【文档说明】湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2021届高三下学期5月联考数学试题含答案.docx，共(11)页，1.066 MB，由小赞的店铺上传

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2021年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校5月联考高三数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合U=R，集合(4)(1)0Axxx=−−，3log1Bxx=

，则()UAB=ð（）A．13xxB．13xxC．13xxD．14xx2．已知a为实数，复数(2)izaa=−+（i为虚数单位），复数z的共轭复数为z，若20z，则1z−=（）

A．1i2−B．12i+C．2i+D．2i−3．在等比数列na中，1210aa+=，3420aa+=，则78aa+=（）A．80B．100C．120D．1404．甲、乙、丙、丁四位同学决定去巴城老街、千灯古镇、周庄游玩，每人只能去一个地方，周庄一定要有人去，则不同游览方案的

种数为（）A．60B．65C．70D．755．关于直线:10laxby++=，有下列四个命题：甲：直线l经过点(0,1)−；乙：直线l经过点(1,0)；丙：直线l经过点(1,1)−；丁：0ab．如果只有一个假命题，则该命题是（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．已知ABC△的外心为O，2,

||||2AOABACAOAB=+==，则AOAC的值是（）A．3B．32C．23D．67．如图，已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，以2OF为直径的圆

与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为P，线段1PF与另一条渐近线交于点Q，且2OPF△的面积是OPQ△面积的2倍，则该双曲线的离心率为（）A．32B．322C．2D．38．已知实数a，b满足7eaa−=，4ln3lncbb−+=，则ab=（）A．3B．4C．3eD．4

e二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．）9．已知a，b均为正数，且1ab−=，则（）A．2abB．221ab−

C．411ab−D．13ab+10．如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，点P在线段1BC上运动，则下列判断中正确的是（）A．三棱锥1ADPC−的体积是16B．//DP平面11ABDC．平面1PBD与平面1ACD所成的二面角为60D．异面直线1AP与1AD所

成角的范围是,6211．已知函数()2cos()0,||2fxx=+的图象上，对中心与对称轴12x=的最小距离为4，则下列结论正确的是（）A．5()06fxfx

+−=B．当,62x时，()3fx−C．若()2cos2gxx=，则()6gxfx−=D．若444sincos5−=−，0,2，则4

f+的值为4335−12．函数ln()xfxx=，若12xx时，有()()12fxfxm==，是圆周率，e2.71828=…为自然对数的底数，则下列说法正确的是（）A．10emB．(2)(3)ffC．212exxD．3

ea=，e3b=，ec=，ed=，x3s=，3t=，则S最大三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．在522xx−的二项展开式中，2x的系数是．14．请写出满足条件“()

(1)fxf对任意的[0,1]x恒成立，且()fx在[0,1]上不是增函数”的一个函数：．15．已知抛物线2:2(0)Cypxp=，直线l过抛物线C的焦点与抛物线交于A，B两点，以AB为直径的圆与抛物线的准线的公共点是(1,1)M−−，则直线l的斜率k=．16．无人侦察机在现代战争中扮演着

非常重要的角色，我国最新款的无人侦察机名叫“无侦-8”．无侦-8（如图1所示）是一款以侦察为主的无人机，它配备了2台火箭发动机，动力强劲，据报道它的最大飞行速度超过3马赫，比大多数防空导弹都要快如图2所示，已知空间中同时出现了A，B，C，D四个目

标（目标和无人机的大小忽略不计），其中6kmABADBDa===，3km3CDa=，3kmBCa=，且目标A，B，D所在平面与目标B，C，D所在平面满足二面角ABDC−−的大小是23，若无人机可以同时观察到这四个目标，则其最小侦测半径为kma．图1图2四、解答题（本题共6小题，

共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．设a，b，c分别是ABC△中角A，B，C的对边，coscos2cos0aBbAcC++=．（1）求C；（2）若3c=，求ABC△面积S的最大值．1

