxfxfx，且()0minfx．令11()10xfxxx得1x．当11xe时，()0fx；当1xe时，()0fx；所以当1x时，min()(

1)1fxfk，11(){(),()}1,11maxfxmaxffemaxkekekee，从而可得2(1)110kekk，解得3ke.故选：D．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值、

不等式恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．二、多选题（共4题，共20分）9.如果函数yfx的导函数的图象如图所示，则下述判断正确的是（）-5-A.函数yfx在区间13,2内单调递增B.函数yfx在区间1

,32内单调递减C.函数yfx在区间4,5内单调递增D.当2x时，函数yfx有极大值【答案】CD【解析】【分析】根据导函数符号与函数单调性的关系可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，当32x时

，0fx，则函数yfx在区间3,2上单调递减，A选项错误；对于B选项，当122x时，0fx，则函数yfx在区间1,22上单调递增，B选项错误；对

于C选项，当45x时，0fx，则函数yfx在区间4,5上单调递增，C选项正确；对于D选项，当22x时，0fx，当24x时，0fx，所以，函数yfx在2x处取得

极大值，D选项正确.故选：CD.【点睛】本题考查利用导函数的图象判断函数的单调性与极值，考查推理能力，属于中等题.10.已知函数32fxxaxbxc，2,2x表示的曲线过原点，且在1x处的切线斜率均为1，以下命题

正确的是（）-6-A.fx的解析式为34fxxx，2,2xB.fx的极值点有且仅有一个C.fx的极大值为1639D.fx的最大值与最小值之和等于零【答案】ACD【解析】【分

析】根据题意得出关于a、b、c的方程组，求出a、b、c的值，可判断A选项的正误，利用导数可判断B、C、D的正误，综合可得出结论.【详解】32fxxaxbxc，232fxxaxb，由题意可得0013211321f

cfabfab，解得040abc，则34fxxx，2,2x，234fxx，令0fx，得232,23x.当2323x或2323x时，0fx

；当232333x时，0fx.所以，函数yfx有两个极值点，且函数yfx的极大值为2316339f，极小值为2316339f.3224202ff，所以，max1639f

x，min1639fx.所以，函数yfx的最大值和最小值之和为零.综上所述，A、C、D选项正确，B选项错误.故选：ACD.【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值点、极值和最值，考查计算能力，属于中等题.-7-11.已知复数z对应复平面内点A，则下列关于复数z、1z、2

z结论正确的是（）A.2zi表示点A到点0,2的距离B.若123zzi，则点A的轨迹是椭圆C.121212zzzzzzD.1212||zzzz【答案】BCD【解析】【分析】利用复数的几何意义可判断A选项的正误；利

用椭圆的定义可判断B选项的正误；利用复数模的三角不等式可判断C选项的正误；利用复数的乘法运算和模长公式可判断D选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A选项，设点,Axy，则zxyi，22222zixyi

xy，则2zi表示点A到点0,2的距离，A选项错误；对于B选项，由复数的几何意义可知，123zzi表示点A到点1,0M和点0,2N的距离之和为3，且53MN，所以，点A的轨迹是

椭圆，B选项正确；对于C选项，由复数模的三角不等式可得121212zzzzzz，C选项正确；对于D选项，设1zabi，2zxyi，则12zzabixyiaxbyaybxi，

22222222222221212zzaxbyaybxaxbyaybxabxyzz，D选项正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数模的几何意义相关命题真假的判断，涉及椭圆定义、三角不等式的应用，考查推理能力，属于中

等题.12.以下命题正确的是（）A.0a是zabi为纯虚数的必要不充分条件-8-B.满足210x的x有且仅有iC.“在区间,ab内0fx”是“fx在区间,ab内单调递增”的充分不必要条件D.已知fxxxx，

则1878fxx【答案】AC【解析】【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A选项的正误；解方程210x可判断B选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判

断D选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A选项，若复数zabi为纯虚数，则0a且0b≠，所以，0a是zabi为纯虚数的必要不充分条件，A选项正确；对于B选项，解方程210x得xi，B选项错误；对于C选项，当,xab时

，若0fx，则函数fx在区间,ab内单调递增，即“在区间,ab内0fx”“fx在区间,ab内单调递增”.反之，取3fxx，23fxx，当1,1x时，0fx，此时，

函数yfx在区间1,1上单调递增，即“在区间,ab内0fx”“fx在区间,ab内单调递增”.所以，“在区间,ab内0fx”是“fx在区间,ab内单调递增”的充分不必要条件.C选项正确；对

