【文档说明】浙江省金华市十校2024届高三4月模拟考试数学试卷 含解析.docx，共(17)页，951.704 KB，由管理员店铺上传

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金华十校2024年4月高三模拟考试数学试题卷注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页.考试时间120分钟.试卷总分为150分.2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目

的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.选择题部分（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集

合0,1,2,3A=，220Bxxx=−，则AB=（）A.0B.1C.1,2D.1,2,3【答案】B【解析】分析】根据一元二次不等式求解02Bxx=，即可由交集求解.【详解

】22002Bxxxxx=−=，故AB=1，故选：B2.i2i=+（）A12i55+B.12i55−C.12i33+D.12i33−【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算即可求解.【详解】

()()()i2ii12i22i2i5i−+==++−，【.故选：A3.设()0,π，条件1:sin2p=，条件3:cos2q=，则p是q的（）A.充分不要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据必要不充分条件的定义，结合同角三角函

数基本关系，即可求解．【详解】由于()0,π，若1sin2=，则23cos1sin2=−=，充分性不成立，若3cos2=，则21sin1cos2=−=，必要性成立，故p是q的必要不充分条件．故选：B．4.设直线2:20lxya−−=，圆(

)()22:121Cxy−+−=，则l与圆C（）A.相交B.相切C.相离D.以上都有可能【答案】C【解析】【分析】求出圆心和半径，求出圆心到直线l的距离，与半径比较即可判断求解．【详解】圆22:(1)(2)1Cxy−+−=的圆心为(1,2)C，半径1r=，则圆心C到直线l的距离22

|14|(3)31555aadr−−+===，故直线l与圆C相离．故选：C．5.等差数列na的首项为正数，公差为d，nS为na的前n项和，若23a=，且2S，13SS+，5S成等比数列，则d=（）A.1B.2C.92D.2

或92【答案】B【解析】【分析】由等比中项的性质得到()22513SSSS=+，结合求和公式得到13da=−或12da=，再由23a=，10a计算可得.【详解】因为2S，13SS+，5S成等比数列，所以()22513SSSS=+，即()()()21

11510243dadada++=+，即()()11320adad+−=，所以13da=−或12da=，又23a=，10a，当13da=−，则11133adaa+=−=，解得132=−a（舍去），当12da=，则11123adaa+=+=，解得11a=，则2d=.故选：B6.在A

BC△中，21sin7B=，120C=，2BC=，则ABC△的面积为（）A.63B.43C.33D.23【答案】D【解析】【分析】根据两角差的正弦公式求出sinA，再由正弦定理求出b，代入面积公式即可得解

.【详解】由题意，()32112121sinsin60sin60coscos60sin12492714ABBB=−=−=−−=，由正弦定理，sinsinabAB=，即212sin74sin2114aBbA===，所以113sin2423222ABCS

abC===△，故选：D7.金华市选拔2个管理型教师和4个教学型教师去新疆支教，把这6个老师分配到3个学校，要求每个学校安排2名教师，且管理型教师不安排在同一个学校，则不同的分配方案有（）A.72种B.48种C.36种D.24种【答案】A【解析】【分析】首先取2名教学型老师分配给

一个学校，再把剩余老师分成22A组，然后分给剩余2个不同学校有22A种不同分法，再由分步乘法计数原理得解.【详解】选取一个学校安排2名教学型老师有1234CC种不同的方法，剩余2名教学型老师与2名管理型教师，各取1名，分成两组共有22A种，这2

组分配到2个不同学校有22A种不同分法，所以由分步乘法计数原理知，共有12223422CCAA362272==种不同的分法.故选：A8.已知()1cos3−=，1sinsin12=−，则22cossin−=（）A.12B

.13C.16D.18【答案】C【解析】【分析】由已知结合两角差的余弦公式可先求出coscos，然后结合二倍角公式及和差化积公式进行化简即可求解．【详解】由1cos()3−=得1coscossinsin3

+=，又1sinsin12=−，所以5coscos12=，所以22cos()()cos()()1cos21cos2cos2cos2cossin2222++−++−−+−+−=−==co

s()cos()=+−(coscossinsin)(coscossinsin)=−+5151111()()12121212236=+−==．故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的