8．已知数列na的前n项和为nS，满足1312nnSSnn+−=+，11a=．（1）求数列na的通项公式；（2）设nnnnabSn=+，数列nb的前n项积为nT，若对任意的*nN，4ntT恒成立，求实数t的最大值．19．已知RtABC

△中，2B=，4AB=，1BC=，E，F为AB，AC上的动点，且//EFBC，将三角形AEF沿EF折起至如图所示，使平面ABC⊥平面BCEF．（1）证明：平面ABC⊥平面ABE；（2）求平面AFC和平面ABE所成的锐二面角的余弦值的取值范围．20．随着我国互

联网的不断发展，自媒体业飞速发展起来，抖音、快手、微信视频号等等视频自媒体APP，几乎是全民参与．某中学社会调研社团研究抖音在生活中的普及程度，走向街头巷尾、公园，各行各业办公室，对市民进行调研，发现约有25的人发过抖音小视频．为进一步研究，从这些被采访的人中随机抽取3人进行调查，假

设每个人被选到的可能性相等．（1）记表示发过抖音视频的人数，求的分布列；（2）随着研究人群范围的扩大，为提高效率，研究组在对某些行业人群集中调研时，先随机抽取一人，如果他发过抖音小视频，就不再对该群体

中其他人进行调查，如果没有发过抖音小视频，则继续随机抽取，直到抽到一名发过抖音小视频的人为止，并且规定抽样的次数不超过()*nnN次，（其中n小于当次调查的总人数），在抽样结束时，抽到的没发过抖音视频的人数为，求的数学期望．21．已知抛物线2:2

(0)Cypxp=的焦点为点F，P为C上一点，若点P到原点的距离与点P到点F的距离都是32．（1）求C的标准方程；（2）动点M在抛物线C上，且在直线2x=的右侧，过点M作椭圆22:143xyE+=的两条切线分别交直线2x=−于A，B两点．当||10AB=时，求点M的坐标．2

2．已知函数22()2cosfxxax=+．（1）当1a=时，求()fx的导函数()fx在,22−上的零点个数；（2）若关于x的不等式222cos(2sin)()xaxafx+在(,)−+上恒成立，求实数a的取值范围．2021年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学

校5月联考高三数学参考答案1-8BBABCDCD9-12BCABBDABD13．10−14．5()sin2fxx=【答案不唯一】15．2−16．1317．解：（1）coscos2cos0aBbAcC++=，sincossincosABBA+2sincos0

CC+=，sin2sincos0CCC+=0C，sin0C，1cos2C=−．0C，23C=．（2）23C=，2222coscababC=+−22abab=++，即229abab++=．222abab+，223aba

bab++，39ab，3ab．1333sin244SabCab==，当且仅当3ab==时取等号．ABC△面积S的最大值为334．18．解：（1）由1312nnSSnn+−=+，得nSn是首项为1，公差为32的等差数列，331

1(1)22nSnnn−=+−=，232nnnS−=．当2n时，132nnnaSSn−=−=−，11a=符合上式，所以32nan=−．（2）2(32)31nnnnanbSnn−==++，1232nnnTbbbb==14732247103131nnnn−=++，11

223(1)131nnnnTTnn++−=−+++2(32)0(31)(34)nnnn−=++，1nnTT+，()1min12nTT==．因为对任意的*nN，4ntT恒成立，所以142tT=，即2t．19．解：（1）证明：由题意知EFA

E⊥，EFBE⊥，而AE平面ABE，BE平面ABE，AEBEE=，EF⊥平面ABE，//BCEF，BC⊥平面ABE．又BC平面ABC，平面ABC⊥平面ABE．（2）【解法一】延长BE，CF交于点P，

则AP为平面ABE和平面ACF的交线．过B作BQAP⊥于Q，连接CQ．BC平面ABC，BCAP⊥，又BQAP⊥，AP⊥平面BCQ，所以BQC即为平面AFC与平面ABE所成的角；设AEx=，则4BEx=−，22(

