【文档说明】吉林省长春市2020届高三二模考试数学（文）试卷【精准解析】.doc，共(21)页，1.802 MB，由小赞的店铺上传

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2020年吉林省长春市高考数学二模试卷(文科)一､选择题1.已知集合()20Axxx=−，1,0,1,2,3B=−，则AB=（）A.1,0,3−B.0,1C.0,1,2D.0,2,3【答案】C【解析】【分析】先解一元二次不等式，

解出集合A，然后进行交集的运算即可.【详解】解：因为02Axx=，1,0,1,2,3B=−；∴0,1,2AB=.故选：C.【点睛】此题考查集合的交集运算，属于基础题.2.若1(1)zai=+−（aR），|2|z=，则a=（）A.0或2B.0C.1或2D.1【答案】A【解析】【分析

】利用复数的模的运算列方程，解方程求得a的值.【详解】由于1(1)zai=+−（aR），|2|z=，所以()22112a+−=，解得0a=或2a=.故选：A【点睛】本小题主要考查复数模的运算，属于基础题.3.下列与函数1yx=定义域和单调性都相同的

函数是（）A.2log2xy=B.21log2xy=C.21logyx=D.14yx=【答案】C【解析】【分析】分析函数1yx=的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项.【详解】函数1yx=的定义域为

()0,+，在()0,+上为减函数.A选项，2log2xy=的定义域为()0,+，在()0,+上为增函数，不符合.B选项，21log2xy=的定义域为R，不符合.C选项，21logyx=的定义域为()0,

+，在()0,+上为减函数，符合.D选项，14yx=的定义域为)0,+，不符合.故选：C【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.4.已知等差数列na中，若5732aa=，则此数列

中一定为0的是（）A.1aB.3aC.8aD.10a【答案】A【解析】【分析】将已知条件转化为1,ad的形式，由此确定数列为0的项.【详解】由于等差数列na中5732aa=，所以()()113426adad+=+，化

简得10a=，所以1a为0.故选：A【点睛】本小题主要考查等差数列的基本量计算，属于基础题.5.若单位向量1e、2e夹角为60，122aee=−，则a=（）A.4B.2C.3D.1【答案】C【解析】【分析】利用平面数量积的定义和运算性质计算出

2a的值，进而可得出ar的值.【详解】由于位向量1e、2e夹角为60，则12121cos602eeee==，()2222121122124444132aeeeeee=−=−+=−+=，因此，3a=.故选：C.【点睛】本题考查利用平面向量数

量积计算平面向量的模，考查计算能力，属于基础题.6.《高中数学课程标准》(2017版)规定了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图

(如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是（）(注:雷达图(RadarChart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(SpiderChart)，可用于对研究对象的多维分析)A.甲的数据分析素养高于乙B.甲

的数学建模素养优于数学抽象素养C.乙的六大素养中逻辑推理最差D.乙的六大素养整体水平优于甲【答案】D【解析】【分析】根据雷达图，依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】根据雷达图得甲的数据分析素养低于乙，所以A错误根

据雷达图得甲的数学建模素养等于数学抽象素养，所以B错误根据雷达图得乙的六大素养中数学建模和数学抽象最差，所以C错误根据雷达图得乙整体为27分，甲整体为22分，乙的六大素养整体水平优于甲，所以D正确故答案选D【点睛】本题考查了雷达图，意在考查学生解决问题的

能力.7.命题p：存在实数0x，对任意实数x，使得()0sinsinxxx+=−恒成立；q：0a，()lnaxfxax+=−为奇函数，则下列命题是真命题的是（）A.pqB.()()pqC.()pq

D.()pq【答案】A【解析】【分析】分别判断命题p和q的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.【详解】对于命题p，由于()sinsinxx+=−，所以命题p为真命题.对于命题q，由于0a，由0axax+−解得axa−，且()()1lnlnlnaxaxaxf

xfxaxaxax−−++−===−=−+−−，所以()fx是奇函数，故q为真命题.所以pq为真命题.()()pq、()pq、()pq都是假命题.故选：A【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真

假性的判断，属于基础题.8.已知函数ln,0()2(2),0xxfxxxx=−+，则函数()3yfx=−的零点个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】对x分0,0xx两种情况求方程()3=0fx−的根的个数即得解.【详解】当0x时，3|l

n|30,ln3,xxxe−===或3e−，都满足0x；当0x时，222430,2430,20,164230xxxx−−−=++==−，所以方程没有实数根.综合得函数()3yfx=−的零点个数是2.故选：B【点睛】本题主要考查函数的零点的个数的求法，意在考查学生对

