【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题3.6 幂函数-重难点题型检测 Word版含解析.docx，共(13)页，65.456 KB，由小赞的店铺上传

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专题3.6幂函数-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022春•无锡期末）已知幂函数y＝f（x）的图像过点(2，√22)，则f（16）＝（）A．−14B．14C．﹣4D．4【解题思路】设

出函数的解析式，代入点的坐标，求出函数f（x）的解析式，求出函数值即可．【解答过程】解：令f（x）＝xα，将点(2，√22)代入函数的解析式得：2α=√22=2−12，解得α=−12，故f（x）=𝑥−12，f（16）=14，故选：B．2．（3分）（

2022春•爱民区校级期末）已知幂函数f（x）＝k•xα（k∈R，α∈R）的图象经过点(4，12)，则k+α＝（）A．12B．1C．32D．2【解题思路】由幂函数f（x）＝k•xα（k∈R，α∈R）的图象经过点(4，1

2)，得{𝑘=14𝛼=12，求出k＝1，α=−12，由此能求出结果．【解答过程】解：幂函数f（x）＝k•xα（k∈R，α∈R）的图象经过点(4，12)，∴{𝑘=14𝛼=12，解得k＝1，α=−1

2，∴k+α＝1−12=12．故选：A．3．（3分）（2021秋•新乡期末）已知幂函数f（x）＝（3m2﹣11）xm在（0，+∞）上单调递减，则f（4）＝（）A．2B．16C．12D．116【解题思路】由题

意，利用幂函数的定义，用待定系数法求出函数的解析式，可得要求函数的值．【解答过程】解：由题意得，3m2﹣11＝1，且m＜0，解得m＝﹣2，所以f（x）＝x﹣2，故f（4）＝4﹣2=116，故选：D．4．（3分）（2021秋•渝中区校级期末）“m2+

4m＝0”是“幂函数𝑓(𝑥)=(𝑚3−𝑚2−20𝑚+1)𝑥𝑚−23为偶函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】由题意利用幂函数的定义和性质，求

得幂函数f（x）中m的值，解m2+4m＝0，求得m值，利用充要条件的定义即可判断答案．【解答过程】解：∵幂函数𝑓(𝑥)=(𝑚3−𝑚2−20𝑚+1)𝑥𝑚−23为偶函数，∴m3﹣m2﹣20m+1＝1，且𝑚−23为偶数，求得m＝﹣4，由m2+4m＝0，解得m＝0或﹣4，故由“m2

+4m＝0”不能推出“幂函数𝑓(𝑥)=(𝑚3−𝑚2−20𝑚+1)𝑥𝑚−23为偶函数”，由“幂函数𝑓(𝑥)=(𝑚3−𝑚2−20𝑚+1)𝑥𝑚−23为偶函数”能够推出“m2+4m＝0”，故“m2+4m＝0”是“幂函数�

�(𝑥)=(𝑚3−𝑚2−20𝑚+1)𝑥𝑚−23为偶函数”的必要不充分条件，故选：B．5．（3分）（2022春•凭祥市校级月考）幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减，

则实数m的值为（）A．﹣1B．3C．﹣1或3D．﹣3【解题思路】依据题意根据幂函数的性质列出关于实数m的方程即可求得实数m的值．【解答过程】解：因为f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm﹣2是幂函数，故m2﹣2m﹣2＝1，解得m＝3或﹣1

，又因为幂函数在（0，+∞）上单调递减，所以需要m﹣2＜0，则m＝﹣1．故选：A．6．（3分）（2021春•金台区期末）已知𝑎=243，𝑏=323，𝑐=2512，则（）A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜

aD．c＜a＜b【解题思路】利用幂函数的单调性直接求解．【解答过程】解：∵𝑎=243=423＞𝑏=323，𝑐=2512=5＞22＞𝑎=243，∴b＜a＜c．故选：A．7．（3分）（2021•博野县校级开学）函数y＝x，y＝x2和𝑦=

