【文档说明】2023-2024学年高二上学期期中模拟数学试题02（新高考地区专用，测试范围：第1-2章）答案.docx，共(16)页，2.016 MB，由小赞的店铺上传

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2023-2024学年上学期期中模拟考试高二数学试题（考试时间：150分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的

答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：第1-2章（人教版选择性必修一）。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题

，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2023·湖北武汉第十七中学高二期中）直线220xy-+=在x轴上的截距是（）A．1B．1−C．2−D．2【答案】C【解析】将0y=代入直线方程220xy-+=，可得20

x+=，解得2x=−，故选C.2．已知直线1:310lxy+−=，若直线2l与1l垂直，则2l的倾斜角为（）A．30B．60C．120D．150【答案】A【解析】因为直线2l与1l垂直，且13lk=−，所以121llkk=−，解得233lk=

，设2l的倾斜角为，3tan3=，所以30=，故选A.3．直线l的一个方向向量为()2,1,1，平面的一个法向量为()4,2,2，则（）A．//lB．l⊥C．//l或lD．l与的位置关系不能判断【答案】B【解析

】直线l的一个方向向量为()2,1,1，平面的一个法向量为()4,2,2，显然它们共线，所以l⊥．故选B．4．（2023·福建厦门高二期中）若点()1,1P在圆220xyxyk++−+=的外部，则实数k的取值范围是（）A．()2−+，B．12,2−−

C．12,2−D．()2,2−【答案】C【解析】因为点()1,1P在圆220xyxyk++−+=的外部，所以111101140kk++−++−，解得122k−，故选C．5．如图所示，在平行六面体1111ABCDABCD−中，M为11AC与i1BD的交

点，若ABa=，ADb=，1AAc=，则BM=（）A．1122abc−+B．1122abc++C．1122abc−−+D．1122−++abc【答案】D【解析】由题意，因为M为11AC与11BD的交点，所以M

也为11AC与11BD的中点，因此()111111111222=−=++=−++BMBMBBBABCcABADc1212=−++abc，故选D.6．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中记载“斜解立方，得

两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵111ABCABC-中，11ABACAA===，P为11BC的中点，则1ACBP=（）A．32B．1C．34D．12【答案】A【解析】如图，由已知可得，以点A为坐标原点，建立空间直角

坐标系.则()0,0,0A，()0,1,0B，()10,1,1B，()1,0,0C，()11,0,1C，11,,122P.所以()11,0,1AC=uuur，11,,122BP=−uur，所以1130122ACBP=++=.故选：A.7．（2023·福建师大附中高二期中）

正方体中，M是1DD的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱11AB上的任意一点，则直线OP与直线AM所成的角为A．45B．60C．90D．与点P的位置有关【答案】C【解析】如下图所示建立空间直角坐标系，不

妨设正方体的棱长为2，设(,0,0)Px，(1,1,2)O，(0,2,1)M，(0,0,2)A，∴(1,1,2)OPx=−−−，(0,2,1)AM=−，∴(1)012(2)(1)0OPAMx=−−+−−=，即O

PAM⊥，故夹角为2，故选C.8．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数（0，且1），那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点C到(1,0)A−，(

1,0)B的距离之比为3，则点C到直线280xy−+=的距离的最小值为（）A．253−B．53−C．25D．3【答案】A【解析】设(),Cxy，则()()2222131xyxy++=−+，化简得()2223xy−+=，即点C的轨迹方程为以()2,0为圆心，3为半径的圆

，则点C到直线280xy−+=的距离的最小值为圆心()2,0到直线280xy−+=的距离减去半径，即208325314−+−=−+，点C到直线280xy−+=的距离最小值为253−.故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2023·四川省武胜烈面中学校高二期中）对于直线:10lxy+−=，下列说法正确的有（）A．直线l过点()0,1B．直线l与直线yx=垂直C．直线l的一个方向向量为()1,1D．直线l的倾斜角为45°【答案】A

B【解析】直线:10lxy+−=化成斜截式为1yx=−+，所以当0x=时，1y=，A对；直线l的斜率为﹣1，倾斜角为135°，D错；直线yx=的斜率为1，()111−=−，所以两直线垂直，B对；直线l的一个方向向量为()1,1-，C错．故选AB．

