【文档说明】河北省2023-2024学年高三上学期1月大数据应用调研联合测评（四）数学 含解析.docx，共(19)页，1.083 MB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-fd46aadd6869dad8c0a50b4bfcb1ca03.html

以下为本文档部分文字说明：

绝密★启用前河北省2024届高三年级大数据应用调研联合测评数学班级__________姓名__________注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每

小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中

，只有一项是符合题目要求的1.设全集U=R，集合20,11xAxBxxx+==−∣„，则()UAB=ð（）A.{21}xx−∣„B.{21}xx−∣„C.{2}xx−∣D.{1}xx∣2.若复数20231iz=+（i为虚数单位），

则复数22z−在复平面上对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知向量()5343,,,,1,39292abc==−−=−，则向量c在向量ab−上的投影向量为（）A.13,22

B.13,22−C.31,22D.31,22−4.设nS是等差数列na的前n项和，若51013SS=，则1020SS=（）A.37B.310C.311D.3145.高斯是德国数学家､天文学家和物理学家，被

誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德､牛顿并列，同享盛名.用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作x，是指不超过实数x的最大整数，例如6.86,4.15=−=−，该函数被广泛应用于数论､函数绘图和计算机领域.若函数()()22l

og2fxxx=−++，则当0,1x时，()fx的值域为（）A.92,4B.92,4C.1D.26.在正方体1111ABCDABCD−的棱长为2,G为线段11BD上的动点，则点B到平面GAD距离

的最小值为（）A.1B.2C.3D.27.设实数0a，若不等式e1lneaxxa−…对任意0x恒成立，则a的最小值为（）A.eB.2eC.1eD.12e8.已知12,FF是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且12π3FPF=，若椭圆的离心率为1e，双曲线的离心率为2e，则221

22212313eeee+++的最小值是（）A.233+B.133+C.233D.433二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，

有选错的得0分.9.下列结论中正确的有（）A.数据11,20,14,17,26,27,9,29,15,30,4的第75百分位数为30B.已知随机变量X服从二项分布2,3Bn，若()217EX−=，则6n=C.已知回归直线方程为ˆˆ9yb

x=+，若样本中心为()3,24−，则ˆ5b=−D.若变量x和y之间的样本相关系数为0.9989r=，则变量x和y之间的正相关性很小10.已知函数()()πtan0,2fxAx=+

的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（）A.π4=，函数()fx的最小正周期为πB.π324f=C.方程()()πsin20,π4fxxx=+的解为3π7π,88D.()13222fff11.已知抛物线2:2(0)Cyp

xp=的焦点为F，准线与x轴的交点为M，过点M且斜率为k的直线l与抛物线C交于两个不同的点,AB，则下列说法正确的有（）A.当12,2pk==时，16FAFB+=B.()1,1k−C.若直线,AFBF的倾斜角分别为,，则π+=D.若点A关于x轴的对称点为点A，则直线AB必恒过定点1

2.已知函数()21exhxxxa=+，若函数()2e21xgxxa=+−的图象与()hx的图象有两个不同的交点，则实数a的可能取值为（）A.-3B.1ln2C.ln2D.3三､填空题：本题共4小题，每小题

5分，共20分.13.已知tan3=，则()5πsin2sin2π2++−=__________.14.已知函数23(0xyaa−=+，且1)a的图象恒过定点A，若点A在直线2mxny+=上，其中0,0mn

，则213mn+的最小值为__________.15.2023年9月23日，杭州第19届亚运会开幕，在之后举行的射击比赛中，6名志愿者被安排到安检､引导运动员入场､赛场记录这三项工作，若每项工作至少安排1人，每人必须参加且只能参加一项工作，则共有种安排方

案__________.（用数字作答）16.如图所示，已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，点M在DC上，且2DM=，动点P在正方形ABCD内运动（含边界），若15DP=，则当1BP取得最小值时，三棱锥1BMPB−外接

球的半径为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知数列na满足312232222nnaaaan++++=.（1）求数列na的通项公式；（2）若2lognnba=，求数列11nnbb+

的前n项和.18.（本小题满分12分）在ABC中，角C的平分线与边AB交于点D，且满足1cos2sin2cos1sinBBAA−=+.（1）若3ABAC=，求角C；（2）若2CD=，求证：π11cos24B

