【文档说明】宁夏六盘山高级中学2021届高三上学期期中考试数学（文）试题含答案.docx，共(17)页，71.013 KB，由小赞的店铺上传

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宁夏六盘山高级中学2020-2021学年第一学期高三期中测试卷学科：文科数学测试时间：120分钟满分：150分命题教师：一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.已知集合𝑈={−2,−1,0，1，2，3}，𝐴={−1,0，1}，𝐵={1,2}，则∁𝑈(𝐴∪𝐵)=()A.{−2

,3}B.{−2,2，3)C.{−2,−1,0，3}D.{−2,−1,0，2，3}2.命题“∃𝑥>0，使2𝑥>3𝑥”的否定是()A.∀𝑥>0，使2𝑥≤3𝑥B.∃𝑥>0，使2𝑥≤3𝑥C.

∀𝑥≤0，使2𝑥≤3𝑥D.∃𝑥≤0，使2𝑥≤3𝑥3.复数𝑧=10𝑖3+𝑖的共轭复数是()A.1+3𝑖B.−1+3𝑖C.1−3𝑖D.−1−3𝑖4.设m、n是空间中不同的直线，𝛼、𝛽是不同的平面，则下列说法正确的是()A.若𝑙//𝑚，𝑚⊂�

�，则𝑙//𝛼B.若𝑚⊂𝛼，𝑛⊂𝛽，𝛼//𝛽，则𝑚//𝑛C.若𝛼//𝛽，𝑚⊂𝛼，则𝑚//𝛽D.若𝑚⊂𝛼，𝑛⊂𝛽，𝑚//𝛽，𝑛//𝛼，则𝛼//𝛽5.在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若角A，C，

B成等差数列，且sin2𝐶=𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵，则△𝐴𝐵𝐶的形状为()A.直角三角形B.等腰非等边三角形C.等边三角形D.钝角三角形6.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.8𝜋+163B.8𝜋+163B.12𝜋+6D.43𝜋+47.设

𝑆n为等差数列{𝑎𝑛}的前n项和，若𝑎8𝑎7=135,则𝑆15𝑆13=()A.1B.2C.3D.48.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点D是边BC的中点，𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐺𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则用向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗表示𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗为()A.𝐵𝐺⃗⃗⃗

⃗⃗=−23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗B.𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=−13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗C.𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗D.𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐶⃗⃗⃗

⃗⃗9.已知平面向量𝑎⟶,𝑏⟶满足𝑎⟶=(1,√3)，|𝑏⟶|=3，𝑎⟶⊥(𝑎⟶−2𝑏⟶)，则|2𝑎⟶−3𝑏⟶|=()A.√73B.√7C.4D.510.关于函数𝑓(𝑥)=3−2cos𝑥(cos𝑥−sin𝑥)，有以下4个结论：①𝑓(𝑥)的最小正周期是

𝜋；②𝑓(𝑥)的图象关于点(−𝜋8,0)中心对称；③𝑓(𝑥)的最小值为2−√2；④𝑓(𝑥)在区间(𝜋6,5𝜋12)内单调递增其中所有正确结论的序号是()A.①②③B.①③C.②④D.②③④11.已知数列{�

�𝑛}满足𝑎1=12，𝑎𝑛+1=𝑎𝑛+1𝑛2+𝑛，则𝑎𝑛=()A.32−1𝑛B.2−3𝑛+1C.1−1𝑛+1D.32+1𝑛12.已知定义在R上的函数𝑓(𝑥)满足𝑓(3)=16，且𝑓(𝑥)的导函数𝑓′(𝑥)<

4𝑥−1，则不等式𝑓(𝑥)<2𝑥2−𝑥+1的解集为()A.{𝑥|−3<𝑥<3}B.{𝑥|𝑥>−3}C.{𝑥|𝑥>3}D.{𝑥|𝑥<−3或𝑥>3}二、填空题（本大题共4小题，共20分）13

.已知𝑡𝑎𝑛𝜃=2，则𝑐𝑜𝑠2𝜃=______．14.数列{𝑎𝑛}的前n项和𝑆𝑛满足𝑆𝑛=2𝑎𝑛−2，则数列{𝑎𝑛}的通项公式𝑎𝑛=______．15.正四棱锥𝑃

−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐴=3，𝐴𝐵=2，则PA与平面ABCD所成角的正弦值为______．16.已知函数𝑓(𝑥)={𝑒𝑥,𝑥≤0|𝑙𝑛𝑥|,𝑥>0，若方程𝑓(𝑥)=𝑥+𝑚有两个不同根，则实数m的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60分）17.

