【文档说明】河北省沧州市七校联盟2021届高三上学期期中考试数学试卷【精准解析】.doc，共(23)页，1.652 MB，由小赞的店铺上传

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-1-沧州市七校联盟高三年级2020~2021学年上学期期中考试数学试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合24Axx=−，{|2}Bxx=

，则AB=（）A.{24}xx−∣B.{24}xx∣C.{22}xx−∣D.{24}xx∣【答案】B【解析】【分析】根据交集定义计算．【详解】{24}ABxx=∣．故选：B．2.复数312iz

i=−的虚部是（）A.65i−B.35iC.35D.65−【答案】C【解析】【分析】由复数除法法则计算出z后可得其虚部．【详解】因为33(12)366312(12)(12)555iiiiiiii+−===−+−−+

，所以复数z的虚部是35．故选：C．-2-3.523xx+的展开式中4x的系数是（）A.90B.80C.70D.60【答案】A【解析】【分析】根据二项式定理，得到523xx+展开式的第1r+项，再由赋值法，即可求出结果.【详解】因为523xx

+展开式的第1r+项为()521031553CC3rrrrrrrTxxx−−+==，令1034r−=，得2r=，则4x的系数为225C390=．故选：A.4.若0mn，3mn+=，则14mn+的最小值为（）A.2B.6C.9D.3【答案】D【解析】【分析】根据题中条

件，由14114()3mnmnmn+=++展开后，根据基本不等式，即可求出结果.【详解】因为0mn，3mn+=，所以1411414()533nmmnmnmnmn+=++=++145233nmmn+=．当且仅当4nmmn=，

即1m=，2n=时取等号.故选：D.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二

项之积转化成定值；要求积的最大值，-3-则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5.2

020年10月1日是中秋节和国庆节双节同庆，很多人外出旅行或回家探亲，因此交通比较拥堵．某交通部门为了解从A城到B城实际通行所需时间，随机抽取了n台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在[30,55]内，按通行时间分为[30,35)，[35,40)，[

40,45)，[45,50)，[50,55]五组，频率分布直方图如图所示，其中通行时间在[30,35)内的车辆有235台，则通行时间在[45,50)内的车辆台数是（）A.450B.325C.470D.500【答案】C【解析】【分析】根据频率分布直方图求出通行时间在[45,50)内的频率

，然后由通行时间在[30,35)内的车辆有235台与频率可得结论．【详解】因为[30,35)，[35,40)，[40,45)，[50,55]四组通行时间的频率分别是0.1，0.25，0.4，0.05，所以通行时间在[45,50)内的频率是10

.10.250.40.050.2−−−−=，通过的车辆台数是2352470=．故选：C．6.在矩形ABCD中，35AB=，22AD=，点E满足32DEDC=，则AEBD=uuuruuur（）-4-A.21B.186−C.22−D.1810【答案】

C【解析】【分析】以AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，用坐标表示向量后计算数量积．【详解】(35,22)BD=−7.如图，在三棱锥D-ABC中，ACBD⊥，一平面截三棱锥D-ABC所得截

面为平行四边形EFGH．已知2EF=，5EH=，则异面直线EG和AC所成角的正弦值是（）A.147B.77C.357D.27【答案】A【解析】【分析】利用直线与平面平行的判定与性质可证//EHAC，从而可知H

EG（或其补角）就是异面直线EG和AC所成的角，在直角三角形EHG中计算可得解.【详解】EFGH是平行四边形，所以//EHFG，因为EH平面ACD，FG平面ACD，所以//EH平面ACD，又EH平面ABC，平面

ABC平面ACDAC=，所以//EHAC，所以HEG（或其补角）就是异面直线EG和AC所成的角，因为ACBD⊥，所以90EHG=，-5-因为2HGEF==，5EH=，所以7EG=，故14sin7HGHEGEG==．故选：A【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线

所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算

：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．8.定义在R上的函数()fx的导函数为()fx，若()()fxfx，(2)1008f=，则不等式21e(1)

1008e0xfx++−的解集为（）A.(1,)−+B.(2,)+C.(,1)−D.(1,)+【答案】D【解析】【分析】令()()exfxgx=，对函数求导判断出单调性，利用()gx的单调性解出不等式即可．【详解】令()()exfxgx=，则()()()0exf

xfxgx−=，所以()gx在R上单调递增．因为21008(2)eg=，所以不等式21e(1)1008e0xfx++−，可变形得12(1)(2)eexfxf++，即()()12gxg+，所以12x+，解得1x．故选：D-6