于D选项，11172488fxxxxxx，1878fxx，D选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.-9-三、填空题（共4

题；共20分）13.复数1ii（i是虚数单位）的虚部为______．【答案】1【解析】【分析】先将复数化简，再求虚部即可【详解】11iii，所以复数的虚部为：1故答案为1【点睛】本题考查复数的基本

概念，在复数zabi中，实部为a，虚部为b，属于基础题14.已知在复平面上的ABCD中，AC对应的复数为68i，BD对应的复数为46i，则向量DA对应的复数为_________.【答案】17i【解析】【分析】DA

表示为1()2CADB，代入相对应的复数即可得解.【详解】设ABCD的对角线AC与BD相交于点P，由向量加减法的几何意义可得111()222CDAPAPDCABADBD

，所以DA对应的复数为1(6846)172iii.故答案为：17i【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.15.如图，酒杯的形状为倒

立的圆锥.杯深8cm，上口宽6cm，水以320/cms的流量倒入杯中，则当水深为4cm时，时刻t________s，水升高的瞬时变化率v_________/cms.-10-【答案】(1).320(2).809【解析】【分析】计算出当水

深为4cm时，水的体积，然后除以流速可得出时刻t的值，设水的深度为hcm，求出h关于t的函数表达式，利用导数可求得当水深为4cm时，水升高的瞬时变化率.【详解】当水深为4cm时，酒杯中水面的半径为32cm，此时水的体积为2134332V

，由题意可得203t，可得320ts；设水的深度为hcm，水面半径为rcm，则83hr，则38rh，由题意可得22311332033864trhhhh，1312803th，123311

28033ht，当320t时，123311280380/33209hcms.故答案为：320；809.【点睛】本题考查变化的快慢与变化

率，正确解答本题关键是得出高度关于时间的函数关系，然后利用导数求出高度为4时刻的导数值，即得出此时的变化率，本题是一个应用题求解此类题，正确理解题意很关键．由于所得的解析式复杂，解题时运算量较大，要认真解题避免因为运算出错导致解题失败．16.若12sinaxxa

x对任意的0,2x都成立，则21aa的最小值为________.【答案】21【解析】【分析】作出函数sinyx在区间0,2上的图象，利用图象可知，当直线2yax与曲线sin

yx图象相切于原点时，2a取最小值，当直线1yax过点,12时，1a取最大值，进而可求得21aa-11-的最小值.【详解】如下图所示：对于函数sinyx求导得cosyx，当0x时，1y.由于12sinaxxax对任意的0,2x都成立，当直线2

yax与曲线sinyx图象相切于原点时，2a取最小值1；当直线1yax过点,12时，1a取最大值10202.因此，21aa的最小值为21.故答案为：21.【点睛】本题考查利用函数不等式求参数，解答的关键就是找出直线与曲线的临界位置，考查数形结合思想的

应用，属于中等题.四、解答题（共6题；共70分）17.计算：（1）5433ii；（2）101i.【答案】（1）2i；（2）32i.【解析】【分析】（1）利用复数的加法法则可求得结果；（2）计算出21i的值，

进而利用复数的乘方法则可得出结果.【详解】（1）原式53432ii；-12-（2）212ii，因此，5102551123232iiiii.【点睛】本题考查复数的计算，考查复数的四则运算法则的应用，考查计算能力，

属于基础题.18.已知函数lnfxxx.（1）求函数的图象在点xe处的切线方程；（2）求函数的极值.【答案】（1）2yxe；（2）极小值为1e.【解析】【分析】（1）求出fe和fe的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）利用导数求出函数yfx的极值点

，列表分析函数yfx的单调性，进而可求得函数yfx的极值.【详解】（1）lnfxxx，ln1fxx，则fee，2fe，因此，函数yfx的图象在点xe处的切线方程为2yexe，即2yxe；（2）函数lnfxx

x的定义域为0,，且0fx，得1xe，列表如下：x10,e1e1,efx0fx极小值所以，函数yfx的单调递减区间为10,e，单调递增区间为1,e

，则函数yfx在1xe处取得极小值，且极小值为11eef.【点睛】本题考查利用导数求函数图象的切线方程，同时也考查了利用导数求函数的极值，-13-考查计算能力，属于基础题.

19.已知O为坐标原点，向量1OZ、2OZ分别对应复数1z、2z，且213105zaia，22251zaiaRa.若12zz是实数.（1）求实数a的值；（2）求以1OZ、2OZ为邻边的平行四边形的面积.

