【文档说明】【精准解析】江苏省苏州中学2019-2020学年高二下学期阶段调研数学试题.doc，共(19)页，1.547 MB，由小赞的店铺上传

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高二数学阶段调研一、单选题（共8题，共40分）1.若i是虚数单位，复数21ii−=+()A.1322i+B.1322i−C.3322i+D.3322i−【答案】B【解析】【分析】将2i1i−+的分子分母都乘以分母的共轭复数1i−

，即可化简出．【详解】()()()()2i1i2i13i13i1i1i1i222−−−−===−++−，故选B．【点睛】本题考查复数的除法运算，关键是将其分子分母都乘以分母的共轭复数．2.设复数z＝﹣1+2i，（i为虚数单位），则复数z的共轭

复数z在复平面上对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】写出共轭复数以及其对应点的坐标即可判断.【详解】因为复数z＝﹣1+2i，故其共轭复数为12i−

−，则其对应的点为()1,2−−,该点在第三象限.故选：C.【点睛】本题考查共轭复数的求解，以及复数在复平面内对应点的求解.3.一个物体的运动方程为21stt=−+，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A.5米/秒B.6米/秒C.7米/秒D

.8米/秒【答案】A【解析】【分析】由物体的运动方程为21stt=−+，得()12stt=−+，代入3t=，即可求解，得到答案．【详解】由题意，物体的运动方程为21stt=−+，则()12stt=−+，所以物体在3秒末的瞬时速度是(3)1235s=

−+=米/秒，故选A．【点睛】本题主要考查了导数的计算，以及瞬时速度的计算，其中解答中熟悉导数的计算公式和瞬时速度的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．4.函数exyx=在()0,2上的最小值是（）A.2eB

.2eeC.23eD.e【答案】D【解析】【分析】利用导数分析函数exyx=在区间()0,2上的单调性，进而可求得该函数在区间()0,2上的最小值.【详解】xeyx=，()21xexyx−=，令0y=，可得1x=.当01x时

，0y；当12x时，0y.所以，函数exyx=在1x=处取得极小值，亦即最小值，即minye=.故选：D.【点睛】本题考查利用导数求函数在区间上的最值，考查计算能力，属于基础题.5.复数z满足()3i

13iz+=−,则z=A.1B.3C.2D.23【答案】A【解析】由题知()()()()1-3i3-i1-3iz===-i3+i3+i3-i，则()22011z=+−=．故本题答案选A．6.如图，函数()yfx=的图象在点()()5,5Pf处的切线方程是()()855yxff=−++=

，则A.12B.1C.2D.0【答案】C【解析】【详解】()()553(1)2ff+=+−=，选C7.欧拉公式cossinixexix=+（i为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将

2ie表示的复数记为z，则(12)zi+的值为（）A.2i−+B.2i−−C.2i+D.2i−【答案】A【解析】【分析】根据欧拉公式求出2cossin22izeii==+=，再计算(12)zi+的值.【详解】∵2cossin2

2izeii==+=，∴(12)(12)2ziiii+=+=−+.故选：A.【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z.8.已知函数()fxlnxxk=−++，在区间1[,]ee上任取

三个实数a，b，c均存在以(),(),()fafbfc为边长的三角形，则实数k的取值范围是()A.(,1)−−B.(,3)e−−C.(1,)−+D.(3,)e−+【答案】D【解析】【分析】由条件可得2()()minmaxfxfx且()0minfx，再利用

导数求得函数的最值，从而得出结论．【详解】任取三个实数a，b，c均存在以(),(),()fafbfc为边长的三角形，等价于()()()+fafbfc恒成立，可转化为2()()minmaxfxfx，且()0minfx．令11()10xfxxx−=−+==得1x=．当11xe

时，()0fx；当1xe时，()0fx；所以当1x=时，min()(1)1fxfk==+，11(){(),()}1,11maxfxmaxffemaxkekekee==++−+=−+，从而可得2(

1)110kekk+−++，解得3ke−.故选：D．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值、不等式恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．二、多选题（共4题，共20分）9.如果函数()yfx=的导函数的图

象如图所示，则下述判断正确的是（）A.函数()yfx=在区间13,2−−内单调递增B.函数()yfx=在区间1,32−内单调递减C.函数()yfx=在区间()4,5内单调递增D.当2x=时，函数()yfx=有极大值【答案】CD

【解析】【分析】根据导函数符号与函数单调性的关系可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，当32x−−时，()0fx，则函数()yfx=在区间()3,2−−上单调递减，A选项错误；对于B选项，当122x−时，()0fx，则函数()yfx=在区间1,22−上单调递增，B选