-二、选择题；本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.已知等差数列na的前n项和为nS，公差为d，且35a=，73a=，则（）A.12d=B.12d=−C.918S=D

.936S=【答案】BD【解析】【分析】由等差数列下标和性质结合前n项和公式，求出9S，可判断C，D，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A，B．【详解】因为1937538aaaa+=+=+=，所以()1999983622aaS+===．因为35a=，73a=

，所以公差731732aad−==−−．故选：BD10.已知函数23()sincos3sin(0)2fxxxx=−+，若将函数()fx的图象平移后能与函数sin2yx=的图象完全重合，则下列说法正确的有（）A.函数()fx的最小正周期为B.将函数()fx的图象向左平移12个

单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称C.当,44x−时，函数()fx的值域为1,12D.当函数()fx取得最值时，()122kxk=+Z【答案】ABD【解析】【分析】先利用三角恒等变换公式将函数化简变形得，()sin23f

xx=+，由于函数()fx的图象-7-平移后能与函数sin2yx=的图象完全重合，从而得1=，则()sin23fxxp骣琪=+琪桫，然后利用三角函数的图像和性质对选项逐个分析判断【详解】

由题意得，23()sincos3sin2fxxxx=−+()2312sin1sin222xx−=+13sin2cos222xx=+sin23x=+．因为函数()fx的图象平移后能与函数sin2yx=的图象完全重

合，所以1=．因为()sin23fxxp骣琪=+琪桫，所以函数()fx的最小正周期22T==，故A正确．将()fx的图象向左平移12个单位长度，得到曲线sin2sin2cos21232yxxx=++=+=，其图象关于y轴对称，故B正确．当,

44x−时，52,366x+−，1sin2,132x+−，即()fx的值域为1,12−，故C错误．令2()32xkk+

=+Z，解得()122kxk=+Z，所以当()fx取得最值时，()122kxk=+Z，故D正确．故选：ABD【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查三角函数的图像和性质

-8-的应用，解题的关键是将23()sincos3sin(0)2fxxxx=−+利用三角恒等变换公式化为()sin23fxx=+，考查转化思想和计算能力，属于中档题11.已知(2)yfx=+为奇函数，且(

3)(3)fxfx+=−，当[0,1]x时，4()2log(1)1xfxx=++−，则（）A.()fx的图象关于(2,0)−对称B.()fx的图象关于(2,0)对称C.4(2021)3log3f=+D.3(2021)2

f=【答案】BD【解析】【分析】由(2)yfx=+为奇函数，可得(2)(2)fxfx+=−−，从而得(3)(1)fxfx+=−−，所以可得()fx的图象关于(2,0)对称，所以B正确，A错误，由已知条件可得函数()f

x的周期为4，进而可求出(2021)f的值，从而可对C，D作出判断【详解】(2)yfx=+为奇函数，(2)(2)fxfx+=−−，(3)(1)fxfx+=−−，同时说明()fx的图象关于(2,0)对称．(3)(3)fxfx+=−，(1)

(3)fxfx−−=−，即()(2)fxfx−=+，可得(4)()fxfx+=，函数()fx的周期为4，故43(2021)(45051)(1)2log212fff=+==+−=．故选：BD12.椭圆2222:1(0)xyCabab+=，1F，2F分别为左、右焦点，1A，2

A分别为左、右顶点，-9-P为椭圆上的动点，且12120PFPFPAPA+恒成立，则椭圆C的离心率可能为（）A.12B.22C.33D.32【答案】AC【解析】【分析】设()00,Pxy，1(,0)Fc−，2(,0)Fc，则()100,PFcxy

=−−−，()200,PFcxy=−−，()100,PAaxy=−−−，()200,PAaxy=−−，再由12120PFPFPAPA+可得2230ac−，从而可求出离心率的范围【详解】设()00,Pxy，1(,0)Fc−，2(,0)Fc，则()100,PFcx

y=−−−，()200,PFcxy=−−，()100,PAaxy=−−−，()200,PAaxy=−−．因为222212120022PFPFPAPAxyac+=+−−22222200222bxbxaca=+−−−2222220

22330cxacaca=+−−恒成立，所以离心率33cea=．故选：AC【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的几何性质的应用，考查的离心率的求法，解题的关键是由12120PFPFPAPA+转化为坐标的关系，进而可得到,ac的关系

，考查计算能力，属于中档题第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．-10-13.已知函数32,0()ln(),0xxxfxxx−=−，则((1))=ff________．【答案】0【解析】【分析】先求()1f，进而得出((1))ff的值．