【答案】（1）3a；（2）118.【解析】【分析】（1）求出1z和2z，由复数12zz是实数，可求得实数a的值；（2）求出1OZ和2OZ，利用平面向量的数量积求出12cosZOZ，进一步求出12sinZOZ，结合三角形的面积公式可求得所求四边形的面积.【详解

】（1）由题意可得213105zaia，22251zaia，则2123221551zzaaiaa，由于复数12zz是实数，则221505010aaaa，解得3a；（2）由（1）可得138zi，21zi

，则点13,18Z，21,1Z，因此，以1OZ、2OZ为邻边的平行四边形的面积为121118SZZ.【点睛】本题考查利用复数类型求参数，同时也考查了四边形面积的计算，涉及平面向量数量积的应

用，考查计算能力，属于中等题.20.已知函数323fxxaxx.（1）若4a时，求fx在1,4x上的最大值和最小值；（2）若fx在2,x上是增函数，求实数a的取值范围.-14-【答案】（1）最大值为6，最小值为18；（2）

9,4.【解析】【分析】（1）利用导数求出函数yfx在区间1,4上的极值，并与1f和4f的值，由此可得出函数yfx在区间1,4上的最大值和最小值；（2）由题意可得出0fx对任意的2,x恒

成立，利用参变量分离法得出323axx，求出函数33yxx在区间2,上的最小值，由此可求得实数a的取值范围.【详解】（1）当4a时，3243fxxxx，2383313fxxxxx，令0fx，

由于1,4x，则3x，列表如下：x1,333,4fx0fx极小值所以，函数yfx在区间1,3上单调递减，在区间3,4上单调递增，当1,4x时，min318fxf，又16f，412f，则

max16fxf；（2）323fxxaxx，2323fxxax，由题意可知，0fx对任意的2,x恒成立，则323axx，函数33yxx在区间2,上为增函数，则min39622y，

所以，922a，即94a.因此，实数a的取值范围是9,4.-15-【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查运算求解能力，属于中等题.21.如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45方

向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C．为方便游客光，拟过曲线C上的某点分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的直角坐标系xOy，则曲线符

合函数242(19)yxxx„„模型，设PMx，修建两条道路PM，PN的总造价为()fx万元，题中所涉及的长度单位均为百米．（1）求()fx解析式；（2）当x为多少时，总造价()fx最低？并求出最低造价．【答案】（1）232()5

()(19)fxxxx„„；（2）当4x时，总造价最低，最低造价为30万元．【解析】【分析】（1）求出P的坐标，直线OB的方程，点P到直线0xy的距离，即可求()fx解析式；（2）利用导数的方法最低造价．【详解】解：（1）在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为242(19)

yxxx„„，所以点P坐标为242(,)xxx，直线OB的方程为0xy，则点P到直线0xy的距离为2224242|()|||422xxxxx，又PM的造价为5万元/百米，PN的造价为40万元/百米．则两条道路总造价为22432()5

405()(19)fxxxxxx„„．（2）因为22432()5405()(19)fxxxxxx„„，-16-所以333645(64)()5(1)xfxxx，令()0fx，得4x，列表如下：x(1,

4)4(4,9)()fx0()fx单调递减极小值单调递增所以当4x时，函数()fx有最小值，最小值为232(4)5(4)304f．答：（1）两条道路PM，PN总造价()fx为232()5()(19)fxxxx„„；（2）当4x时

，总造价最低，最低造价为30万元．【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，确定函数的解析式是关键．22.已知函数1()lnfxxaxx．（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx存在两个极值点12,xx，证明：12122fxfxaxx．【

答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对a进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；(2)根据fx存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定2a，令'()0fx，得到两个极值点12,xx是方程210

xax的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.详解：（1）fx的定义域为0,，222111axaxfxxxx.（i）若2a，则0fx，当且仅当2a，1x时

0fx，所以fx在0,单-17-调递减.（ii）若2a，令0fx得，242aax或242aax.当22440,,22aaaax时，0fx；当2244,2

2aaaax时，0fx.所以fx在22440,,,22aaaa单调递减，在2244,22aaaa单调递增.（2）由（1

）知，fx存在两个极值点当且仅当2a.由于fx的两个极值点12,xx满足210xax，所以121xx，不妨设12xx，则21x.由于12121221212121222lnlnlnln2ln

11221fxfxxxxxxaaaxxxxxxxxxx，所以12122fxfxaxx等价于22212ln0xxx.设函数12lngxxxx，由（1）知，gx在0,单调递减，又10g，从而当1,x时，

0gx.所以22212ln0xxx，即12122fxfxaxx.点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号

对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.-18-