10．已知空间三点()1,0,1A−，()1,2,2B−，()3,0,4C−，则下列说法正确的是（）A．3ABAC=B．//ABACC．23BC=D．3cos,65ABAC=【答案】AC【解析】因为()1,0,1A−，()1,2,2B−，()3,0,

4C−，所以()()()0,2,1,2,0,3,2,2,2ABACBC==−=−−所以0033ABAC=++=uuuruuur，3365cos,65513ABACABACABAC===，44423BC=++=，

所以,ABAC不共线，故选AC11．（2023·江苏盐城高二期中）圆221:20xyxO+−=和圆222:460Oxyxy++−=的交点为A，B，则（）A．公共弦AB所在直线的方程为0xy−=B．线段AB中垂线的方程为10xy+−=C．公共弦AB的长为22D．两圆圆心距1232OO=【答案】

ABD【解析】2220xyx+−=①，22460xyxy++−=②，用①减去②即得到公共弦AB所在直线的方程为0xy−=，故A正确；把圆221:20xyxO+−=化为标准方程得22(1)1xy−+=，圆

心1O为(1,0)，半径为11r=，把圆222:460Oxyxy++−=化为标准方程为22(2)(3)13xy++−=，圆心2O为(2,3)−，213r=，线段AB中垂线即为圆心1O与圆心2O两点构成的直线为10xy+−=，

故B正确；圆心1O到公共弦所在直线0xy−=的距离为12211d==+，故公共弦AB的长为222122−=，故C错误；圆心1O到圆心2O的距离2212(12)332OO=++=，故D正确.故选ABD.1

2．已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，下列四个结论中正确的是（）A．直线1BC与直线1AD所成的角为90B．直线1BC与平面1ACD所成角的余弦值为33C．1BD⊥平面1ACDD．点A到平面11DBC

的距离为32【答案】ABC【解析】如图以D为原点，分别以1,,DADCDD所在的直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0D，()1,0,0A()0,1,0C，()10,0,1D，()11,1,1B，对于A：()11,0,1BC=−−

，()11,0,1AD=−，因为()()()111100110BADC=−−++−=，所以11ADBC⊥，即11BCAD⊥，直线1BC与直线1AD所成的角为90，故选项A正确；对于C：因为()1,1,

0AC=−，()11,0,1AD=−，()11,1,1BD=−−−，所以11100ACBD=−+=，111010ADBD=+−=，所以1ACBD⊥，11ADBD⊥uuuruuur，因为1ACADA=I，所以1BD⊥平面1ACD，故选项C正确

；对于B：由选项C知：1BD⊥平面1ACD，所以平面1ACD的一个法向量()11,1,1BD=−−−，因为()11,0,1BC=−−，所以11111122cos,323BDBCBDBCBDBC===，即直线1BC与平面1ACD所成角的正弦值为23，所以直线1BC与平面1ACD所

成角的余弦值为23133−=，故选项B正确；对于D：因为()11,0,1AD=−，平面11DBC的一个法向量(),,nxyz=，()111,1,0DB=，()10,1,1DC=−，故11100nDBxynDCyz=+==−=，令1x=，则1,1yz=−=−

，故()1,1,1n=−−，所以点A到平面11DBC的距离132332ADndn===，故D不正确，故选ABC.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．直线1:3230lxy+−=与2641

0lxy+−=：平行，则它们的距离是【答案】51326【解析】直线1:3230lxy+−=可化为直线1:6460lxy+−=，又26410lxy+−=：，且12//ll，所以它们的距离()1222226155132

65264CCdAB−−−−====++.14．求过点3(4,)P−且与圆()()22139xy−+−=相切的直线方程为.【答案】x＝4或3x+4y＝0【解析】当直线的斜率存在时，可设直线方程为y+3＝k（x－4），即kx－y－4k－3＝0，由题意得234331kkk−−−=+，解得k

＝34−，此时直线方程为3x+4y＝0，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝4此时圆心(1,3)到直线x＝4的距离为3，所以直线与圆相切，符合题意.15．（2023·黑龙江实验中学高二月考）已知点(,)Mab在直线512260xy−+=上，则22ab+的最小值为．【答

案】2【解析】22ab+可以理解为点(0,0)到点(,)Mab的距离，又∵点(,)Mab在直线512260xy−+=上，∴22ab+的最小值等于点(0,0)到直线512260xy−+=的距离，且22|5012026|2512−+==+d.