得部分分，有选错的得0分．9.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50350KWh之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示，记直方图中六个小矩形的面积从左到右依次为i

s（1i=，2，L，6），则（）A.x的值为0.0044B.这100户居民该月用电量的中位数为175C.用电量落在区间)150,350内的户数为75D.这100户居民该月的平均用电量为61(5025)iiis=+【答案】AD【解析】【分

析】根据频率分布直方图中频率之和为1即可判断A，根据中位数的计算即可求解B，根据频率即可求解C，根据平均数的计算即可判断D.【详解】对于A，由频率分布直方图的性质可知，(0.00240.00360.00600.00240.0012)5

01x+++++=，解得0.0044x=，故A正确；对于B，因为(0.00240.0036)500.30.5+=，(0.00240.00360.0060)500.60.5++=，所以中位数落在区间[150,200)内，设其为m，则0.3(150)0.0060.5m+−=，解

得183m，故B错误；对于C，用电量落在区间[150，350)内的户数为(0.00600.00440.00240.0012)5010070+++=，故C错误；对于D，这100户居民该月的平均用电

量为61261(5025)(50225)(50625)(5025)iisssis=++++++=+，故D正确.故选：AD．10.已知01ab，1mn，则（）A.abbaB.nmmnCl

oglogbmnaD.loglogabnm【答案】ACD【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解即可.【详解】对于A，因为01ab,所以指数函数xyb=在R上单调递减，且ab，所以abbb，因为幂函数byx=在(0,)+上单调递增，且ab，所以bbab

，所以abba，故A正确，对于B，取5m=，2n=，则2552，故B错误；对于C，因为对数函数logbyx=在(0,)+上单调递减，logmyx=在(0,)+上单调递增，所以loglog1bbab=，loglog1mmnm=，所以loglogbman，故C正确

；对于D，因为lnyx=在(0,)+上单调递增，所以lnln0ab，ln0m，则lnlnlogloglnlnabmmmmab==，因为对数函数logayx=在(0,)+上单调递减，所以logloglogaabnmm，故D正确．故选：ACD．11.在矩形A

BCD中，2ABAD=，E为线段AB的中点，将ADE△沿直线DE翻折成1ADE△．若M为线段1AC的中点，则在ADE△从起始到结束的翻折过程中，（）A.存在某位置，使得1DEAC⊥B.存在某位置，使得1CEAD⊥C.MB的长

为定值D.MB与CD所成角的正切值的最小值为12【答案】BCD【解析】.【分析】当1ACDE⊥时，可得出DE⊥平面1AOC，得出OCDE⊥推出矛盾判断A，当1OA⊥平面BCDE时可判断B，根据等角定理及余弦定理判断C，建系利用向量法判断D.【详解】如图，设DE的中点O，连接,OCOA，则1OA

DE⊥，若1ACDE⊥，由111AOACA=，11,AOAC平面1AOC，可得DE⊥平面1AOC，OC平面1AOC，则可证出OCDE⊥，显然矛盾()CDCE，故A错误；因为CEDE⊥，所以当1OA⊥平面BCDE，由CE平面BCDE可得1OACE⊥，由1OADEO=，1

,OADE平面1ADE，即可得CE⊥平面1ADE，再由1AD平面1ADE，则有1CEAD⊥，故B正确；取CD中点N，1//MNAD，112MNAD=，//BNED，且1,MNBADE方向相同，所以1MNBADE=为定值，所以222cosBMMNBNMNBMM

NB=+−为定值，故C正确；不妨设22AB=，以,OEON分别为,xy轴，如图建立空间直角坐标系，设1AON=，则()10,cos,sinA，()()1cossin2,1,0,1,2,0,,1,,(1,0,0)222BCMD+−，()2,2

,0DC=，3cossin10,,,2222BMBM−==，设MB与CD所成角为，则3cos225cos5255DCBMDCBM−===，即MB与CD所成最小角的余弦值为255，此时1tan2=

，故D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：处理折叠问题，注意折前折后可变量与不变量，充分利用折前折后不变的量，其次灵活运用线面垂直的判定定理与性质定理是研究垂直问题的关键所在，最后不容易直接处理的最值问题可考虑向量法计算后得解.

