【文档说明】上海奉贤区致远高级中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题 含解析.docx，共(13)页，480.084 KB，由小赞的店铺上传

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致远高中2022学年第二学期第一次月考高一数学试卷（完卷时间：120分钟满分：150分）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.写出与200−的角终边重合的所有角组成的集合S=_

_____．【答案】200360,Ζkk=−+【解析】【分析】根据终边相同的角的定义求解即可．【详解】与200−的角终边重合的所有角组成的集合为200360,ΖSkk==−+

．故答案为：200360,Ζkk=−+．2.若为第一象限的角，则2π−为第______象限的角．【答案】四【解析】【分析】根据象限角范围推断出2π−范围即可.【详解】依题意可得π2π2π2kk+，kΖ，则()()π21π2π21π2kk−−−−，kΖ

，所以2π−为第四象限的角．故答案为：四．3.把sincos+化为()()sin0AA+的形式______.【答案】π2sin4+【解析】【分析】根据辅助角公式化简即可.【详解】22sincos2sin

cos22+=+ππ2cossinsincos44=+π2sin4=+.故答案为:π2sin4+.4.已知扇形的弧长为53π，半径为2，则扇形的面积为_________.【答案】53π【解析】【分

析】利用扇形的面积公式12SlR=扇形求解．【详解】解：因为扇形的弧长为53π，半径为2，根据1155=2=2233SlR=扇形故答案为53π【点睛】本题考查扇形的面积公式，熟练的记忆公式是解答的关键，属于基础题．5.已知2sin3=，且是第

二象限的角，则tan=______．【答案】255−【解析】【分析】根据同角的平方关系求得cos，从而得到结果.【详解】因为是第二象限的角，则cos0，所以25cos1sin3=−−=−，则sin25tancos5

==−.故答案为:255−6.已知tan3=，则21sin2sincos+的值为______．【答案】23【解析】【分析】利用22sincos1+=，根据齐次式求解即可．【详解】222222221sincostan1312sin2sincossin2sincostan2ta

n3233+++====++++，故答案为：23．7.在ABC中，若2AB=，512B=，4C=，则BC=_________.【答案】6【解析】【分析】由内角和求得A，然后由正弦定理

求得BC．【详解】51243AπBCππππ−=−−==−，由正弦定理得sinsinABBCCA=，所以2sinsin36sinsin4πABABCπC===.故答案为：6．8.若、为锐角，tan43=，()11cos14+=−，则角=______．【答案】π3【解析】【分析】根据同角

三角函数的基本关系式求得()53tan11+=−，然后利用两角差的正切公式结合条件即得.【详解】由于,为锐角，所以0π+，所以()()253sin1cos14+=−+=，()5

3tan11+=−，所以()()()53tantan11tantan1t43antan53113431−−+−=+−=+−==+，所以π3=故答案为：π3.9.化简:()()()()cotsin

cos2tansin2tan2aaaaaa−−−=+−+____________.【答案】sin【解析】【分析】利用诱导公式与切弦互化,化简即可【详解】由题,()()()()cotsincossintancosco

scos2sincostansin2tancotsincottansin2aaaaaa−−−====+−−−+故答案sin【点睛】本题考查利用诱

导公式化简,考查切弦互化,属于基础题10.若8sin2sin5=，则cos2=______．【答案】1或725【解析】【分析】利用二倍角的正弦公式化简可得sin(cos)054−=，分sin0=和cos054−=两种情况，结合同角的三角函数关系即可求得答案.【详

解】因为8sin2sin5=，则82sincossin5=，即sin(cos)054−=，若sin0=，则2cos1=，故2cos22cos11=−=；若cos054−=，则247cos22

()1525=−=，故答案为：1或72511.已知点A的坐标为()2,4，将OA绕坐标原点O逆时针旋转4至OA，则点A的坐标为______．【答案】(2,32)−.为【解析】【分析】设出点A的坐标，终边经过点A的角为，结合三角函数定义求出，π4+的正弦、