16．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为.【答案】217【解析】以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则()()()1131,,0,0,1,0,0,1,1,0,0,122ABBC

，所以131,,122CA=−，()10,1,1CB=−，()110,1,0CB=，设平面ABC1的法向量为(,,)nxyz=，则1100nCAnCB==，即310220xyzyz+−

=−=，令1x=，则3yz==，故(1,3,3)n=，所以点B1到平面ABC1的距离为113217133CBnn==++..四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤．17．（2023·浙江省镇海高中高二期中）已知ABC的顶点()5,1A，重心()3,3G．(1)求线段BC的中点坐标；(2)记ABC的垂心为H，若B、H都在直线yx=−上，求H的坐标．【解析】（1）设BC中点()00,Mxy，因为G为ABC的重心，且()(

)5,1,3,3AG，所以2AGGM=，即()()002223,3xy−=−−，所以0000312314xxyy−=−=−==，所以BC中点()2,4M（2）因为BH的方程为yx=−，且H为ABC的垂心所以1BHACkk=−即11ACk−=−，所以1ACk=所以直线AC的方程为：

15yx−=−，即4yx=−所以设点(),4CCCxx−，又因为BC的中点()2,4M，设(),BBBxy则2244248BCBCxxyx+==+−==即412BCBCxxyx=−=−又因为点B在

直线yx=−上，即()124CCxx−=−−，所以8Cx=所以()8,4C，所以44082BCMCkk−===−，则BC边上的高线AH为5x=而点H也在直线BH：yx=−上，所以点H的坐标即为AH与BH的交点即()5,5H−.18．（2023·江苏扬州高二期中）已知一条动直线()(

)311620mxmym++−−−＝，(1)求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标，并求出点1,13M到动直线的最大距离.(2)若直线AB与x．y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①AOB的周长为12；②AOB

的面积为6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．【解析】（1）将直线方程()()311620mxmym++−−−＝变形为()36320mxyxy+−+−−=，由360320xyxy+−=−−=，可得432xy==，因此，直线()31640mxmym++−−=恒过

定点4,23P.当MP垂直与直线l时，点M到直线l的距离最大，因为2114133MPk−==−，所以直线l的斜率为1−，所以3311mm+−=−−，故2m=−，所以直线l的方程为1003xy+−＝，

点M到直线1003xy+−＝的距离为11013322+−=，所以点1,13M到动直线的最大距离为2；（2）假设存在点()(),00Aaa和点()()0,0Bbb满足要求，则2216212ababab=+++=，解方程可得43ab=

=或34ab==，所以直线AB的方程为143xy+=或134xy+=，故存在直线34120xy+−=或43120xy+−=.19．（2023·河南省开封高中高二期中）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①与直线4350xy−

+=垂直；②过点(5,5)−；③与直线3420xy++=平行.问题：已知直线l过点(1,2)P−，且___________.（1）求直线l的一般式方程；（2）若直线l与圆225xy+=相交于点P，Q，求弦PQ的长.【解析】方案一选条件①.（1）因为直线4350xy

−+=的斜率为43，又直线4350xy−+=与直线l垂直，所以直线l的斜率为34k=−，依题意，直线l的方程为32(1)4yx+=−−，即3450xy++=.（2）圆225xy+=的圆心(0,0)到直线3

450xy++=的距离为225134d==+.又圆225xy+=的半径为5r=，所以2224PQrd=−=.方案二选条件②.（1）因为直线l过点()5,5−及()1,2-，所以直线l的方程为551525xy−+=−

−+，即3450xy++=.（2）圆225xy+=的圆心(0,0)到直线3450xy++=的距离为225134d==+.又圆225xy+=的半径为5r=，所以2224PQrd=−=.方案三选条件③.（1）因为直线3420xy++=的斜率为34−，直线l与直线3420xy++=平行

，所以直线l的斜率为34k=−依题意，直线l的方程为32(1)4yx+=−−，即3450xy++=.（2）圆225xy+=的圆心(0,0)到直线3450xy++=的距离为225134d==+.又圆225xy+=的半径为5r=

，所以2224PQrd=−=.20．如图，四棱锥PABCD−中，底面ABCD是直角梯形，//ABCD，90BAD=，222PDDCBCPAAB=====，PDCD⊥．(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)求直

