【文档说明】四川省甘孜州2021-2022学年高二下学期学业质量统一监测期末统考数学（理）试题 含解析.docx，共(20)页，1.257 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-fda5268ff9d376004e4a041e490f1391.html

以下为本文档部分文字说明：

甘孜州2022学年学业质量统一监测期末统考（高二理科）数学总分：150分一、单项选择题5*121.已知集合{Z11}Axx=−∣，集合2,0,2B=−，则AB（）A.0B.1,0,1−C.0D.()1,1−【答案】A【解析】【分析】根据交集运算的

概念，即可得答案.【详解】因为集合{Z11}Axx=−∣，集合2,0,2B=−，所以{0}AB=.故选：A2.已知i为虚数单位，复数12iiz+=，则z=（）A.2i−−B.2i−+C.2i+D.2i−【答案】D【解析】【分析】由复数的除法法则求解即可【详解】()()()1

2ii12i2iiiiz+−+===−−,故选：D3.已知条件21xp：解集，条件q：函数3yx=−的定义域，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先求得条件p，q中x的范围，根据充分、必要条件的概念，分析即可得答案.

【详解】因为0212x=，所以0x，即条件p：0x；令30x−，解得3x，即条件q：3xx，的所以p是q的必要不充分条件，故选：B4.双曲线的方程为2214yx−=，则该双曲线的离心率为（）A.55B.255C.52D.5【答案

】D【解析】【分析】利用双曲线方程，求出a，b，然后求解双曲线的离心率即可．【详解】由双曲线方程2214yx−=得1a=，2b=，则双曲线的离心率为2e1()145cbaa==+=+=.故选：D.5.等差数列na的前n项和为25821nSaaa++=，，则9S=（）A.42B.56C.63

D.70【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质，可得5a的值，代入等差数列前n项和公式，即可得答案【详解】因为na为等差数列，所以2585321aaaa++==，解得57a=，所以19959()9632aaSa+===.故选：C6.若π3s

in45−=，则sin2=（）A.725−B.2425−C.725D.2425【答案】C【解析】【分析】根据π3sin45−=，利用诱导公式和二倍角公式，转化为sin22π1

2sin4=−−求解.【详解】因为π3sin45−=，所以ππsin2cos2cos224=−=−，22π3712sin124525=−−=−=，故选：C7.若变量

xy、满足约束条件0020xyxy+−，则2zxy=−的最小值为（）A.5−B.2−C.0D.1【答案】B【解析】【分析】作出可行域与直线20xy−=并平移经过点()0,2A时，2zxy=−取

得的最小值，代入即可求解【详解】作出变量xy、满足约束条件0020xyxy+−可行域，如图：作直线20xy−=并平移经过点()0,2A时，2zxy=−取得的最小值，的且最小值为2022z=−=−，故选：B8.要得到函数()sin2,R

fxxx=的图象，只需将函数()sin(2),R3gxxx=+的图象（）A.向左平移3个单位B.向右平移3个单位C.向左平移6个单位D.向右平移6个单位【答案】D【解析】【分析】函数图像左右方向平移遵循“左加右减”原则.【详解】由于把

函数sin2yx=的图象向左平移6个单位，可得sin2()sin(2)63yxx=+=+的图象，故为了得到函数()sin2,Rfxxx=的图象，只需把()sin(2),R3gxxx=+的图象上所有点向右平移6个单位长度即可.故选：D.9.函数()()22ln1

1xfxx+=+的大致图像为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】函数()()22ln11xfxx+=+是由函数()22lnxgxx=向左平移1个单位得到的，而()22lnxgxx=是偶函数，所以得()()22ln11xfxx+=+的图像关于

直线=1x−对称，再取值可判断出结果.【详解】解：因为()()22ln11xfxx+=+是由()22lnxgxx=向左平移一个单位得到的，因为()22ln()(0)()xgxgxxx−−==−，所以函数()22ln

xgxx=为偶函数，图像关于y轴对称，所以()fx的图像关于=1x−对称，故可排除A，D选项；又当2x−或0x时，2ln10x+，()210x+，所以()0fx，故可排除C选项.故选：B.【点睛】此题考查函

数图像的识别，利用了平移、奇偶性，函数值的变化情况，属于基础题.10.一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为1039，则该几何体的外接球的表面积为（）A.39πB.50πC.100πD.125π【答案】C【解析】【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利

