【文档说明】福建省泉州市部分中学2022-2023学年高二下期末联考数学试题 含解析.docx，共(24)页，1.832 MB，由小赞的店铺上传

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泉州市部分中学2024届高二下期末联考试题数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.61xx−的展开式中常数项为（）．A.15−B.20−C.

15D.20【答案】B【解析】【分析】写出展开式的通项公式()62161kkkkTCx−+=−，再令620k−=得3k=，再代入通项公式即可得答案.【详解】根据题意，61xx−的展开式的通项公式()66216611kkkkkkkTCxCxx−−

+=−=−，令620k−=，解得3k=，所以常数项()333161=20TC+=−−.故选：B2.等比数列na满足11a=，4616aa=，则3a=（）A.2−B.2C.16−D.16【答

案】B【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，可得答案.【详解】由数列na是等比数列，其首项11a=，公比设为q，则等式4616aa=，整理可得3516qq=，解得22q=，即2312aaq==.故选：B.3.

平行六面体1111ABCDABCD−的所有棱长均为1，1160BADBAADAA===，则1AC的长度为（）为A.322B.6C.3D.6【答案】B【解析】【分析】由1111ABCDABCD−为平行六面体，可知1AC为体对角线，由向量的模长公式即可求得1AC.【详解】()2111

ACABADAAABADAA=++=++2221112cos602cos602cos60ABADAAABADABAAAAAD=+++++111111211211211222=+++++6=故选：B4.下列说法正确的是（）A.若事件,AB相互独立，

则()(|)PABPBA=B.设随机变量X满足()2DX=，则()4311DX+=C.已知随机变量()2~2,N，且()40.8P=，则()020.3P=D.在一个22列联表中，计算得到2的值越接近1，则两个变量的相关性越强【答案】C【解析】【分析】A项，求出()(),(|)(

)PABPAPBAPB==即可；B项根据()DX的性质即可得出；C项，根据给定条件，利用正态分布的性质求解作答；D项，根据2的性质，即可得出相关性强弱.【详解】对于A，若事件,AB相互独立，则()(),(|)()PAB

PAPBAPB==,所以A错误，对于B，设随机变量X满足()2DX=，则()()243416232,DXDX+===所以B错误，对于C，随机变量()2~2,N，且()40.8P=，则()()()00.8,0200.50.3PPP=

=−=,所以C正确，对于D，在一个22列联表中，2值越大，则两个变量的相关性越强，所以D错误，故选：C.5.记8787log8,log787,,abcd====，则（）A.abB.acC.cb

D.bd【答案】B【解析】【分析】由对数运算性质，借助中间量1，结合指数幂的运算及函数的单调性比较大小即可.【详解】因为7log81a=8g7lob=，A错误;8877787576480182097152,78log87ac

====,B正确;8781l7,ogbc==C错误;8788777576480182097152,78log78bd====,D错误;故选：B.6.空间直角坐标系Oxyz−中，(1,3

,0)A，(0,3,1)B，(1,0,3)C，点P在平面ABC内，且OP⊥平面ABC，则||AP=（）A.5B.7C.263D.423【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，求出平面ABC的法向量，再求出OP长，然后利用勾股定理求解作答.【详解】由(1,3,0)A，(0,

3,1)B，(1,0,3)C，得(1,0,1),(0,3,3)ABAC=−=−，设平面ABC的法向量(,,)nxyz=，则0330nABxznACyz=−+==−+=，令1z=，得(1,1,1)n=，有(1,3,0)OA=，而OP⊥平面ABC，于是222|||113101|4||||

3111OPnOPn++===++，又22||1310OA=+=，OPAP⊥，所以221642||||||1033APOAOP=−=−=.故选：D7.已知抛物线21Γ4yx=：的焦点为F，过F的直线l交

于点,AB，分别在点,AB处作的两条切线，两条切线交于点P，则2211PAPB+的取值范围是（）A.(0,1B.10,2C.10,4D.11,42【答案】C【解析】【分析】设直线l的方程

为1ykx=+，()()1122,,,AxyBxy，与抛物线联立可得12124,4xxkxx+==−，再利用求曲线上一点的切线方程得过,AB与相切的直线方程，再利用两条直线的交点坐标得()2,1Pk−，再利用