非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知单位向量a，b满足|2|3ab−=，则a与b的夹角为________．【答案】3（或写成60）【解析】【分析】将等式|2|3ab−=两边平方即

可.【详解】因为222|2|443abaabb−=−+=，所以12ab=，所以1cos,2ab=rr，,0π,3abab=，，．故答案为：3.13.已知函数()2,0,ln,0xxfxxx=若()fx在点()()1,1f处的切线与点()()00,xfx处的切线互相垂

直，则0x=______．【答案】12−##0.5−【解析】【分析】分别求出函数在两段上的导数，根据导数的几何意义求出切线斜率，再由切线垂直得解.【详解】当0x时，1()0fxx=，所以(1)1f=，且点()(

)00,xfx不在lnyx=上，否则切线不垂直，故00x，当0x时，()2fxx=，所以00()2fxx=，由切线垂直可知，0211x=−，解得012x=−.故答案为：12−14.设椭圆()221112211:10xyCabab+=与双曲

线()222222222:10,0yxCabab−=有相同的焦距，它们的离心率分别为1e，2e，椭圆1C的焦点为1F，2F，1C，2C在第一象限的交点为P，若点P在直线yx=上，且1290FPF=，则221211ee+的值

为______．【答案】2【解析】【分析】设椭圆与双曲线相同的焦距为2c，先根据题意得出点P的坐标()0c，再将点P分别代入椭圆和双曲线的方程中，求离心率，即可得解.【详解】设椭圆与双曲线相同的焦距为2c，则2222221122,abcabc+=−=，又1290FPF=，所以121|||

|2OPFFc==，又点P在第一象限，且在直线yx=上，所以22,22Pcc，又点P在椭圆上，所以22221122221ccab+=，即22222112ccaac+=−，整理得422411240aacc−+=，即22211112410ee

−+=，解得211416422242e−==，因为101e，所以211222e+=，同理可得点P在双曲线上，所以22222222221ccab−=，即22222222cacac−=−，解得21222e−=，所以2212112222

222ee+−+=+=.故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为鼓励消费，某商场开展积分奖励活动，消费满100元的顾客可拋掷骰子两次，若两次点数之和等于7，则获得5个积分：若点数之和不等于7，则获得2个积分．（1

）记两次点数之和等于7为事件A，第一次点数是奇数为事件B，证明：事件A，B是独立事件；（2）现有3位顾客参与了这个活动，求他们获得的积分之和X的分布列和期望．【答案】（1）证明见解析（2）分布列见解析；152【解析】【分析】（1）根据古典概型分别计算(),(),()PAPBPAB，由()PAB

，()()PAPB的关系证明；（2）根据n次独立重复试验模型求出概率，列出分布列，得出期望.【小问1详解】因为两次点数之和等于7有以下基本事件：()()()()()()1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,

6,1共6个，所以()61366PA==，又()12PB=．而第一次点数是奇数且两次点数之和等于7的基本事件是()()()163452,,,,,共3个，所以()313612PAB==，故()()()PABPAPB=，所以事件

A，B是独立事件．【小问2详解】设三位参与这个活动的顾客共获得的积分为X，则X可取6，9，12，15，()30311256C16216PX==−=，()21311759C166216PX==−=，()223151512C166216PX

==−=，()3331115C6216PX===，所以分布列为：X691215P12521675216152161216所以()12575151156912152162162162162EX=+++=.16.设()s

incoscosfxxxax=+，π0,2x．（1）若1a=，求()fx的值域；（2）若()fx存在极值点，求实数a的取值范围．【答案】（1）330,4（2）()1,−+【解析】【分析】（1）求导