用几何体的体积公式求出四棱锥体的外接球的半径，最后求出球的表面积．【详解】根据几何体的三视图可以得到该几何体为四棱锥体，如图所示：该四棱锥的底面是长方形，长为6，宽为5，四棱锥的高即为PD所以15610393Vh==，解得39h=．由题意易知该四棱锥的

外接球等价于长方体外接球，设四棱锥的外接球的半径为r，所以()()222235926r=++，解得=5r，所以外接球的表面积24π5100πS==，故选：C11.过点()0,2A的直线与圆221xy+=有一个交点是B点，且120AOB=o(其中O为坐标原点），则

直线AB的斜率为（）A.533−或533B.33−或33C.2−或2D.233−或233【答案】A【解析】【分析】根据已知设出直线的方程，再利用余弦定理及同角三角函数的平方关系，结合点到直线的距离即可求解.【详解】由题意可知，过点A的斜率存在，设直线AB的方程为2ykx=+，

圆221xy+=的圆心为()0,0，半径为1，在AOB中，由余弦定理得2222cosABOAOBOAOBAOB=+−,即2221212212AB=+−−，解得7AB=，在AOB中，由余弦定理得22271427cos27271ABOBOAABOABOB+−+−===

.所以221sin1cos7ABOABO=−=.所以圆心()0,0到直线2ykx=+的距离为2121sin177dOBABO===,即221271k=+，解得533k=−或533k=，所以直线AB的斜率为533−或533.故选：A.12.已知函数()()()(0)0exlnxxfxxx

−=，，，若关于x的方程()()2210fxafx−+=有四个不相等实数根，则实数a的取值范围是（）A.(0e，B.2ee，C.2e+，D.2ee++，【答案】D【解析】【分析】先作出()()()(0)0

exlnxxfxxx−=，，的图象，由图象可得关于x的方程()()2210fxafx−+=有四个不相等实数根，令()tfx=，则()2210gttat=−+=有两个不等的实根12,tt，且1211,0eett，进而10eg

，求解即可【详解】当0x时，()exxfx=，()1exxfx−=，令()0fx，解得01x；令()0fx，解得1x；所以()exxfx=在)0,1递增，在()1,+递减，()()max11efxf

==，且当0x时，()0exxfx=，作出函数()()()(0)0exlnxxfxxx−=，，的图象如下：关于x的方程()()2210fxafx−+=有四个不相等实数根，令()tfx=，则()2210gttat=−+=有两个不等的实根12,tt，且1211,0eett，又(

)010g=，所以2111210eeega=−+，解得2eea+，所以关于x的方程()()2210fxafx−+=有四个不相等实数根时2eea+，故选：D二、填空题5*413.设函数()3log,02

1,0xxfxxx=−，则()()1ff=_________.【答案】1−【解析】【分析】利用函数解析式由内到外逐层计算可得()()1ff的值.【详解】由已知可得()31log10f==，则()()()101fff==−.故答案为

：1−.14.已知向量()()1,1,1abm=−=，，若()2aab⊥−，则a与b夹角的余弦值为_______.【答案】255【解析】【分析】先求得2ab−坐标，根据()2aab⊥−，可得()20aab−=，即可得m值，代入求夹角公式，即可得

答案.【详解】由题意得2(2,1)abm−=−−，因为()2aab⊥−，所以()2(1)(2)110aabm−=−−−+=，解得3m=−，则(3,1)b=−，所以a与b夹角的余弦值22(1)(3)1125cos,52(3)1ababab−−+===−+.故答案为：2

5515.在ABC中，3B=，3sin4sinCA=，且ABC的面积为33，则边长AC为_________.【答案】13【解析】【分析】利用正弦定理角化边和三角形面积公式可构造方程求得,ac，利用余弦定理可求得结果.【详解】由正弦定理得：34ca=，13si

n3324ABCSacBac===，12ac=，即24123a=，解得：3a=，4c=，由余弦定理得：2222cos2524cos133ACacacB=+−=−=，13AC=.故答案为：13.16.抛物线22(0)ypxp=的焦点为F，直线:23230lxyp−−=与抛物线分别交于AB，

两点（点A在第一象限），则AOFAOBSS的值等于________.【答案】34##0.75【解析】【分析】由题意可知直线过焦点,02pF且倾斜角为60，设()()1122,,,AxyBxy，则11222p

pxx+=−，22222ppxx+=−，求出()()1122,,,AxyBxy，结合三角形面积公式即可求解【详解】因为直线:23230lxyp−−=可化为32pyx=−，所以过焦点,02pF且倾斜

