【文档说明】河北省沧州市七校联盟2021届高三上学期期中考试数学试题含答案.docx，共(16)页，890.435 KB，由小赞的店铺上传

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沧州市七校联盟高三年级2020~2021学年上学期期中考试数学试题考生注意：1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容

：高考全部内容（除双曲线、抛物线外）．第I卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{24}Axx=−∣，{2}Bxx=，则AB=（）A．{24}xx−∣B．{24}xx∣C．{2

2}xx−∣D．{24}xx∣2．复数312izi=−的虚部是（）A．65i−B．35iC．35D．65−3．523xx+的展开式中x的系数是（）A．90B．80C．70D．604．若0mn，3mn+=，则1

4mn+的最小值为（）A．2B．6C．9D．35．2020年10月1日是中秋节和国庆节双节同庆，很多人外出旅行或回家探亲，因此交通比较拥堵．某交通部门为了解从A城到B城实际通行所需时间，随机抽取了n台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位

：分钟）都在[30,55]内，按通行时间分为[30,35)，[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55]五组，频率分布直方图如图所示，其中通行时间在[30,35)内的车辆有235台，则通行时间在[45,50)内的车辆台数是（

）A．450B．325C．470D．5006．在矩形ABCD中，35AB=，22AD=，点E满足32DEDC=，则AEBD=（）A．21B．186−C．-22D．18107．如图，在三棱锥D-ABC中，ACB

D⊥，一平面截三棱锥D-ABC所得截面为平行四边形EFGH．已知2EF=，5EH=，则异面直线EG和AC所成角的正弦值是（）A．147B．77C．357D．278．定义在R上的函数()fx的导函数为()fx，若()()fxfx，(2)1008f=，则不等式21e(1)100

8e0xfx++−的解集为（）A．(1,)−+B．(2,)+C．(,1)−D．(1,)+二、选择题；本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．已知等差数列na的前n项和为nS，公差为d，且35a=，73a=，则（）A．1d=B．1d=−C．918S=D．936S=10．已知函数23()sincos3sin(0)2fxxxx=−+，若将函数()fx的图象平移后能与函数sin2yx=的图象完全重合，则下列说法正确的有（）

A．函数()fx的最小正周期为B．将函数()fx的图象向左平移12个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称C．当,44x−时，函数()fx的值域为1,12D．当函数()fx取得最值时，()122kxk

=+Z11．已知(2)yfx=+为奇函数，且(3)(3)fxfx+=−，当[0,1]x时，4()2log(1)1xfxx=++−，则（）A．()fx的图象关于(2,0)−对称B．()fx的图象关于(2,0)对称C．4(2021)3log3f=+D．3(2021)2f=12．椭圆2222:1(

0)xyCabab+=，1F，2F分别为左、右焦点，1A，2A分别为左、右顶点，P为椭圆上的动点，且12120PFPFPAPA+恒成立，则椭圆C的离心率可能为（）A．12B．22C．33D．32第

Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．已知函数32,0()ln(),0xxxfxxx−=−，则((1))ff=________．14．若2sin63+=

，则sin26−=________．15．若P为直线40xy−+=上一个动点，从点P引圆22:40Cxyx+−=的两条切线PM，PN（切点为M，N），则||MN的最小值是________．16．在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−，中，E，

F分别为棱11AB，11BC的中点，点P在线段EF上，则三棱锥1PDAC−的体积为________．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①(sinsin)()(sinsin)ABabCBc+−=−，②sincos6a

BbA=−，③sinsin2BCbaB+=这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．问题：在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且23bc+=，6a=，________．求ABC的面积．注：如果选择多个条件解答，按第一

个解答计分．18．（12分）设数列na的前n项和为nS，且12nnSa+=．（1）求数列na的通项公式；（2）设21nnban=+，求数列nb的前n项和nT．19．（12分）某电商为了解消费者的下一部手机是否会选购某一品牌手机，随机抽

取了200位以前的客户进行调查，得到如下数据：准备购买该品牌手机的男性有80人，不准备买该品牌手机的男性有40人，准备买该品牌手机的女性有40人．（1）完成下列2×2列联表，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为这200位参与调查者是否准备购买该品牌手机与性别有关．准备买该品牌手机不准备买该

品牌手机合计男性女性合计（2）该电商将这200个样本中准备购买该品牌手机的被调查者按照性别分组，用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人给予500元优惠券的奖励，另外3人给予200元优惠券的奖励，求获得500元优惠券与获得200元优惠券的被调查者中都有女性的

概率．附：22()()()()()nadbcKabaccdbd−=++++，nabcd=+++．()20PKk0.500.250.050.0250.0100k0.4551.3213.8405.0246.63520．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面

ABCD是边长为2的正方形，90ADP=，PDAD=，二面角PADB−−为60°，E为PD的中点．（1）证明：CE⊥平面PAD．（2）求平面ADE与平面ABE所成锐二面角的余弦值．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)xyabab+=的离心率为55，焦距为2．（1）求的标准