项错误；对于C选项，当45x时，()0fx，则函数()yfx=在区间()4,5上单调递增，C选项正确；对于D选项，当22x−时，()0fx，当24x时，()0fx，所以，函数()yfx=在2x=处取得极大值，D选项正

确.故选：CD.【点睛】本题考查利用导函数的图象判断函数的单调性与极值，考查推理能力，属于中等题.10.已知函数()32fxxaxbxc=+++，2,2x−表示的曲线过原点，且在1x=处的切线斜率均为

1−，以下命题正确的是（）A.()fx的解析式为()34fxxx=−，2,2x−B.()fx的极值点有且仅有一个C.()fx的极大值为1639D.()fx的最大值与最小值之和等于零【答案】ACD【解析】【分析】根据题意得出关于a

、b、c的方程组，求出a、b、c的值，可判断A选项的正误，利用导数可判断B、C、D的正误，综合可得出结论.【详解】()32fxxaxbxc=+++，()232fxxaxb=++，由题意可得()()()0013211321fcfab

fab===++=−−=−+=−，解得040abc==−=，则()34fxxx=−，2,2x−，()234fxx=−，令()0fx=，得232,23x=−.当2

323x−−或2323x时，()0fx；当232333x−时，()0fx.所以，函数()yfx=有两个极值点，且函数()yfx=的极大值为2316339f−=，极小值为2316339f=−.()()()()32242

02ff−=−−−==，所以，()max1639fx=，()min1639fx=−.所以，函数()yfx=的最大值和最小值之和为零.综上所述，A、C、D选项正确，B选项错误.故选：ACD.【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值点、极值和最值，考查计算能力，

属于中等题.11.已知复数z对应复平面内点A，则下列关于复数z、1z、2z结论正确的是（）A.2zi+表示点A到点()0,2的距离B.若123zzi−++=，则点A的轨迹是椭圆C.121212zzzzzz−++D.

1212||zzzz=【答案】BCD【解析】【分析】利用复数的几何意义可判断A选项的正误；利用椭圆的定义可判断B选项的正误；利用复数模的三角不等式可判断C选项的正误；利用复数的乘法运算和模长公式可判断D选项的正误.

综合可得出结论.【详解】对于A选项，设点(),Axy，则zxyi=+，()()22222zixyixy+=++=++，则2zi+表示点A到点()0,2−的距离，A选项错误；对于B选项，由复数的几何意义可知，123zzi−++=表示点A到点()1,0M和点()0,2N

−的距离之和为3，且53MN=，所以，点A的轨迹是椭圆，B选项正确；对于C选项，由复数模的三角不等式可得121212zzzzzz−++，C选项正确；对于D选项，设1zabi=+，2zxyi=+，则()()()()12zzabixyiaxbyaybxi=++=−++，(

)()()()22222222222221212zzaxbyaybxaxbyaybxabxyzz=−++=+++=++=，D选项正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数模的几何意义相关命题真假的判断，涉及椭圆定义、三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.12.以下命题正确的是（）A.

0a=是zabi=+为纯虚数的必要不充分条件B.满足210x+=的x有且仅有iC.“在区间(),ab内()0fx”是“()fx在区间(),ab内单调递增”的充分不必要条件D.已知()fxxxx=，则()1878fxx=【答案】AC【解析

】【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A选项的正误；解方程210x+=可判断B选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可

判断D选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A选项，若复数zabi=+为纯虚数，则0a=且0b≠，所以，0a=是zabi=+为纯虚数的必要不充分条件，A选项正确；对于B选项，解方程210x+=得xi=，B选项错误；对于C选项，当(),xab时，若()0fx，则函数()fx在区间(),a

b内单调递增，即“在区间(),ab内()0fx”“()fx在区间(),ab内单调递增”.反之，取()3fxx=，()23fxx=，当()1,1x−时，()0fx，此时，函数()yfx=在区间()1,1−上单调递增，即“在

区间(),ab内()0fx”“()fx在区间(),ab内单调递增”.所以，“在区间(),ab内()0fx”是“()fx在区间(),ab内单调递增”的充分不必要条件.C选项正确；对于D选项，()11172488fxxxxxx++===，

()1878fxx−=，D选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、填空题（共4题；共20分）13.复数()1ii+（i是虚数单位）的虚部为___

___．【答案】1【解析】【分析】先将复数化简，再求虚部即可【详解】()11iii+=−+，所以复数的虚部为：1故答案为1【点睛】本题考查复数的基本概念，在复数zabi=+中，实部为a，虚部为b，属于基础题14.已知在复平面上的ABCD中，AC对应的复数为68i+，

BD对应的复数为46i−+，则向量DA对应的复数为_________.【答案】17i−−【解析】【分析】DA表示为1()2CADB+，代入相对应的复数即可得解.【详解】设ABCD的对角线AC与BD相交于点P，由向