两点间的距离公式计算得结论.【详解】显然直线l的斜率存在，因此设直线的方程为1ykx=+，()()1122,,,AxyBxy，由214ykxxy=+=得2440xkx−−=，因此()2241616160kk=−+=+，故12124,4xxkxx+=

=−.因为2xy=，所以过,AB与相切的直线方程分别为：21124xxxy=−、22224xxxy=−，因此由2112222424xxxyxxxy=−=−得12122,214xxxkxx

y+====−，即()2,1Pk−，所以()()()()222222112211112222xkkxxkkxPAPB+=+−++−++()()()()222212111414kxkx=+++

++()()()2212222128144xxkxx++=+++()()()21212222221212281416xxxxkxxxx+−+=++++()()22221616141641kkk+==++.因为kR，所以()2414k+，因此()2110441k+，所以221

1PAPB+的取值范围是10,4.故选:C.8.已知lnxmxn+，则2mn+的最小值为（）A.ln2−B.1−C.ln4−D.2−【答案】C【解析】【分析】等价于对于()0,x+，lnnxmx−恒成立，设()()ln0hxx

mxx=−，求出函数()hx最大值，得到222lnmnmm+−−，设()()22ln0pmmmm=−−，求出函数()pm的最小值即得解.【详解】对于()0,x+，lnnxmx−恒成立，设()()ln0h

xxmxx=−，所以11()mxhxmxx−=−=.当0m时，()0hx，函数()hx单调递增，所以函数()hx没有最大值，所以这种情况不满足已知；当0m时，当10,xm时，()0hx，函数()hx单调递增.当1,xm+

时，()0hx，函数()hx单调递减.所以max11()ln11lnhxhmmm==−=−−.所以1lnnm−−.所以222lnmnmm+−−.设()()22ln0pmmmm=−

−，所以()221mpmmm−=−=，当02m时，()0pm，函数()pm单调递减.当m2时，()0pm，函数()pm单调递增.所以()()min2222ln22ln2ln4ppm==−−=−=−.所以2mn+的最小值为ln4−.故选:

C.【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题的求解，常用的方法有：（1）分离参数求最值；（2）直接法；（3）端点优先法.要根据已知条件灵活选择方法求解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

．9.已知等差数列na的前项和为nS，111a=，53a=，则（）A.535S=B.132nan=−C.na的最小值为0D.nS的最大值为36【答案】ABD【解析】【分析】设等差数列na的公差为d

，根据已知条件求出d的值，利用等差数列的求和公式可判断A选项；利用等差数列的通项公式可判断B选项；求出na的最小值，可判断C选项；利用二次函数的基本性质可判断D选项.【详解】设等差数列na的公差为d，则5141143aadd=+=+=，解得2d=−.对于A选项，()515455111023

52Sad=+=+−=，A对；对于B选项，()()111121132naandnn=+−=−−=−，B对；对于C选项，112,5112211,6nnnannn−=−=−，故当5n=或6时，na取最小值1，C错；对于D选项，()()()2211111126362nnn

dSnannnnnn−=+=−−=−+=−−+，故当6n=时，nS取得最大值36，D对.故选：ABD.10.已知圆1C与x轴相切，且1C在直线yx=上，圆222:2440Cxyxy+−−+=，若圆1C与圆2C相切，则圆1C的半径长可能是（）A.12

B.2C.423+D.423−【答案】BCD【解析】【分析】设圆1C的方程为()()222xaybr−+−=，由条件方程求解即可.【详解】设圆1C的方程为()()222xaybr−+−=，因为圆1C与x轴相切，且1C在直线yx=上

，所以brba==，即bar==，所以圆1C的方程为()()222xryrr−+−=或()()222xryrr+++=，又圆222:2440Cxyxy+−−+=的圆心为()1,2，半径为1，当圆1C与圆2C外切

时，()()22121rrr−+−=+或()()22121rrr+++=+（舍去），解得423r=+或423r=−；当圆1C与圆2C内切时，()()22121rrr−+−=−或()()22121rrr+++=−，解得2r=