该知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知为锐角，且sin3tan3sin3+=+−，则角=（）A.12B.6C.4D.3【答案】C【解析】【分析】对sin3tan3sin3

+=+−先化切为弦，再利用和角差角的正余弦公式化简即得解.【详解】由题得sinsin33,cos()sin33++=+−为锐角，∴si

ncos()33−=+∴1313sincoscossin,sincos,tan12222−=−==.因为为锐角，∴=4.故选：C【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系和和角差角的正余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10

.若双曲线22221xyab−=（0a，0b）的一条渐近线被圆2240xyy+−=截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（）A.2B.3C.223D.233【答案】D【解析】【分析】求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可

得a，b的关系，即可得到所求的离心率．【详解】双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的一条渐近线方程设为0bxay−=，由题得圆22(2)4xy+−=的圆心为(0,2)，半径2r=，可得圆心到渐近线的距离为22|02|adba−=+，则

2224224aba=−+，化为223ab=，所以221,3ba=221231133cbeaa==+=+=，故选：D．【点睛】本题主要考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．11.已知数列na的前n项和为nS，且12a=，12nnnaSn+

+=（*nN），则nS=（）A.121n−+B.2nnC.31n−D.123nn−【答案】B【解析】【分析】由题得122,1nnanan++=+再利用累乘法求出1(1)2nnan−=+，即得nS.【详解】由题得111(1)(1),,,2121nn

nnnnnnanananaSSannnn++−−−===−++++（2n）所以122,1nnanan++=+（2n）由题得22166,32aaa===，所以122,1nnanan++=+（1n）.所以3

24123134512,2,2,2,234nnaaaanaaaan−+====，所以11112,(1)22nnnnanana−−+==+.所以(2)222nnnnSnnn=+=+.故选：B【点睛】本题主要考

查数列通项的求法，考查数列前n项和与na的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12.在正方体1111ABCDABCD−中，点E，F，G分别为棱11AD，1DD，11AB的中点，给出下列命题：①1ACEG⊥；②//GCED；③1BF⊥平面1BGC；④EF和1BB成角为4.正确命题的

个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.【详解】设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，()()()12,0,0,0,

2,2,2,1,2ACG，()()()()()()10,2,0,1,0,2,0,0,0,2,2,2,0,0,1,2,2,0CEDBFB.①，()()112,2,2,1,1,0,2200ACEGACEG=−==−++=，

所以1ACEG⊥，故①正确.②，()()2,1,2,1,0,2GCED=−−=−−，不存在实数使GCED=，故//GCED不成立，故②错误.③，()()()112,2,1,0,1,2,2,0,2BFBGBC=−−−=−=−，111

0,20BFBGBFBC==，故1BF⊥平面1BGC不成立，故③错误.④，()()11,0,1,0,0,2EFBB=−−=，设EF和1BB成角为，则1122cos222EFBBEFBB−===，由于0,2，所以4=，故④正

确.综上所述，正确的命题有2个.故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.二､填空题13.若,xy满足约束条件222022xyyxy+−−，则zxy=+的最大值为__________．【答案】

4【解析】【详解】作出可行域如图所示：由222xyy−==，解得()2,2A.目标函数zxy=+，即为yxz=−+，平移斜率为-1的直线，经过点()2,2A时，224maxz=+=.14.曲线()2sinfxx=在3x=处的切线与直线10axy+−=垂直，则a=__

______.【答案】1【解析】【分析】先求出切线的斜率()1,3kf==解方程1()1a−=−即得解.【详解】由题得()2cos,()1.3fxxkf===所以1()1,1aa−=−=.故答案为：1【点睛】本题主要考查导

数的几何意义，考查两直线垂直的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.在半径为2的圆上有A，B两点，且2AB=，在该圆上任取一点P，则使得PAB为锐角三角形的概率为________.【答案】16【解析】【分析】如图，当点P在劣弧CD上运动时，PAB为锐角三角形.求

出劣弧CD的长，再利用几何概型的概率公式求解.【详解】如图，四边形ABCD是矩形，当点P在劣弧CD上运动时，PAB为锐角三角形.由于OD=OC=CD=2，所以3COD=,所以劣弧CD的长为22=33，由几何概型的概率公式得213=226P=.故答案为：16【点睛】本题主要考查

几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16.三棱锥ABCD−的顶点都在同一个球面上，满足BD过球心O，且22BD=，则三棱锥ABCD−体积的最大值为________；三棱锥ABCD−体积最大时，平面ABC截球所得的截面圆的面积为________.【答案】(1).223(

