【文档说明】天津市第三中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试卷 含解析.doc，共(11)页，920.000 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年天津三中高一（下）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共27分）.1．若复数z＝（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣1B．0C．1D．﹣1或12．在复平面内，复数z对应的点是Z（1，﹣2），则复数z的共轭复数＝（）A．1+2i

B．1﹣2iC．2+iD．2﹣i3．若向量＝（1，0），＝（2，1），＝（x，1）满足条件3﹣与共线，则x的值（）A．1B．﹣3C．﹣2D．﹣14．设，是非零向量，“＝||||”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充

分必要条件D．既不充分也不必要条件5．若向量、满足：||＝1，（+）⊥，（2+）⊥，则||＝（）A．2B．C．1D．6．如果在△ABC中，a＝3，，c＝2，那么B等于（）A．B．C．D．7．一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1：4，截去小圆锥的母线长为3cm，则圆

台的母线长为（）A．3cmB．9cmC．12cmD．6cm8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB＝asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定9．如图，在平行四边形ABCD中

，∠BAD＝，AB＝2，AD＝1，若M、N分别是边AD、CD上的点，且满足＝＝λ，其中λ∈[0，1]，则•的取值范围是（）A．[﹣3，1]B．[﹣3，﹣1]C．[﹣1，1]D．[1，3]二、填空题（共6小题）.10．若复数，则|z|＝．11．若向量，满足（+）＝7，且||＝

，||＝2，则向量与夹角为．12．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，A＝45°，则b等于．13．等腰直角三角形直角边长为2，以斜边所在直线为轴旋转，其余各边旋转一周形成几何体，则该几何体的体积为．14．已知圆

柱的高为2，它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上．则球的体积与圆柱的体积的比值为．15．如图，平面内有三个向量、、，其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为．三、解答题（共4题，第16、17、18题每小题12分，

第19题13分，共49分.）16．已知＝（1，2），＝（﹣3，1）．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设的夹角为θ，求cosθ的值；（Ⅲ）若向量与互相垂直，求k的值．17．如图，在▱ABCD中，M，N分别在BC，AB上，且BM＝2M

C，AN＝3NB，＝，＝．（1）试用，表示，；（2）若||＝4，||＝3，∠BAD＝60°，求•的值．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）如果a+b＝6，＝4，求c的值．19．△ABC的内角A

，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．（1）求C；（2）若c＝，△4BC的面积为，求△ABC的周长．参考答案一、选择题（共9小题）.1．若复数z＝（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣1B．0C．1D．﹣1或

1解：由复数z＝（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，可得x＝﹣1故选：A．2．在复平面内，复数z对应的点是Z（1，﹣2），则复数z的共轭复数＝（）A．1+2iB．1﹣2iC．2+iD．2﹣i解：由复数z对应的点是Z（1，﹣2），得z＝1﹣2i．则复数z的共轭复数＝1+2i．故选：A

．3．若向量＝（1，0），＝（2，1），＝（x，1）满足条件3﹣与共线，则x的值（）A．1B．﹣3C．﹣2D．﹣1解：∵向量＝（1，0），＝（2，1），＝（x，1），∴3﹣＝（1，﹣1），又3﹣与共线，∴x•（﹣1）﹣1×1＝0，解得x＝﹣1．故选：D．4．设，是非零向量，“

＝||||”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：（1）；∴时，cos＝1；∴；∴∥；∴“”是“∥”的充分条件；（2）∥时，的夹角为0或π；∴，或﹣；即∥得不到；∴“”

不是“∥”的必要条件；∴总上可得“”是“∥”的充分不必要条件．故选：A．5．若向量、满足：||＝1，（+）⊥，（2+）⊥，则||＝（）A．2B．C．1D．解：由题意可得，（+）•＝+＝1+＝0，∴＝﹣1；（2+）•＝2+＝﹣2+＝0，∴b2＝2，则||＝，故选：B．6．如果在△ABC中，a＝3

，，c＝2，那么B等于（）A．B．C．D．解：由余弦定理知：cosB＝＝＝，∵B为△ABC内角，即0＜B＜π∴B＝．故选：C．7．一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1：4，截去小圆锥的母线长为3cm

，则圆台的母线长为（）A．3cmB．9cmC．12cmD．6cm解：如图，设圆台的母线长为y，因为圆台的上下底面半径的比是1：4，所以可设圆台的上下底面半径分别是x、4x，根据相似三角形的性质得＝，解此方程得y＝9．所以圆台的母线长为9cm．故选：B．8．设△ABC的内角A，B，C所对的边

分别为a，b，c，若bcosC+ccosB＝asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵bcosC+ccosB＝asinA，则

