【文档说明】重庆市第八中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题 含解析.docx，共(20)页，1023.131 KB，由小赞的店铺上传

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重庆市第八中学2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题一､单选题1.焦点坐标为（1，0）的抛物线的标准方程是（）A.y2=-4xB.y2=4xC.x2=-4yD.x2=4y【答案】B【解析】【分析】由题

意设抛物线方程为y2=2px（p＞0），结合焦点坐标求得p，则答案可求．【详解】由题意可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），由焦点坐标为（1，0），得P12=，即p=2．∴抛物的标准方程是y2=4x．故选B．

【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2.已知(1,2,1),(1,,2)abx=−−=−rr且13ab=−rrg，则x的值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】由

空间向量数量积的坐标运算求解．【详解】由已知12213abx=−−−=−，解得5x=．故选：C．3.直线()2110xay+++=的倾斜角的取值范围是（）A.0,4B.30,,24C.,2ππD.3

,4【答案】D【解析】【分析】利用直线方程求出直线的斜率k，通过斜率的范围，得到倾斜角的正切值的范围，求出α的范围．【详解】设直线的斜率为k，倾斜角为，则211ka=−+，∴10k−，即1tan0−∴倾斜角的取值范围是3,4

．故选：D【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查学生计算能力，属于基础题．4.方程21xy=−表示的图形是A.两个半圆B.两个圆C.圆D.半圆【答案】D【解析】【分析】其中0x，再两边同时平方22

1xy+=，由此确定图形．【详解】根据题意，0x，再两边同时平方221xy+=，由此确定图形为半圆.故选：D【点睛】几何图像中要注意与方程式是一一对应，故方程的中未知数的的取值范围对应到图形中的坐标的取值范围．5.已知直线:10lxay+−=是圆C：226210xyxy+−−+=的对称轴，过点

A()1a−，作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A.1B.2C.4D.8【答案】C【解析】【分析】首先将圆心坐标代入直线方程求出参数a，求得点A的坐标，由切线与圆的位置关系构造直角三角形从而求得AB.【详解】圆C：226210xyxy+−−+=即

22(3)(1)9xy−+−=，圆心为(3,1)，半径为r=3，由题意可知:10lxay+−=过圆的圆心(3,1)，则310a+−=，解得2a=−，点A的坐标为(1,2)−−，22435,3ACBCr=+===，切点为B则ABBC⊥，224ABACBC=−=.故选:C【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.6.青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一．如图，是一青花瓷花瓶，其外形上下对称，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．若该花瓶的瓶口直径为瓶身最小直径的2倍，

花瓶恰好能放入与其等高的正方体包装箱内，则双曲线的离心率为（）A.3B.62C.213D.72【答案】C【解析】【分析】由题意作出轴截面，最短直径为2a，根据已知条件点（2a，2a）在双曲线上，代入双曲线的标

准方程，结合a，b，c的关系可求得离心率e的值．【详解】由题意作出轴截面如图：M点是双曲线与截面正方形的交点之一，设双曲线的方程为：()2222100xyabab−=，＞，＞．最短瓶口直径为A1A2＝2a，则由已知可得M是双曲线上的点，且

M（2a，2a）．故()22222(2)1aaab−=，整理得4a2＝3b2＝3（c2﹣a2），化简后得22273cea==，解得213e=．故选：C．7.圆222430xxyy+++−=上到直线10xy++=的距离为2的点共有A.1个B.2个C.3个D

.4个【答案】C【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解.【详解】圆222430xxyy+++−=可变为()()22128xy+++=，圆心为()1,2−−，半径为22，圆心到直线10xy++=的距离12122d−−

+==，圆上到直线的距离为2的点共有3个.故选：C.【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题.8.已知点F是双曲线22221xyab−=的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于G

､H两点，若GHE△是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A.(1,)+B.(1,2)C.(2,12)+D.(1,12)+【答案】B【解析】【分析】根据GHE△是等腰三角形且为锐角三角形，得到GFEF，即2baca+

，解得离心率范围.【详解】(),0Fc−，当xc=−时，22221cyab−=，2bya=，不妨取2,bGca−，2,bHca−−，GHE△是等腰三角形且为锐角三角形，则π4

GEF，即GFEF，2baca+，即222caac+，220ee−−，解得12e−，故12e.故选：B.二､多选题9.下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有（）A.平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角B.平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率C.若一条直线