方程．（2）过的右焦点F作相互垂直的两条直线1l，2l（均不垂直于x轴），1l交于A，B两点，2l交于C，D两点．设线段AB，CD的中点分别为M，N，证明：直线MN过定点．22．（12分）已知函数2()ln(12)1fxxmxmx=−+−+．（1）若1m=，求()fx

的极值；（2）若对任意0x，()0fx恒成立，求整数m的最小值．沧州市七校联盟高三年级2020~2021学年上学期期中考试数学试题参考答案1．B{24}ABxx=∣．2．C因为33(12)366

312(12)(12)555iiiiiiii+−===−+−−+，所以复数z的虚部是35．3．A()521031553CC3rrrrrrrTxxx−−+==，令1034r−=，得2r=，则4x的系数为225C390

=．4．D因为0mn，3mn+=，所以1411414()533nmmnmnmnmn+=++=++145233nmmn+=．当且仅当4nmmn=时取等号，此时43nmmnmn=+=，解得12mn==．5．C因为[30

,35)，[35,40)，[40,45)，[50,55]四组通行时间的频率分别是0.1，0.25，0.4，0.05，所以通行时间在[45,50)内的频率是10.10.250.40.050.2−−−−=，通过的车辆台数是2352470=．6．C分别以AB，

AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系（图略），因为35AB=，22AD=，32DEDC=，所以(25,22)AE=，(35,22)BD=−，故25(35)222222AEBD=−+=−．7．AEFGH是平行四边形

，由线面平行的性质定理可得，//ACEH，直线EG和AC所成角，即直线EG和EH所成角．因为ACBD⊥，所以90EHG=．因为2EF=，5EH=，所以7EG=，故14sin7GEH=．8．D令()()exfxg

x=，则()()()0exfxfxgx−=，所以()gx在R上单调递增．因为21008(2)eg=，所以不等式21e(1)1008e0xfx++−，可变形得12(1)(2)(2)eexfxfg++=，所

以12x+，解得1x．9．BD因为1937538aaaa+=+=+=，所以()1999983622aaS+===．因为35a=，73a=，所以公差75175aad−==−−．10．ABD由题意得，23()sincos3sin2fxxxx=−+()2312sin1sin222

xx−=+13sin2cos222xx=+sin23x=+．因为函数()fx的图象平移后能与函数sin2yx=的图象完全重合，所以1=．因为()sin23fxx=+，所以函数()fx的最小正周期22T==，故A正确．将()fx的图

象向左平移12个单位长度，得到曲线sin2sin2cos21232yxxx=++=+=，其图象关于y轴对称，故B正确．当,44x−时，52,366x+−，1sin2,132

x+−，即()fx的值域为1,12−，故C错误．令2()32xkk+=+Z，解得()122kxk=+Z，所以当()fx取得最值时，()122kxk=+Z，故D正确．11．BD(2)yfx=+为奇函数，(2

)(2)fxfx+=−−，(3)(1)fxfx+=−−，同时说明()fx的图象关于(2,0)对称．(3)(3)fxfx+=−，(1)(3)fxfx−−=−，即()(2)fxfx−=+，可得(4)()fxfx+=，函数()fx的周期为4，故43(2021)(45051)

(1)2log212fff=+==+−=．12．AC设()00,Pxy，1(,0)Fc−，2(,0)Fc，则()100,PFcxy=−−−，()200,PFcxy=−−，()100,PAaxy=−−−，()2

00,PAaxy=−−．因为222212120022PFPFPAPAxyac+=+−−22222200222bxbxaca=+−−−222222022330cxacaca=+−−恒成立，所以离心率33cea=．13．0(1)121f=−=−，(1)ln10f

−==．14．19−2sin63+=，21cos212sin369+=−+=．22326+=+−，1sin2sin2cos263239

−=+−=−+=−．15．473如图，由题可知圆C的圆心为(2,0)C，半径2r=．要使||MN的长度最小，即要MCN最小，则MCP最小．因为||||tan2PMPMMCPr==，所以当||PM最小时，||MN最小

因为2||4PMPC=−∣，所以当|PC最小时，||MN最小．因为min6||3211PC==+，所以22cos332MCP==，25cos2cos19MCNMCP=−=−，则22min547||2222293MN=+−−=．16．2因为//EF

AC，AC平面1DAC，所以//EFEF∥平面1DAC，所以无论点P在线段EF上什么位置，它到平面1DAC的距离不变．当点P是EF与11DB的交点时，11134PDDB=，则P到平面1DAC的距离是1B到平面1DAC距离的34．因为1B

到平面1DAC的距离为1224323333BD==，所以P到平面1DAC的距离是343343=，因为1DAC的面积123(22)234DACS==，所以三棱锥1PDAC−的体积123323V==．17．解：若选①，

由正弦定理，得()()()ababcbc+−=−，即222bcabc+−−，所以2221cos222bcabcAbcbc+−===，因为(0,)A，所以3A=．因为2222()3abcbcbcbc=+−=+−，6a=，23bc+=，所以2bc=，所以11

3sin2sin2232ABCSbcA===．若选②，由正弦定理，得sinsinsincos6ABBA=−．因为0B，所以sin0B，所以sincos6AA=−

，化简得31sincossin22AAA=+，所以cos06A+=．因为0A，所以3A=．因为2222cos3abcbc=+−，6a=，23bc+=，所以2bc=，所以113sin2sin2