由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB＝sinAsinA，即sin（B+C）＝sinAsinA，可得sinA＝1，故A＝，故三角形为直角三角形，故选：B．9．如图，在平行四边形ABCD中，∠B

AD＝，AB＝2，AD＝1，若M、N分别是边AD、CD上的点，且满足＝＝λ，其中λ∈[0，1]，则•的取值范围是（）A．[﹣3，1]B．[﹣3，﹣1]C．[﹣1，1]D．[1，3]解：建立如图所示的以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴的

直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（，）．∵满足＝＝λ，λ∈[0，1]，＝+＝+（1﹣λ）＝+（1﹣λ）＝（，）+（1﹣λ）（2，0）＝（﹣2λ，）；＝+＝﹣+（1﹣λ）＝（﹣2，0）+（1﹣λ）（，）＝（﹣﹣λ，（1﹣λ）），则•＝（﹣2λ，）•（﹣﹣λ，（1﹣

λ））＝（﹣2λ）（﹣﹣λ）+•（1﹣λ）＝λ2+λ﹣3＝（λ+）2﹣，因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ＝﹣，则[0，1]为增区间，故当λ∈[0，1]时，λ2+λ﹣3∈[﹣3，﹣1]．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分

，共24分。）10．若复数，则|z|＝1．解：∵＝＝﹣i，∴|z|＝1，故答案为：1．11．若向量，满足（+）＝7，且||＝，||＝2，则向量与夹角为．解：∵||＝2，（+）＝7，∴，即．设向量与的夹角为θ，则cosθ＝，则向量与夹角为．故答

案为：．12．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，A＝45°，则b等于．解：由正弦定理：，可得＝＝．故答案为：4．13．等腰直角三角形直角边长为2，以斜边所在直线为轴旋转，其余各边旋转一周形成几何体，则该几何体的体积为．解：如图为等腰直角三角形旋转而

成的旋转体．V＝2×S•h＝πR2•h＝2×π×（）2×＝．故答案为：．14．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上．则球的体积与圆柱的体积的比值为．解：如图，外接球的体积，圆柱的底面直径，故底面半径，故圆柱体积V2＝

3π×2＝6π．故球的体积与圆柱的体积的比值为．故答案为：．15．如图，平面内有三个向量、、，其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为6．解：过C作与的平行线与它们的延长线相交，

可得平行四边形，由∠BOC＝90°，∠AOC＝30°，由＝||＝1，||＝得平行四边形的边长为2和4，λ+μ＝2+4＝6．故答案为6．三、解答题（共4题，第16、17、18题每小题12分，第19题13分，共49分.）16．

已知＝（1，2），＝（﹣3，1）．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设的夹角为θ，求cosθ的值；（Ⅲ）若向量与互相垂直，求k的值．解：（Ⅰ）＝（1，2）﹣2（﹣3，1）＝（1+6，2﹣2）＝（7，0）．（Ⅱ）＝﹣．（Ⅲ）因为向量与互相垂

直，所以，（）•（）＝0，即因为＝5，，所以，5﹣10k2＝0，解得．17．如图，在▱ABCD中，M，N分别在BC，AB上，且BM＝2MC，AN＝3NB，＝，＝．（1）试用，表示，；（2）若||＝4，||＝3，∠BAD＝

60°，求•的值．解：（1）∵BM＝2MC，AN＝3NB，＝，＝，ABCD是平行四边形，＝﹣＝﹣＝﹣，＝+＝+＝+．（2）∵||＝4，||＝3，∠BAD＝60°，∴由（1）可得•＝（+）•（﹣）＝2﹣2﹣•

＝×16﹣×9﹣×4×3×＝3．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）如果a+b＝6，＝4，求c的值．解：（1）因为＝，，所以sinC＝cosC，即tanC＝，由C∈（

0，π），得到C＝；（2）由（1）得：cosC＝cos＝则＝||•||cosC＝ab，又＝4，所以ab＝8，又因为a+b＝﹣6，根据余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2abcosC＝（a+b）2﹣3ab＝12，由c＞0，解得c＝2．19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

2cosC（acosB+bcosA）＝c．（1）求C；（2）若c＝，△4BC的面积为，求△ABC的周长．解：（1）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．所以2cosC（sinAcosB+sinBcosA）＝sinC．整理得：2co

sCsin（A+B）＝2cosCsinC＝sinC，故：cosC＝．由于0＜C＜π，故C＝．（2）由于，解得ab＝6，由于c2＝a2+b2﹣2abcosC，所以7＝（b+a）2﹣2ab﹣ab，整理得：a+b＝5．则：．