1𝑥的图象如图所示，有下列四个说法：①如果1𝑎＞𝑎＞𝑎2，那么0＜a＜1；②如果𝑎2＞𝑎＞1𝑎，那么a＞1；③如果1𝑎＞𝑎2＞𝑎，那么﹣1＜a＜0；④如果𝑎2＞1𝑎＞𝑎时，那么a＜﹣1．其中正确的是（）A．①④B．①C．①②D．①③④【解题思路】先求

出三个函数图象的交点坐标，再结合图象判断即可．【解答过程】解：易知函数y＝x，y＝x2和𝑦=1𝑥的图象交点坐标为（1，1），函数y＝x与y=1𝑥的图象还有一个交点（﹣1，﹣1），当三个函数的图象依y=1𝑥，y＝x，y＝x2次序呈上下关系时，0＜x＜1，故①正确，当三个函数的图象依y

＝x2，y＝x，y=1𝑥次序呈上下关系时，﹣1＜x＜0或x＞1，故②错误，由于三个函数的图象没有出现y=1𝑥，y＝x2，y＝x次序的上下关系，故③错误，当三个函数的图象依y＝x2，y=1𝑥，y＝x次序呈上下关系时，x＜﹣1

，故④正确，所以正确的有①④，故选：A．8．（3分）（2021秋•镜湖区校级期中）已知幂函数y＝f（x）图象过点(2，√22)，则关于此函数的性质下列说法错误的是（）A．f（x）在（0，+∞）上单调递减B．f（x）既不是奇函数也不是偶函

数C．f（x）的值域为[0，+∞）D．f（x）图象与坐标轴没有交点【解题思路】先利用待定系数法求出幂函数的解析式，再利用幂函数的性质解题．【解答过程】解：设幂函数f（x）＝xα（α为常数），∵幂函数y＝f（x）图象过点(2，√22)，∴2𝛼=√22，∴𝛼=−12，∴幂函数f（x）＝x

⬚−12，∵−12＜0，∴幂函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以选项A正确，∵幂函数f（x）＝x⬚−12=1√𝑥的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，∴幂函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数，所以选

项B正确，∵√𝑥＞0，∴1√𝑥＞0，∴幂函数f（x）＝x⬚−12=1√𝑥的值域为（0，+∞），所以选项C错误，∵幂函数f（x）＝x⬚−12=1√𝑥的定义域为（0，+∞），值域为（0，+∞），所以f（x）的图象与坐标轴没有交点，所以选项D正确，故选：C．二．多选题（

共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2021秋•光明区期末）已知幂函数f（x）＝（m﹣2）xm，则（）A．m＝3B．定义域为[0，+∞）C．（﹣1.5）m＜（﹣1.4）mD．√𝑓(2)=2【解题思路】由题意，利用幂函数的定义和性质，得出结论．【解答过程】解：对于幂函数f（

x）＝（m﹣2）xm，应有m﹣2＝1，求得m＝3，可得f（x）＝x3，故A正确；由于它的定义域为R，故B错误；由于函数f（x）是R上的增函数，﹣1.5＜﹣1.4，∴（﹣1.5）3＜（﹣1.4）3，故C正确；由于√𝑓(2)=√8=2√2，故D错误，故选：AC．10．（4分）（

2022秋•泉州期中）已知幂函数y＝xα的图象如图所示，则a值可能为（）A．13B．12C．15D．3【解题思路】根据幂函数的图象特征得出0＜α＜1，且为奇函数，求出得出a的可能取值．【解答过程】解：根据幂函数y＝xα的图象在第一象限内是单调增函数，且关

于原点对称，通过与直线y＝x的图象比较知，0＜α＜1，且幂函数为奇函数；所以由选项知，a值可能为13和15．故选：AC．11．（4分）（2021秋•宝应县期中）已知幂函数𝑓(𝑥)=(𝑚+95)𝑥𝑚，则下列结论正确的有（）A．𝑓(−

32)=116B．f（x）的定义域是RC．f（x）是偶函数D．不等式f（x﹣1）≥f（2）的解集是[﹣1，1）∪（1，3]【解题思路】先利用幂函数的定义求出m的值，得到函数f（x）的解析式，可判定选项A，B的正确，利用偶函数的定义判定选项C的正误，利用函数f（x）