设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且√3𝑎=2𝑏𝑠𝑖𝑛𝐴．(1)求B的大小；(2)若𝑏2=𝑎𝑐，求A的大小．18.已知等比数列{𝑎𝑛}的公比𝑞>1，𝑎1=1，且2�

�2，𝑎4，3𝑎3成等差数列．(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；(2)记𝑏𝑛=2𝑛𝑎𝑛，求数列{𝑏𝑛}的前n项和𝑇𝑛．19.已知函数𝑓(𝑥)=cos2𝑥+√3𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥．(1)

若𝛼是第二象限角，且𝑠𝑖𝑛𝛼=√63，求𝑓(𝛼)的值；(2)当𝑥∈[0,𝜋2]时，求函数𝑓(𝑥)的值域．20.如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面ABCD为平行四边形，点M为PC中点，且∠𝑃𝐴𝐵=∠𝑃𝐷𝐶=90°．(1)证明：

𝑃𝐴//平面BDM；(2)证明：平面𝑃𝐴𝐵⊥平面PAD．21.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥−1，𝑔(𝑥)=𝑙𝑛𝑥+1．(Ⅰ)求证：𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)有两个不同的实数解；(Ⅱ)若𝑔(𝑥)>[𝑚−𝑔(𝑥)]𝑓(𝑥)在𝑥>1时恒成立，求整数m的最大值．选考题(

共10分)考生在22、23题中任选一题作答，如果多做、则按所做第一题计分22.在直角坐标系xOy中，曲线𝐶1：{𝑥=𝑡𝑐𝑜𝑠𝛼𝑦=𝑡𝑠𝑖𝑛𝛼(𝑡为参数,𝑡≠0)，其中0≤𝛼<𝜋，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的

极坐标系中，曲线𝐶2：𝜌=2𝑠𝑖𝑛𝜃，曲线𝐶3：𝜌=2√3𝑐𝑜𝑠𝜃．(1)求𝐶2与𝐶3交点的直角坐标；(2)若𝐶2与𝐶1相交于点A，𝐶3与𝐶1相交于点B，A、B都异于原点O，求|𝐴𝐵|的最大值．23.已知函数𝑓(𝑥)=|2�

�−3|+2|𝑥+1|．(1)求不等式𝑓(𝑥)<9的解集；(2)若对∀𝑥∈[0,1]，不等式𝑓(𝑥)≥|2𝑥+𝑎|恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合𝑈={−2,−1

,0，1，2，3}，𝐴={−1,0，1}，𝐵={1,2}，则𝐴∪𝐵={−1,0，1，2}，则∁𝑈(𝐴∪𝐵)={−2,3}，故选：A．先求出𝐴∪𝐵，再根据补集得出结论．本题主要考查集合的交并补运算，属于基础题．2.【答案】A

【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即∀𝑥>0，使2𝑥≤3𝑥，故选：A．根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．比较基础．3.【答案】C【解析】解：∵复数𝑧=10𝑖3+�

�=10𝑖(3−𝑖)(3+𝑖)(3−𝑖)=10+30𝑖10=1+3𝑖，故它的共轭复数为1−3𝑖，故选：C．利用两个复数代数形式的乘除法法则以及虚数单位i的幂运算性质，化简复数z，从而求得它的共轭复数．本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形

式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是基础题．在A中，𝑙//𝛼或𝑙⊂𝛼；在B中，𝑚//𝑛或m与n异面；在C中，由面面平行的性质定理得

𝑚//𝛽；在D中，𝛼与𝛽平行或相交．【解答】解：由m、n是空间中不同的直线，𝛼、𝛽是不同的平面，知：在A中，若𝑙//𝑚，𝑚⊂𝛼，则𝑙//𝛼或𝑙⊂𝛼，故A错误；在B中，若𝑚⊂�

�，𝑛⊂𝛽，𝛼//𝛽，则𝑚//𝑛或m与n异面，故B错误；在C中，若𝛼//𝛽，𝑚⊂𝛼，则由面面平行的性质定理得𝑚//𝛽，故C正确；在D中，若𝑚⊂𝛼，𝑛⊂𝛽，𝑚//𝛽，𝑛//𝛼，则𝛼与�

�平行或相交，故D错误．故选：C．5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了等差数列的性质，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由已知利用等差数列的性质可得𝐶=60°，由正弦定理可得𝑐2=𝑎𝑏，根据余弦定理可求𝑎=𝑏，即可判断三角形的形状．【解答】

解：由题意可知，𝐶=60°，𝑐2=𝑎𝑏，则𝑐2=𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝐶=𝑎2+𝑏2−𝑎𝑏=𝑎𝑏，所以𝑎=𝑏，所以𝑎=𝑏=𝑐，故△𝐴𝐵𝐶的形状为等边三角形．故选C．6.【答案】A【解析】解：三视图所对应的空间几何体为一个半圆锥拼接一

个三棱锥所得，故其体积𝑉=12×13×𝜋×22×4+13×12×4×2×4=8𝜋+163，故选：A．由三视图可得三视图所对应的空间几何体为一个半圆锥拼接一个三棱锥所得，利用体积公式即可计算．本题考查了由三视图求几何体体积的应用问题，解题时应根据三视图得出几

何体的结构特征，是基础题目．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等差数列的性质，考查等差数列的前n项和，是基础题．直接利用等差数列的性质结合𝑎8𝑎7=135求得𝑆15𝑆13．【解答】解：在等差数列

{𝑎𝑛}中，由𝑎8𝑎7=135，得𝑆15𝑆13=15(𝑎1+𝑎15)213(𝑎1+𝑎13)2=15𝑎813𝑎7=1513×135=3．故选C．8.【答案】A【解析】解：由题意可得，𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+23×12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)，=𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗．故选：A．由已知结的合向量加法

的三角形法则及向量共线定理即可求解．本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用．9.【答案】A【解析】解：|𝑎⃗⃗|=2，|𝑏⃗|=3，𝑎⃗⃗⊥(𝑎⃗⃗−2𝑏⃗)，∴𝑎⃗⃗⋅(𝑎⃗⃗−2𝑏⃗)=𝑎⃗⃗2−2𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗=4−2𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗=0，

∴𝑎⟶⋅𝑏⟶=2，∴|2𝑎⟶−3𝑏⟶|=√(2𝑎⟶−3𝑏⟶)2=√4𝑎⟶2−12𝑎⟶⋅𝑏⟶+9𝑏⟶2=√16−24+81=√73．故选：A．可求出|𝑎⃗⃗|=2，并可得出𝑎⃗⃗⋅

(𝑎⃗⃗−2𝑏⃗)=0，从而得出𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗=2，然后根据|2𝑎⃗⃗−3𝑏⃗|=√(2𝑎⃗⃗−3𝑏⃗)2进行数量积的运算即可求出答案．本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．10

.【答案】B【解析】【分析】本题考查三角恒等变形公式以及三角函数的图像和性质，属于基础题．首先根据三角恒等变形公式化简𝑓(𝑥)，再利用三角函数的图像和性质逐个判断即可．【解答】解：𝑓(𝑥)=3−2cos2𝑥+2s

in𝑥cos𝑥=3−(1+cos2𝑥)+sin2𝑥=√2sin(2𝑥−𝜋4)+2，①，𝑇=2𝜋2=𝜋，正确；②，𝑓(−𝜋8)=√2sin[2(−𝜋8)−𝜋4]+2=−√2+2≠0，错误；③，𝑓(𝑥)的最小值为2−√2，正确；④，因为2

𝑥−𝜋4∈(𝜋12,7𝜋12)，𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥在(𝜋12,7𝜋12)上不单调，错误．故选B．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查了数列的递推关系求数列的通项，裂项相消法求和法，属中档题．解题