4)816ABxxx=−−=−，且(2,4)x，在RtABP△中，ABBPBQAP==4816424816162xxxx−−=−+，424cos216(24)xBQCxx−=+−424(24)16(24)4xxx−=−+−+．令24(0,2)tx=−

，则24cos174tBQCt=+24220,3417t=+．【解法二】设AEx=，则4BEx=−，22(4)816ABxxx=−−=−，且(2,4)x．由（1）知BA，BC，BE两两互相垂直，分别以BE，BC，BA为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，则(0,0,0)B，(

0,1,0)C，(0,0,816)Ax−，(4,0,0)Ex−，4,,04xFx−，则4,,8164xAFxx=−−−，4,1,04xCFx=−−．设平面ACF的法向量为(,,)mabc=，则00mAFmAF==，解得

4,224bacax==−．取21,4,24mx=−，又平面ABE的法向量为(0,1,0)n=，所以4cos,2172mnx=+−，(0,2)x，所以22cos,0,3mn

．所以平面AFC和平面ABE所成的锐二面角的余弦值的取值范围是220,3．20．解：（1）由题意知23,5B−，故的所有可能为0，1，2，3．303327(0)C5125P===，2132354(1)

C55125P===，2233236(2)C55125P===，33328(3)C5125P=−=，的分布列为0123P2712554125361258125（2）依题意，的所有可能的值是0，1，2，…，n．当01kn−时，23()

55kPk==；当kn=时，3()5nPk==，222323()01255555E=++1233(1)555nnnn−++−+，①2332323()1255555E

=+1233(1)555nnnn+++−+，②由①②，得222323()55555E=+++111232(1)3355555nnnnn−−+−+−−，

233()555nE=−+233315555nn=−，33()125nE=−．21．解：（1）设()00,Axy，则0200322924pxxpx+=+=，

解得2p=（负值舍去）．（2）不妨设1MAkk=，2MBkk=，()11,Axy，()22,Bxy，()2,2(2)Mttt．设过点M作椭圆的切线方程为()22ykxtt=−+，①由()22223412ykxttxy=−++=，得

()()2223482kxkttkx++−()2242120ttk+−−=，由0=得()423244430tktkt−−+−=，所以312444tkkt+=−，2124434tkkt−=−，在①中令2x=−得，()222ytkt=−

++，()21212||2AByytkk=−=−+=()42242316122104tttt−−++=，解得24t=，点M的坐标为(4,4)．22．解：（1）()2(sin2)fxxx=−，(0)0f=，所以x0=是()fx的一个零点．令()sin202gxx

xx=−，则()12cos20gxx=−=时，6x=，所以()gx在0,6上单调递减，在,62上单调递增，则min3()0662gxg==−．又(0)0g=，且022xg=，所以()gx在0,2

上存在唯一零点0,62x，则()2()fxgx=在0,2上亦存在唯一点．因为()fx是奇函数，所以()fx在,02−上也存在唯一零点0x−．综上

所述，当1a=时，()fx的导函数()fx在,22−上的零点个数为3．（2）不等式222cos(2sin)()xaxafx+恒成立，即不等式2cos(2sin)cosxax恒成立．令sin[1,1]xt=−，

则等价于不等式()2cos21tat−……（1）恒成立，①若21t=，即1t=时，不等式（1）显然成立，此时aR；②若11t−时，不等式（1）等价于2cos21tat−……（2）设2cos2()(11)1tkttt=−−，则当01t时，()()2222cos21sin2

()1tttthtt−−=−，令()2()cos21sin2(01)tttttt=−−，则()2()21cos2ttt=−，202=，04=，且20124，()t在20,2

，,14上单调递减，在2,24上单调递增，又(0)0=，210416x=−，所以()0t在(0,1)上恒成立，所以()ht在[0,1)上单调递减，则()(0)1hth=，显然()ht为偶函

数，故()ht在[1,1]−上的最大值为1，因此1a，综上所述，满足题意的实数a的取值范围为[1,)+．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com