的奇偶性和单调性解选项D的不等式．【解答过程】解：幂函数𝑓(𝑥)=(𝑚+95)𝑥𝑚，∴m+95=1，∴m=−45，∴f（x）=𝑥−45，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故选项B错误，∵f（﹣32）=(−32)−45=116

，∴选项A正确，f（x）=𝑥−45=1√𝑥45，定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，又∵f（﹣x）=1√(−𝑥)45=1√𝑥45=f（x），∴f（x）是偶函数，选项C正确，∵f（x）=𝑥−45，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，在（﹣∞，0）上单调递

增，不等式f（x﹣1）≥f（2）等价于f（|x﹣1|）≥f（2），∴{𝑥−1≠0|𝑥−1|≤2解得：﹣1≤x＜1，或1＜x≤3，故选项D正确，故选：ACD．12．（4分）（2021秋•峨山县校级期中）已知

函数𝑓(𝑥)=(𝑚2−𝑚−1)𝑥𝑚2+𝑚−3是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2＞0．若a，b∈R，且f（a）+f（b）的值为负值，则下列

结论可能成立的有（）A．a+b＞0，ab＜0B．a+b＜0，ab＞0C．a+b＜0，ab＜0D．a+b＞0，ab＞0【解题思路】利用幂函数的性质推导出f（x）＝x3，从而求得f（a）+f（b）＝（a+b）（a2﹣ab+b2），然后检验各个选项是否正确．【解答过程】解：∵函数𝑓(𝑥)=(𝑚2

−𝑚−1)𝑥𝑚2+𝑚−3是幂函数，∴m2﹣m﹣1＝1，求得m＝2或m＝﹣1．对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2＞0，故f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴m2

+m﹣3＞0，∴m＝2，f（x）＝x3．若a，b∈R，且f（a）+f（b）＝a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）的值为负值．若A成立，则f（a）+f（b）＝（a+b）（a2﹣ab+b2）＞0，不满足题意；若B成立，则f（a）+f（b）＝（a+b）（a2﹣ab+b2）＝（a+b）[(𝑎

−𝑏2)2+3𝑏24]＜0，满足题意；若C成立，则f（a）+f（b）＝（a+b）（a2﹣ab+b2）＜0，满足题意；若D成立，则f（a）+f（b）＝（a+b）（a2﹣ab+b2）＝（a+b）[(𝑎−𝑏2)2+3𝑏24]＞

0，不满足题意，故选：BC．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022•宣城开学）已知幂函数f（x）的图象过点（2，14），则f（√7）＝17．【解题思路】根据幂函数的一般解析式y＝xa，因为其过点（2，14），求出幂函数的解析式，从而求出f（√7

）．【解答过程】解：∵幂函数的一般解析式y＝xa，∵幂函数y＝f（x）的图象过点（2，14），∴14=2a，解得a＝﹣2，∴y＝x﹣2，∴f（√7）＝（√7）﹣2=17，故答案为：17．14．（4分）（2021春•浙江月考）已知幂函数f（x）＝xα满足f（3）=√33，则该幂

函数的定义域为（0，+∞）．【解题思路】根据幂函数f（x）＝xα满足f（3）=√33，可求出α，然后根据偶次方根被开发数大于等于0，分式分母不等于0，求法f（x）的定义域．【解答过程】解：因为幂函数f（x）＝xα满足f（3）=√33，所以f（3）＝3α=√33=3−12，解

得α=−12，所以f（x）=𝑥−12=1√𝑥，该幂函数的定义域为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．15．（4分）（2022秋•辽宁月考）当x∈（0，+∞）时，幂函数𝑦=(𝑚2−𝑚−1)𝑥𝑚2−2𝑚−3为减函数，则m＝2．【解题思路】利用