量加减法的几何意义可得111()222CDAPAPDCABADBD=−=−=+，所以DA对应的复数为1(6846)172iii−−+−=−−.故答案为：17i−−【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.15.如图，

酒杯的形状为倒立的圆锥.杯深8cm，上口宽6cm，水以320/cms的流量倒入杯中，则当水深为4cm时，时刻t=________s，水升高的瞬时变化率v=_________/cms.【答案】(1).320(2).809【解析】【分析】计算出当水深为4cm时，水的

体积，然后除以流速可得出时刻t的值，设水的深度为hcm，求出h关于t的函数表达式，利用导数可求得当水深为4cm时，水升高的瞬时变化率.【详解】当水深为4cm时，酒杯中水面的半径为32cm，此时水的体积为2134332V==，由题意可得203

t=，可得320ts=；设水的深度为hcm，水面半径为rcm，则83hr=，则38rh=，由题意可得22311332033864trhhhh===，1312803th=，12331128033ht−=

，当320t=时，()123311280380/33209hcms−==.故答案为：320；809.【点睛】本题考查变化的快慢与变化率，正确解答本题关键是得出高度关于时间的函数关系，然后利用导数求出高度为4时刻的导数值，即得出此时

的变化率，本题是一个应用题求解此类题，正确理解题意很关键．由于所得的解析式复杂，解题时运算量较大，要认真解题避免因为运算出错导致解题失败．16.若12sinaxxax对任意的0,2x都成立，则2

1aa−的最小值为________.【答案】21−【解析】【分析】作出函数sinyx=在区间0,2上的图象，利用图象可知，当直线2yax=与曲线sinyx=图象相切于原点时，2a取最小值，当直线1yax=过点,12

时，1a取最大值，进而可求得21aa−的最小值.【详解】如下图所示：对于函数sinyx=求导得cosyx=，当0x=时，1y=.由于12sinaxxax对任意的0,2x都成立，当直线2yax=与曲线sinyx=图象相切于

原点时，2a取最小值1；当直线1yax=过点,12时，1a取最大值10202−=−.因此，21aa−的最小值为21−.故答案为：21−.【点睛】本题考查利用函数不等式求参数，解答的关键就是找出直线与曲线的临界位置，考查数形结合思想的应用，属于

中等题.四、解答题（共6题；共70分）17.计算：（1）()()5433ii++−−；（2）()101i+.【答案】（1）2i+；（2）32i.【解析】【分析】（1）利用复数的加法法则可求得结果；（2）计算出()2

1i+的值，进而利用复数的乘方法则可得出结果.【详解】（1）原式()()53432ii=−+−=+；（2）()212ii+=，因此，()()()5102551123232iiiii+=+===.【点睛】本题考查复数的计算，考

查复数的四则运算法则的应用，考查计算能力，属于基础题.18.已知函数()lnfxxx=.（1）求函数的图象在点xe=处的切线方程；（2）求函数的极值.【答案】（1）2yxe=−；（2）极小值为1e−.【解析】【分析】（1）求出()fe和()fe的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）利

用导数求出函数()yfx=的极值点，列表分析函数()yfx=的单调性，进而可求得函数()yfx=的极值.【详解】（1）()lnfxxx=，()ln1fxx=+，则()fee=，()2fe=，因此，函数()yfx=的图象在点xe=处的切线方程为()2yexe

−=−，即2yxe=−；（2）函数()lnfxxx=的定义域为()0,+，且()0fx=，得1xe=，列表如下：x10,e1e1,e+()fx−0+()fx极小值所以，函数()yfx=的单调递减区间为10,e，单调递增区间为1

,e+，则函数()yfx=在1xe=处取得极小值，且极小值为11eef=−.【点睛】本题考查利用导数求函数图象的切线方程，同时也考查了利用导数求函数的极值，考查计算能力，属于基础题.19.已知O为坐

标原点，向量1OZ、2OZ分别对应复数1z、2z，且()213105zaia=+−+，()()22251zaiaRa=+−−.若12zz+是实数.（1）求实数a的值；（2）求以1OZ、2OZ为邻边的平行四边形的面积.【答案】（

1）3a=；（2）118.【解析】【分析】（1）求出1z和2z，由复数12zz+是实数，可求得实数a的值；（2）求出1OZ和2OZ，利用平面向量的数量积求出12cosZOZ，进一步求出12sinZOZ，结合三角形的面积公式可求得所求四边形的面积.【详解】（1）由题意可得()21310

5zaia=−−+，()22251zaia=+−−，则()2123221551zzaaiaa+=+++−+−，由于复数12zz+是实数，则221505010aaaa+−=+−，解得3a=；（2）由（1