线BD与平面BPC所成角的正弦值．【解析】（1）证明：由于//ABCD，90BAD=，所以CDAD⊥，由于PDCD⊥，=PDADD，PD、AD平面PAD，所以CD⊥平面PAD，AB⊥平面PAD，由PA平面PAD，得ABPA⊥.取CD的中点E，连接BE，因为底面ABCD是直角梯形，//DE

AB且222DCDEAB===，90BAD=，故四边形ABED为矩形，且ADBE=且BECD⊥，223ADBEBCCE==−=，所以在PAD中，1PA=，2PD=，222ADPAPD+=，即PAAD⊥，由于ADABA=，AB、AD平面ABCD，所以PA

⊥平面ABCD.（2）解：PA⊥平面ABCD，ABAD⊥，以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A、()1,0,0B、()2,3,0C、()0,

3,0D、()0,0,1P，()1,3,0BD=−，()1,0,1PB=−，()1,3,0BC=，设平面BPC的法向量为(),,nxyz=，则030nPBxznBCxy=−==+=，取3x=，可得()3,1,3n=−，

所以，2321cos,727BDnBDnBDn==−=−.所以，直线BD与平面BPC所成角的正弦值为217.21．如图，四棱锥PABCD−中，四边形ABCD是矩形，AD⊥平面PAB，PAPB

⊥，E是AD的中点，M是PB的中点.(1)证明：//EM平面PCD；(2)若PAAD=，2ABAD=，求平面PCE与平面PBC夹角的余弦值.【解析】（1）取PC中点N，连接,MNDN，,MN分别为,PBPC的中点，//MNBC，12M

NBC=，因为四边形ABCD是矩形，E是AD的中点，所以//DEBC且12DEBC=，故//DEMN且MNDE=，则四边形DEMN为平行四边形，//EMDN，又EM面PCD，DN平面PCD，所以//EM平面PCD.（2）设2AD=，

则2,22PAADAB===，因为PAPB⊥，所以由勾股定理得2PB=，则PAB是等腰直角三角形，又AD⊥平面PAB，故以AB中点O为原点，过点O和AD平行的直线为z轴，如图建立空间直角坐标系Oxyz−，则(2,0,0)P，(0,2,2)C，(0,2,1)E−

，(0,2,0)B，则(2,2,2)PC=−uuur，(2,2,1)PE=−−，(2,2,0)PB=−uur，设1(,,)nxyx=是面PCE的一个法向量，则有112220220PCnxyzPEnxyz=−++==−−+=，取3x=−，则1,22yz=

=−，故1(3,1,22)n=−−，设2(,,)nabc=是面PBC的一个法向量，则有222220220PCnabcPBnab=−++==−+=，取1a=，则1,0bc==，故()21,1,0n=，记平面PCE与平面PBC夹角为，则121212311cosc

os,3182nnnnnn−+====，所以平面PCE与平面PBC夹角的余弦值13.22．已知正四棱柱1111ABCDABCD−中，1AB=，13AA=，E点为棱11AB的中点．(1)求二面角1AECC−−的余弦值；(2)连接EC，若P点为直线EC上一动点，求当P点到直线1BB距离最短时，线

段EP的长度．【解析】（1）解：以1D为原点，11DA、11DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,03A,、11,,02E、()0,1,3C、()10,1,0C、(

)1,1,3B、()11,1,0B，则10,,32AE=−，111,,02EC=−，()10,0,3CC=，设平面1AEC的法向量为()111,,mxyz=，则111111302102mAEyzmECxy=−

==−+=，取13x=，则()3,23,1m=，设平面1ECC的法向量为()222,,xnyz=，则1212230102nCCznECxy===−+=，取21x=，可得()1,2,0n=，5315cos,445mnmnm

n===，由图可知，二面角1AECC−−的平面角为锐角，故二面角1AECC−−的余弦值为154.（2）解：设,,32EPEC==−，其中01≤≤，则11110,,0,,3,,3222BP

BEEP−=+=−+−=−，令()110,0,1BBuBB==，设点P到直线1BB的距离为d，则()()()()22222222111511332424dBPBPu−=−=−++−=−+，故当11255

24==时，d取最小值，此时11171755210EPEC===.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com