或423r=−（舍去）；综上，圆1C的半径长可能是423+、423−或2.故选：BCD11.已知数轴上一个质点在外力的作用下，从原点出发，每次受力质点原地停留或向右移动一个单位，质点原地停留的概率为110，向右移动的概率为109，且每次是否移动互不影响．若该质点共受力7次，

到达位置的数字记为X，则（）A.71(0)10PX==B.2519(5)1010PX==C.()6.3EX=D.()(6)PXkPX==【答案】AC【解析】【分析】根据二项分布的概率计算即可判断ACD，根据二项分布的期望公式即可判断B.【详解】设质点

向右移动的次数为Y,则9(7,)10YB，由于XY=，所以9(7,)10XB,70707191(0)(0)C101010PXPY=====,故A正确，255719(5)(5)C1010PXPY====,故B错误，

由于9()76.310EY==,所以()()6.3EXEY==,故C正确，()()2552527719195C2C,10101010PXPX====，344343771919(4)C(3)C10101010PXPX

====>，166161771919(6)C(1)C10101010PXPX====，077070771919(7)C(0)C10101010PXPX==

==，()3444477725557577191CCC(4)351010101,5(4)9(5)1899C19CC101010PXPXPXPX========

,()1666677725557577199CC9C(6)631010101,6(5)1(5)21C19CC101010PXPXPXPX========

,()1666677707777777191CCC(6)71010101,6(7)9(7)99C19CC101010PXPXPXPX========

,因此()7PX=最大，故()(7)PXkPX==，故D错误，故选：AC12.平面,,两两互相垂直且有一个公共点O，1l=，2l=，3l=，直线l过点O，则下

列结论正确的是（）A.若l与23,ll所成的角均为60，则l与平面所成的角为45B.若l与平面,,所成的角相等，则这样的直线l有且仅有1条C.若l与平面,所成的角分别为30,45，则l与平面所成的角为60D.若点P在l上，且在123,,lll的投影分别为123,,PPP

，则22221223132OPPPPPPP=++【答案】AD【解析】【分析】把问题转化为正方体中的线面关系，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】由题意，平面,,两两互相垂直且有一个公共点O，

不妨平面,,放置在正方体1111ABCOABCO−的三个相邻面中，记平面ABCO为平面，记平面11AOOA为平面，记平面11OCCO为平面，则直线1l为OA，直线2l为1OO，直线3l为OC，记正方体1111ABCOAB

CO−棱长为1，以点O为坐标原点，OA、OC、1OO所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Oxyz−，如图：则点()0,0,0O、()1,0,0A、()1,1,0B、()0,1,0C、()10,0,1O、()11,0,1A、()11,1,1B、()1

0,1,1C，又直线l过点O，再取l上一点P，设点(),,Pabc，对于选项A，(),,OPabc=，()10,0,1OO=，()0,1,0OC=，因为l与23,ll所成的角均为60，即1,,60OPOOOPOC==，所以11cos,cos,2OPOO

OPOC==，所以1112OPOOOPOCOPOOOPOC==，所以22222212cbabcabc==++++，即22222233abcacb+=+=，所以2acbc==，即()2,,OPccc=，易知平面的法向量为()1

,0,0m=，设l与平面所成的角为，则2sincos,2OPmOPmOPm===，又090，所以45=，所以l与平面所成的角为45，正确；对于选项B，易知平面的法向量为()0,0,1n=，平面的法向量为()0,1,0t=，若l与平面,,

所成的角相等，则三个线面角的正弦值相等，所以cos,cos,cos,OPmOPnOPt==，即OPmOPnOPnOPmOPnOPn==，所以abc==，所以(),,Paaa或(),,Paaa−或(),,P

aaa−或(),,Paaa−−，则这样的直线l有4条，错误；对于选项C，若l与平面,所成的角分别为30,45，则cos,sin30,cos,sin45OPnOPt==，所以22212cabc=++，22222babc=++，所以2222223abcacb+=+=

，所以2acbc==，即(),2,OPccc=，设l与平面所成的角为，易知平面的法向量为()1,0,0m=，则1sincos,2OPmOPmOPm===，又090，所以30=，所以l与平面所成的角为3