余弦值，再借助和、差角的正余弦公式即可计算作答.【详解】设(,)Axy，终边经过点A的角为，则22||||2425OAOA==+=，所以255sin,cos55==，依题意，终边经过点A的角为π4+，则),cosi

n(s(2525)44yx+=+=ππ，于是得310sincoscossin441025y=+=ππ，解得32y=，10coscossinsin441025x=−=−ππ，解得2x=−，所以点A的坐标为(2,32)−.故答案为：(2,32)−.12.已知ABC中，222sin

sinsinsinsinABCBC−−=，若3BC=，则ABC周长的最大值为__________.【答案】323+##233+【解析】【分析】先对已知式子利用正弦定理统一成边的形式，然后利用余弦定理可求出角A，再利用余弦定理

可得2()9ACABACAB+−=，再利用基本不等式可求出ACAB+的最大值，从而可求出三角形周长的最大值【详解】由正弦定理可得：222BCACABACAB−−=，∴2221cos22ACABBCAACAB+−==−，∵()0,A，∴23A=.由余弦定理得：222222

cos9BCACABACABAACABACAB=+−=++=，即2()9ACABACAB+−=.∵22ACABACAB+（当且仅当ACAB=时取等号），∴222239()()()24ACABACABACABACABACAB+=+−+−=+，解得：23AC

AB+（当且仅当ACAB=时取等号），∴ABC周长323LACABBC=+++，∴ABC周长的最大值为323+.故答案为：323+二、选择题（本大题共4题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．1

3.下列命题中正确的是（）A.终边重合两个角相等B.锐角是第一象限的角C.第二象限的角是钝角D.小于90°的角都是锐角【答案】B【解析】【分析】根据象限角的定义以及终边相同的角，可得答案.【详解】对于A，终边相同的角可表示为()2πZkk=+，

故A错误；对于B，锐角的取值范围为π02，，故B正确；对于C，第二象限角的取值范围为()π2π,π2πZ2kkk++，故C错误；对于D，锐角的取值范围为π02，，其π902=，则090，但0不是锐角，故D错误.故选

：B.14.若α为第四象限角，则（）A.cos2α>0B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<0【答案】D【解析】的【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.【详解】方法一：由α为第

四象限角，可得3222,2kkkZ++，所以34244,kkkZ++此时2的终边落在第三、四象限及y轴的非正半轴上，所以sin20故选：D.方法二：当6=−时，cos2cos03=−，选项B错误；当

3=−时，2cos2cos03=−，选项A错误；由在第四象限可得：sin0,cos0，则sin22sincos0=，选项C错误，选项D正确；故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力

和计算求解能力.15.下列命题中，真命题为（）A.若点()(),20Paaa为角终边上一点，则25sin5=B.同时满足1sin2x=，3cos2x=的角有且只有一个C.如果角满足53ππ2−−，那么角是第二象限的角D.tan3x=−的解集为ππ,Z3xxkk=

−【答案】D【解析】【分析】根据三角函数正余弦的定义可判断选项A；根据角度的周期性可判断选项B，C，D.【详解】若点()(),20Paaa为角终边上一点，则当0a时，25sin5=；当a<0时，25sin5=

−，选项A错误；同时满足1sin2x=，3cos2x=的角有无数个，此时π2π6xk=+，选项B错误；如果角满足53ππ2−−，那么角是第三象限的角，选项C错误；tan3x=−的解集为ππ,3xxkkZ=−，选项D正确；故选

D．16.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外

切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（）．A.30303sintannnn+B.30306sintannnn+C.60603sintannnn+

D.60606sintannnn+【答案】A【解析】【分析】计算出单位圆内接正6n边形和外切正6n边形的周长，利用它们的算术平均数作为2的近似值可得出结果.【详解】单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆心角为360606nn=，每条边长为302sinn，所以，

单位圆的内接正6n边形的周长为3012sinnn，单位圆的外切正6n边形的每条边长为302tann，其周长为3012tannn，303012sin12tan303026sintan2nnnnnnn+==+，