【详解】(1)121f=−=−，((1))ff=(1)ln10f−==．故答案为：014.若2sin63+=，则sin26−=________．【答案】19−【解析】【分析】由sin2sin2632

−=+−，结合诱导公式和二倍角公式得出答案．【详解】2sin63+=，21cos212sin369+=−+=．22326+=+−，1sin2sin2cos2

63239−=+−=−+=−．故答案为：19−15.若P为直线40xy−+=上一个动点，从点P引圆2240yxCx+−=：的两条切线PM，PN（切点为M，N），则MN的最小值是________.【答

案】473-11-【解析】【分析】根据题意得当||MN的长度最小时，||PC取最小值，进而根据几何关系求解即可.【详解】如图，由题可知圆C的圆心为(2,0)C，半径2r=．要使||MN的长度最小，即要MCN最小，则MCP最小．因为||||ta

n2PMPMMCPr==，所以当||PM最小时，||MN最小因为2||4PMPC=−∣，所以当||PC最小时，||MN最小．因为min6||3211PC==+，所以22cos332MCP==，所以7sin3MCP=，由于1in2s2MCPMN=所以mi

n47||3MN=．-12-故答案为：473.【点睛】本题解题的关键是根据已知当||MN的长度最小，即要MCN最小，进而得当||PC最小时，||MN最小．由于||PC的最小值为C点到直线40xy−+=，

故min||32PC=.考查化归转化思想和运算能力，是中档题.16.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−，中，E，F分别为棱11AB，11BC的中点，点P在线段EF上，则三棱锥1PDAC−的体积为_______

_．【答案】2【解析】【分析】由线面平行的性质可得无论点P在线段EF上什么位置，它到平面1DAC的距离不变，求出P到平面1DAC的距离，再利用锥体的体积公式即可求解.【详解】因为//EFAC，AC平面1DAC，所以//EF平面1DAC，所以无论点P在线段EF上什么位置，它到平面1DAC的距离不

变．当点P是EF与11DB的交点时，11134PDDB=，则P到平面1DAC的距离是1B到平面1DAC距离的34．因为1B到平面1DAC的距离为1224323333BD==，-13-所以P到平面1DAC的距离是

343343=，因为1DAC的面积123(22)234DACS==，所以三棱锥1PDAC−的体积123323V==．故答案为：2四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在①(sinsin)()(sinsin)ABabCBc

+−=−，②sincos6aBbA=−，③sinsin2BCbaB+=这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．问题：在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且23bc+=，6a=，________．求A

BC的面积．【答案】任选三个条件之一，都有32ABCS=【解析】【分析】若选①，由正弦定理边角互化，由余弦定理得出角A，进而求得bc，得出三角形的面积；若选②，由正弦定理边角互化，利用两角和与差公式化简得出角A，结合余弦定理求出三角形

的面积；若选③，由正弦定理结合诱导公式和二倍角公式得出角A，由余弦定理得出bc，进而可得三角形的面积．【详解】若选①，由正弦定理，得()()()ababcbc+−=−，即222bcabc+−−，所以2221cos222bcabcAbcbc+−===，因为(0,)A，所以3A=．因为

2222()3abcbcbcbc=+−=+−，6a=，23bc+=，-14-所以2bc=，所以113sin2sin2232ABCSbcA===．若选②，由正弦定理，得sinsinsincos6ABBA=−．因为0B，所

以sin0B，所以sincos6AA=−，化简得31sincossin22AAA=+，所以cos06A+=．因为0A，所以3A=．因为2222cos3abcbc=+−，6

a=，23bc+=，所以2bc=，所以113sin2sin2232ABCSbcA===．若选③，由正弦定理，得sinsinsinsin2BCBAB+=．因为0B，所以sin0B，所以sinsin2BCA

+=．因为222BCA+=−，所以cos2sincos222AAA=．因为0A，022A，所以cos02A，所以1sin22A=，所以3A=．因为2222()3abcbcbcbc=+−=+−，6a=，23bc+=，所以2bc=，所以113sin2sin2232ABC

SbcA===．-15-【点睛】方法点睛：本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角恒等变换，解三角形问题中可以应用正余弦定理的题型有：1.已知一边和两角；2.已知两边和其中一边的对角；3.已知两边和它们所夹的角；4.已知三边．18.