0，错误；对于选项D，因为点P在123,,lll的投影分别为123,,PPP，则123(,0,0),(0,0,),(0,,0)PaPcPb，所以222222222122313[(0)(00)(0)][(00)(0)(0)]PPPPPPacbc++

=−+−+−+−+−+−222222[(0)(0)(00)]222ababc+−+−+−=++，又222222222[(0)(0)(0)]222OPabcabc=−+−+−=++，所以22221223132OPPPPPPP=++，正确.故结论正确的是

AD.故选：AD【点睛】关键点睛：对于立体几何中角和长度的计算难题，往往可以用空间向量法，通过求解直线的方向向量或平面的法向量，利用向量夹角和距离公式求解即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.

已知直线yx=是双曲线2222:1xyCab−=（0,0ab）的一条渐近线，则C的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】根据渐近线方程得到1ba=，然后代入离心率公式求解.【详解】因为直线yx=是双曲线()2222:10,0xyCabab−=的一条渐近线，所以1ba

=，所以C的离心率为212cbeaa==+=.故答案为：214.数列na中，11a=，123nnaa+=+，则na的前10项的和为_________．【答案】4062【解析】【分析】推导出数列3na+是首项为

4，公比为2的等比数列，求出数列na的通项公式，利用分组求和法可求得数列na的前10项的和的值.【详解】在数列na中，11a=，123nnaa+=+，则()1323nnaa++=+，且134a+=，所以，数列3na+是首项为4，公比为2的等比数列，所以，113422nnn

a−++==，则123nna+=−，所以，数列na的前10项和为()()()231110232323S=−+−++−()()1023114122223030406212−=+++−=−=−.故答案为：4062.15.甲箱中有2个白球和1个黑球，乙箱中有1个白球和2个黑球

．现从甲箱中随机取两个球放入乙箱，然后再从乙箱中任意取出两个球，则最后摸出的两球都是白球的概率为______；若最后摸出的两球都是白球，则这两个白球都来自甲箱的概率为______．【答案】①.16②.15##0.2【解析】【分析】从甲箱中取出两白球、取出一白一黑，分别为事件12,AA表示，

从乙箱中取出的两球时白球为事件B，结合条件概率的计算公式和全概率公式，即可求解.【详解】由题意，从甲箱中任取两球放入乙箱仅有2中可能，取出两白球、取出一白一黑，分别用12,AA表示，设“从乙箱中取出的两球时白球”为事件B，可得2112211222

33CCC12(),()C3C3PAPA====，其中2232122255CC31(),(),C10C10PBAPBA====，所以从乙箱中取出两球是白球的概率为211()()6iiiPPAPBA===；设从乙箱摸出两个白球都来

自甲箱为事件A，则()22222235CC1CC30PA==,则()()()()1130()156PABPAPABPBPB====.故答案为：16；15.16.某几何体的直观图如图所示，是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为2，高为4．现要加工成一个圆柱

，使得圆柱的两个底面的圆周落在半球的球面上，则圆柱的最大体积为______．【答案】512π27【解析】【分析】设加工成的圆柱底面半径为r，圆柱的高为4(04)hh+，圆柱的体积用含有h的代数式表示，利用导数求其最大值即可.【详解】设加工成的圆柱的底面半径为r，高为4(04)hh+

，轴截面如图，则2222()4,424hhrr+==−，则加工后所得圆柱的体积22π(4)π(4)(4)4hVrhh=+=−+，所以23π(24)4Vhh+=−−可得当4(0,)3h时，0V，当4(,4)3h时，0V，即函数在4(0,)3上单调递增，在4(,4)3上

单调递减，则当43h=时，V取得最大值为512π27.故答案为：512π27四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知正项数列{}na的前项和为nS，且满足()24+1nnSa=．（1）求na，nS；（2）设11nnnbaa+=，数列{}nb的前n项和

为nT，求证：12nT．【答案】（1）21nan=−，2nSn=（2）证明见解析【解析】【分析】(1)当2n时由4nS＝(na＋1)2与14nS−＝(1na−＋1)2作差，由此得出na是等差数列，从而求出na即可；(2)