角为60，设()()1122,,,AxyBxy，则11222ppxx+=−，22222ppxx+=−，解得132px=，26px=，代入22(0)ypxp=得，123,3pypy==−，所以()11213321432

3AOFAOBOFySppSOFyyp===−+，故答案为：34三、解答题17.已知各项都为正数的等比数列na前n项和为35,15nSS=.且满足12354aaa+=.（1）求数列na的通项公式;（2）设()()5511loglognnnbaa+

=，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）5nna=（2）111nn−+；1nn+【解析】【分析】（1）设等比数列na的公比为q（0q），则由12354aaa+=可求出q，再由3155S=可求出1a，从而可求出na，（2）由（1）得1(1)nbnn=+，然后利用裂项相消求和法

求出nT【小问1详解】设等比数列na的公比为q（0q），因为12354aaa+=，所以211154qaaaq+=，得2450qq−−=，(1)(5)0qq+−=，解得5q=或1q=−（舍去），因为3155S=

，所以31(15)15515a−=−，解得15a=，所以115nnnaaq−==【小问2详解】由（1）得()()()()15515511111loglog(1)1log5log5nnnnnbaannnn++==

==−++，所以11111111223341nTnn=−+−+−++−+11n1=−+1nn=+18.为了迎接2022年成都第31届世界大学生夏季运动会，普及大运知识，某校开展了“大运”知识答题活动，现从参加活动的学

生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为四组：[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到的频率分布直方图如图所示，将成绩在[80，100]内定义为“优秀

”，成绩低于80分为“非优秀”男生女生合计优秀30非优秀10合计（1）求a的值：并根据答题成绩是否优秀，利用分层抽样的方法从这100名学生中抽取5名，再从这5名学生中随机抽取2名，求抽取的2名学生的成绩中恰有一名

优秀的概率；（2）请将22列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为答题成绩是否优秀与性别有关？参考公式及数据:()()()()()22nadbcKnabcdabcdacbd−==+++++++，.20()

PKk0.100.050.0250.0100.0050.0010k2.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）0.028a=；35（2）列联表见解析，没有【解析】【分析】（1）由各组的频率和为1可求出a

，求出成绩非优秀的频率，再乘以总人数可得成绩非优秀的人数，然后根据分层抽样的定义求出抽取的5名学生成绩优秀的人数和成绩非优秀的人数，再利用列举法求所求概率，（2）根据题意完成列联表，然后根据公式()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++求出2K，再与临界值表比较可得结论

【小问1详解】由题可得()100.0160.0240.0321a+++=，解得0.028a=，由题可得，这100名学生中成绩非优秀的有()1000.0160.0241040+=名，所以抽取的5名学生中成绩非优秀的有4052100=名，成绩优秀的有523−=

名，记成绩优秀的3名学生为abc，，，成绩非优秀的2名学生为mn，，从这5名学生中随机抽取2名，有abacamanbcbmbncmcnmn，，，，，，，，，，共10种情况，其中这2名学生的成绩恰有一名优秀共有6种情况，所以这2名学生的成绩恰有一名优秀的

概率为63105P==；【小问2详解】补充完整的22列联表如下表所示：男生女生合计优秀303060非优秀301040合计6040100则2K的观测值()210030103030256.256.635604060

404k−===，所以没有99%把握认为答题成绩是否优秀与性别有关.19.如图，四棱锥PABCD−中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PD上.（1）若E为PD的中点，证明：//PB平面AEC；（2）若2PA=，24PDAB==，若二面角EACB−−的大小为

56，试求:PEED的值.【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】的【分析】（1）连接BD交AC于O，连接OE，利用中位线的性质可得出//OEPB，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y

、z轴建立空间直角坐标系，设PEPD=，其中01≤≤，利用空间向量法可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值，即可得解.小问1详解】证明：连接BD交AC于O，连接OE，因为四边形ABCD为矩形，O为BD的中点，又因为E为PD的中点，则//OE

PB，因为OE平面AEC，PB平面AEC，因此，//PB平面ACE.【小问2详解】解：由题设PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，PA⊥平面ABCD，A