的斜率为tan，则该直线的倾斜角为D.若一条直线的倾斜角为()90，则该直线的斜率为tan【答案】AD【解析】【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，得出结论；【详解】平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，

故A正确；若直线的倾斜角为90，而tan90不存在，所以斜率不存在，故B错；若一条直线的斜率为5tan4，因为5tan14=，即斜率为1，则该直线的倾斜角为4，故C错；若一条直线的倾斜角为()90，则该直线的斜率为tan，故D正确；故选：A

D.【点睛】本题主要考查斜率与倾斜角的相关概念，属于基础题型.10.已知na为等差数列，其前n项和为nS，且13623aaS+=，则以下结论正确的是（）.A.10a=0B.10S最小C.712SS=D.190S=【答案】ACD【解

析】【分析】由13623aaS+=得100a=，故A正确；当0d时，根据二次函数知识可知nS无最小值，故B错误；根据等差数列的性质计算可知127SS=，故C正确；根据等差数列前n项和公式以及等差数列的

性质可得190S=，故D正确.【详解】因为13623aaS+=，所以111236615aadad++=+，所以190ad+=，即100a=，故A正确；当0d时，1(1)(1)922nnnnnSnaddnd−−=+=−+2(19)2dnn=−无最小值，故B错误

；因为127891011121050SSaaaaaa−=++++==，所以127SS=，故C正确；因为()1191910191902aaSa+===，故D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，考查了等差数列的性质，属于中档题

.11.已知圆C：22212104xykxykk+−++−+=，下列说法正确的是（）A.k的取值范围是0kB.若4k=，过()3,4M的直线与圆C相交所得弦长为23，方程为125160xy−−=C.若4k=，圆C与圆221xy+=相交D.若4

k=，0m，0n，直线10mxny−−=恒过圆C的圆心，则128mn+恒成立【答案】ACD【解析】【分析】根据圆的一般方程2240DEF+−可判断A；利用点到直线的距离为1可判断B；4k=时很容易判断C；直线10mxny−−=恒过圆C的圆心，可得21021mnmn+−

=+=，利用基本不等式可判断D.【详解】对于A，方程表示圆可得()22144104kkk−+−−+，解得0k，故A正确；对于B，若4k=，可得圆方程：()()22214xy−++=，过()3,4M的直线

与圆C相交所得弦长为23，则圆心()2,1-到直线的距离为1，当直线的斜率不存在时，3x=，满足条件，故B不正确；对于C，4k=，()()22214xy−++=，圆心()2,1-，半径为2，故C正确；对于D，直线10mxny−−=恒过圆C的圆心，可得

21021mnmn+−=+=，()12124424428nmnmmnmnmnmnmn+=++=+++=，当且仅当11,42mn==时取等号，故D正确.故选：ACD.12.我们通常称离心率为512−的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆2222

:1xyCab+=，1212,,,AABB为顶点，12,FF为焦点，P为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（）A.111222||,||,||AFFFFA为等比数列B.11290FBA=C.1PFx

⊥轴，且21//POABD.四边形1221ABAB的内切圆过焦点12,FF【答案】BD【解析】【分析】若111222||,||,||AFFFFA为等比数列，可得()()222acc−=，则求出离心率可判

断A；由勾股定理以及离心率公式可判断B；根据21POABkk=结合斜率公式可判断C；由四边形1221ABAB的内切圆的半径为c可得22abcab=+，求出离心率可判断D.详解】解：2222:1(0)xyCabab+=，()()()()1212,0,,0,0

,,0,AaAaBbBb−−，()()12,0,,0FcFc−，对于A：111222||,||,||AFFFFA为等比数列，则2112212||||||AFFAFF=，()()222acc−=2acc−=，13e=不满足条件，故A错误；

对于B：11290FBA=,222211112AFBFBA=+()2222acaab+=++,220caca+−=即210ee+−=解得512e−=或512e−−=（舍去）满足条件.故B正确；对于C：1PFx⊥轴，且21//PO

AB，2,bPca−21POABkk=即2bcaba=−−解得bc=222abc=+，222cceac===不满足题意，故C错误；对于D：四边形1221ABAB的内切圆过焦点12,FF，即四边形1221ABAB的内切圆的半径为c，22a

bcab=+422430caca−+=42310ee−+=解得2352e+=（舍去）或2352e−=512e−=，故D正确.故选：BD三､填空题13.已知直线1l：3480xy+−=和2l：320xay