.通过（1）再裂项得出数列{}nb的通项公式，进而并项相加即得结论．【小问1详解】24(1)nnSa=+……①，2114(1)nnSa++=+……②由②－①得，22111422nnnnnaaaaa+++=−+−，()()()+1+112++nnn

nnnaaaaaa+=−．又+1+0nnaa，所以12nnaa+−=，由①112121,1,4(1)(0,11),Saaan−====+所以na是首项为1公差为2的等差数列，所以21nan=−，代入①得2nSn=．【小问2详解】()()111111212122121n

nnbaannnn+===−+−−+，11111111=12335572121nTnn−+−+−++−−+111221n=−+，因为1021n+，所以11112212n−+，即12nT．1

8.已知函数()()23ln112fxxxxx=+−+．（1）求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；（2）证明：()0fx．【答案】（1）1ln22yx=−（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出()1f、()1f的值，利用导数的几何意义可得出所求切

线的方程；（2）令()()2ln112gxxxx=+−+，其中1x−，利用导数分析函数()gx单调性与极值，结合不等式的基本性质可证得结论成立.的【小问1详解】解：因为()()23ln112fxxxxx=+−+，则

()()23ln1212xfxxxxx=++−++，所以()11ln22f=−，()1ln2f=，所以曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程为()1ln2ln212yx−−=−，即1ln22yx

=−．【小问2详解】证明：令()()2ln112gxxxx=+−+，其中1x−，要证()0fx，即证()0xgx，因为()211011xgxxxx=−+=++，当且仅当0x=时，等号成立，所以()gx在()1,−+

单调递增，又()00g=，所以当0x时，()0gx，()0xgx，当10x−时，()0gx，()0xgx；当0x=时，()0xgx=．故()0xgx，即()0fx，得证．19.如图，在

四棱台1111ABCDABCD−中，//ABCD，2DADC==，111ABCD==，120ADC=，1190DDABBA==．（1）证明：平面11DCCD⊥平面ABCD；（2）若四棱台1111ABCDABCD−的体积为7

34，求直线1AA与平面11ABC所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）10570【解析】【分析】（1）解法一：证明ABBD⊥，1ABBB⊥从而得到1ABDD⊥，结合1ADDD⊥面面垂直的判定即可证明；解法二：建立合适的空间直角坐标

系，利用空间向量法证明即可；（2）解法一：利用锥体体积公式求出12DD=，建立合适的空间直角坐标系，利用线面角的空间向量求法即可；解法二：利用锥体体积比从而得到4PD=，再建立空间直角坐标系，利用线面角的空间向量求法即可.【小

问1详解】解法一：//ABCD，120ADC=，60DAB=，在ABD△中，1,2,60ABADDAB===，由余弦定理得2212212cos603BD=+−=，故222ABBDAD+=，则ABBD⊥，因为棱台1111ABCDABCD−，故11,B

BDD交于一点，即11,BBDD共面，又190BBA=，即1ABBB⊥，1BBBDB=，1,BBBD平面11BBDD，所以AB⊥平面11BBDD，因为1DD面11BBDD，所以1ABDD⊥，又190DDA=，即1ADDD⊥，ABADA=，,ABAD平面ABCD，所以1DD

⊥平面ABCD，又因为1DD平面11DCCD，所以平面11DCCD⊥平面ABCD；解法二：由棱台的定义，把四棱台1111ABCDABCD−的侧棱延长交于点P，得到四棱锥PABCD−，90PDAPBA

==则，同解法一，可得ABBD⊥，以D为原点，,DBDC分别为,xy轴建立空间直角坐标系如图，则(3,0,0),(3,1,0),(0,2,0)BAC−，设(,,)Pabc，由90PDAPBA==，则有30,0,DPDAabDPBAb=−==−=，所以0ab==，即

(0,0,)Pc，所以PD⊥平面ABCD，因为PD平面PCD，故平面PCD⊥平面ABCD，即平面11DCCD⊥平面ABCD；【小问2详解】解法一：设梯形ABCD与梯形1111DCBA的面积分别为12,SS，(

)()11133123222SABCDBD=+=+=，因为梯形1111DCBA与梯形ABCD相似，且1112CDCD=，故2114SS=，所以2338S=，由（1）知，1DD⊥平面ABCD，则()1111121211111333333337