的关键是利用已知条件得到𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=1𝑛2+𝑛=1𝑛−1𝑛+1，再用累加法求出数列的通项，用裂项相消法求数的和．【解答】解：由𝑎𝑛+1=𝑎𝑛+1𝑛2+𝑛得：𝑎𝑛+1−𝑎

𝑛=1𝑛2+𝑛=1𝑛−1𝑛+1，即𝑎𝑛−𝑎𝑛−1=1𝑛−1−1𝑛，所以𝑎𝑛=𝑎1+(𝑎2−𝑎1)+(𝑎3−𝑎2)+⋯+(𝑎𝑛−𝑎𝑛−1)=12+1−12+12−13+⋯+1𝑛−

1−1𝑛=32−1𝑛．故选A．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．根据题意，设𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥

)−2𝑥2+𝑥−1，求导分析可得𝑔′(𝑥)<0，即函数𝑔(𝑥)在R上为减函数，则原不等式可以转化为𝑔(𝑥)<𝑔(3)，结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，设𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−2𝑥2+𝑥−1，其导函数𝑔′(𝑥)=𝑓′(𝑥)

−4𝑥+1，又由𝑓′(𝑥)<4𝑥−1，即𝑓′(𝑥)−4𝑥+1<0，则𝑔′(𝑥)<0，即函数𝑔(𝑥)在R上为减函数，又由𝑓(3)=16，则𝑔(3)=𝑓(3)−18+3−1=0，𝑓(𝑥)<2𝑥2−

𝑥+1⇒𝑓(𝑥)−2𝑥2+𝑥−1<0⇒𝑔(𝑥)<𝑔(3)，又由函数𝑔(𝑥)为减函数，则有𝑥>3，则不等式𝑓(𝑥)<2𝑥2−𝑥+1的解集为{𝑥|𝑥>3}；故选：C．13.【答案】

−35，13【解析】解：𝑡𝑎𝑛𝜃=2，则𝑐𝑜𝑠2𝜃=cos2𝜃−sin2𝜃cos2𝜃+sin2𝜃=1−tan2𝜃1+tan2𝜃=1−41+4=−35．tan(𝜃−𝜋4)=𝑡𝑎𝑛𝜃−tan𝜋41+𝑡𝑎𝑛𝜃𝑡𝑎𝑛

𝜋4=2−11+2×1=13．故答案为：−35；13．利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式求解第一问，利用两角和与差的三角函数转化求解第二问．本题考查二倍角公式的应用，两角和与差的三角函数以及同角三角函数基本关系式的应用，是基本知识的考查．14.【答案】2�

�,𝑛𝑛+1【解析】【分析】本题主要考查已知前n项和时数列通项公式的求解，考查裂项相消法在数列求和中的应用，熟练掌握等差、等比的性质和公式是准确、快速解题的关键．【解答】解：先利用𝑆𝑛=2𝑎𝑛−2，𝑆𝑛−1=2𝑎�

�−1−2做差即可求解数列{𝑎𝑛}的通项公式：数列{𝑎𝑛}的前n项和𝑆𝑛满足𝑆𝑛=2𝑎𝑛−2，当𝑛≥2时，𝑆𝑛−1=2𝑎𝑛−1−2，两式做差得𝑎𝑛=2𝑎𝑛−2𝑎𝑛−1，即𝑎𝑛=2

𝑎𝑛−1，当𝑛=1时，得𝑎1=2∴数列{𝑎𝑛}是首项为2，公比为2的等比数列，所以𝑎𝑛=2𝑛；根据𝑏𝑛=log2𝑎𝑛，求解数列{𝑏𝑛}的通项公式；可得{𝑏𝑛}是等差数列，即可用裂项