2).43【解析】【分析】由于BD是球的直径，故当,OCBDOABD⊥⊥时，三棱锥ABCD−体积取得最大值，由此求得体积的最大值.求得三棱锥ABCD−体积最大时，等边三角形ABC的外接圆半径，由此求得等边三角形ABC的外接圆的面积，也即求

得平面ABC截球所得的截面圆的面积.【详解】依题意可知，BD是球的直径，所以当,OCBDOABD⊥⊥，即2OCOA==时，三棱锥ABCD−体积取得最大值为1112222223323BCDSOA=

=.此时2BCACAB===，即三角形ABC是等边三角形，设其外接圆半径为r，由正弦定理得2123sin3rr==，所以等边三角形ABC的外接圆的面积，也即平面ABC截球所得的截面圆的面积为2214

4433r==.故答案为：(1).223(2).43【点睛】本小题主要考查几何体外接球的有关计算，考查球的截面面积的计算，考查空间想象能力，属于中档题.三､解答题17.已知在ABC的三个内角分别

为A、B、C，2sinsin2cosBAA=，1cos3B=.（1）求A的大小；（2）若2AC=，求AB长.【答案】（1）3A=（2）614+【解析】【分析】（1）由题得22sin3B=，再解方程()221cos3cosAA−=即得解；（2）求出

322sin6C+=，再利用正弦定理得解.【详解】（1）由题得22sin3B=，所以22sin3cosAA=，所以()221cos3cosAA−=，解得1cos2A=，(0,)A，∴3A=.（2）sinsin()sincoscossinCABABAB=+=+

3112232223236+=+=由正弦定理sinsinABACCB=得6sin1sin4ACABCB==+.【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，考查和角的正弦公式的应用，考查正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北

京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求m的

值；（2）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长不擅长合计男性30女性50合计100()2PKk0.150.100.050.0250.0100.0050.001k

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++）【答案】（1）0.025m=（2）填表见解析；不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性

别有关系【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图小长方形的面积和为1列方程，解方程求得m的值.（2）根据表格数据填写22列联表，计算出2K的值，由此判断不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长

冰上运动与性别有关系.【详解】（1）由题意()0.00520.0150.020.03101m++++=，解得0.025m=.（2）由频率分布直方图可得不擅长冰上运动的人数为()0.025+0.0031010030=.完善列联表如下：擅长不擅长合计男性203050女性1040

50合计307010022()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++2100(800300)4.76250503070−=，对照表格可知，4.7626.635，不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别

有关系.【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算小长方形的高，考查22列联表独立性检验，属于基础题.19.如图，直三棱柱111ABCABC−中，底面ABC为等腰直角三角形，ABBC⊥，124AAAB==，M，N分别为1CC，1BB的中点，G为棱1AA上一点，且1ABNG⊥.（1）求证

1ABGM⊥；（2）求点1A到平面MNG的距离.【答案】（1）证明见解析（2）655【解析】【分析】（1）先证明1AB⊥平面MNG,1AB⊥MG即得证；（2）设1AB与GN交于点E，先求出455BE=，再求出

1655AE=即得解.【详解】（1）由题意平面11ABBA⊥平面11BCCB，因为1MNBB⊥,所以MN⊥平面11ABBA,因为1AB平面11ABBA,所以1MNAB⊥,因为1GNAB⊥,,MNGN平面MNG,MNGNN=,所以1A

B⊥平面MNG,因为MG平面MNG,所以1AB⊥MG.（2）设1AB与GN交于点E，在直角△11ABB中，1142cos5525ABB==,在直角BNE中，112cos552BEBEABBBN==

=,所以455BE=，则145652555AE=−=，因为1AB⊥平面MNG,所以1AE就是1A到平面MNG的距离，可知1A到平面MNG的距离为655.【点睛】本题主要考查直线平面位置关系的证明，考查空间点

到平面距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.已知椭圆C：22221xyab+=（0ab）的左、右顶点分别为A、B，焦距为2，点P为椭圆上异于A、B的点，且直线PA和PB的斜率之积为34−.（1）求C的方程；（2）设直线AP与y轴的交点为Q，过坐标原点O作/

/OMAP交椭圆于点M，试证明2||||||APAQOM为定值，并求出该定值.【答案】（1）22143xy+=（2）证明见解析；该定值为2【解析】【分析】（1）由已知得2234ba=，且1c=，即得椭圆的标准方程；（2）设直线AP的方程为：(2)y

kx=+，求出226834pkxk−=+，221234Mxk=+，再计算2||||||APAQOM得其值为定值.【详解】（1）已知点P在椭圆C：22221xyab+=（0ab）上，可设()00,Pxy，即2200221xyab