33328288ABCDABCDVSSSSDDDDDD−=++=++=，所以1737384DD=，故12DD=，以D为原点，1,,DBDCDD分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系如图，11(3,0

,0),(3,1,0),(0,0,2),(0,1,2)BADC−，由1112DADA=，得131(,,2)22A−，由1112ABAB=，得13(,0,2)2B，所以11113133,,2,,1,2,,1,02222AAABBC=−=−=−，

设平面11ABC的法向量为(),,nxyz=，则1113320,022nABxyznBCxy=−++==−+=，取()2,3,0n=，设直线1AA与平面11ABC所成的角为，则1113302105sincos,7057AAnAAnAAn−++====．解法二：可知四

棱锥1111PABCD−与四棱锥PABCD−，相似比为1112CDCD=，故体积比为111118PABCDPABCDVV−−=，故111177384ABCDABCDPABCDVV−−==，所以23PABCDV−=，又()()

1133123222ABCDSABCDBD=+=+=，所以1332332PD=，故4PD=，所以(0,0,4)P，故111331(,0,2),(,,2),(0,1,2),222BAC−下同解法一．20.

学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后自主学习，人们普遍认为课后自主学习时间越多学习效果越好.某权威研究机构抽查了部分高中学生，对学生每天花在数学上的课后自主学习时间（x分钟）和他们

的数学成绩（y分）做出了调查，得到一些数据信息并证实了x与y正相关.“学霸”小李为了鼓励好朋友小王和小张努力学习，拿到了该机构的一份数据表格如下（其中部分数据被污染看不清），小李据此做出了散点图如下，并计算得到13160255iiixy==，1311105iiy==，

ix的方差为350，(,)iixy的相关系数0.98r（1,2,3,,13i=）.（1）请根据所给数据求出,xy的线性经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩；（2）受到小李的鼓励，小王和小张决定在课后花更多的时间在数学学习上，小

张把课后自主学习时间从20分钟增加到60分钟，而小王把课后自主学习时间从60分钟增加到100分钟.经过几个月的坚持，小张的数学成绩从50分提升到90分，但小王的数学成绩却只是从原来的100分提升到了115分.小王觉

得很迷惑，课后学习时间每天同样增加了40分钟，为什么自己的成绩仅仅提升了十几分呢，为什么实际成绩跟预测的成绩差别那么大呢？①请根据你对课后自主学习时间与数学成绩的关系的看法及对一元回归模型的理解，解答小王的疑惑；②小李为了解答小王的疑惑，想办

法拿到了上表中被污染的数据如下.据此，请在上图中补齐散点图，并给出一个合适的经验回归方程类型（不必求出具体方程，不必说明理由）.编号1415161718x8590100110120y113114117119119附：回归方程ˆˆyabx=

+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆˆˆ,niiiniixxyybaybxxx==−−==−−.【答案】（1）1.130yx=+，140分（2）①答案见解析；②答案见解析【解析】

【分析】（1）先求出平均数，利用最小二乘法求出回归方程，代入数据即可预测；（2）①根据回归方程的含义及统计知识解答疑惑即可；②补齐散点图，根据所学函数选择非线性回归方程即可.【小问1详解】202530354045505560657075805013x++

++++++++++==，11058513y==，又,i1,2,3,,13ix=方差为()1321135013iixx=−=，所以()()()1313111321136025513508546355085385

ˆ1.11335013350350350iiiiiiiixxyyxyxybxx===−−−−−======−，ˆˆ851.15030aybx=−=−=，故1.130ˆyx=+，

当100x=时，140y=，故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时数学成绩为140分；【小问2详解】①（i）所求的经验回归方程依据的样本数据时间范围在20~80分钟，当时间范围扩大后，,xy之间不一定还符合该方程，所以

预测与实际情况可能会有较大差别；（ii）事实上，样本数据时间在70分钟以后，对应成绩的增速已有明显减缓的趋势，因此当时间范围扩大后，相关系数会降低，所求经验回归方程模型不一定适合.（iii）小李所拿到的样本数据的缺失可能使得回归模型不