相消法求解数列{1𝑏𝑛𝑏𝑛+1}前n项和𝑇𝑛的值：𝑏𝑛=log2𝑎𝑛=log22𝑛=𝑛，1𝑏𝑛𝑏𝑛+1=1𝑛(𝑛+1)=1𝑛−1𝑛+1，数列{1𝑏𝑛𝑏𝑛+

1}的前n项和𝑇𝑛=1𝑏1𝑏2+1𝑏2𝑏3+⋯+1𝑏𝑛𝑏𝑛+1=(11−12)+(12−13)+⋯+(1𝑛−1𝑛+1)=1−1𝑛+1=𝑛𝑛+1．故答案为2𝑛,𝑛𝑛+1．15.【答案】√7316.【答案】1【解析】解：先作出函数𝑓(𝑥)={𝑒𝑥,𝑥≤

0|𝑙𝑛𝑥|,𝑥>0的图象，再结合图象平移直线𝑦=𝑥+𝑚，由图象知𝑓(𝑥)=𝑥+𝑚有两个零点时，须𝑚≥1，故m的最小值为1．画出函数的图象，利用数形结合转化求解即可．本题考查函数的零点与方程的根的关系

，考查转化思想以及计算能力，是中档题．17.【答案】解：(1)锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且√3𝑎=2𝑏𝑠𝑖𝑛𝐴．所以√3𝑠𝑖𝑛𝐴=2𝑠𝑖𝑛𝐵𝑠𝑖𝑛𝐴，由于𝑠𝑖�

�𝐴≠0，整理得：𝑠𝑖𝑛𝐵=√32因为在锐角三角形ABC中，，所以𝐵=𝜋3；(2)由于：𝑏2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑎𝑐，所以𝑎2−2𝑎𝑐+𝑐2=0，解得

：𝑎=𝑐，故△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，所以𝐴=𝜋3．【解析】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．(1)直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理的应用求出A的值；(2

)由(1)和余弦定理即可求出结果．18.【答案】解：(1)由2𝑎2，𝑎4，3𝑎3成等差数列，得2𝑎4=2𝑎2+3𝑎3，即2𝑞3=2𝑞+3𝑞2，∵𝑞>1，解得𝑞=2．∴𝑎𝑛=2𝑛−1；(2)𝑏𝑛=2𝑛𝑎𝑛=2𝑛⋅2𝑛−1=𝑛⋅2𝑛．∴𝑇𝑛=1⋅

21+2⋅22+3⋅23+⋯+𝑛⋅2𝑛，2𝑇𝑛=1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+(𝑛−1)⋅2𝑛+𝑛⋅2𝑛+1，−𝑇𝑛=2+22+23+⋯+2𝑛−𝑛⋅2𝑛+1=2(1−2𝑛)1−2−𝑛⋅2𝑛+1，∴𝑇

𝑛=(𝑛−1)⋅2𝑛+1+2．【解析】(1)由等比数列的通项公式与等差数列的性质列式求得q，则通项公式可求；(2)把数列{𝑎𝑛}的通项公式代入𝑏𝑛=2𝑛𝑎𝑛，再由错位相减法求数列{�

�𝑛}的前n项和𝑇𝑛．本题考查等比数列的通项公式，考查等差数列的性质，训练了利用错位相减法求数列的前n项和，是中档题．19.【答案】解：(1)因为𝛼是第二象限角，且𝑠𝑖𝑛𝛼=√63，所以𝑐𝑜𝑠𝛼=−√33，所以𝑓(𝛼)=13−√3×

√63×√33=1−√63．(2)𝑓(𝑥)=cos2𝑥+√3𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥=1+𝑐𝑜𝑠2𝑥2+√32𝑠𝑖𝑛2𝑥=sin(2𝑥+𝜋6)+12，由𝑥∈[0,𝜋2]，可知2𝑥+𝜋6∈[𝜋6,7𝜋6]，

所以−12≤sin(2𝑥+𝜋6)≤1，所以𝑓(𝑥)∈[0,32].【解析】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质，考查了计算能力和函数思想，属于基础题．(1)由已知利用同角三角函数基本关系式可求𝑐𝑜𝑠𝛼的值，代入所求

即可计算得解．(2)利用三角函数恒等变换的应用可求𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+𝜋6)+12，由已知可求范围2𝑥+𝜋6∈[𝜋6,7𝜋6]，利用正弦函数的性质即可求其值域．20.【答案】证明：(1)连接AC交BD于点O，因为底面ABCD为平行四边形，所以O为AC中点，在△𝑃𝐴𝐶