ACBC+=+.19.（本小题满分12分）如图1，已知正三角形ABC边长为4，其中3,3ADDBAEEC==，现沿着DE翻折，将点A翻折到点A处，使得平面ABC⊥平面,DBCM为AC中点，如图2.（1）求异面直线AD与E

M所成角的余弦值；（2）求平面ABC与平面DEM夹角的余弦值.20.（本小题满分12分）已知函数()2ln(1),,xfxmaxxanamn=+−+为常数，过曲线()yfx=上一点()0,1P处的切线与y轴垂直.（1）求,mn的值及()fx的单调递增区间；（2）若对任意的12,

1,1xx−，使得()()12e1fxfx−−„（e是自然对数的底数）恒成立，求实数a的取值范围.21.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的左､右焦点分别为12,FF，左､右顶点分别为

12,AA，若以1F为圆心，1为半径的圆与以2F为圆心，3为半径的圆相交于,AB两点，若椭圆E经过,AB两点，且直线12,AAAA的斜率之积为34−.（1）求椭圆E的方程；（2）点P是直线:4lx=上一动点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为,MN.①求证直线MN恒过定点，并求出此定点；②求PM

N面积的最小值.22.（本小题满分12分）在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件､样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越

大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信

息量的平均值（即熵）.熵的单位通常为比特，但也用Sh､nat､Hart计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1Sh的信息，而掷m次就为m位.更一般地，你需要用2logn位来表示一个可以取n个值的

变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量所有取值为1,2,,n，定义的信息熵21

1()log1,1,2,,nniiiiiHPPPin===−==.（1）若2n=，试探索的信息熵关于1P的解析式，并求其最大值；（2）若()12111,22,3,,2kknPPPPkn+−====

，求此时的信息熵.数学参考答案及解析题号123456789101112答案DCABCBCABCBCDACDCD1.【答案】D【解析】由不等式201xx+−，等价于()()210xx+−，解得2x−或1x，因为1Bxx=∣„，所以U{1

}Bxx=∣ð，所以()U{1}ABxx=∣ð.故选D.2.【答案】C【解析】因为20231i1iz=+=−，所以222i2z−=−−在复平面上对应的点为()2,2−−，该点在第三象限.故选C.3.【答案】A【解析】()1,3ab−=，又()

1,3,cc=−在向量ab−上的投影向量为()()212()cababab−−=−.()131,3,22=.故选A.4.【答案】B【解析】因为nS是等差数列na的前n项和，所以5105151

02015,,,,SSSSSSS−−−是等差数列.由51013SS=可设()50Stt=，则103St=，于是510515102015,,,,SSSSSSS−−−依次为,2,3,4,tttt，所以20234

10Sttttt=+++=，所以1020310SS=.故选B.5.【答案】C【解析】由220xx−++，得()()120xx+−，解得12x−，则()fx的定义域为{12}xx−∣，当0,1x时，令22txx=−++，函数22yxx=−++在10,2

上单调递增，在1,12上单调递减，又2logut=在()0,+上单调递增，所以()fx在10,2上单调递增，在1,12上单调递减，所以()fx的值域为291,log4，所以()fx的值域为

1.故选C.6.【答案】B【解析】由题意得111142223323GABDABDVSBB−===，设点B到平面GAD的距离为h，则由等体积转化法为1433BAGDADGGABDVShV−−===，由图形得

，当G与1B重合时，ADGS最大，最大为1222222=，此时h最小，为2.故选B.7.【答案】C【解析】eln0(0)axaxxxx−…恒成立，即elneln(0)axaxxxx…，令()lnsttt=，则()ln1stt=+，当10et时，()()

0,stst单调递减，当1et时，()()0,stst单调递增，因为0,0ax，所以e1ax，因此若1ex时，不等式elnelnaxaxxx…恒成立，则eaxx恒成立，若10ex„时，ln0xx，elnelnaxaxxx…恒成立，则

eaxx也成立，所以当0x时，eaxx恒成立，所以得lnaxx…，即lnxax…，设()()2ln1ln,,xxuxuxxx−==当0ex时，()()0,uxux单调递增，当ex时，()()0,uxux单调递减，所以

