【文档说明】湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2021届高三下学期数学5月联考试卷【精准解析】.docx，共(24)页，299.057 KB，由小赞的店铺上传

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湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2021届高三下学期数学5月联考试卷一、单选题（共8题；共40分）1.已知全集𝑈=𝑅，集合𝐴={𝑥|(𝑥−4)(𝑥−1)<0}，𝐵={𝑥|log3𝑥>1}，则𝐴∩(∁𝑈𝐵)=（）A.{𝑥∣

1≤𝑥<3}B.{𝑥∣1<𝑥≤3}C.|𝑥|1<𝑥<3}D.{𝑥∣1≤𝑥<4}2.已知𝑎为实数，复数𝑧=(𝑎−2)+𝑎i（i为虚数单位），复数𝑧的共轭复数为𝑧̅，若𝑧2<0，则1−𝑧̅=（）A

.1−2iB.1+2iC.2+iD.2−i3.在等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎1+𝑎2=10，𝑎3+𝑎4=20，则𝑎7+𝑎8=（）A.80B.100C.120D.1404.甲、乙、丙、丁四位同学

决定去巴城老街、千灯古镇、周庄游玩，每人只能去一个地方，周庄一定要有人去，则不同游览方案的种数为（）A.60B.65C.70D.755.关于直线𝑙:𝑎𝑥+𝑏𝑦+1=0，有下列四个命题：甲：直线l经过点(0，-1)；乙：直线l经过点(1，0)；丙：直线l经过点(-1，1)；丁：𝑎𝑏<0

.如果只有一个假命题，则该命题是（）A.甲B.乙C.丙D.丁6.已知△𝐴𝐵𝐶的外心为𝑂，2𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，|𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=2，则𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗的值

是（）A.√3B.32C.2√3D.67.如图，已知双曲线𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的左、右焦点分别为𝐹1、𝐹2，以𝑂𝐹2为直径的圆与双曲线𝐶的渐近线在第一象限的交点为𝑃，线段𝑃𝐹1与另一条渐近线交于点𝑄，且△�

�𝑃𝐹2的面积是△𝑂𝑃𝑄面积的2倍，则该双曲线的离心率为（）A.32B.3√22C.√2D.√38.已知实数𝑎，𝑏满足𝑎=𝑒7−𝑎，3+ln𝑏=𝑒4−ln𝑏，则𝑎𝑏=（）A.3B.4C.𝑒3D.𝑒4二、多选题

（共4题；共20分）9.已知𝑎，𝑏均为正数，且𝑎−𝑏=1，则（）A.𝑎>2√𝑏B.2𝑎−2𝑏>1C.4𝑎−1𝑏≤1D.𝑎+1𝑏>310.如图，在棱长为1的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，点𝑃

在线段𝐵𝐶1上运动，则下列判断中正确的是（）A.三棱锥𝐴−𝐷1𝑃𝐶的体积是16B.𝐷𝑃//平面𝐴𝐵1𝐷1C.平面𝑃𝐵1𝐷与平面𝐴𝐶𝐷1所成的二面角为60°D.异面直线𝐴1𝑃

与𝐴𝐷1所成角的范围是[𝜋6,𝜋2]11.已知函数𝑓(𝑥)=2cos(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔>0,|𝜑|<𝜋2)的图象上，对称中心与对称轴𝑥=𝜋12的最小距离为𝜋4，则下列结论正确的是（）

A.𝑓(𝑥)+𝑓(5𝜋6−𝑥)=0B.当𝑥∈[𝜋6,𝜋2]时，𝑓(𝑥)≥−√3C.若𝑔(𝑥)=2cos2𝑥，则𝑔(𝑥−𝜋6)=𝑓(𝑥)D.若sin4𝛼−cos4𝛼=−4

5，𝛼∈(0,𝜋2)，则𝑓(𝛼+𝜋4)的值为4−3√3512.函数𝑓(𝑥)=ln𝑥𝑥，若𝑥1≠𝑥2时，有𝑓(𝑥1)=𝑓(𝑥2)=𝑚，𝜋是圆周率，𝑒=2.71828…为自然对数的底数，则下列说法正确的是（）A.0<𝑚

<1𝑒B.𝑓(2)<𝑓(3)C.𝑥1𝑥2<𝑒2D.𝑎=𝑒3，𝑏=3𝑒，𝑐=𝑒𝜋，𝑑=𝜋𝑒，𝑠=3𝜋，𝑡=𝜋3，则𝑆最大三、填空题（共4题；共20分）13.在(𝑥−2𝑥2)5的二项展开式中，

𝑥2的系数是________．14.请写出满足条件“𝑓(𝑥)≤𝑓(1)对任意的𝑥∈[0,1]恒成立，且𝑓(𝑥)在[0,1]上不是．．增函数”的一个函数：________．15.已知抛物线𝐶:𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)，直线𝑙过抛物线𝐶的焦点与抛物线交于𝐴，𝐵两点，以A

B为直径的圆与抛物线的准线的公共点是𝑀(−1,−1)，则直线𝑙的斜率𝑘=________．16.无人侦察机在现代战争中扮演着非常重要的角色，我国最新款的无人侦察机名叫“无侦-8”．无侦-8（如图1所示）是一款以侦察为

主的无人机，它配备了2台火箭发动机，动力强劲，据报道它的最大飞行速度超过3马赫，比大多数防空导弹都要快如图2所示，已知空间中同时出现了𝐴，𝐵，𝐶，𝐷四个目标（目标和无人机的大小忽略不计），其中𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐵

𝐷=6𝑎km，𝐶𝐷=3√3𝑎km，𝐵𝐶=3𝑎km，且目标𝐴，𝐵，𝐷所在平面与目标𝐵，𝐶，𝐷所在平面满足二面角𝐴−𝐵𝐷−𝐶的大小是2𝜋3，若无人机可以同时观察到这四个目标，则其最小侦测半径为________𝑎km．四、解答题（

共6题；共70分）17.设𝑎，𝑏，𝑐分别是△𝐴𝐵𝐶中角𝐴，𝐵，𝐶的对边，𝑎cos𝐵+𝑏cos𝐴+2𝑐cos𝐶=0．（1）求𝐶；（2）若𝑐=3，求△𝐴𝐵𝐶面积𝑆的最大值．18.已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛满足𝑆𝑛+

1𝑛+1−𝑆𝑛𝑛=32，𝑎1=1.（1）求数列{𝑎𝑛}的通项公式；（2）设𝑏𝑛=𝑛𝑎𝑛𝑆𝑛+𝑛，数列{𝑏𝑛}的前𝑛项积为𝑇𝑛，若对任意的𝑛∈𝑁∗，𝑡≤4𝑇𝑛恒成立，求实数𝑡的最大值.19.已知Rt△𝐴𝐵

