【文档说明】四川省乐山市十校2019-2020学年高二下学期期中联考数学（理）试题含答案.docx，共(14)页，732.959 KB，由小赞的店铺上传

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乐山十校高2021届第四学期半期联考数学（理科）试题本试卷共6页。满分150分。考生注意:1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号

、姓名是否一致。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出

的四个选项中，只有一项是符合题目要求1．已知复数iaaz)1()1(2−+−=（i为虚数单位，1a），则z在复平面内的对应点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．某校为了了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400

人、高二2000人、高三n人中，抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为30人，那么高三被抽取的人数为（）A．20B．25C．30D．353．《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两

名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优，低者为差），则下面叙述不正确的是（）A．甲的数据分析素养低于乙B．乙的六大素养中逻辑推理最差C．甲的数学建模素养差于逻辑推理素养D．乙的

六大素养整体平均水平优于甲4．已知xexxf22cos)(+=，则=)('xf（）A．xex222sin2+−B．xex22sin+C．xex222sin2+D．xex22sin+−5．下列说法正确的是（）A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是21，所以抛掷两次一定

会出现一次正面朝上的情况B．某地气象局预报说，明天本地降水概率为%80，这说明明天本地有%80的区域下雨C．概率是客观存在的，与试验次数无关D．若买彩票中奖的概率是万分之一，则买彩票一万次就有一次中奖6．设)(xf是可导函数，且2)()2(lim000−=−

−→xxfxxfx，则=)('0xf（）A．2B．1−C．1D．2−7．洛书，古称鬼书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.如图，若从四个阴数和五个阳数

中分别随机各选取1个数，则其和等于9的概率是（）A．51B．52C．103D．418．函数xexfxcos)(=在区间)2,0(上（）A．最大值为1，最小值为0B．最大值为422e，最小值为0C．最大值为422e

，无最小值D．最大值为1，无最小值9．执行下面的程序框图，则输出S的值为（）A．121−B．6023C．2011D．604310．设a为正实数，函数22343)(aaxxxf+−=，若)2,(aax，0)(xf，则a的取值范围是（）A．),2[+B．),2(+C

．]2,0(D．)32,0(11．如右图是一个几何体的三视图，则该几何体的各个面中，面积大于6的面的个数为（）A．1B．2C．3D．412．若函数axexxfx−−=)2()(（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取

值范围是（）A．)0,1(−B．)0,(−C．),1(+−D．),0(+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．复数iiz−−=212的共轭复数=z.14．已知函数2ln)(xxxf+=，

则曲线)(xfy=在点))1(,1(f处的切线方程为.15．某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，抽奖活动的规则是：每个优胜队的队长通过操作按键使电脑自动产生

两个]1,0[之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的算法语句执行，若电脑显示“中奖”，则该优胜队中奖；若电脑显示“谢谢”，则该优胜队不中奖，在一次抽奖活动中，该优胜队中奖的概率为.16．已知函数axxexfx2)(−=，),0(+

x，当21xx时，不等式0)()(1221−xxfxxf恒成立，则实数a的取值范围为.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个

开学季内，每售出1盒该产品获利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x（单位：盒，200100x）表示这个开学季内的市场

需求量，y（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的众数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）将y表示为x的函数；（3）根据直方图估计利润y不少于3200元的概率．18．（12分）若函数2)(23+

−=bxaxxf，当2=x时，函数)(xf有极值2−．（1）求函数)(xf的解析式；（2）求函数)(xf的极值；（3）若关于x的方程0)(=−kxf有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．19．（12分）甜皮鸭，乐山人称卤鸭子，也称嘉州甜皮鸭，是乐山

著名美食，起源于乐山市夹江县木城古镇，每年吸引成千上万的外地人前来品尝.某商家生产卤鸭子，每公斤鸭子的成本为20元，加工费为t元（t为常数），且1510t，设该商家每公斤卤鸭子的售价为x元（4535x），日销售量q（单位：公

斤），且),0(Rkkekqx=（e为自然对数的底数）.根据市场调查，当每公斤卤鸭子的出售价为40元时，日销售量为50公斤.（1）求该商家的每日利润y元与每公斤卤鸭子的出售价x元的函数关系式；（2

）若15=t，当每公斤卤鸭子的出售价x为多少元时，该商家的利润y最大，并求出利润的最大值．20．（12分）在四棱锥ABCDP−中，底面ABCD为直角梯形，==90BCDADC，1=BC，22===DCADPD，=60PDA，且平面⊥PAD平面AB

CD.（1）求证：PCBD⊥；（2）在线段PA上是否存在一点M，使二面角DBCM−−的大小为30？若存在，求出PAPM的值；若不存在，请说明理由.21．（12分）2019年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎肺部感染，后被命名为

新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019,COVID-19），简称“新冠肺炎”，下图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图．为了预测在未采取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立

了累计确诊人数y与时间变量t的两个回归模型，根据1月15日至1月24日的数据（时间变量t的值依次1，2，…，10）建立模型dtcy+=ˆ和tbay5.1ˆ+=．参考数据：其中iti5.1=，==10