恰当，还应收集更多的样本数据分析，（iv）如果原来成绩较低，通过增加学习时间可以有效提高成绩，但是当成绩提高到一定程度时（如110分以上），想要通过延长学习时间来提高学习成绩就比较困难了，需要想别的办法.②补齐散点图如图：合适的回归模型如lnyaxb=+，yaxb

=+，byax=，xyba=−等，答案不唯一，只要能体现出增长速度逐渐变缓即可.21.已知O为坐标原点，点P到点()1,0F的距离与它到直线:4lx=的距离之比等于12，记P的轨迹为．点,AB在上，,,FAB三点共线，M为线段AB的中点．（1）证明：直线OM与直线AB的斜率之积为

定值；（2）直线OM与l相交于点N，试问以MN为直径的圆是否过定点，说明理由．【答案】（1）证明见解析的的的（2）定点()1,0F，理由见解析【解析】【分析】（1）先设(),Pxy，再根据距离比计算轨迹，最后计算斜率积即可；（2）先设(),0

Tm，再根据MN为直径的圆过定点(),0Tm，计算0MTNT=uuuruuur可得.【小问1详解】设(),Pxy，则有()221142xyx−+=−，整理得22143xy+=；设()11,Axy,()22,Bxy，()00,Mxy，则1202xxx+=，1202

yyy+=，由1221222234123412xyxy+=+=，两式相减：()()()()12121212340xxxxyyyy−++−+=，整理得()()12012032420xxxyyy−+−=，0121203

40yyyxxx−+=−，01212034yyyxxx−=−−，即直线OM与直线AB的斜率之积为定值34−．【小问2详解】显然直线AB的斜率不为0，设直线AB方程为1xty=+，联立方程组2213412xtyxy=++=，消去x得：()2234690tyty++−=，所以12263

4tyyt+=−+，1223234Myytyt+==−+，223413434Mtxttt−=+=++，2243,3434tMtt−++，直线3:4tOMyx=−，从而点()4,3Nt−，根据椭圆的对称性可

知，若以MN为直径的圆过定点，则该定点在x轴上，可设为(),0Tm，以MN为直径的圆过定点(),0Tm，则0MTNT=uuuruuur，又2243,3434tMTmtt=−++，()4,3NTmt=−，从而()22249403434tmmtt−−+=

++，整理得222(3129)420160tmmmm−++−+=，故2231290420160mmmm−+=−+=，解方程组可得1m=，即以MN为直径的圆过定点()1,0F．22.已知()ln1(R)fxxkxk=−+，()(e2)xgxx=−.（

1）求()fx的极值；（2）若()()gxfx，求实数k的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）1k【解析】【分析】（1）根据题意，求导得()fx，然后分0k与0k讨论，即可得到结果.（2）根据题意，将问题转化为1n2elxxkx+−+在0x恒成立，然后构造函数1l

n()e2xxhxx+=−+，求得其最大值，即可得到结果.【小问1详解】已知1()ln1,(),0fxxkxfxkxx=−+=−（），当0k时，()0fx恒成立，()fx无极值，当0k时，1()kxfxx−=，()fx在1

0k，上单调递增，在1,k+单调递减，当1xk=时，()fx有极大值，1()lnfkk=−，无极小值，综上：当0k时，()fx无极值；当0k时，极大值为1()lnfkk=−，无极小值；【小问2详解】若()()gxfx，则(e2)ln10xx

xkx−−+−在0x时恒成立，l2e1nxxkx+−+恒成立，令()()221lnlnee2,xxxxxhxhxxx+−−=−+=，令2lnexxxx=−−（），则21(2)e0(0)xxxxxx=−−+（），

()x在()0+，单调递减，又12e11e0,(1)e0e−=−=−，由零点存在定理知，存在唯一零点01,1ex，使得()00x=，即00001ln20000000111lnelne,lneexxxxxxxxxxx−===，，

令e(0),()(1)e0,()xxxxxxxx==+（）在()0+，上单调递增，000011ln(),lnxxxx==，即00lnxx−=当0(0,)xx时，()hx单调递增，0(,)xx+单

调递减，()()0000max0001ln11e221xxxhxhxxxx+−==−+=−+=，0()1khx=，即k的取值范围为1k.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com