𝐶中，∠𝐵=𝜋2，𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=1，𝐸，𝐹为𝐴𝐵，𝐴𝐶上的动点，且𝐸𝐹//𝐵𝐶，将三角形𝐴𝐸𝐹沿𝐸𝐹折起至如图所示，使平面𝐴𝐵𝐶⊥平面𝐵𝐶𝐸𝐹．（1）证明：平面𝐴𝐵𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐸；（2）求平面�

�𝐹𝐶和平面𝐴𝐵𝐸所成的锐二面角的余弦值的取值范围．20.随着我国互联网的不断发展，自媒体业飞速发展起来，抖音、快手、微信视频号等等视频自媒体APP，几乎是全民参与．某中学社会调研社团研究抖音在生活中的普及程度，走向街头巷

尾、公园，各行各业办公室，对市民进行调研，发现约有25的人发过抖音小视频．为进一步研究，从这些被采访的人中随机抽取3人进行调查，假设每个人被选到的可能性相等．（1）记𝜉表示发过抖音视频的人数，求𝜉的分布列；（2）随着研究人

群范围的扩大，为提高效率，研究组在对某些行业人群集中调研时，先随机抽取一人，如果他发过抖音小视频，就不再对该群体中其他人进行调查，如果没有发过抖音小视频，则继续随机抽取，直到抽到一名发过抖音小视频的人为止，并且规定抽样的次数不超

过𝑛(𝑛∈𝑁∗)次，（其中𝑛小于当次调查的总人数），在抽样结束时，抽到的没发过抖音视频的人数为𝜂，求𝜂的数学期望．21.已知抛物线𝐶:𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点为点𝐹，𝑃为𝐶上一点，若点𝑃到原点的距离与点𝑃到点𝐹的距离都是32

．（1）求𝐶的标准方程；（2）动点𝑀在抛物线𝐶上，且在直线𝑥=2的右侧，过点𝑀作椭圆𝐸:𝑥24+𝑦23=1的两条切线分别交直线𝑥=−2于𝐴，𝐵两点．当|𝐴𝐵|=10时，求点𝑀的坐标．22.已知函数f（x）＝

2cos2x+ax2．（1）当a＝1时，求f（x）的导函数𝑓′(𝑥)在[−𝜋2，𝜋2]上的零点个数；（2）若关于x的不等式2cos（2sinx）+a2x2≤af（x）在（﹣∞，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．答案解析部分一、单选题（共8题；共40分）1.已知

全集𝑈=𝑅，集合𝐴={𝑥|(𝑥−4)(𝑥−1)<0}，𝐵={𝑥|log3𝑥>1}，则𝐴∩(∁𝑈𝐵)=（）A.{𝑥∣1≤𝑥<3}B.{𝑥∣1<𝑥≤3}C.|𝑥|1<𝑥<3}D.{𝑥∣1≤𝑥<4}【答案】B【考点】交、并、

补集的混合运算，一元二次不等式的解法，指、对数不等式的解法【解析】【解答】由题意，集合𝐴={𝑥|(𝑥−4)(𝑥−1)<0}={𝑥|1<𝑥<4}，𝐵={𝑥|log3𝑥>1}={𝑥|𝑥>3}，因为𝑈=𝑅，所以�

�𝑈𝐵={𝑥∣𝑥≤3}，所以𝐴∩(∁𝑈𝐵)={𝑥∣1<𝑥≤3}.故答案为：B.【分析】首先由一元二次不等式的解法以及对数不等式求解出x的取值范围，再由补集和交集的定义即可得出答案。2.已知�

�为实数，复数𝑧=(𝑎−2)+𝑎i（i为虚数单位），复数𝑧的共轭复数为𝑧̅，若𝑧2<0，则1−𝑧̅=（）A.1−2iB.1+2iC.2+iD.2−i【答案】B【考点】复数的基本概念，复数

代数形式的混合运算【解析】【解答】𝑧=(𝑎−2)+𝑎i，∴𝑧2=((𝑎−2)+𝑎i)2=(𝑎−2)2−𝑎2+2𝑎(𝑎−2)i，∵𝑧2<0，∴{2𝑎(𝑎−2)=0(𝑎−2)2−𝑎2

<0，解得𝑎=2，∴𝑧=2i，∴1−𝑧̅=1−(−2i)=1+2i.故答案为：B.【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理再结合复数的概念即可得出a的值，然后由共轭复数的定义即可得出结果。3.在等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎1+𝑎2=1

0，𝑎3+𝑎4=20，则𝑎7+𝑎8=（）A.80B.100C.120D.140【答案】A【考点】等比数列的通项公式【解析】【解答】设等比数列{𝑎𝑛}的公比为𝑞，则𝑞2=𝑎3+𝑎4𝑎1+𝑎2=2，∴𝑎7+𝑎8=(𝑎1+𝑎2)𝑞6=10×

23=80.故答案为：A.【分析】根据题意由等比数列的通项公式代入整理计算出结果即可。4.甲、乙、丙、丁四位同学决定去巴城老街、千灯古镇、周庄游玩，每人只能去一个地方，周庄一定要有人去，则不同游览方案的种数为（）A.60B.65C.70D.75【答案】B【考点】分步乘

法计数原理【解析】【解答】解：根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定去巴城老街、千灯古镇、周庄游玩，且每人只能去一个地方，则每人有3种选择，则4人一共有3×3×3×3＝81种情况，若周庄没人去，即四位同学选择了巴城老街、千灯古镇，每人有2种选择方法，则4人一共有2×2×2×2

＝16种情况，故周庄一定要有人去有81﹣16＝65种情况，故答案为：B．【分析】根据题意，先由分步计数原理计算可得四人选择3个地方的全部情况数目，再计算周庄没人去的情况数目，分析可得哈西站一定要有人去的游览方案数目，即可得答案.5.关于直线

𝑙:𝑎𝑥+𝑏𝑦+1=0，有下列四个命题：甲：直线l经过点(0，-1)；乙：直线l经过点(1，0)；丙：直线l经过点(-1，1)；丁：𝑎𝑏<0.如果只有一个假命题，则该命题是（）A.甲B.乙C.