()max1()eeuxu==，所以1ea…，即正实数a的最小值为1e，故选C.8.【答案】A【解析】如图，设椭圆的长半轴长为1a，双曲线的实半轴长为2a，则根据椭圆及双曲线的定义得：1211222,2PFPFaPFPFa+=−=，112212,PFaaPFaa=+=−，设1212π2,

3FFcFPF==，则在12PFF中，由余弦定理得，()()()()22212121212π42cos3caaaaaaaa=++−−+−，化简得2221234aac+=，即2212134ee+=，则221222221212222212123131

31311113131361111eeeeeeeeee+=+=++++++++++()2221221231131112344231366311eeee+++=+++=++

…，当且仅当2222212222121231131,1313116,eeeeee+=++=+++=即21223341,1131833ee+==−时，等号成立，故选A.9.【答案】BC【

解析】对于A项，11个数的顺序为4,9,11,14,15,17,20,26,27,29,30,1175%8.25=，所以第75百分位数为27，故A项错误；对于B项，因为2,3XBn，所以()23EXnpn

==，所以()()42121173EXEXn−=−=−=，解得6n=，故B项正确；对于C项，回归直线必过样本中心可得ˆ2439b=−+，解得ˆ5b=−，故C项正确；对于D项，r为正值时，值越大，判断“x与y之间

的正相关”越强，故D项不正确.故选BC.10.【答案】BCD【解析】由图象知7π5ππ2884T=−=，即函数()fx的最小正周期ππ,22T===，最小正周期π2T=，7π7πtan2088fA=+=

，则7ππ4k+=，即7πππ,42k=−，当2k=时，7ππ2π44=−=，即()πtan24fxAx=+，故A不正确；()()π01,0tan14ffA===，即1A=，则()πtan24fxx=+，则ππππtan2t

an3242443f=+==，故B正确；因为()πsin24fxx=+，即ππtan2sin244xx+=+，即ππtan2cos210,44xx++−=

又因为πtan204x+=时，ππsin20,cos2144xx+=+=，所以πππtan2cos210tan20444xxx++−=+

=，因为0,πx，所以ππ9π2,444x+，当πtan204x+=时，π2π4x+=或π22π4x+=，解得3π8x=或7π8x=，所以方程()()

πsin20,π4fxxx=+的解为3π8x=或7π8x=.故C正确；由()π1π3π3πtan2,tan1,tan3tan3424244fxxff=+=+=+=−

，()π3πππ3ππ3π3π2tan4tan4,1,444244244f=+=−+−，3ππ4144−+，且tanyx=在π3π,24上单调

递增，()13π2tan124ff=−，由()3ππ31303,0,244222ffff−，故D正确.故选BCD.11.【答案】ACD【解析】当2p=时，抛物线方程为24yx=，直线

()1:12lyx=+，联立得2121410,14xxxx−+=+=，则1214216FAFBxxp+=++=+=，故A正确；当0k=时，直线l为x轴，和抛物线只有一个交点，故B不正确；直线:2plykx

=+，代入22ypx=，得()2222221220,,,0442kpppkxxkppxxF+−+==，则π0AFBFkk+=+=，则222121212121222220222222pppkxxkyyppppppxxxxxx

−−+===−−−−−−，故C正确；因为点A关于x轴的对称点为点A，由C知，直线AB与BF的倾斜角相同，所以,,AFB三点共线，所以直线AB必恒过定点F，故D正确.故选ACD.12.【答案】CD【解析】函数()2e21xg

xxa=+−的图象与()hx的图象有两个不同的交点，则方程()()hxgx=有两个不同的根，即()2212ee21e2e(1)0xxxxxxxxaxaaa+=+−−=−−有两个不同的根，令()()2e2e(1)0xxfxxaxa=−+−，则()()()()()1e21

1e2xxfxxaxxa=−+−=−+.①若0a，当1x时，()0fx；当1x时，()0fx；()fx在(),1−上单调递减，在()1,+上单调递增，又()()1e,2ffa=−=，取实数b满足0b且ln2ab，则有()()2232(1)