D平面ABCD，PAAD⊥，所以，2223ADPDPA=−=，则()2,23,0C、()0,23,0D、()002P,,、()0,0,0A，【设()()0,23,20,23,2PEPD==−=−，其中01≤≤，则()0,23,22AEAPPE=+=−，()2,23,0AC=

，设平面ACE的法向量为(),,mxyz=，则()223023220mACxymAEyz=+==+−=，取1y=−，可得()()31,1,3m=−−，易知平面ABC的一个法向量为()0,0,1n=，由题可得()2233cos,2413mnmnmn

===−+，因为01≤≤，解得23=，此时2PEED=.20.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=与x轴的正半轴交于点()20P，，且离心率32e=.（1）求椭圆C的方程;（2）若直线l过点()10Q，与椭

圆C交于AB，两点，求AOB面积的最大值并求此时的直线方程.【答案】（1）2214xy+=（2）32；1x=【解析】【分析】（1）由题意2a=，由离心率可得出,bc，从而得出方程.（2）由题意直线l的斜率不为0，设:1lxmy=+与椭圆方程联立，得

出韦达定理，得出AOB面积的表达式，求出其最大值即可得出答案.【小问1详解】椭圆2222:1(0)xyCabab+=与x轴的正半轴交于点()20P，，则2a=32cea==，则3,1cb==椭圆C的方程为:2214xy+

=【小问2详解】当直线l的斜率为0时，AOB，，三点共线，显然不满足题意.当直线l的斜率不为0时，设:1lxmy=+代入2214xy+=，得到()224230mymy++−=设()()1122AxyBxy，，，1221222434myymyym−+=+−=+121

12AOBAOPBOPSSSyy=+=−()2212122123424AOBmSyyyym+=+−=+令22222233311AOBttmtmtSttt=+=−==++，，令1ytt=+，在)3+，单调递增，当332AOBtS==，为最大0m=，此

时l的方程为:1x=21.已知函数()()ln1Rfxxaxa=−+（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若2a=−，是否存在整数()*Nmm，都有()()1fxmx+恒成立，若存在求出实数m的最小值，若不存在说明理由．

【答案】（1）见解析（2）存在；最小值为3【解析】【分析】（1）求导，然后分0a与0a讨论即可求解（2）由题意可得ln211xxmx+++恒成立，令()ln211xxgxx++=+，则由题意有()maxmgx，利用导数法求出()gx的最大

值即可求解【小问1详解】∵0x，()1fxax=−当0a，()0fx，∴()fx在()0,+单调递增当0a时，()1axfxx=−，令()0fx，得1xa，()0fx得1xa∴()fx在10,a单调递增，在1,a+单调递减综上：0

a时，()fx在()0,+单调递增；当0a时，()fx在10,a单调递增，在1,a+单调递减；【小问2详解】∵2a=−，∴()ln21fxxx=++，∴()ln211xxmx+++，∴ln211xxmx+++令()ln211xxgxx++=+，∴()()

212ln1xxgxx+−=+令()12lnuxxx=+−，()2110uxxx=−−∴()ux()0,+单调递减，∵()222211e2lne220eeu=+−=+−∵()333311e2lne230eeu=+−=+−∴()230e,

ex，使得()00ux=，即0012ln0xx+−=，0012lnxx+=当()00,xx，()0ux，()0gx，()gx单调递增，当()0,xx+，()0ux，()0gx，()gx单调递减，∴()

()()02000000max00000123ln2123112111xxxxxxgxgxxxxxx++++++=====++++，∵()230e,ex，()010,1x，∴3m，∴m的最小值为322.在直角坐标系xOy中，直线l

的参数方程为32112xtyt==+(t为参数)，在以O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为2sin2cos=−（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;（2）若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为AB，，求PAPB的值.【答案】（

1）()()22330112xyxy−+=++−=，（2）1【解析】【分析】（1）由消参，可将参数方程化为普通方程，由极坐标与直角坐标之间的互化可将极坐标方程化为普通方程，（2）根据直线参数方程中参数的几何意义即可求弦长.【小问1详解】在直线l

的参数方程为32:330112xtlxyyt=−+==+，曲线C的极坐标方程为2sin2cos=−，，22sin2cos=−即2222xyyx+=−，曲线C的直角坐标方程()()22112xy++−

=，【小问2详解】将直线l的参数方程为32112xtyt==+代入22220xxyy++−=，得到2310tt+−=121231tttt+=−=−故121PAPBtt==