丙D.丁【答案】C【考点】恒过定点的直线【解析】【解答】由题可知，命题甲､乙､丙中必有一个是假命题.若甲为假命题，则由乙､丙为真命题可得，𝑎=−1，𝑏=−2，此时𝑎𝑏>0，与丁矛盾，故不成立；若乙为假命题，则由甲

､丙为真命题可得，𝑎=2，𝑏=1，此时𝑎𝑏>0，与丁矛盾，故不成立；若丙为假命题，则由甲､乙为真命题可得，𝑎=−1，𝑏=1，此时𝑎𝑏<0，丁也成立，满足题意，所以假命题为丙，故答案为：C.【分析】根据题意可知，命题甲，乙，丙中必有一个为假命题，然后分别

讨论甲，乙，丙为假命题，即可得结论.6.已知△𝐴𝐵𝐶的外心为𝑂，2𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，|𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=2，则𝐴𝑂⃗⃗⃗

⃗⃗⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗的值是（）A.√3B.32C.2√3D.6【答案】D【考点】平面向量的基本定理及其意义，平面向量数量积的运算【解析】【解答】∵2𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，则𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴

𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗，即𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，则𝑂为𝐵𝐶的中点，又因为𝑂为△𝐴𝐵𝐶的外心，则|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|，所以，△𝐴𝐵𝐶为直角三角形，且𝐴𝐵⊥𝐴𝐶，如下图

所示：|𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=2=|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|，所以，△𝑂𝐴𝐵为等边三角形，则∠𝑂𝐵𝐴=60∘，由勾股定理可得|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=√|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|2−|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|2=2√3，𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=12(

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗2=12×(2√3)2=6，故答案为：D.【分析】先根据向量的基本运算性质确定，△ABC为直角三角形，再由向量的数量

积定义求解即可.7.如图，已知双曲线𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的左、右焦点分别为𝐹1、𝐹2，以𝑂𝐹2为直径的圆与双曲线𝐶的渐近线在第一象限的交点为𝑃，线段𝑃𝐹1与另一条渐近线交于

点𝑄，且△𝑂𝑃𝐹2的面积是△𝑂𝑃𝑄面积的2倍，则该双曲线的离心率为（）A.32B.3√22C.√2D.√3【答案】C【考点】点到直线的距离公式，双曲线的简单性质【解析】【解答】∵𝑂为𝐹1𝐹2的中点，则𝑆△𝑂𝑃�

�1=𝑆△𝑂𝑃𝐹2=2𝑆△𝑂𝑃𝑄，即𝑆△𝑂𝑃𝑄𝑆△𝑂𝑃𝐹1=|𝑃𝑄||𝑃𝐹1|=12，所以，|𝑃𝑄|=12|𝑃𝐹1|，所以，𝑄为线段𝑃𝐹1的中点，由图可知，直线𝑂𝑃的方程为𝑦=𝑏

𝑎𝑥，因为𝑃𝐹2⊥𝑂𝑃，所以直线𝑃𝐹2的方程为𝑦=−𝑎𝑏(𝑥−𝑐)，联立{𝑦=𝑏𝑎𝑥𝑦=−𝑎𝑏(𝑥−𝑐)，解得{𝑥=𝑎2𝑐𝑦=𝑎𝑏𝑐，即点𝑃(𝑎2𝑐,𝑎𝑏𝑐)，因为点𝐹1(−𝑐,0)，所以点�

�的坐标为(−𝑏22𝑐,𝑎𝑏2𝑐)，又点𝑄在直线𝑦=−𝑏𝑎𝑥上，则有𝑎𝑏2𝑐=𝑏𝑎⋅𝑏22𝑐，∴𝑏=𝑎，则𝑐=√𝑎2+𝑏2=√2𝑎，因此，该双曲线的离心率为𝑒=�

�𝑎=√2.故答案为：C.【分析】首先求得直线OP的方程和以OF2为直径的圆的方程，求得P的坐标，直线PF1的方程，与渐近线方程bx+ay=0，解得Q的坐标，由题意可得F2到直线OP的距离为Q到直线OP的距离的2倍，运用点到直线的距离公式和离心率公式，

代入数值计算出结果即可。8.已知实数𝑎，𝑏满足𝑎=𝑒7−𝑎，3+ln𝑏=𝑒4−ln𝑏，则𝑎𝑏=（）A.3B.4C.𝑒3D.𝑒4【答案】D【考点】对数的运算性质，利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】由𝑎=𝑒7−𝑎>0知，ln𝑎=7−𝑎，即ln𝑎+

𝑎=7,𝑎>0；由3+ln𝑏=𝑒4−ln𝑏>0知，ln(3+ln𝑏)=4−ln𝑏，即ln(3+ln𝑏)+3+ln𝑏=7,3+ln𝑏>0.设𝑓(𝑥)=ln𝑥+𝑥(𝑥>0)，则𝑓(𝑎)=𝑓(3+ln𝑏)，𝑥>0,𝑓′

(𝑥)=1𝑥+1>0，故𝑓(𝑥)=ln𝑥+𝑥在(0,+∞)单调递增.故由𝑓(𝑎)=𝑓(3+ln𝑏)知，𝑎=3+ln𝑏，又由ln𝑎+𝑎=7知，𝑎=7−ln𝑎，所以𝑎=7−ln𝑎=3+ln𝑏，即ln𝑎+ln𝑏=4，所以ln𝑎𝑏=4,

𝑎𝑏=𝑒4.故答案为：D.【分析】由已知结合对数的运算性质及利用导数研究函数的单调性可得a=3+lnb，则lnb=a-3，再由已知得lna=7-a，求解出ln(ab)，由此即可求出ab的值。二、多选题（共4题；共20分）9.已知𝑎，𝑏均为正数，且𝑎−𝑏=1，则（）A.𝑎>2

√𝑏B.2𝑎−2𝑏>1C.4𝑎−1𝑏≤1D.𝑎+1𝑏>3【答案】B,C【考点】不等式的基本性质【解析】【解答】因为𝑎，𝑏均为正数，且𝑎−𝑏=1，所以𝑏>0,𝑎=𝑏+1>1，A

.因为𝑎=𝑏+1≥2√𝑏，即√𝑏−2√𝑏+1≥0，(√𝑏−1)2≥0，当𝑏=1时，(√𝑏−1)2=0，故错误；B.因为𝑏>0,𝑎=𝑏+1>1，所以2𝑎−2𝑏=2𝑏+1−2𝑏=2𝑏>1，故正确；C.因为4𝑎−1𝑏=(4𝑎−1𝑏)(𝑎−𝑏)=5

−(4𝑏𝑎+𝑎𝑏)≤5−2√4𝑏𝑎⋅𝑎𝑏=3，当且仅当𝑎=2𝑏时，取等号，故正确；D.因为𝑎+1𝑏=1+𝑏+1𝑏≥1+2√𝑏⋅1𝑏=3，当且仅当𝑏=1𝑏，即𝑏=1时，取等号，故错误；故答案

为：BC【分析】根据题意，结合基本不等式的性质，对选项逐一判断即可得出答案。10.如图，在棱长为1的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，点𝑃在线段𝐵𝐶1上运动，则下列判断中正确的是（）A.三棱锥𝐴−𝐷1𝑃𝐶的体积是16B

.𝐷𝑃//平面𝐴𝐵1𝐷1C.平面𝑃𝐵1𝐷与平面𝐴𝐶𝐷1所成的二面角为60°D.异面直线𝐴1𝑃与𝐴𝐷1所成角的范围是[𝜋6,𝜋2]【答案】A,B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角，直线与平面平行的判定，与二面角

有关的立体几何综合题【解析】【解答】对于A：因为C到平面𝐴𝐷1𝑃的距离不变，为𝐶𝐵1的一半，等于√22，△𝐴𝐷1𝑃的面积不变，且𝑆△𝐴𝐷1𝑃=12×|𝐴𝐷1|×|𝐴𝐵|=12×√2×1=√22所以三棱锥𝐶−𝐴𝐷1�

�的体积不变，根据等体积法可得𝑉𝐴−𝐷1𝑃𝐶=𝑉𝐶−𝐴𝐷1𝑃=13×𝑆△𝐴𝐷1𝑃×√22=16，A符合题意；对于B：连接DB，DP，𝐴𝐵1,𝐵1𝐷1，因为正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1，所以𝐵𝐷//𝐵1𝐷1,𝐵�

�⊂平面𝐷𝐵𝑃，𝐵1𝐷1⊄平面𝐷𝐵𝑃，所以𝐵1𝐷1//平面𝐷𝐵𝑃，同理𝐴𝐷1//平面𝐷𝐵𝑃，𝐵1𝐷1∩𝐴𝐷1=𝐷1，所以平面𝐴𝐷1𝐵1∕∕平面𝐷𝐵𝑃

，又𝐷𝑃⊂平面𝐷𝐵𝑃，所以𝐷𝑃//平面𝐴𝐵1𝐷1，B符合题意.对于C：因为𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，𝐵𝐵1⊥𝐴𝐶,𝐵𝐵1∩𝐵𝐷=𝐵，所以𝐴𝐶⊥平面𝐵𝐷𝐵1，所以𝐴�

�⊥𝐷𝐵1，同理𝐴𝐷1⊥𝐷𝐵1,𝐴𝐷1∩𝐴𝐶=𝐴，所以𝐷𝐵1⊥平面𝐴𝐶𝐷1，所以平面𝑃𝐵1𝐷⊥平面𝐴𝐶𝐷1，C不符合题意；对于D：因为𝐴𝐷1//𝐵𝐶1，所以异面直线𝐴1𝑃与𝐴�

�1所成角等于𝐴1𝑃与𝐵𝐶1所成的角，因为𝐴1𝐵=𝐴1𝐶1，当P与𝐵𝐶1两端点重合时，𝐴1𝑃与𝐵𝐶1所成的角最小，且为𝜋3，当P位于𝐵𝐶1中点时，𝐴1𝑃与𝐵𝐶1所成角最大，且为𝜋2，所以异面直线𝐴1𝑃与𝐴�

�1所成角的范围是[𝜋3,𝜋2]，D不符合题意.故答案为：AB.【分析】利用等体积法，求出𝑉𝐴−𝐷1𝑃𝐶=𝑉𝐶−𝐴𝐷1𝑃=16，即可得判断出选项A正确；利用面面平行的判定定理，可证平面平面𝐴𝐷1𝐵1∕∕平面𝐷𝐵𝑃，再由𝐵

𝐷//𝐵1𝐷1,𝐵𝐷⊂平面𝐷𝐵𝑃，即可判断出选项B正确；根据面面垂直的判定定理，可证平平面𝑃𝐵1𝐷⊥平面𝐴𝐶𝐷1，可判断出选项C错误；由已知条件分析可得点P位于𝐵𝐶1两端点时，𝐴1𝑃与𝐵𝐶1所成的角最小，P位于𝐵𝐶1

中点时，𝐴1𝑃与𝐵𝐶1所成角最大，即可判断出选项D错误，由此即可得答案.11.已知函数𝑓(𝑥)=2cos(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔>0,|𝜑|<𝜋2)的图象上，对称中心与对称轴𝑥=𝜋12的最小距离为𝜋4，则下列结论正确的是

（）A.𝑓(𝑥)+𝑓(5𝜋6−𝑥)=0B.当𝑥∈[𝜋6,𝜋2]时，𝑓(𝑥)≥−√3C.若𝑔(𝑥)=2cos2𝑥，则𝑔(𝑥−𝜋6)=𝑓(𝑥)D.若sin4𝛼−cos4𝛼=−45，𝛼∈(0,𝜋2)，则𝑓(𝛼+𝜋4)的值为4−

3√35【答案】B,D【考点】二倍角的余弦公式，余弦函数的单调性，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】∵对称中心与对称轴𝑥=𝜋12的最小距离为𝜋4，∴𝑇4=𝜋4，即𝑇=𝜋.而𝑇=2𝜋𝜔,∴𝜔=2.

又因为𝑥=𝜋12为对称轴，且|𝜑|<𝜋2∴2×𝜋12+𝜑=𝜋2+𝑘𝜋，解得：𝜑=−𝜋6.所以𝑓(𝑥)=2cos(2𝑥−𝜋6)对于A：∵𝑓(5𝜋6−𝑥)=2cos(2(5𝜋6−𝑥)

−𝜋6)=2cos(3𝜋2−2𝑥)=−2sin2𝑥，而𝑓(𝑥)=2cos(2𝑥−𝜋6)，所以𝑓(𝑥)+𝑓(5𝜋6−𝑥)=2cos(2𝑥−𝜋6)−2sin2𝑥=2cos(2𝑥+𝜋6)≠0，A不符合题意；对于B：当𝑥∈[𝜋6,𝜋2

]时，(2𝑥−𝜋6)∈[𝜋6,5𝜋6]，所以𝑓(𝑥)=2cos(2𝑥−𝜋6)∈[−√3，√3]，B符合题意；对于C：当𝑔(𝑥)=2cos2𝑥时，𝑔(𝑥−𝜋6)=2cos2(𝑥−𝜋6)=2cos(2𝑥−𝜋3)≠𝑓(𝑥)，C不符合题意；对于D：当sin4𝛼

−cos4𝛼=−45，𝛼∈(0,𝜋2)时，sin4𝛼−cos4𝛼=(sin2𝛼−cos2𝛼)(sin2𝛼+cos2𝛼)=sin2𝛼−cos2𝛼=−cos2𝛼=−45∴cos2𝛼=45又

因为𝛼∈(0,𝜋2)，∴2𝛼∈(0,𝜋)，∴sin2𝛼=√1−cos2(2𝛼)=√1−(45)2=35，所以𝑓(𝛼+𝜋4)=2cos(2(𝛼+𝜋4)−𝜋6)=−2sin(2𝛼−𝜋6)=−2sin2𝛼cos�

�6+2cos2𝛼sin𝜋6=−√3×35+45=4−3√35，D符合题意.故答案为：BD.【分析】首先由图象的性质即可求出周期，再由周期公式即可求出𝜔=2，结合余弦公式的图象的性质即可得出𝜑=−

𝜋6，从而求出函数的解析式；利用诱导公式整理即可得出𝑓(5𝜋6−𝑥)=−2sin2𝑥，再由𝑓(𝑥)=2cos(2𝑥−𝜋6)整理即可判断出选项A错误；结合余弦公式的性质由整体思想即可判断出选项B正确；结合已知条件整理得出𝑔(𝑥−𝜋6)=2cos2(𝑥−�

�6)=2cos(2𝑥−𝜋3)≠𝑓(𝑥)，由此判断出选项C错误；首先由二倍角公式以及同角三角函数的基本关系式整理得出sin4𝛼−cos4𝛼=−45即cos2𝛼=45，结合同角三角函数的基本关系式计算出sin2𝛼=35，由此得出𝑓(𝛼+𝜋