232ABCSbcA===．若选③，由正弦定理，得sinsinsinsin2BCBAB+=．因为0B，所以sin0B，所以sinsin2BCA+=．因为222BCA+=−，所以cos2sinc

os222AAA=．因为0A，022A，所以cos02A，所以1sin22A=，所以3A=．因为2222()3abcbcbcbc=+−=+−，6a=，23bc+=，所以2bc=，所以113sin2sin2232ABCSbcA===．18．解：（1）当1n=时，111

2Sa+=，解得11a=．因为21nnSa=−，①所以当2n时，1121nnSa−−=−，②①-②得，1122nnnnSSaa−−−=−，所以12nnaa−=．故数列na是首项为1，公比为2的等

比数列，其通项公式为12nna−=．（2）由题知，(1)2nnbn=+，所以123223242(1)2nnTn=+++++，③23412223242(1)2nnTn+=+++++，④③-④得，()123122

222(1)2nnnTn+−=+++++−+()112122(1)2212nnnnn++−=+−+=−−．所以12nnTn+=．19．解：（1）由题意得2×2列联表如下：准备买该品牌手机不准备买该品牌手机合计男性8040120女性404080合计1208020

0因为22200(40804040)5.5565.0241208080120K−=，所以有97.5%的把握认为这200位参与调查者是否准备购买该品牌手机与性别有关．（2）由题意可知，用分层抽样的方法抽取的6人中，男性有806

4120=人，女性有4062120=人．设“获得500元优惠券者与获得200元优惠券者都有女性”为事件A，则12243363123()205CCPACC===，即获得500元优惠券与获得200元优惠券的被调查

者中都有女性的概率为35．20．（1）证明：四边形ABCD为正方形，ADCD⊥．90ADP=，CDDPD=，AD⊥平面PCD．CE平面PCD，ADCE⊥．二面角P-AD-B为60°，60PDC=．PDAD=，CDAD=，PCD为等边三角形．E

为PD的中点，CEDP⊥．ADDPD=，CE平面PAD．（2）解：过P作POCD⊥，垂足为O，易知O为CD的中点．平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD=，PO平面PDC，PO⊥平面ABCD．设AB的中点为Q，连接OQ，则//OQAD，OQ⊥平面PDC．以O为坐

标原点，OQ的方向为x轴正方向，DC的方向为y轴正方向，OP的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．正方形ABCD的边长为2，(2,1,0)A−，(2,1,0)B，(0,1,0)C，(0,1,0)D−，(0,0,3)P，130,,22E−，

(0,2,0)AB=，132,,22AE=−，330,,22CE=−，CE⊥平面PAD，CE为平面ADE的一个法向量．设(,,)nxyz=是平面ABE的法向量，则2

0132022nABynAExyz===−++=，令4z=，得(3,0,4)n=．23219cos,19||319CEnCEnCEn===．平面ADE与平面ABE所成锐二面角的余弦值为21919．21．（1）解：因为离心率55cea==，22

c=，且222abc=+，所以1c=，5a=，2b=，故的标准方程为22154xy+=．（2）证明：由（1）知(1,0)F．设直线AB的方程为(1)(0)ykxk=−，()11,Axy，()22,Bxy，联立

方程组22(1)154ykxxy=−+=，消去y得()222254105200kxkxk+−+−=，则21221054kxxk+=+，122854kyyk−+=+，所以M的坐标为22254,5454kkkk−++

．因为CDAB⊥，所以CD的斜率为1k−．将M坐标中的k换为1k−，可得N的坐标为2254,4545kkk++．当1k时，设直线MN的斜率为MNk，则2955NMMNNMyykkxx

k−−==−−，所以直线MN的方程为222495455545kkyxkkk−−=−+−+，即295559kyxk−=−−，则直线MN过定点5,09．当1k=时，直线MN的方程为59x=，也过点5,09．综上所述，直线MN过定点5,09

．22．解：（1）当1m=时，2()ln1fxxxx=−−+，1(1)(21)()21xxfxxxx+−=−−=−．当102x时，()0fx，则()fx在10,2上单调递增；当12x时，()0f

x，则()fx在1,2+上单调递减．所以()fx在12x=时取得极大值且极大值为11ln224f=−，无极小值．（2）因为对任意0x，()0fx恒成立，所以()2ln12xxmxx+++在(0,)+上恒成立，即2ln12xxmxx+

++在(0,)+上恒成立．设2ln1()2xxFxxx++=+，则()22(1)(2ln)()2xxxFxxx−++=+．设()(2ln)xxx=−+，显然()x在(0,)+上单调递减，因为(1)10=−，11112ln2ln202222

=−+=−，所以01,12x，使得()00x=，即002ln0xx+=．当()00,xx时，()0x；当()0,xx+时，()0x．所以()Fx在()00,x上单调递增，在()0,x+上单调递减，所以()00max02000ln11(

)22xxFxFxxxx++===+．因为01,12x，所以011,122x，故整数m的最小值为1．