，得()()()sin12sin1fxxx=−+−，即可根据π0,6x和ππ,62x判断导数的正负确定函数的单调性，求解极值点以及端点处的函数值即可求解，（2）将问题转化为()0fx=在π0,2x上有解，即可分离参数得12

sinsinaxx=−，利用换元法，结合函数单调性即可求解.【小问1详解】若1a=，()πsincoscos0,2fxxxxx=+，，()()()222cossinsin2sinsin1sin12sin1fxxxxxxxx=−−=−−+=−+−当π0

,6x时，sin0,2sin10xx−，则()0fx，()fx单调递增；当ππ,62x时，sin0,2sin10xx−，则()0fx，()fx单调递减又π3364f=，()01f=，π02f=

所以()330,4fx，即()fx的值域为330,4【小问2详解】()222cossinsin12sinsinfxxxaxxax=−−=−−．()fx存在极值点，则()0fx=在π0,2x上有解，即12sinsinaxx=−有解．令sintx

=，则12att=−在()0,1t上有解．因为函数12ytt=−在区间()0,1上单调递减，所以()1,a−+，经检验符合题意．17.如图，在三棱柱111ABCABC-中，ABC△是边长为2的正三角形，侧面11BBCC是矩形，11AAAB=

．（1）求证：三棱锥1AABC−是正三棱锥；（2）若三棱柱111ABCABC-的体积为22，求直线1AC与平面11AABB所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理，证明1AO⊥平面ABC即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦即可.【小问1详解】分别取AB，BC中点D，E，连接CD，AE交于点O，则点O为正三角形ABC的中心．因为11AAABCACB==，得1CDABADAB

⊥⊥，，又11,,ADCDDADCD=平面1ACD，所以AB⊥平面1ACD，又1AO平面1ACD，则1ABAO⊥；取11BC中点1E，连接111AEEE，，则四边形11AAEE是平行四边形，因为侧面11BBCC是矩形，所以1BCEE⊥，又BCAE⊥，又11,,

EEAEEEEAE=平面11AAEE，所以BC⊥平面11AAEE，又1AO平面11AAEE，则1BCAO⊥；又ABBCB=，,ABBC平面ABC，所以1AO⊥平面ABC，所以三棱锥1AABC−是正三棱锥．【小

问2详解】因为三棱柱111ABCABC-的体积为22，底面积为3，所以高1263AO=，以E为坐标原点，EA为x轴正方向，EB为y轴正方向，过点E且与1OA平行的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，则()

()()13263,0,0,0,1,0,0,1,0,,0,33ABCA−，设平面11AABB的法向量1n，因为()123263,1,0,,0,33ABAA=−=−．则111302326033ABnxyAAnxz=−+

==−+=，取1z=，可得()12,6,1n=，又115326,1,33ACAAAC=+=−−，设直线1AC与平面11AABB所成角为θ，所以111111262sincos,363nAC

nACnAC====.18.设抛物线()2:20Cypxp=，直线=1x−是抛物线C的准线，且与x轴交于点B，过点B的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，()1,An是不在直线l上的一点，直线AM，AN分别与准线交于P，Q两点．（1）求抛物线C的方程；（2）证明：BPBQ=：（3）记AMN

△，APQ△的面积分别为1S，2S，若122SS=，求直线l的方程．【答案】（1）24yx=（2）证明见解析（3）310xy+=【解析】【分析】（1）根据准线方程可得p，即可求解；（2）设l：1xty=−，()()1122,,,Mxy

Nxy，联立直线与抛物线，得出根与系数的关系，再由直线的相交求出,PQ坐标，转化为求0PQyy+=即可得证；（3）由（2）可得2SPQ=，再由112SMNd=，根据122SS=可得t，即可得解.【小问1

详解】因为=1x−为抛物线的准线，所以12p=，即24p=，故抛物线C的方程为24yx=小问2详解】如图，设l：1xty=−，()()1122,,,MxyNxy，联立24yx=，消去x得2440yty−+=，则()2Δ1610t=−，且121244yytyy+==，【又AM：()1

111ynynxx−−=−−，令=1x−得()1121,1ynPnx−−−−，同理可得()2221,1ynQnx−−−−，所以()()()()12121212222221122PQynynynynyynnnxxtyty−−−−+=−+−=−+−−−−