设数列na的前n项和为nS，且12nnSa+=．（1）求数列na的通项公式；（2）设21nnban=+，求数列nb的前n项和nT．【答案】（1）12nna-=；（2）12nnTn+=．【解析】【分析】（1）由1(2)nnnaSSn−=−得出数列{}na是等

比数列，（先求出10a），可得通项公式；（2）由（1）得nb，用错位相减法求和．【详解】解：（1）当1n=时，1112Sa+=，解得11a=．因为21nnSa=−，①所以当2n时，1121nnSa−−=−，②①-②得，

1122nnnnSSaa−−−=−，所以12nnaa−=．故数列na是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为12nna-=．（2）由题知，(1)2nnbn=+，所以123223242(1)2nnTn=+++++，③23412223242(1)2nnTn+=

+++++，④③-④得，()123122222(1)2nnnTn+−=+++++−+-16-()112122(1)2212nnnnn++−=+−+=−−．所以12nnTn+=．【点睛】方法点睛：本题考查求等比数列的通项公式，考查错位相减法求和．数列求和的常用方法：（

1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组（并项）求和法；（5）倒序相加法．19.某电商为了解消费者的下一部手机是否会选购某一品牌手机，随机抽取了200位以前的客户进行调查，得到如下数据：准备购买该品牌手机的男性有80人，不准备买该品牌手机的男性有40人，准备买该品牌手机的女性有

40人．（1）完成下列2×2列联表，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为这200位参与调查者是否准备购买该品牌手机与性别有关．准备买该品牌手机不准备买该品牌手机合计男性女性合计（2）该电商将这200个样本中准备购买该品牌手机的被调查者按照性别分组，用分层抽样的方法抽取6

人，再从这6人中随机抽取3人给予500元优惠券的奖励，另外3人给予200元优惠券的奖励，求获得500元优惠券与获得200元优惠券的被调查者中都有女性的概率．附：22()()()()()nadbcKabaccdbd−=++++，nabcd=+++．

()20PKk0.500.250.050.0250.0100k0.4551.3213.8405.0246.635【答案】（1）列联表见解析，有97.5%的把握认为这200位参与调查者是否准备购买该品牌手机与性别有关；（2）35．-17-【解析】【分

析】（1）写出列联表后计算2K可得；（2）求出6人中男性4人，女性2人，计算出“获得500元优惠券者与获得200元优惠券者都有女性”这个事件A所含基本事件的个数，及任取3人的方法总数，然后由概率公式计算概率．【详解】解：（1）由题意得2×2列联表如下：准备买该品牌手机不准备买该品牌

手机合计男性8040120女性404080合计12080200因为22200(40804040)5.5565.0241208080120K−=，所以有97.5%的把握认为这200位参与调查者

是否准备购买该品牌手机与性别有关．（2）由题意可知，用分层抽样的方法抽取的6人中，男性有8064120=人，女性有4062120=人．设“获得500元优惠券者与获得200元优惠券者都有女性”为事件A，则122436123()2

05CCPAC===，即获得500元优惠券与获得200元优惠券的被调查者中都有女性的概率为35．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，90ADP=，PDAD=，二面角PADB−−为60°，E为PD的中点．-18-（1）证明：CE⊥平面PAD．（2）求平

面ADE与平面ABE所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）21919．【解析】【分析】（1）由已知条件可证得AD⊥平面PCD，从而可得ADCE⊥，再由二面角PADB−−为60°，可得PCD为等边三角形，可得CEDP⊥，再利用线面垂直

的判定定理可证得结论；（2）过P作POCD⊥，垂足为O，可证得PO⊥平面ABCD，设AB的中点为Q，可得OQ⊥平面PDC，以O为坐标原点，OQ的方向为x轴正方向，DC的方向为y轴正方向，OP的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，然后利用空间向量求解平面ADE与平面A

BE所成锐二面角的余弦值【详解】（1）证明：四边形ABCD为正方形，ADCD⊥．90ADP=，CDDPD=，AD⊥平面PCD．CE平面PCD，ADCE⊥．二面角P-AD-B为60°，60PDC=．PDAD=，CDAD=，PCD为等边三角形．E为PD的中点，CEDP⊥．A

DDPD=，CE⊥平面PAD．（2）解：过P作POCD⊥，垂足为O，易知O为CD的中点．平面PCD⊥平面ABCD，-19-平面PCD平面ABCDCD=，PO平面PDC，PO⊥平面ABCD．设AB的中点为Q，连接

OQ，则//OQAD，OQ⊥平面PDC．以O为坐标原点，OQ的方向为x轴正方向，DC的方向为y轴正方向，OP的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．正方形ABCD的边长为2，(2,1,0)A−，(2,1,0)B，(0,1,0)C，(0,