4)=−2sin2𝛼cos𝜋6+2cos2𝛼sin𝜋6计算出结果进而判断出选项D正确，从而得出答案。12.函数𝑓(𝑥)=ln𝑥𝑥，若𝑥1≠𝑥2时，有𝑓(𝑥1)=𝑓(𝑥2)=𝑚，𝜋是圆周率，𝑒=2.71828…为自然对数的底

数，则下列说法正确的是（）A.0<𝑚<1𝑒B.𝑓(2)<𝑓(3)C.𝑥1𝑥2<𝑒2D.𝑎=𝑒3，𝑏=3𝑒，𝑐=𝑒𝜋，𝑑=𝜋𝑒，𝑠=3𝜋，𝑡=𝜋3，则𝑆最大【答案】A,B,D【考点】指数函数的单调性

与特殊点，幂函数的单调性、奇偶性及其应用，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【解答】由题意，函数𝑓(𝑥)=ln𝑥𝑥，可得𝑓′(𝑥)=1−ln𝑥𝑥2，当𝑥∈(0,�

�)时，𝑓′(𝑥)>0，𝑓(𝑥)单调递增；当𝑥∈(𝑒,+∞)时，𝑓′(𝑥)<0，𝑓(𝑥)单调递减，且当𝑥>1时，𝑓(𝑥)>0，当0<𝑥<1时，𝑓(𝑥)<0，当𝑥=𝑒时，函数𝑓(𝑥)取得最大值，最大值为𝑓(𝑒)=1𝑒，结合函

数𝑓(𝑥)的图象，要使得𝑥1≠𝑥2时，有𝑓(𝑥1)=𝑓(𝑥2)=𝑚，所以0<𝑚<1𝑒，所以A符合题意；对于B中，由𝑓(2)=ln22=ln√2,𝑓(3)=ln33=ln√33，因为函数𝑦=ln𝑥为定义域

上的单调递增函数，且√2<√33，所以𝑓(2)<𝑓(3)，所以B符合题意；对于C中，当𝑚→0时，要使得𝑓(𝑥1)=𝑓(𝑥2)=𝑚，不妨设1<𝑥1<𝑒<𝑥2，此时𝑥1→1,𝑥2→+∞，此时𝑥1𝑥2>�

�2，所以C不正确；对于D中，因为𝑒<3<𝜋，由指数函数的性质，可得𝑒𝜋>𝑒3,3𝜋>3𝑒,𝜋3>𝜋𝑒，由幂函数的单调性，可得𝜋𝑒>3𝑒,𝜋3>𝑒3,3𝜋>𝑒𝜋，所以3𝑒<𝜋𝑒<𝜋3,𝑒3<e𝜋<3𝜋

，所以最大的为3𝜋与𝜋3之中，最小值在𝑒3与3𝑒之中，又由𝑒<3<𝜋，可得𝑓(𝜋)<𝑓(3)<𝑓(𝑒)，即ln𝜋𝜋<ln33<ln𝑒𝑒，由ln𝜋𝜋<ln33，可得3ln𝜋<𝜋ln3，即ln𝜋3<ln3𝜋，所以𝜋3<3𝜋，同理可得3𝑒<𝑒3

，综上可得，这6个数中最大的数为3𝜋，最小的为3𝑒，所以D符合题意.故答案为：ABD【分析】利用导数求得函数f𝑓(𝑥)=ln𝑥𝑥单调性与最值及函数的图象，结合函数f(x)最值，可得判定A正确；根据函数y=1nx单调的性，可判定B正确；根据图象的变换趋势，可得判定C不正确

；根据指数函数与幂函数的单调性，可判定D正确；由此得出答案。三、填空题（共4题；共20分）13.在(𝑥−2𝑥2)5的二项展开式中，𝑥2的系数是________．【答案】-10【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】(

𝑥−2𝑥2)5的展开式的通项公式为：𝑇𝑟+1=𝐶5𝑟𝑥5−𝑟(−2𝑥2)𝑟=𝐶5𝑟(−2)𝑟𝑥5−3𝑟，令5−3𝑟=2，解得𝑟=1，所以𝑥2的系数是𝐶51(−2)1=−

10.故答案为：-10.【分析】根据题意由二项式的通项公式结合题意令5−3𝑟=2求出r的值，再把数值代入到通项公式计算出结果即可。14.请写出满足条件“𝑓(𝑥)≤𝑓(1)对任意的𝑥∈[0,1]恒成立，且𝑓(𝑥)在[0,1

]上不是．．增函数”的一个函数：________．【答案】𝑓(𝑥)=sin5π2𝑥（答案不唯一）【考点】函数的概念及其构成要素，函数的值域【解析】【解答】答案不唯一，如：𝑓(𝑥)=(𝑥−14)2，𝑓(𝑥)=sin5π2𝑥等．【分析】

由题意f(x)的最大值f(1)且f(x)在[0，1]上不是增函数，结合基本初等函数的性质可求出.15.已知抛物线𝐶:𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)，直线𝑙过抛物线𝐶的焦点与抛物线交于𝐴，𝐵两点，以AB为直径的圆与抛物线的准线的公共点是𝑀

(−1,−1)，则直线𝑙的斜率𝑘=________．【答案】-2【考点】直线的斜率，抛物线的简单性质，圆与圆锥曲线的综合【解析】【解答】设𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)，因为−𝑝2=−1⇒𝑝=2，以𝐴𝐵为直径的圆与抛物线的准线的公共点是𝑀(−1,−1)，所以

𝑦1+𝑦22=−1，因为{𝑦12=2𝑝𝑥1𝑦22=2𝑝𝑥2⇒(𝑦1+𝑦2)(𝑦1−𝑦2)=2𝑝(𝑥1−𝑥2)，所以𝑦1−𝑦2𝑥1−𝑥2=2𝑝𝑦1+𝑦2=4−2=−2，故答案为：-2.【分析】根据题意设

出点的坐标，由已知条件求出p的值由此得出抛物线的方程，再题意得出𝑦1+𝑦22=−1，并把点的坐标代入抛物线的方程由点差法解中点的坐标公式，即可求出直线的斜率。16.无人侦察机在现代战争中扮演着非常重要的角色，我国最新款的无人侦察机名叫“无侦-8”

．无侦-8（如图1所示）是一款以侦察为主的无人机，它配备了2台火箭发动机，动力强劲，据报道它的最大飞行速度超过3马赫，比大多数防空导弹都要快如图2所示，已知空间中同时出现了𝐴，𝐵，𝐶，𝐷四个目标（目标和无人机的大小忽略不计），其中𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐵𝐷=6𝑎km，𝐶𝐷=