幂函数的定义与性质列出不等式组，求解即可．【解答过程】解：∵当x∈（0，+∞）时，幂函数𝑦=(𝑚2−𝑚−1)𝑥𝑚2−2𝑚−3为减函数，∴{𝑚2−𝑚−1=1𝑚2−2𝑚−3＜0，∴m＝2，故答案为：2．16．（4分）

（2021秋•宛城区校级月考）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）•xm+1为奇函数，则不等式f（2x﹣3）+f（x）＞0的解集为（1，+∞）．【解题思路】根据已知条件和幂函数的定义，指数为奇数，系数为1，

列方程可求得m的值，再根据f（x）的单调性与奇偶性，脱去f，求得不等式的解集即可．【解答过程】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）•xm+1为奇函数，∴m2﹣3m+3＝1且m+1为奇数；解得m＝2；∴

f（x）＝x3，且f（x）在R上为增函数；由不等式f（2x﹣3）+f（x）＞0，∴f（2x﹣3）＞﹣f（x）；不等式⇔f（2x﹣3）＞f（﹣x）；不等式⇔2x﹣3＞﹣x；∴x＞1．所以不等式的解集为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6

分）（2022春•玉林月考）已知幂函数y＝（m2﹣m﹣1）𝑥𝑚2−2𝑚−3，求此幂函数的解析式，并求出其定义域．【解题思路】首先运用幂函数的定义求出m的值，在根据幂函数求定义域．【解答过程】解：由

幂函数定义可得m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2或m＝﹣1．当m＝2时，幂函数为y＝x﹣3，且x≠0，当m＝﹣1时，幂函数为y＝x0，且x≠0，故定义域都是{x|x≠0}．18．（6分）（2021秋•黄浦区校级期中）已知幂函数y＝f（x）经过点（4，18）．（1）求此幂函数的表达式

和定义域；（2）若f（a+2）＜f（3﹣2a），求实数a的取值范围．【解题思路】（1）由题意利用待定系数法求出幂函数的解析式，可得它的定义域．（2）由题意利用幂函数的定义域和单调性，求得a的范围．【解答过程】解：（1）设幂函数y＝f（x）＝xα，∵它的经过点（4，18），∴4α=18，∴α=−3

2，∴f（x）=𝑥−32=1√𝑥3，定义域为（0，+∞）．（2）由于函数f（x）在其定义域（0，+∞）上单调递减，故由f（a+2）＜f（3﹣2a），可得{𝑎+2＞3−2𝑎3−2𝑎＞0，解得13＜a＜32，故不等式的解集为（13，32）．19．（

8分）（2021秋•南关区校级期中）已知函数𝑦=𝑥23，（1）求定义域；（2）判断奇偶性；（3）已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间．【解题思路】根据幂函数的性质分别求出函数的定义域和奇偶性．【解答过程】解：（1）∵函

数𝑦=𝑥23=√𝑥23，∴函数的定义域为R．（2）∵f（﹣x）=√(−𝑥)23=√𝑥23=𝑓(𝑥)，∴函数𝑦=𝑥23=√𝑥23是偶函数．（3）∵函数𝑦=𝑥23=√𝑥23是偶函数．∴函数图象关于y轴对称，且（﹣∞，0]为减函数，[0，+∞）为增函数，对应

的图象为：20．（8分）（2021秋•荔湾区校级月考）已知幂函数f（x）=√𝑥．（1）试求函数f（1𝑥−1）的定义域；（2）若函数g（x）＝k+f（x+2）在区间[a，b]（a＜b）上有相同的定义域和值域，求k的取值范围．【解题思路】（1）先求出函数f（1𝑥−1）的解析

式，可得1𝑥−1≥0，由此求得函数f（1𝑥−1）的定义域．（2）由题意可得k+√𝑎+2=a，且k+√𝑏+2=b，故方程k+√𝑥+2=x有2个不同的实数解，即√𝑥+2=x﹣k有2个不同的实数解，分别画出曲线y=√𝑥+2和曲线y＝x﹣k的图象，数形结合可得结