）可得138zi=+，21zi=−+，则点13,18Z，()21,1Z−，因此，以1OZ、2OZ为邻边的平行四边形的面积为121118SZZ==.【点睛】本题考查利用复数类型求参数，同时也考查了四边形面积的计算，涉及平面向量数量

积的应用，考查计算能力，属于中等题.20.已知函数()323fxxaxx=−−.（1）若4a=时，求()fx在1,4x上的最大值和最小值；（2）若()fx在)2,x+上是增函数，求实数a的取值范围.【答案】（1）最大值为6−，最小值为18−；（2）9,4

−.【解析】【分析】（1）利用导数求出函数()yfx=在区间1,4上的极值，并与()1f和()4f的值，由此可得出函数()yfx=在区间1,4上的最大值和最小值；（2）由题意可得出()0fx对任意的)2,x+恒成立，利用参变量分离法得出323ax

x−，求出函数33yxx=−在区间)2,+上的最小值，由此可求得实数a的取值范围.【详解】（1）当4a=时，()3243fxxxx=−−，()()()2383313fxxxxx=−−=+−，令()0fx=，由于1

,4x，则3x=，列表如下：x)1,33(3,4()fx−0+()fx极小值所以，函数()yfx=在区间)1,3上单调递减，在区间(3,4上单调递增，当1,4x时，()()min318fxf==−，又()16f=−，()412f=−，则()()max16fxf==−；（2）()

323fxxaxx=−−，()2323fxxax=−−，由题意可知，()0fx对任意的)2,x+恒成立，则323axx−，函数33yxx=−在区间)2,+上为增函数，则min39622y=−=，所以，922a，即94a.因此

，实数a的取值范围是9,4−.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查运算求解能力，属于中等题.21.如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲

线C．为方便游客光，拟过曲线C上的某点分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的直角坐标系xOy，则曲线符合函数242(19)yxxx=+剟模型，设PMx=，修建两条道路PM，PN的总造价为()fx

万元，题中所涉及的长度单位均为百米．（1）求()fx解析式；（2）当x为多少时，总造价()fx最低？并求出最低造价．【答案】（1）232()5()(19)fxxxx=+剟；（2）当4x=时，总造价最低，最低造价为30万元．【解析】

【分析】（1）求出P的坐标，直线OB的方程，点P到直线0xy−=的距离，即可求()fx解析式；（2）利用导数的方法最低造价．【详解】解：（1）在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为242(19)yxxx=+剟，所以点P坐标为242(,

)xxx+，直线OB的方程为0xy−=，则点P到直线0xy−=的距离为2224242|()|||422xxxxx−+==，又PM的造价为5万元/百米，PN的造价为40万元/百米．则两条道路总造价为22432()5405()(19)fxxxxxx=+=+剟．（2）因为22432()5405

()(19)fxxxxxx=+=+剟，所以333645(64)()5(1)xfxxx−=−=，令()0fx=，得4x=，列表如下：x(1,4)4(4,9)()fx−0−()fx单调递减极小值单调递增所以当4x=时，函数()fx有最小值，最小值为232(4)

5(4)304f=+=．答：（1）两条道路PM，PN总造价()fx为232()5()(19)fxxxx=+剟；（2）当4x=时，总造价最低，最低造价为30万元．【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，确定函数的解析式是关键．22.已知函数1()lnfxxa

xx=−+．（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx存在两个极值点12,xx，证明：()()12122fxfxaxx−−−．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对a进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对

应的单调区间；(2)根据()fx存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定2a，令'()0fx=，得到两个极值点12,xx是方程210xax−+=的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.详解：（1）()fx的定义域为()

0,+，()222111axaxfxxxx−+=−−+−=.（i）若2a，则()0fx，当且仅当2a=，1x=时()0fx=，所以()fx在()0,+单调递减.（ii）若2a，令()0fx=得，242aax−−=或242aax+−=.当22440,,2

2aaaax−−+−+时，()0fx；当2244,22aaaax−−+−时，()0fx.所以()fx在22440,,,22aaaa−−+−+单调递减，在2244,22aaaa−

−+−单调递增.（2）由（1）知，()fx存在两个极值点当且仅当2a.由于()fx的两个极值点12,xx满足210xax−+=，所以121xx=，不妨设12xx，则21x.由于()()12121221212121222lnlnlnln2ln11221fx

fxxxxxxaaaxxxxxxxxxx−−−−=−−+=−+=−+−−−−，所以()()12122fxfxaxx−−−等价于22212ln0xxx−+.设函数()12lngxxxx=−+，由（1

）知，()gx在()0,+单调递减，又()10g=，从而当()1,x+时，()0gx.所以22212ln0xxx−+，即()()12122fxfxaxx−−−.点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所

满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.