3√3𝑎km，𝐵𝐶=3𝑎km，且目标𝐴，𝐵，𝐷所在平面与目标𝐵，𝐶，𝐷所在平面满足二面角𝐴−𝐵𝐷−𝐶的大小是2𝜋3，若无人机可以同时观察到这四个目标，则其最小侦测半径为________𝑎km．【答案】√13【考点】球面距离及相关计算，球内接多面体【解析】【解

答】设𝑂三棱锥𝐴−𝐵𝐶𝐷的外接球的球心，取𝐵𝐷的中点𝑀，作𝑂𝑀⊥𝐵𝐶于𝑀，取△𝐴𝐵𝐷的外心𝑂1，连结𝑂𝑂1，𝑂𝐵，𝐴𝑀，因为二面角𝐴−𝐵𝐷−𝐶的大小是2𝜋3，所以∠𝑂1𝑀𝑂=𝜋

6，𝑂1𝑀=√32×𝐵𝐷×13=√3𝑎，𝑂1𝐵=√32×𝐵𝐷×23=2√3𝑎，𝑂𝑂1𝑂1𝑀=tan𝜋6=√3⇒𝑂𝑂1=𝑎，在△𝑂𝐵𝑂1中，𝑂𝐵2=𝑂1𝐵2+𝑂𝑂12=(2

√3𝑎)2+𝑎2=13𝑎2，∴𝑂𝐵=√13𝑎，其最小侦测半径为𝑂𝐵=√13𝑎，故答案为：√13.【分析】根据题意设𝑂三棱锥𝐴−𝐵𝐶𝐷的外接球的球心，作出辅助线由中点的性质即可得出线线垂直从而得出面角𝐴−𝐵𝐷−𝐶的大小，即

∠𝑂1𝑀𝑂=𝜋6结合三角形中的几何计算关系求出𝑂𝑂1𝑂1𝑀=tan𝜋6=√3⇒𝑂𝑂1=𝑎，再由勾股定理计算出𝑂𝐵=√13𝑎，从而得出答案。四、解答题（共6题；共70分）17.设𝑎，𝑏，𝑐分别是△𝐴𝐵𝐶中角𝐴，𝐵，

𝐶的对边，𝑎cos𝐵+𝑏cos𝐴+2𝑐cos𝐶=0．（1）求𝐶；（2）若𝑐=3，求△𝐴𝐵𝐶面积𝑆的最大值．【答案】（1）解：∵𝑎cos𝐵+𝑏cos𝐴+2𝑐cos𝐶=

0，由正弦定理得：∴sin𝐴cos𝐵+sin𝐵cos𝐴+2sin𝐶cos𝐶=0，∴sin𝐶+2sin𝐶cos𝐶=0∵0<𝐶<𝜋，∴sin𝐶≠0，∴cos𝐶=−12．∵0<𝐶<𝜋，∴𝐶=2𝜋3．（2）∵𝐶=2�

�3，∴𝑐2=𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏cos𝐶=𝑎2+𝑏2+𝑎𝑏，即𝑎2+𝑏2+𝑎𝑏=9．∵𝑎2+𝑏2≥2𝑎𝑏，∴𝑎2+𝑏2+𝑎𝑏≥3𝑎𝑏，∴3𝑎𝑏≤9，𝑎𝑏≤3．∴�

�=12𝑎𝑏sin𝐶=√34𝑎𝑏≤3√34，当且仅当𝑎=𝑏=√3时取等号．∴△𝐴𝐵𝐶面积𝑆的最大值为34√3．【考点】基本不等式在最值问题中的应用，正弦定理，余弦定理【解析】【分析】(1)根据题意由正弦

定理结合两角和的正弦公式整理化简得到sin𝐶+2sin𝐶cos𝐶=0，从而得出cos𝐶=−12因此求出角C的大小。(2)由(1)的结论结合余弦定理代入计算出𝑎2+𝑏2+𝑎𝑏=9，再由基本不等式

即可求出𝑎𝑏≤3，结合三角形的面积公式就求出面积的最大值。18.已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛满足𝑆𝑛+1𝑛+1−𝑆𝑛𝑛=32，𝑎1=1.（1）求数列{𝑎𝑛}的通项公式；（2）设𝑏𝑛=𝑛𝑎𝑛𝑆𝑛+𝑛，数列{𝑏𝑛}的前𝑛项积为�

�𝑛，若对任意的𝑛∈𝑁∗，𝑡≤4𝑇𝑛恒成立，求实数𝑡的最大值.【答案】（1）因为𝑆𝑛+1𝑛+1−𝑆𝑛𝑛=32及𝑎1=1，所以{𝑆𝑛𝑛}是首项为1，公差为32的等差数列，所以𝑆𝑛𝑛=

1+32(𝑛−1)=3𝑛−12，所以𝑆𝑛=3𝑛2−𝑛2.当𝑛≥2时，𝑎𝑛=𝑆𝑛−𝑆𝑛−1=3𝑛2−𝑛2−3(𝑛−1)2−(𝑛−1)2=3𝑛−2，𝑎1=1符合上式，所以数列{𝑎𝑛}的通项公

式为𝑎𝑛=3𝑛−2.（2）由𝑎𝑛=3𝑛−2，𝑆𝑛=3𝑛2−𝑛2，可得𝑏𝑛=𝑛𝑎𝑛𝑆𝑛+𝑛=2(3𝑛−2)3𝑛+1，所以𝑇𝑛=𝑏1⋅𝑏2⋯⋅𝑏𝑛=2𝑛⋅14⋅47⋅710⋯⋅3𝑛−23𝑛+1=2𝑛3�

�+1.因为𝑇𝑛+1−𝑇𝑛=2𝑛+13(𝑛+1)+1−2𝑛3𝑛+1=2𝑛(3𝑛−2)(3𝑛+1)(3𝑛+4)>0，所以𝑇𝑛+1>𝑇𝑛，所以数列{𝑇𝑛}是递增数列.因为𝑡≤4𝑇𝑛（𝑛∈𝑁∗）恒成立，即𝑡4≤𝑇𝑛（𝑛∈𝑁∗）恒成

立，所以𝑡4≤𝑇1=12，则𝑡≤2，所以实数𝑡的最大值是2.【考点】数列的函数特性，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，数列的求和【解析】【分析】(1)根据题意整理结合题意即可得出数列{𝑆𝑛𝑛}是等差数列，结合等差数列

的通项公式整理就求出𝑆𝑛=3𝑛2−𝑛2，利用数列前n项和公式和通项公式之间的关系即可求出数列{𝑎𝑛}的通项公式。(2)由(1)的结论整理即可得出数列{𝑏𝑛}的通项公式，再由已知条件即可得出𝑇𝑛=𝑏1⋅𝑏2⋯⋅𝑏𝑛=2𝑛3𝑛+1，结

合单调性的定义即可得出𝑇𝑛+1−𝑇𝑛=2𝑛+13(𝑛+1)+1−2𝑛3𝑛+1=2𝑛(3𝑛−2)(3𝑛+1)(3𝑛+4)>0从而得到数列{𝑇𝑛}是递增数列，由𝑡≤4𝑇𝑛恒成立，即可得出𝑡4≤𝑇𝑛恒成立，由此得到𝑡4≤