论．【解答过程】解：（1）对于幂函数f（x）=√𝑥，可得函数f（1𝑥−1）=√1𝑥−1，∴1𝑥−1≥0，求得0＜x≤1，故函数f（1𝑥−1）的定义域为（0，1]．（2）∵函数g（x）＝k+f（x+2）＝k+√𝑥+2在区间[a，b]（a＜b）上单调递增，且有相同的定义域和

值域，∴k+√𝑎+2=a，且k+√𝑏+2=b，故方程k+√𝑥+2=x有2个不同的实数解，即√𝑥+2=x﹣k有2个不同的实数解．即曲线y=√𝑥+2（图中红色曲线）和曲线y＝x﹣k（图中蓝色曲线）有2个不同的交点．当√𝑥+2=x﹣k有唯

一实数解时，求得k=−94．当直线y＝x﹣k经过点（﹣2，0）时，求得k＝﹣2，满足曲线y=√𝑥+2和曲线y＝x﹣k有2个不同的交点．综上可得，−94＜k≤﹣2．21．（8分）（2021秋•辽宁月考）已知幂函数𝑓(𝑥)=(𝑚2+2𝑚−2)𝑥𝑚2−7(𝑚∈𝑍)的定义

域为R，且在[0，+∞）上单调递增．（1）求m的值；（2）∀x∈[1，2]，不等式af（x）﹣3x+2＞0恒成立，求实数a的取值范围．【解题思路】（1）由题意利用幂函数的定义和性质，可得m2+2m﹣2＝1，且m2﹣7＞0，由此求得m的值．（2）由题意

，x∈[1，2]时，a＞﹣2(1𝑥)2+3（1𝑥）恒成立．换元，利用二次函数的性质求得﹣2(1𝑥)2+3（1𝑥）的最大值，可得a的范围．【解答过程】解：（1）∵幂函数𝑓(𝑥)=(𝑚2+2𝑚−2)𝑥𝑚2−7(𝑚∈𝑍)的定义域为R，且在[0

，+∞）上单调递增，∴m2+2m﹣2＝1，且m2﹣7＞0，求得m＝﹣3，f（x）＝x2．（2）∵∀x∈[1，2]，不等式af（x）﹣3x+2＞0恒成立，即a＞3𝑥−2𝑥2恒成立，即a＞﹣2(1𝑥)2+3（1𝑥）恒成立

．令t=1𝑥∈[12，1]，则a＞h（t）＝﹣2t2+3t＝﹣2(𝑡−34)2+98，故当t=34时，h（t）取得最大值为98，∴a＞98．22．（8分）（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知幂函数𝑓(𝑥)=(𝑚2+𝑚2−12)𝑥𝑚，且在定义域内单调递

增．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）＝[f（x）]2+kf（x）﹣1，x∈[12，1]，是否存在实数k，使得g（x）的最小值为0？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．【解题思路】（1）由题意利用幂函数的定义和性质，求得m的值，可得结论．（2）先

求出g（x）的解析式，由题意利用二次函数的性质，分类讨论，求得k的值，可得结论．【解答过程】（1）∵幂函数𝑓(𝑥)=(𝑚2+𝑚2−12)𝑥𝑚，且在定义域内单调递增，∴m2+𝑚2−12=1，且m＞0，求得m＝1，故f（x

）＝x．（2）∵函数g（x）＝[f（x）]2+kf（x）﹣1＝x2+kx﹣1，它的图象的对称轴方程为x=−𝑘2，x∈[12，1]，若−𝑘2＜12，即k＞﹣1时，g（x）在[12，1]内单调递增，根据它的最小值为g（12）=14+𝑘2−1＝0，求得k=32．若12≤−𝑘2≤1，即

﹣2≤k≤﹣1时，g（x）的对称轴x=−𝑘2在[12，1]内，根据它的最小值为g（−𝑘2）=𝑘24−𝑘22−1＝0，求得k∈∅．若−𝑘2＞1，即k＜﹣2时，g（x）在[12，1]内单调递减，根据它的最小值为g（1）＝1+k﹣1＝0，求得k＝0（舍去）．综上，存在实数k=32，

使得g（x）的最小值为0．