+=，又2200022200034APBPyyybkkxaxaxaa===−=−+−−，且22c=，可得椭圆C的方程为22143xy+=.（2）设直线AP的方程为：(2)ykx=+，则直线OM的方程为ykx=.联立直线AP与椭圆C的方程可得：()2222341616120k

xkxk+++−=，由2Ax=−，可得226834pkxk−=+，联立直线OM与椭圆C的方程可得：()2234120kx+−=，即221234Mxk=+，即2222|02|||||2||pAQPMMAxxxxxAPAQO

Mxx−−++===.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21.已知函数321()3fxxxmxm=+++.（1）若1x为()fx的极值点，且()()12fxfx=（

12xx），求122xx+的值.（2）求证：当0m时，()fx有唯一的零点.【答案】（1）1223xx+=−（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题得22112212+++3+3+30xxxxxxm=，2113630xxm++=，对两式消元因式分解即得

122xx+的值；（2）由题得321(1)3xxmx+=−+，再分析321()3hxxx=+和(1)ymx=−+的图象即得当0m时，()fx有唯一的零点.【详解】（1）由题得2()2fxxxm=++，由题可知()()12fxfx=，所以32321112221133xxmxmxxmxm+++

=+++，所以22112212+++3+3+30xxxxxxm=（i）因为()10=fx，所以21120xxm++=.即2113630xxm++=（ii）（ii）-（i）得221122121212122330,(2)()3()0xxxxxxxxx

xxx−−+−=+−+−=，所以12121212(23)()0,,23xxxxxxxx++−=+=−.（2）令321()03fxxxmxm=+++=，则321(1)3xxmx+=−+，令321()3hxxx=+，2()2hxxx=+

，可知()hx在(,2)−−和(0,)+上单调递增，在2,0−上单调递减，又4(2)3h−=，(0)0h=；(1)ymx=−+为过(1,0)−点的直线，又0m，则0m−，因此321(1)3xxmx+=−+有且只有一个交点，即321()

3fxxxmxm=+++有唯一的零点.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点和极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22.已知曲线1C的参数方程为22cos2sinxy=+=（为参数），曲线2C的参数方程为38cos43

sin4xtyt=+=（t为参数）.（1）求1C和2C的普通方程；（2）过坐标原点O作直线交曲线1C于点M（M异于O），交曲线2C于点N，求||||ONOM的最小值.【答案】（1）曲线1C的普通方程为：22(2)4xy−+=；曲线2

C的普通方程为：80xy+−=（2）4(21)−【解析】【分析】（1）消去曲线12,CC参数方程中的参数，求得1C和2C的普通方程.（2）设出过原点O的直线的极坐标方程，代入曲线12,CC的极坐标方程，求得,ONOM的表达式，结合三角函数

值域的求法，求得||||ONOM的最小值.【详解】（1）曲线1C的普通方程为：22(2)4xy−+=；曲线2C的普通方程为：80xy+−=.（2）设过原点的直线的极坐标方程为30,,4R=；由22(2)

4xy−+=得2240xyx+−=，所以曲线1C的极坐标方程为4cos=在曲线1C中，4|o|csOM=.由80xy+−=得曲线2C的极坐标方程为cossin80+−=，所以而O到直线与曲线2C的交点N的距离为8||sincosON=+，因此28||24sincos||4

cossincoscos2sin214ONOM+===+++，即||||ONOM的最小值为44(21)21=−+.【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直角坐标方程化为极

坐标方程，考查极坐标系下距离的有关计算，属于中档题.23.已知函数()|1||1|fxaxx=++−.（1）若2a=，解关于x的不等式()9fx；（2）若当0x时，()1fx恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）|33xx−（2）()0,a+【解

析】【分析】（1）利用零点分段法将()fx表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.（2）对a分成0,0,0aaa=三种情况，求得()fx的最小值，由此求得a的取值范围.【详解】（1）当2a=时，3,11()2112,1213,2xxfxxxxxxx=++−=+−

−−，由此可知，()9fx的解集为|33xx−（2）当0a时，()()()1,11()1112,111,axxfxaxxaxxaaxxa+=++−=−+−−+−()fx的最小值为1fa−和()1f

中的最小值，其中1111faa−=+，(1)11fa=+.所以()1fx恒成立.当0a=时，()111fxx=−+，且(1)1f=，()1fx不恒成立，不符合题意.当0a时，()1111,1fafaa=+−=+，若20a−，则

()11f，故()1fx不恒成立，不符合题意；若2a−，则11fa−，故()1fx不恒成立，不符合题意.综上，()0,a+.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类

讨论的数学思想方法，属于中档题.