𝑇1=12进而得出t的取值范围，以及t的最大值。19.已知Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=𝜋2，𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=1，𝐸，𝐹为𝐴𝐵，𝐴𝐶上的动点，且𝐸𝐹//𝐵𝐶，将三角形𝐴𝐸𝐹沿𝐸𝐹折起至如图所示，使平面𝐴

𝐵𝐶⊥平面𝐵𝐶𝐸𝐹．（1）证明：平面𝐴𝐵𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐸；（2）求平面𝐴𝐹𝐶和平面𝐴𝐵𝐸所成的锐二面角的余弦值的取值范围．【答案】（1）由题意知Rt△𝐴𝐵𝐶中，满足𝐸𝐹//𝐵𝐶，所以𝐸𝐹⊥�

�𝐸，𝐸𝐹⊥𝐵𝐸，又由𝐴𝐸⊂平面𝐴𝐵𝐸，𝐵𝐸⊂平面𝐴𝐵𝐸，𝐴𝐸∩𝐵𝐸=𝐸，所以𝐸𝐹⊥平面𝐴𝐵𝐸，因为𝐵𝐶//𝐸𝐹，所以𝐵𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐸．又因为𝐵𝐶⊂平面𝐴𝐵𝐶，所以平面𝐴𝐵𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐸．（2）设𝐴�

�=𝑥，则𝐵𝐸=4−𝑥，𝐴𝐵=√𝑥2−(4−𝑥)2=√8𝑥−16，且𝑥∈(2,4)．由（1）知𝐵𝐴，𝐵𝐶，𝐵𝐸两两互相垂直，分别以𝐵𝐸，𝐵𝐶，𝐵𝐴为𝑥轴，𝑦轴，𝑧轴建立直角坐标系，则𝐵(0,0,0)，𝐶(0,1,0)，

𝐴(0,0,√8𝑥−16)，𝐸(4−𝑥,0,0)，𝐹(4−𝑥,𝑥4,0)，则𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(4−𝑥,𝑥4,−√8𝑥−16)，𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(4−𝑥,𝑥4−1,0)．设平面𝐴𝐶𝐹的法向量为𝑚⃗⃗=(𝑎,𝑏,𝑐)，则{𝑚⃯⋅�

�𝐹⃯=0𝑚⃯⋅𝐶𝐹⃯=0，解得{𝑏=4𝑎,𝑐=2√2𝑥−4𝑎,取平面𝐴𝐶𝐹的一个法向量𝑚⃗⃗=(1,4,2√2𝑥−4)，又平面𝐴𝐵𝐸的法向量为𝑛⃗=(0,1,0)，所以cos<𝑚⃗⃗,𝑛⃗>=4√17+2𝑥−2，因为𝑥

−2∈(0,2)，所以cos<𝑚⃗⃗,𝑛⃗>∈(0,2√23)．所以平面𝐴𝐹𝐶和平面𝐴𝐵𝐸所成的锐二面角的余弦值的取值范围是(0,2√23)．【考点】直线与平面垂直的性质，平面与平面垂直的判定，空间向量的数量积运算，用空间向量求平

面间的夹角【解析】【分析】(1)由EF⊥AE，EF⊥BE，得EF⊥平面ABE，由BC//EF，得BC⊥平面ABE，由此能证明平面ABC平面ABE.(2)根据题意设AE=x，则BE=4-C，𝐴𝐵=√𝑥2−(4−𝑥)2=√8𝑥−16且

𝑥∈(2,4).由BA，BC，BE两两互相垂直，分别以BE，BC，BA为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，利用向量法能求出平面AFC和平面ABE所成的锐二面角的余弦值的取值范围.20.随着我国互联网的不断发展，自媒体

业飞速发展起来，抖音、快手、微信视频号等等视频自媒体APP，几乎是全民参与．某中学社会调研社团研究抖音在生活中的普及程度，走向街头巷尾、公园，各行各业办公室，对市民进行调研，发现约有25的人发过抖音小视

频．为进一步研究，从这些被采访的人中随机抽取3人进行调查，假设每个人被选到的可能性相等．（1）记𝜉表示发过抖音视频的人数，求𝜉的分布列；（2）随着研究人群范围的扩大，为提高效率，研究组在对某些行业人群集中调研

时，先随机抽取一人，如果他发过抖音小视频，就不再对该群体中其他人进行调查，如果没有发过抖音小视频，则继续随机抽取，直到抽到一名发过抖音小视频的人为止，并且规定抽样的次数不超过𝑛(𝑛∈𝑁∗)次，（其中𝑛

小于当次调查的总人数），在抽样结束时，抽到的没发过抖音视频的人数为𝜂，求𝜂的数学期望．【答案】（1）由题意知𝜉−𝐵(3,25)，故𝜉的所有可能为0，1，2，3．𝑃(𝜉=0)=C30×(35)3=27125，𝑃(𝜉=1)=C31×25×(35)2=54125，𝑃(𝜉=2)=C3

2×35×(25)2=36125，𝑃(𝜉=3)−C33×(25)3=8125，𝜉的分布列为𝜉0123𝑃2712554125361258125（2）依题意，𝜂的所有可能的值是0，1，2，…，𝑛．当0≤𝑘≤𝑛−1时，𝑃(𝜂=𝑘)=25(35)𝑘；当𝑘=𝑛时，𝑃

(𝜂=𝑘)=(35)𝑛，∴𝐸(𝜂)=0⋅25+1⋅25(35)+2⋅25(35)2+⋅⋅⋅+(𝑛−1)⋅25(35)𝑛−1+𝑛⋅(35)𝑛，①∴35𝐸(𝜂)=1⋅25(35)2+2⋅25(35)3+⋅⋅⋅+(𝑛−1)⋅25(35

)𝑛+𝑛⋅(35)𝑛+1，②由①-②，得25𝐸(𝜂)=25(35)+25⋅(35)2+⋅⋅⋅+25⋅(35)𝑛−1+[𝑛−2(𝑛−1)5](35)𝑛−𝑛(35)𝑛+1，∴25𝐸(𝜂)=35−(35)𝑛+25(35)𝑛=35[1−(35)𝑛]，∴𝐸(𝜂)=32[

1−(35)𝑛]．【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】(1)由题意可知𝜉−𝐵(3,25)，求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列即可；(2)由已知条件求出随机变量

𝜂的可能取值，然后求出其对应的概率，然后利用错位相减法求解出𝐸(𝜂)=32[1−(35)𝑛]的值即可.21.已知抛物线𝐶:𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点为点𝐹，𝑃为𝐶上一点，若点𝑃到原点的距离与点𝑃到点𝐹的距离都是32．（1）求𝐶的标准方