中，又M为PC中点，所以𝑂𝑀//𝑃𝐴，又𝑃𝐴⊄平面BDM，𝑂𝑀⊂平面BDM，所以𝑃𝐴//平面BDM．(2)因为底面ABCD为平行四边形，所以𝐴𝐵//𝐶𝐷，又∠𝑃𝐷𝐶=90°即𝐶𝐷⊥𝑃𝐷，所以𝐴𝐵⊥𝑃𝐷，又∠

𝑃𝐴𝐵=90°即𝐴𝐵⊥𝑃𝐴，又𝑃𝐴⊂平面PAD，𝑃𝐷⊂平面PAD，𝑃𝐴∩𝑃𝐷=𝑃，所以𝐴𝐵⊥平面PAD，又𝐴𝐵⊂平面PAB，所以平面𝑃𝐴𝐵⊥平面PAD．【解析】(1)连接AC交BD于点O，连接

OM，证明𝑂𝑀//𝑃𝐴，即可证明𝑃𝐴//平面BDM．(2)因证明𝐴𝐵⊥𝑃𝐷，𝐴𝐵⊥𝑃𝐴，推出𝐴𝐵⊥平面PAD，然后证明平面𝑃𝐴𝐵⊥平面PAD．本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，平面与

平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．21.【答案】解：(Ⅰ)证明：由𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)得𝑥−𝑙𝑛𝑥−2=0，令ℎ(𝑥)=𝑥−𝑙𝑛𝑥−2，则ℎ′(𝑥)=1−1𝑥=𝑥−1𝑥，当𝑥∈(0,1)时，ℎ′(𝑥)<

0，ℎ(𝑥)单调递减；当𝑥∈(1,+∞)时，ℎ′(𝑥)>0，ℎ(𝑥)单调递增．所以ℎ(𝑥)的最小值为ℎ(1)=−1<0，而当𝑥→0时，ℎ(𝑥)→+∞，当𝑥→+∞时，ℎ(𝑥)→+∞，故𝑓

(𝑥)=𝑔(𝑥)有两个不同的实数解．(Ⅱ)𝑔(𝑥)>[𝑚−𝑔(𝑥)]𝑓(𝑥)在𝑥>1时恒成立，即𝑥𝑙𝑛𝑥+𝑥>𝑚(𝑥−1)在𝑥>1时恒成立，所以𝑚<𝑥𝑙𝑛𝑥+𝑥𝑥−1

在𝑥>1时恒成立，设𝑚(𝑥)=𝑥𝑙𝑛𝑥+𝑥𝑥−1，则𝑚′(𝑥)=𝑥−𝑙𝑛𝑥−2(𝑥−1)2，由(Ⅰ)𝑚′(𝑥)=0有唯一零点𝑥0>1，即𝑥0−𝑙𝑛𝑥0−2=0，又ℎ(3)=1−𝑙�

�3<0，ℎ(4)=2−𝑙𝑛4>0，所以𝑥0∈(3,4)，且当𝑥∈(1,𝑥0)时，𝑚′(𝑥)<0，当𝑥∈(𝑥0,+∞)时，𝑚′(𝑥)<0，所以𝑚(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑚(𝑥0)=𝑥0

(𝑙𝑛𝑥0+1)𝑥0−1=𝑥0(𝑥0−1)𝑥0−1=𝑥0，由题意，得𝑚<𝑥0，且𝑥0∈(3,4)，因此整数m的最大值为3．【解析】(Ⅰ)由𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)得𝑥−𝑙𝑛𝑥−2=0，令ℎ(𝑥)=𝑥−𝑙𝑛�

�−2，求出ℎ(𝑥)的导数，根据函数的单调性求出ℎ(𝑥)的最小值，证明结论即可；(Ⅱ)问题转化为𝑥𝑙𝑛𝑥+𝑥>𝑚(𝑥−1)在𝑥>1时恒成立，即𝑚<𝑥𝑙𝑛𝑥+𝑥𝑥−1在𝑥>1时恒成立，设𝑚(𝑥)=𝑥𝑙𝑛𝑥+𝑥𝑥−1，根据函