−+=，且12ll//，则实数=a__________，两直线1l与2l【之间的距离为__________．【答案】①.-4；②.2【解析】【分析】根据两直线平行斜率相等求解参数即可；运用两平行线间的距离公式计算两直线之间的距离可得出答案.【详解】

解：直线1:3480lxy+−=和2:320lxay−+=，12ll//，334a−=，解得4a=−；∴2:3420lxy++=两直线1l与2l间的距离是：22|2(8)|234d−−==+.故答案为：4−；2.14.圆心为直线20xy−+=与直线280xy+−

=的交点，且过原点的圆的标准方程是________．【答案】22(2)(4)20xy−+−=．【解析】【分析】由20280xyxy−+=+−=，求得圆心，再根据圆过原点，求得半径即可.【详解】由20280xyxy−+=+−=，可得24xy==，即圆心

为(2,4)，又圆过原点，所以圆的半径22(20)(40)25r=−+−=，故圆的标准方程为22(2)(4)20xy−+−=．故答案为：22(2)(4)20xy−+−=【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，属于基础题.15.已知等差数列na，nb的前n项和分别为,nnST

，若2(2)31nnSnTn+=−，则55ab=______【答案】1113【解析】【分析】利用等差数列的性质和等差数列的前n项和公式可得5959aSbT=，再令9n=即可求解.【详解】由等差数列的性质和等差数列的前n项和公

式可得：因为()()55955191919199922(92)221129239126132aaaaSbbbTbaabb+======++=−++，故答案为：1113【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用等差数列的性质可得559515192

2aaabbabb==++，再转化为前n项和公式的形式，代入n的值即可.16.如图，在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，点P，Q分别是棱BC，CD上的动点，BC＝4，CD＝3，CC'＝23，直线CC'与平面P

QC'所成的角为30°，则△PQC'的面积的最小值是__．【答案】8【解析】【分析】设三棱锥C﹣C′PQ的高为h，CQ＝x，CP＝y，由体积法求得,,hxy的关系，由直线CC’与平面C’PQ成的角为30°，得到xy≥8，再由VC﹣C′PQ＝VC′﹣CPQ，能求出△PQC'的

面积的最小值．【详解】解：设三棱锥C﹣C′PQ的高为h，CQ＝x，CP＝y，由长方体性质知,,CCCBCD两两垂直，所以22PQxy=+，212PCy=+，212QCx=+，222222222221212()12cos221212(12)(12)PCQCPQxyxyPCQPCQCxy

xy+−+++−+===++++，22222221212sin1cos(12)(12)xyxyPCQPCQxy++=−=++，所以222211sin121222CPQSCPCQPCQxyxy

==++!，由CCPQCCPQVV−−=得222211111212233232xyxyhxy++=，所以222111112hxy=++，∵直线CC’与平面C’PQ成的角为30°，∴h＝23sin303=，∴221114xy+=，22112xyxy+，∴xy≥8，

再由体积可知：VC﹣C′PQ＝VC′﹣CPQ，得'112336CPQhSxy=，S△C′PQ＝xy，∴△PQC'的面积的最小值是8．故答案为：8．四､解答题17.已知na是等差数列，nb是各项都为正数的等比数列，121ab==，再从①

2410aa+=；②244bb=；③45ba=这三个条件中选择___________，___________两个作为已知.（1）求数列na的通项公式；（2）求数列nb的前n项和.【答案】答案见解析【解析】【分析】（1）根据题设条件可得关于基本量的方程组，求解后可得na的通项公式.（2

）利用公式法可求数列nb的前n项和.【详解】解：选择条件①和条件②（1）设等差数列na的公差为d，∴12411,2410.aaaad=+=+=解得：11a=，2d=.∴()11221nann=+−=−，*Nn.（2）设等比数列n

b的公比为q，0q，∴21242411,4.bbqbbbq====解得112b=，2q=.设数列nb的前n项和为nS，∴()1112122122nnnS−−==−−.选择条件①和条件③：（1）设等差数列na的公差为d，∴12411,2410.aaaad=+=