022afbbababb−+−=−，所以()fx有两个零点.②若0a，当e,12ax−…时，()()0,fxfx在()1,+上单调递增，当1x„时，()0fx，故()0fx，故()fx不存在两个零点，当e2a−时，()fx在()()ln2,a−+上单调

递增，在()1,ln2)a−上单调递减，又当1x„时，故()0fx，故()fx不存在两个零点，综上得0a，故选CD.13.【答案】75−【解析】因为tan3=，所以()()225ππsin2sin2πsin2sinπ2cos2sin2cossi

n2sincos22++−=+−−=−=−−2222cossin2sincoscossin−−=+221tan2tan192371tan195−−−−===−++.14.【答案】8433+【

解析】函数23(0xyaa−=+且1)a的图象恒过定点()2,4A，则242,21mnmn+=+=，()212124848432223333333nmmnmnmnmn++=++=++++=…，当且仅当4,321,nmmnmn=+=即231,232232mn==+

+时等号成立.15.【答案】540【解析】6名志愿者被安排三项工作，每项工作至少安排1人，则分组方式为1,2,3;1,1,4;2,2,2，则安排方案有()11422212336546426533CCCCCCCCCA60151565402!3

!++=++=（种）.16.【答案14422−【解析】连接DP，则2211541DPDPDD=−=−=，所以点P在正方形ABCD内运动轨迹为以D为圆心，1为半径的四分之一圆弧，连接1BP，则222211||||4BPBPBBBP=+=+，所以1BP取得最

小值时，只需BP取得最小值即可，连接BD交圆弧于P点，此时BP取得最小值，则1BP取得最小值，连接PM，则DPM为等腰直角三角形，DPMP⊥，又1BBMP⊥，所以三棱锥1BMPB−为四个面均为直角三角形的三棱锥，则球心为1BM的中点，1BM为直径，则222222111||||||(22

)441442BMBMBBCMCBBB=+=++=−++=−，所以外接球半径14422R−=.17.【解】（1）312232222nnaaaan++++=，①当2n…时，311223112222nnaaaan−−++++=−，②由①-②得2nn

a=，又1n=时，1111,22aa==，满足上式，综上，2nna=.（2）2lognnban==，()1111111nnbbnnnn+==−++，设数列11nnbb+的前n项和为nT，所以12231111nnnTbbbbbb+=+

++()1111111111112231223111nnnnnnn=+++=−+−++−=−=++++.18.【解】1cos2sin2cos1sinBBAA−=+，21sin2sincos

cos2sinABBAB+=，即1sincos,cossinABAB+=即sinsinsincoscosBABAB+=，()πsincoscossin2BABCC=+=−=−，()π,0,π,2BCBC=

−.（1）由正弦定理得sinsinABACCB=，sinsintan3πsinsin2ABCCCACBC===−=−，()2π0,π,3CC=.（2）π2CB=+，则π224CB=+=，BCDACDABCSSS+=，即1112sin2si

nsin2222BCACBCAC+=所以()2sin2sincosBCACBCAC+=，即11cos,BCAC+=即π11cos24BACBC+=+.（其他方法正确也

可给分）19.【解】（1）取BC的中点为,ODE的中点为O，连接AO与OO，正三角形ABC中，3,3ADDBAEEC==，3,,4DEBCOODEOOBC⊥⊥∥，立体图形由翻折可得且AEAD=，,ACABO=是BC的中点，AOBC⊥

，平面ABC⊥平面DBC，平面ABC平面,DBCBCAO=平面ABC，AO⊥平面,DBCAOOO⊥，以点O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，正ABC的边长为34,4DEBC∥，32,2OCOBOO===，连接AO，在AOO中，332AO=，在AOO中，

由勾股定理得6OA=，()333360,0,6,,,0,,,0,1,0,22222ADEM−，33136,,6,,,22222ADEM=−−

=−−，10cos,5ADEMADEMADEM==−，异面直线所成角的取值范围为π0,2，异面直线AD与EM所成角的余弦值为105.（2）由（1）得()()()330,0,6,2,0,0,2,0,0,,,022A

BCD−−，336,,0,1,0,222EM，()()()5364,0,0,2,0,6,3,0,0,,,222BCBADEDM====−，易得平面ABC的一个法向量为()0,1,0,m=设平面DEM的法向量为(),,nxyz=