()()()()()()1221122222222yntyyntyntyty−−+−−=−−−，()()()212122212124248882202444tyyntyynnntnntyytyyt−−++−=−=−=−++−，故BPBQ=.【小问3详

解】由（2）可得：()()1222122222221ntynynSPQtytyt−−−==−=−−−，22212211141212221ntSMNdtttntt−==++=−−+，由122SS=，得：212t−=，解得3t=，所以直线l的方程为310xy+=．【点睛】关键点点睛：

本题第二问中直线较多，解题的关键在于理清主从关系，据此求出,PQ点的坐标（含参数），第二个关键点在于将BPBQ=转化为,PQ关于x对称，即0PQyy+=.19.设p为素数，对任意的非负整数n，记0101kknapapap=+++，()012pkWnaaaa=+++

+，其中()0,1,2,,10iapik−，如果非负整数n满足()pWn能被p整除，则称n对p“协调”．（1）分别判断194，195，196这三个数是否对3“协调”，并说明理由；（2）判断并证明在2pn，21pn+，

22pn+，…，()221pnp+−这2p个数中，有多少个数对p“协调”；（3）计算前2p个对p“协调”的非负整数之和．【答案】（1）194，196对3“协调”，195对3不“协调”（2）有且仅有一个数对p“协调”，证明见解析（3）522pp

−【解析】【分析】（1）根据n对p“协调”的定义，即可计算()()()333194,195,196WWW，即可求解，（2）根据n对p“协调”的定义以及整除原理可证明引理，证明每一列里有且仅有一个数对p“协调”，即可根据引理求证．（3）将()22222,1,2,,1pnpnpnpnp+++−这2

p个数分成p组，每组p个数，根据引理证明每一列里有且仅有一个数对p“协调”，即可求解.【小问1详解】因为012341942313031323=++++，所以()3194210126W=++++=，0

12341950323031323=++++，所以()3195020125W=++++=，012341961323031323=++++，所以()3196120126W=++++=，所以194，196对3“协调”，195对3不“协调”.【小问2详解

】先证引理：对于任意的非负整数t，在(),1,2,,1ptptptptp+++−中有且仅有一个数对p“协调”．证明如下：设012012kkptbpbpbpbp=++++，由于pt是p的倍数，所以00b=，所

以01212kkptjjpbpbpbp+=++++，即ptj+对于0p这一项的系数为()01jjp−，所以()()()1201pkWptjbbbjjp+=++++−，根据整除原理可知，()()01pWptjjp+−中有且仅有一个数能被p整除，所以在

(),1,2,,1ptptptptp+++−中有且仅有一个数对p“协调”．接下来把以上2p个数进行分组，分成以下p组（每组p个数）：()()()()()()22222222222221211221111121pnpnpnpnppnppnppnppnpp

npppnpppnpppnp+++−++++++−+−+−++−++−根据引理可知，在以上每组里恰有1个数对p“协调”，所以共有p个数对p“协调”．【小问3详解】在继续考虑()22222,1,2,,1pnpnpnpnp+++−这2p个数分成p组，每组p个数：()(

)()()()()22222222222221211221111121pnpnpnpnppnppnppnppnppnpppnpppnpppnp+++−++++++−+−+−++−++−由（2）的引理可知每一行里有且只有一

个数对p“协调”，下面证明每一列里有且仅有一个数对p“协调”．证明如下：设某一列第一个数为()201,01pntnptp+−−，则20120pnttppnp+=++，所以()2pWpntnt+=+，同理当01sp−时，()2pWpnsptnst++=++，所以当01sp−时，

集合201pnsptsp++−中的p个数中有且只有1个数对p“协调”．注意到数阵中每一个数向右一个数增加1，向下一个数增加p，所以p个数对p“协调”的数之和为：()()()()23211211211

2pnppppnppp++++−++++−=+−，进一步，前2p个对p“协调”的非负整数之和为：()()()22152323011112222pnppppppnpppp−=−−−=−=+=【

点睛】方法点睛：对于新型定义，首先要了解定义所给的关系式的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将定义可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.