+=解得：11a=，2d=.∴()11221nann=+−=−.（2）459ba==，设等比数列nb的公比为q，0q.∴213411,9.bbqbbq====，解得113b=，3q=设数列nb的前n项和为nS，∴()113313

136nnnS−−==−.选择条件②和条件③：（1）设等比数列nb的公比为q，0q，∴21242411,4.bbqbbbq====，解得112b=，2q=，5431242ab===.设等差数列na的公差为d，∴5144aad=+=，又11

a=，故34d=.∴()33111444nann=+−=+.（2）设数列nb的前n项和为nS，由（1）可知()1112122122nnnS−−==−−.【点睛】方法点睛：等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量

解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．18.已知直线1l经过点()30A−,，()3,2B，直线2l经过点B，且12ll⊥.(1)分别求直线1l，2l的方程；(2

)设直线2l与直线8yx=的交点为C，求ABC外接圆的方程.【答案】（1）1:330,lxy−+=2:3110lxy+−=；（2）()()221420xy++−=..【解析】【详解】试题分析：（1）根据两点式即可求出直线l1的方程，根据直线垂直的关系即可求l2的

方程；（2）先求出C点坐标，通过三角形的长度关系知道三角形是以AC为斜边长的直角三角形，故AC的中点即为外心，AC即为直径.解析：(1)∵直线1l经过点()30A−,，()3,2B，∴1103::3302033yxllxy−+=−+=−+，设直线2l的方程为30xyc++=，∴11c=−，∴

2:3110lxy+−=.(2)3110188xyxyxy+−====，即：()1,8C，∴45AC=，AC的中点为()1,4−，∴RtABC△的外接圆的圆心为()1,4−，半径为25，∴外接圆的方程为：()()2214

20xy++−=.点睛：这个题目考查的是已知两直线位置关系求参的问题，还考查了三角形外接圆的问题．对于三角形为外接圆，圆心就是各个边的中垂线的交点，钝角三角形外心在三角形外侧，锐角三角形圆心在三角形内部，直角三角形圆心在直角三角形斜边的中点．1

9.已知动圆过点(0,2)F，且与直线l：=2y−相切．（1）求动圆圆心M的轨迹方程；（2）若过点F且斜率1的直线与圆心M的轨迹交于,AB两点，求线段AB的长度．【答案】（1）28xy=；（2）16.【解析】【分析】（1）由题意分析圆心M符合抛物线定义，然后求轨迹

方程；（2）直接联立方程组，求出弦长.【详解】解：（1）圆M过点(0,2)F，且与直线:2ly=−相切点M到直线l的距离等于||MF由抛物线定义可知点M的轨迹是以(0,2)F为焦点、以:2ly=−为准线的抛物线，依题意，设点M的轨迹方程为22(0

)xpyp=，则22p=，解得4p=，所以，动圆圆心M的轨迹方程是28xy=．（2）依题意可知直线:2AByx=+，设1122(,),(,)AxyBxy联立228yxxy=+=，得28160xx−−=，则128xx+=，1212yy+=所以，线段AB的长度

为12||12416AByyp=++=+=．【点睛】（1）待定系数法、代入法可以求二次曲线的标准方程；（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.20.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABC

D，ABAP=，E为棱PB的中点.（1）求直线PD与CE所成角的余弦值；（2）求直线CD与平面ACE所成角的正弦值；（3）求二面角EACP−−的余弦值.【答案】（1）32；（2）33；（3）63.【解析】【分析】以点A为坐标

原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设2AD=.（1）写出PD、CE的坐标，利用空间向量法计算出直线PD与CE所成角的余弦值；（2）求出平面ACE的一个法向量的坐标，利

用空间向量法可计算得出直线CD与平面ACE所成角的正弦值；（3）求出平面PAC的一个法向量的坐标，利用空间向量法可求得二面角EACP−−的余弦值.【详解】PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，设2AD=.以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分

别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则()0,0,0A、()2,0,0B、()2,2,0C、()0,2,0D、()002P,,、()1,0,1E.（1）()0,2,2PD=−，()1,2,1CE=

−−，63cos,2226PDCEPDCEPDCE−===，所以，异面直线PD、CE所成角的余弦值为32；（2）设平面ACE的一个法向量为()111,,mxyz=，()2,2,0AC=，()