数的单调性求出m的最大值即可．本题考查了函数的单调性，最值，零点问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．22.【答案】解：(𝐼)由曲线𝐶2：𝜌=2𝑠𝑖𝑛𝜃，化为𝜌2=2𝜌𝑠𝑖𝑛

𝜃，∴𝑥2+𝑦2=2𝑦．同理由𝐶3：𝜌=2√3𝑐𝑜𝑠𝜃.可得直角坐标方程：𝑥2+𝑦2=2√3𝑥，联立{𝑥2+𝑦2−2𝑦=0𝑥2+𝑦2−2√3𝑥=0，解得{𝑥=0𝑦=0或{𝑥=√32𝑦=32，∴𝐶2与𝐶3交点的直角坐标为(

0,0)，(√32,32).(2)曲线𝐶1：{𝑥=𝑡𝑐𝑜𝑠𝛼𝑦=𝑡𝑠𝑖𝑛𝛼(𝑡为参数,𝑡≠0)，化为普通方程：𝑦=𝑥𝑡𝑎𝑛𝛼，其中0≤𝛼≤𝜋，𝛼≠𝜋2；当𝛼=𝜋2时，为𝑥=0(𝑦≠0)，其极坐标方程为：�

�=𝛼(𝜌∈𝑅,𝜌≠0)，∵𝐴，B都在𝐶1上，∴𝐴(2𝑠𝑖𝑛𝛼,𝛼)，𝐵(2√3𝑐𝑜𝑠𝛼,𝛼).∴|𝐴𝐵|=|2𝑠𝑖𝑛𝛼−2√3𝑐𝑜𝑠𝛼|=4|sin(𝛼−𝜋3)|，当𝛼=5𝜋6时，|�

�𝐵|取得最大值4．【解析】(𝐼)由曲线𝐶2：𝜌=2𝑠𝑖𝑛𝜃，化为𝜌2=2𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃，把{𝜌2=𝑥2+𝑦2𝑦=𝜌sin𝜃代入可得直角坐标方程．同理由𝐶3：𝜌=2√3𝑐𝑜𝑠𝜃.可

得直角坐标方程，联立解出可得𝐶2与𝐶3交点的直角坐标．(2)由曲线𝐶1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：𝑦=𝑥𝑡𝑎𝑛𝛼，其中0≤𝛼≤𝜋，𝛼≠𝜋2；𝛼=𝜋2时，为𝑥=0(

𝑦≠0).其极坐标方程为：𝜃=𝛼(𝜌∈𝑅,𝜌≠0)，利用|𝐴𝐵|=|2𝑠𝑖𝑛𝛼−2√3𝑐𝑜𝑠𝛼|即可得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档

题．23.【答案】解：(1)𝑓(𝑥)=|2𝑥−3|+2|𝑥+1|={1−4𝑥,𝑥≤−15,−1<𝑥<324𝑥−1,𝑥≥32，𝑓(𝑥)<9等价为{𝑥≤−11−4𝑥<9或{−1<𝑥<

325<9或{𝑥≥324𝑥−1<9，解得−2<𝑥≤−1或−1<𝑥<32或32≤𝑥<52，故原不等式的解集为(−2,52)；(2)因为0≤𝑥≤1，所以𝑓(𝑥)=5，则𝑓(𝑥)≥|2𝑥+𝑎

|对𝑥∈[0,1]恒成立，等价为|2𝑥+𝑎|≤5对𝑥∈[0,1]恒成立，即−5≤2𝑥+𝑎≤5，即{𝑎≥−5−2𝑥𝑎≤5−2𝑥对𝑥∈[0,1]恒成立，所以−5≤𝑎≤3，则a的取值范围是[−5,3]．【解析】(

1)将𝑓(𝑥)化为分段函数的形式，然后根据𝑓(𝑥)<9，利用零点分段法解不等式即可；(2)结合(1)可得|2𝑥+𝑎|≤5对𝑥∈[0,1]恒成立，然后得到{𝑎≥−5−2𝑥𝑎≤5−2𝑥对𝑥∈[0,1]恒成立，再求出a的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法和不

等式恒成立问题，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题．