1101ii．ty=1012iit=1012ii=101iiiyt=101iiiy115.1125.1135.1145.1155.15.539017385600031500134720871301952904

40（1）根据散点图判断，dtcy+=ˆ和tbay5.1ˆ+=哪一个适宜作为累计确诊人数y与时间变量t的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及附表中数据，建立y关于t的回归方程；（3）以下是1月25日至1

月29日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题：时间1月25日1月26日1月27日1月28日1月29日累计确诊人数的真实数据19752744451559747111（i）当1月25日至1月27日这3天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝

对值与真实数据的比值）都小于1.0则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？（ii）2020年1月24日在人民政府的强力领导下，全国人民共同取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真实

数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？并说明理由.附：对于一组数据),(11vu，),(22vu，……，),(nnvu，其回归直线ˆˆ+=uv的斜率和截距的最小二乘估计分别为：==

==−−=−−−=niiniiiniiniiiunuvunvuuuvvuu1221121)())((ˆ，uv−=ˆ．22．（12分）已知函数xexf=)(，xaxxgln)(+=.（1）讨论)(xg的单调性；（2）若1=a，直线l与曲线)(xfy=和曲线)(xgy=都

相切，切点分别为),(11yxP，),(22yxQ，求证：1122−ex.乐山十校高2021届第四学期半期联考数学（理科）试题参考答案一、选择题题号123456789101112答案BDBACCACDABA二、填空题13.524i+−14.023=−−

yx15.4316.]4,(e−17.解：（1）由频率直方图得：最大需求量为)160,140[的频率3.020015.0==，为频率的最大值．这个开学季内市场需求量的众数估计值是150；…………………………………

…………………………………2分需求量为)120,100[的频率1.020005.0==，需求量为)140,120[的频率2.02001.0==，需求量为)160140[，的频率3.020015.0==，需求量为)180,160[的频率25.0200125.0==，需求量为)200,1

80[的频率15.0200075.0==．…………………………………………………………………3分则平均数15315.019025.01703.01502.01301.0110=++++=x．………………………………4分（2）因为每售出1盒该产品获

利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元，所以当160100x时，160040)160(1030−=−−=xxxy，……………………………………………6分当200160x时，480030160==y，所以

−=200160,4800160100,160040xxxy．………………………………………………………………………………8分（3）因为利润不少于3200元所以，解得3200160040−x，解得120x．……………………………

…9分所以由（1）知利润不少于3200元的概率9.01.01=−=p．……………………………………………………10分18.解：函数2)(23+−=bxaxxf，bxaxxf23)('2−=………………………………………………………1分（1）由题意知，当2=x时，函数)(xf有极值2−，−

==2)2(0)2('ff……………………………………………3分即−=+−=−22480412baba，解得==31ba…………………………………………………………………………………5分故所求函数的解析式为23)(23+−=xxxf；………………………

………………………………………………6分（2）由（1）得)2(363)('2−=−=xxxxxf，令0)('=xf，得0=x或2=x………………………………8分当x变化时，)('xf，)(xf的变化情况如下表：x)0,(−0)2,0(2),2(+)('xf+0−0+)(xf单调递增2

单调递减2−单调递增因此，当0=x时，)(xf有极大值2，当2=x时，)(xf有极小值2−，……………………………………10分故要使方程0)(=−kxf有三个不同的实数解，则22−k.…………………………………………………12分19.解：（1）由已知得5040=ek，4050

ek=，…………………………………………………………………2分日销售量xeeq4050=…………………………………………………………………………………………………3分)4535()20(5040−−=xetxe

yx………………………………………………………………………………6分（2）当15=t时，xexey)35(5040−=………………………………………………………………………………7分xexey)36(50'40−=…………………………………………

…………………………………………………………8分由0'y得36x，由0'y得36x，y在]36,35[上单调递增，在]45,36[上单调递减.………………………………………………………………10分[来源:学+科+网Z+X+X+K]

当36=x时，4max50ey=.………………………………………………………………………………………11分当每公斤卤鸭子的出售价为36元时，该商家的利润最大，最大值为450e元．………………………………12分20.（1）证明：过点P在平面PAD内作A

DPO⊥，垂足为O，连接BO、OC，平面⊥PAD平面ABCD，平面PAD平面ADABCD=⊥PO平面ABCD，BDPO⊥…………2分=60PDA，2==DAPD，PDA是等边三角形，B

COD==1，又BCOD//，=90BCD，四边形OBCD是正方形，OCBD⊥……………………………………4分又OPOOC=，⊥BD平面POC，又PC平面POC，PCBD⊥…………………………………5分（2）⊥PO平面ABCD，A

DOB⊥，如图，建立空间直角坐标系xyzO−，则)0,0,1(),3,0,0(),0,0,1(),0,1,1(),0,1,0(APDCB−−，假设在线段PA上存在一点M，使二面角DBCM−−大小为30设PAPM=，]1,0[，则)