1,0,1AE=uuur，由11112200mACxymAExz=+==+=，可得1111yxzx=−=−，取11x=，可得111yz==−，则()1,1,1m=−−，()2,0,0CD=−，23cos,332mCDmCDmCD−===−，

因此，直线CD与平面ACE所成角的正弦值为33；（3）设平面PAC的一个法向量为()222,,nxyz=，()2,2,0AC=，()0,0,2AP=，由00nAPnAC==，可得22220220zxy=+=，得

2220yxz=−=，取21x=，则21y=−，20z=，所以，平面PAC的一个法向量为()1,1,0n=−，26cos,332mnmnmn===，由图形可知，二面角EACP−−锐角，为因此，二面角EACP−−的余弦值为63.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：

由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结

果.21.已知等差数列na的前n项和为nS，332nnaa=−，且5324SSa−=.（1）求数列na的通项公式；（2）设数列1nS的前n项和为nT，证明：34nT.【答案】（1

）21nan=+；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差数列的性质及题干条件，可求得1,ad，代入公式，即可求得数列na的通项公式；（2）由（1）可得nS，利用裂项相消求和法，即可求得nT，即可得证.【详解】解：（1）设数列

na的公差为d，在332nnaa=−中，令1n=，得3132aa=−，即11232ada+=−，故11ad=+①.由5324SSa−=得4524aaa+=，所以123ad=②.由①②解得13a=，2d

=.所以数列na的通项公式为：21nan=+.（2）由（1）可得()12(321)222nnnaannSnn+++===+，所以211111222nSnnnn==−++，故1111111112324352nTnn=−+−+−

++−+，.所以11113231221242(1)(2)nnTnnnn+=+−−=−++++.因为2302(1)(2)nnn+++，所以34nT

.【点睛】数列求和常见方法：（1）倒序相加法：如果一个数列{}na的前n项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可以用倒序相加法；（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和可以用错位相减

法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n项和可以两两结

合求解，则称之为并项求和，形如()()1nnafn=−类型，可采用两项合并求解.22.已知O为坐标原点，椭圆C：22221(0)xyabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，右顶点为A，上顶点为B，若OB，2OF，AB

成等比数列，椭圆C上的点到焦点2F的距离的最大值为264+．()1求椭圆C的标准方程；()2过该椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦MN与PQ，求MNPQ+的取值范围．【答案】（1）221248xy+=（2）16646,3【解析】【分析】()1根据OB，2OF，AB成等比数

列，椭圆C上的点到焦点2F的距离的最大值为264+．列出关于a、b、c的方程组，求出a、b的值，即可得出椭圆C的方程；()2对直线MN和PQ分两种情况讨论：一种是两条直线与坐标轴垂直，可求出两条弦长度之和；二是当两条直线斜率都存在时，设直线MN的方程为()4ykx=−，将直线方程与椭圆方程联立，

列出韦达定理，利用弦长公式可计算出MN的长度的表达式，然后利用相应的代换可求出PQ的长度表达式，将两线段长度表达式相加，利用函数思想可求出两条弦长的取值范围.最后将两种情况的取值范围进行合并即可得出答案．的【详解】()1易知22||OFOBAB=，得222cbab=+，则63ca=，而264ac

+=+，又222abc=+，得26a=，22b=，因此，椭圆C的标准方程为221248xy+=；()2①当两条直线中有一条斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，由题意易得1663MNPQ+=；②当两条直线斜率都存在且不为0时，由()1知()4,0

F，设()11,Mxy、()22,Nxy，直线MN的方程为()4ykx=−，则直线PQ的方程为()14yxk=−−，将直线MN方程代入椭圆方程并整理得：()2222132448240kxkxk+−+−=，显然0，21222431kxxk+=+，21

22482431kxxk−=+，()()222121224611[()431kMNkxxxxk+=++−=+，同理得()224613kPQk+=+，所以，()()()()22222222461461166(1)313

313kkkMNPQkkkk++++=+=++++，令211tk=+，则21332kt+=−，232kt+=+，设()()()2232244113442ttfttttt−+==−++=−−+，1

t，所以，101t，所以，()(3,4ft，则()16616646,3MNPQft+=．综合①②可知，MNPQ+的取值范围是16646,3．【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求范围，属于难题.解决圆锥曲线中的范围问题一般有两种方法：一是

几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中范围问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.获

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