1,0)D−，(0,0,3)P，130,,22E−，(0,2,0)AB=，132,,22AE=−，330,,22CE=−，CE⊥Q平面PAD，CE为平面ADE的一个法向量．设(,,)nxyz=是平面ABE的法向量，则20132022nAB

ynAExyz===−++=，令4z=，得(3,0,4)n=．23219cos,19||319CEnCEnCEn===．-20-平面ADE与平面ABE所成锐二面角的余弦值为2191

9．【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直的证明方法，考查二面角的求法，解题的关键是合理建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，考查计算能力，属于中档题21.已知椭圆2222:1(0)xyabab+=的离心率为55，焦距为2．（1）求的

标准方程．（2）过的右焦点F作相互垂直的两条直线1l，2l（均不垂直于x轴），1l交于A，B两点，2l交于C，D两点．设线段AB，CD的中点分别为M，N，证明：直线MN过定点．【答案】（1）22154xy+=；（2）证明见解析．

【解析】【分析】（1）由焦点得c，由离心率可求得a，再由222abc=+求得b后可得椭圆方程；（2）设直线AB的方程为(1)(0)ykxk=−，()11,Axy，()22,Bxy，直线方程代入椭圆方程整

理后应用韦达定理得1212,xxxx+，从而得M点坐标，同理得N点坐标，在直线MN斜率存在的情况下，求出直线MN斜率，得直线方程，由直线方程得定点坐标，然后说明斜率不存在时直线也过此定点．【详解】（1）解：因为离心率55cea

==，22c=，且222abc=+，所以1c=，5a=，2b=，故的标准方程为22154xy+=．（2）证明：由（1）知(1,0)F．设直线AB的方程为(1)(0)ykxk=−，()11,Axy，()22,Bxy，-21-联立方程组22(1)154ykxxy

=−+=，消去y得()222254105200kxkxk+−+−=，则21221054kxxk+=+，122854kyyk−+=+，所以M的坐标为22254,5454kkkk−++．因为CDAB⊥，所以CD的斜率为1k−．将M坐标中的k换为1k−，可得N的坐标为225

4,4545kkk++．当1k时，设直线MN的斜率为MNk，则2955NMMNNMyykkxxk−−==−−，所以直线MN的方程为222495455545kkyxkkk−−=−+−+，即295559kyxk−=−−，则直线MN过定点5,09

．当1k=时，直线MN的方程为59x=，也过点5,09．综上所述，直线MN过定点5,09．【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交中定点问题．解题方法是设而不求的思想方法．即设直线AB的方程为(1)(0)ykxk=−

，()11,Axy，()22,Bxy，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,xxxx+，从而可得中点M坐标（用k表示），N点坐标，然后求出直线方程后，通过方程得出定点．22.已知函数2()ln(12)1fxxmxmx=−+−+．（1）若1m=，求()fx的极值；-22-（2）若对

任意0x，()0fx恒成立，求整数m的最小值．【答案】（1）()fx极大值为1ln24−，无极小值；（2）1．【解析】【分析】（1）求导函数()fx，由导函数确定函数的单调性，得极值；（2）不等式恒成立转化为2ln12xxmxx+++在(0,

)+上恒成立，设2ln1()2xxFxxx++=+，转化为求()Fx的最大值，确定()Fx的零点0x的范围，得出()Fx最大值的范围后可得最小的整数m．【详解】解：（1）当1m=时，2()ln1fxxxx=−−+，1(1)(21)()21xxfxxxx+−=−−=−．当102x时，()0

fx，则()fx在10,2上单调递增；当12x时，()0fx，则()fx在1,2+上单调递减．所以()fx在12x=时取得极大值且极大值为11ln224f=−，无极小值．（2）因为对任意0x，()0fx恒成立，所以

()2ln12xxmxx+++在(0,)+上恒成立，即2ln12xxmxx+++在(0,)+上恒成立．设2ln1()2xxFxxx++=+，则()22(1)(2ln)()2xxxFxxx−++=+．设()

(2ln)xxx=−+，显然()x在(0,)+上单调递减，-23-因为(1)10=−，11112ln2ln202222=−+=−，所以01,12x，使得()00x=，即002ln0xx+=．当()00,xx时，()0x；当(

)0,xx+时，()0x．所以()Fx在()00,x上单调递增，在()0,x+上单调递减，所以()00max02000ln11()22xxFxFxxxx++===+．因为01,12x，所以011,122x，故整数m的最小值为

1．【点睛】关键点点睛：本题考查用导数求函数的极值，研究不等式恒成立问题．求解不等式恒成立问题，常常需要转化，用分离参数法转化为求函数的最值．本题中函数的最值点不能直接求出，我们用0x表示，通过()Fx得出0x的范围，

从而可得最大值0()Fx的范围，然后得出结论．