33,0,(−M，)33,1,(−−=BM，)0,0,1(−=BC………………………………………………………………………7分设平面MBC的法向量为),,(zyxm=，则==00BCmBMm，即=−=−+−00)33(xzyx，可

取)1,33,0(−=m，平面ABCD的一个法向量为)1,0,0(=n……………………………………………10分二面角DBCM−−大小为30，231)33(130cos2=+−==nmnm，32=或34=

（舍），…………………………………………………………………………………………11分所以在线段PA上存在点M满足题设条件且32=PAPM.…………………………………………………………12分21.解：（1）根据散点图可

知：tbay5.1ˆ+=适宜作为累计确诊人数y与时间变量t的回归方程类型；……2分（2）设t5.1=，则bay+=ˆ，221710600039017101347201010ˆ210122101=−−=−−===iiiiiyyb，……………………………………

………………………4分161722390ˆˆ=−=−=bya，…………………………………………………………………………………6分ty5.12216ˆ+=；…………………………………………………………………………

………………………7分（3）（i）当11=t时，1930ˆ=y，1.0197519751930−，………………………………………………………8分当12=t时，2876ˆ=y，1.0274427442876−，……

………………………………………………………………9分当13=t时，4306ˆ=y，1.0451545154306−，（2）的回归方程可靠；…………………………………10分（ii）当15=t时，9696ˆ=y，9696远大于真实值7111，故防护措施有效．………………………………12分22.解：

解法一：（1）)(xg定义域为),0(+，因为xaxxaxg+=+=1)('，……………………………………1分若0a，则0)('xg，所以)(xg在),0(+单调递增，…………………………………………………………2分若0a

，则当),0(ax−时，0)('xg，当),(+−ax时，0)('xg，所以)(xg在),0(a−单调递减，在),(+−a单调递增.………………………………………………………………4分（2）证明：对于曲线)(xfy=，xexf=)('，1)('11xexfk==，直线l的方程为)(11

1xxeyyx−=−，即1111xxxexxeey−=−，即11)1(1xxexxey−+=①.……………………5分对于曲线)(xgy=，因为1=a，所以xxxgln)(+=，xxg11)('+=，所以2211)('xxgkl+==，直线l的方程为))(11(22

2xxxyy−+=−，即1)11(ln2222−−+=−−xxxxxy，即1ln)11(22−++=xxxy②.……………………………………………6分因为①与②表示同一条直线，所以2111xex+=③，且1ln)1(211−=−xexx④…………………………………7分④÷③，

得1ln122221+−=−xxxxx，…………………………………………………………………………………8分所以1ln122221+−+=xxxxx.令1ln1)(+−+=xxxxxh，222)1()()

1(ln)1()ln()1)](1(ln1[)('+−=++−=+−−++−=xxgxxxxxxxxxxxxh，由（1）知，)(xg在),0(+单调递增，又0111ln1)1(−=+=eeeeg，011ln1)1(=+=g，0

)1()1(geg.)(xg有唯一零点)1,1(0ex，且当),0(0xx时，0)(xg，0)('xh，当),(0+xx时，0)(xg，0)('xh，所以)(xh在),0(0x上递增

，在),(0+x上递减，所以1ln1)()(0000021+−+==xxxxxhxhx，………………………………………………………………………10分又0)(0=xg，即00lnxx−=，所以2111

)(0020001+=+++=xxxxxhx，…………………………………11分所以22111eexx=+，所以1122−ex，又02x，所以1122−ex.………………………………………12分解法二：（1）同解法一.（2）证明：因为xexf=)('

，所以直线l的斜率为1)('1xexfk==，…………………………………………5分因为1=a，所以xxxgln)(+=，所以xxg11)('+=，所以直线l的斜率为2211)('xxgk+==，…………6分所以2111xex+=，所以)11ln(21xx+=，又因为2

22222122)11ln(ln11ln1xxxxxxxxxekx−+−−+=−−−=，所以22222211)11ln(ln11xxxxxx+=−+−−+，…………………………7分所以012ln)11ln()1(22222=−−+++xxxxx，……………………………………………………

………………8分令12ln)11ln()1()(−−+++=xxxxxxh，所以11)1ln()('−−+=xxxh，所以)('xh在),0(+单调递增…9分又因为0)1ln(2)11('222−−−=−

eeeh，0112)1('33−−=−eeh，所以存在)1,11(320−−eex，使得0)('0=xh，且当),0(0xx时，0)('xh，当),(0+xx时，0)('xh，所以)(xh在),0(0x递减，在),(0+x递增，………………………………

……………………………………10分因为1120−ex，所以)(xh在)11,0(2−e递减，所以当1102−ex时，01)1ln(1)11()(222−−−=−eeehxh，所以)(xh在]

11,0(2−e内无零点，…………………………………………………………………………………11分因为2x是)(xh的零点且02x，所以1122−ex.………………………………………………………………12分