，则00DEnDMn==即30,5360,222xxyz=−+=则()0,2,1n=，6cos,3mnmnmn==，平面ABC与平面DEM夹角的余弦值为63.20.【解】（1）()ln2lnxfxmaaxa=+−，()

()0lnln1ln0,1fmaamam=−−===，又()01,0fmnn=+==，()2lnxfxaxxa=+−，则()()ln2ln21lnxxfxaaxaxaa=+−=+−，令()()()221ln,2ln0xxgxxaagxaa=+−=+，()fx在R上单

调递增，又()00f=，所以不等式()0fx的解集为()0,+，故函数()fx的单调递增区间为()0,+.（备注：单调递增区间写成)0,+也得分）（2）若对任意的12,1,1xx−，使得()()12e1fxfx−−„恒成立，只需maxmin()()e1

fxfx−−„，由（1）知，()fx在()0,+上单调递增，在(),0−上单调递减，所以当1,1x−时，()min()01fxf==，max()fx为()()1,1ff−中的最大值，()()1112lnffaaa−−=−−，令()12lnhaaaa=−−，则()2212111

0haaaa=+−=−，()12lnhaaaa=−−在()1,a+上是增函数，而()()10,1,0haha=，即()()()()maxmin11,()()10e1fffxfxff−−=−−„，lne1aa−−„，对于lnyaa=−，则110(

1)yaa=−，所以函数lnyaa=−在()1,a+上是增函数，所以e,1aa„，a的取值范围为(1,e.21.【解】（1）因为圆221:()4Fxcy++=与圆222:()4Fxcy−+=相交，且

交点在椭圆E上，所以222,2aa=+=，又122223,34AAAAbkkba=−=−=，所以椭圆E的方程为22143xy+=.（2）①由（1）知椭圆右焦点()21,0F，设()()()1122,,,,4,MxyNxyPt，则

切线PM的方程为11143xxyy+=，即113412xxyy+=，点P在直线PM上，111112412,33xtyxty+=+=，()2222111111,,14131331MFPFMFPFyytytttkkkkxxx=====−−−−，()1111133,3331xtyt

yxx+==−=−，代入上式得()()()2211113113131MFPFxtykkxx−===−−−，22MFPF⊥，同理22NFPF⊥，所以直线MN恒过定点()21,0F.②由（1）知直线MN恒过定点()21,0

F，令直线:1MNxmy=+，代入椭圆方程22143xy+=，得()2234690ymmy++−=，则12122269,3434myyyymm−−+==++，()22Δ(6)36340mm=++恒成立，则()

()2222121212212111434mMNmyymyyyym+=+−=++−=+，①当0m时，点P到直线MN的距离为222219,,1,13PFMNtPFtPFMNkkm=+⊥=−=−，2223,9931tmPFm

m=−=+=+，()222218111234PMNmmSPFMNm++==+，令22211,1nmmn=+=−，则23223181818313131PMNnnnSnnnn===+++，331ynn=+在()1,n+上单调递减，31831PMNSnn=

+在()1,n+上单调递增，92PMNS，②当1n=时，18942PMNS==.综上，PMN的最小值为92.22.【解】（1）当2n=时，()()()()11211210,1,log1log1PHPPPP=−−−

−，令()()()()22log1log1,0,1ftttttt=−−−−，则()()2221loglog1log1ftttt=−+−=−，所以函数()ft在10,2上单调递增，

在1,12上单调递减，所以当112P=时，()H取得最大时，最大值为max()1H=.（2）()12111,22,3,,2kknPPPPkn+−====，则()22211212,2,3,

,,22kkknnkPPkn−−−−+====22111111loglog222kknknknknkPP−+−+−+−+==−，而1212111111loglog,222nnnnPP−−−−==−于是2111222111221(

)log222222nkknnnnknnnnHPP−−−−=−−−−=+=+++++1122112212222222nnnnnnnnnn−−−−−−=−++++++，令231123122222nnnnnS−−=+++++，则234111231222222nnnnnS+−=+++++，两式

相减得2311111111111222112222222212nnnnnnnnnS+++−+=++++−=−=−−，因此222nnnS+=−，获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue10

0.com