则30303sintannnn=+.故选：A【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n边形和外切正6n边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的

相应写出必要的步骤．17.已知角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点()2,1P−，求.()2sinsincotcos1+++的值．【答案】2525+【解析】【分析】根据三角函数的定义

求角的正弦、余弦、余切值，代入即可求解.【详解】因为角的终边经过点()2,1P−，所以()2215sin521−==−+−，()22225cos521==+−，11tancot222−==−=−，，所以()()22552525sinsincotcos12125

555+++=−−+−++=+.18.（1）证明恒等式：()()2222sinsintantancoscos+−=−（2）化简：sinsin21coscos2+++【答案】（1）证明过程见解析（2）tan【解析】【分析】（1）利用两角

和差公式展开即可,（2）利用二倍角公式化简即可.【小问1详解】()()()()2222222222222222sinsincoscossincossincossincossincoscoscossincossincoscoscossinsincoscostantan

+−+−=−==−=−得证.【小问2详解】()()2sinsin21coscos2sin2sincoscos2cossin12coscos12costan++++=++=+=19.在等腰三角形ABC中，

BC=，7sin25A=，求sinB．【答案】7210或210【解析】【分析】根据等腰三角形性质结合三角函数诱导公式可得sincos02AB=，由7sin25A=求得cosA，利用二倍角公式即可求得答案.【详解】等腰三角形ABC中，

BC=，则π2ABC−==且π(0,)2B，即有πsinsincos022AAB−==，由7sin25A=可得2724cos1()2525A=−=，当24cos25A=时，22472cos2cos1,cos225210AAA=−==，即72

sin10B=；当24cos25A=−时，2242cos2cos1,cos225210AAA=−=−=，即2sin10B=；20.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2bca+=，34ba=（1）求c

osB的值；（2）求πsin26B+的值．【答案】（1）14−（2）35716+−【解析】【分析】（1）运用余弦定理进行求解即可；（2）根据二倍角的正弦、余弦公式，结合同角的三角函数关系式、两角和的正弦公式进行求解即

可.【小问1详解】因为2bca+=，34ba=，所以42,33baca==，由余弦定理可知：222222416199cos22423aaaacbBacaa+−+−===−；【小问2详解】因为1cos4B=−，所以π,π2B

，于是有2115sin1cos1164BB=−=−=，因此15115sin22sincos2448BBB==−=−，2217cos22cos12148BB=−=−−=−，πππ1

5371357sin2sin2coscos2sin666828216BBB++=+=−+−=−21.如图，A、B是单位圆上的两个质点，B为的初始坐标是()1,0，60BOA=，质点A以1弧度/秒的角速度按逆时针方向在单位圆上运动；质点B以1弧度/秒的角速度按顺

时针方向在单位圆上运动，过点A作1AAy⊥轴于1A，过点B作1BBy⊥轴于1B．（1）求经过1秒后，BOA的弧度数；（2）求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间；（3）记点1A与1B，间的距离为y，请写出y与时间t的函数关系式

．.【答案】（1）23+；（2）56ts=；（3）3|sin()|6yt=+．【解析】【分析】（1）只要先求A，B运动所形成的角即可求解BOA；（2）根据两个动点的角速度和第一次相遇时，两者走过的弧长和恰好是圆周长求出第一次相遇的时间，再由角速度和时间求出其中一点到达的位置，再根据

三角函数的定义此点的坐标，利用弧长公式可求；（3）由题意可得，33|sin()sin()||sincos|322ytttt=+−−=+，利用辅助角公式及正弦函数的性质可求.【详解】解（1）经过1秒后A运动的角度为1，B运动的角度为1−，23BOA=+，（2）设A、B第一次相遇时所

用的时间是t，则223t+=．56t=（秒)，即第一次相遇的时间为56秒；（3）由题意可得，33|sin()sin()||sincos|322ytttt=+−−=+，3|sin()|6t=+.