程；（2）动点𝑀在抛物线𝐶上，且在直线𝑥=2的右侧，过点𝑀作椭圆𝐸:𝑥24+𝑦23=1的两条切线分别交直线𝑥=−2于𝐴，𝐵两点．当|𝐴𝐵|=10时，求点𝑀的坐标．【答案】（1）解：设𝐴(𝑥0,𝑦0)，因此有𝑦0⬚2=2𝑝𝑥0，

抛物线的准线为：𝑥=−𝑝2则{𝑥0−(−𝑝2)=32𝑥02+2𝑝𝑥0=94，解得𝑝=2（负值舍去），所以𝐶的标准方程为𝑦2=4𝑥；（2）不妨设𝑘𝑀𝐴=𝑘1，𝑘𝑀𝐵=𝑘2，𝐴(

𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，𝑀(𝑡2,2𝑡)(𝑡>√2)．设过点𝑀作椭圆的切线方程为𝑦=𝑘(𝑥−𝑡2)+2𝑡，①由{𝑦=𝑘(𝑥−𝑡2)+2𝑡3𝑥2+4𝑦2=12，得(3+4𝑘2)𝑥2+8𝑘(2𝑡−𝑡2𝑘)𝑥+4(2𝑡−𝑡2�

�)2−12=0，由𝛥=0得(𝑡4−4)𝑘2−4𝑡3𝑘+4𝑡2−3=0，所以𝑘1+𝑘2=4𝑡3𝑡4−4，𝑘1𝑘2=4𝑡2−3𝑡4−4，在①中令𝑥=−2得，𝑦=−(𝑡2+2)𝑘+2𝑡，∴|𝐴𝐵

|=|𝑦1−𝑦2|=(𝑡2+2)|𝑘1−𝑘2|=(𝑡2+2)2√3𝑡4+16𝑡2−12|𝑡4−4|=10，解得𝑡2=4，点𝑀的坐标为(4,±4)．【考点】抛物线的定义，抛物线的标准方程，抛物线的简单

性质，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)根据题意设出点的坐标，结合题意即可得出关于点A的坐标的方程组，求解出p的柱从而得出抛物线的方程。(2)首先设出直线的斜率以及点的坐标，进而得出过点𝑀作椭圆的切线方程，再联立直线与椭圆的方程消元后得到关于x的方程，由韦达定理即

可得出𝑘1+𝑘2=4𝑡3𝑡4−4，𝑘1𝑘2=4𝑡2−3𝑡4−4，再由特殊值代入法得出𝑦=−(𝑡2+2)𝑘+2𝑡结合弦长公式整理即可得出|𝐴𝐵|=|𝑦1−𝑦2|=(𝑡2+2)2√3𝑡4+16𝑡2−1

2|𝑡4−4|=10，由此求解出t的值以及点M的坐标。22.已知函数f（x）＝2cos2x+ax2．（1）当a＝1时，求f（x）的导函数𝑓′(𝑥)在[−𝜋2，𝜋2]上的零点个数；（2）若关于x的不等式2cos（2sinx）+a2x2≤

af（x）在（﹣∞，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）易知𝑓′(𝑥)＝2（x﹣sin2x），显然𝑓′(0)＝0，所以x＝0是f′（x）的一个零点，令g（x）＝x﹣sin2x（0≤x≤𝜋2），则𝑔

′(𝑥)＝1﹣2cos2x＝0时，x=𝜋6，所以g（x）在（0，𝜋6）单调递减，在（𝜋6，𝜋2）单调递增，则g（x）的最小值为g（𝜋6）=𝜋6−√32<0，又g（0）＝0，且g（𝜋2）=𝜋2>0，所以g（x）在（0，𝜋2）上存在唯一零点x0∈（𝜋6，𝜋2），则𝑓

′(𝑥)＝2g（x）在（0，𝜋2）上亦存在唯一零点，因为𝑓′(𝑥)是奇函数，所以𝑓′(𝑥)在（−𝜋2，0）上也存在唯一零点﹣x0，综上所述，当a＝1时，f（x）的导函数𝑓′(𝑥)在[−𝜋2，𝜋2]上的零点个数为3；（2）不等式2cos

（2sinx）+a2x2≤af（x）恒成立，即不等式cos（2sinx）≤acos2x恒成立，令sinx＝t∈[﹣1，1]，则等价于不等式cos2t≤a（1﹣t2）…（1）恒成立，①若t2＝1，即t＝±1时，不等式（1）显然成立，此时a∈R，②若﹣1＜t＜1时，不等式（1）等价于a

≥𝑐𝑜𝑠2𝑡(1−𝑡2)⋯（2）设h（t）=𝑐𝑜𝑠2𝑡1−𝑡2（﹣1＜t＜1），当0≤t＜1时，ℎ′(𝑡)=2[𝑡𝑐𝑜𝑠2𝑡−(1−𝑡2)𝑠𝑖𝑛2𝑡](1−𝑡2)2，令φ（t）＝tcos2t﹣（1﹣t2）sin2t（0≤t＜1，则𝜑′(𝑡)

＝（2t2﹣1）cos2t（0≤t＜1），已知𝜑′(√22)＝0，𝜑′(𝜋4)＝0，且√22<𝜋4，则φ（t）在（0，√22），（𝜋4，1）上单调递减，在（√22，𝜋4）上单调地增，又φ（0）＝0，φ（𝜋4）＝𝜋216﹣1＜0，所以φ（t）＜0在（0，

1）上恒成立，所以h（t）在[0，1）上单调递减，则h（t）≤h（0）＝1，显然函数h（t）为偶函数，故函数h（t）在[﹣1，1]上的最大值为1，因此a≥1，综上所述，满足题意的实数a的取值范围为[1，+∞）．【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，不等式的综

合【解析】【分析】(1)根据题意首先对函数f(x)求导，从而得出𝑓′(0)=0由此得出x＝0是f′（x）的一个零点，构造函数g（x）＝x﹣sin2x（0≤x≤𝜋2）并对其求导结合导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，由函数的

单调性即可求出函数g(x)的最值即g（𝜋2）=𝜋2>0，从而得出g（x）在（0，𝜋2）上存在唯一零点x0∈（𝜋6，𝜋2），则𝑓′(𝑥)＝2g（x）在（0，𝜋2）上亦存在唯一零点，再由函数的奇偶性即可得

出答案。(2)利用已知条件即可得出等式2cos（2sinx）+a2x2≤af（x）恒成立，即不等式cos（2sinx）≤acos2x恒成立，令sinx＝t∈[﹣1，1]，则等价于不等式cos2t≤a（1﹣t2）…（1）恒成立，

分情况讨论：①若t2＝1，即t＝±1时，不等式（1）显然成立，此时a∈R，②若﹣1＜t＜1时，不等式（1）等价于a≥𝑐𝑜𝑠2𝑡(1−𝑡2)⋯（2）构造函数h（t）=𝑐𝑜𝑠2𝑡1−𝑡2（﹣1＜t＜1）对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出h（t）在

[﹣1，1]上的最大值为1，由此即可得出a取值范围。获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com