【文档说明】2023年新高一数学暑假精品课程（人教A版2019） 第四讲 二次函数（人教版A2019） Word版含解析.docx，共(23)页，1.710 MB，由小赞的店铺上传

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第四讲：二次函数【教学目标】1、掌握一次函数，反比例函数的概念及性质；2、掌握二次函数的概念及性质；3、掌握二次函数中涉及到的几何及相关问题.【基础知识】一、一次函数形如(0)ykxbk=+，当0k时

，函数图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当0k时，函数图象经过二、四象限，y随x的增大而减小；当0b时，函数图象经过一、二象限；当0b时，函数图象经过三、四象限.二、反比例函数形如(0)kykx=，当

0k时，函数图象经过一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；当0k时，函数图象经过二、四象限，在那个象限内，y随x的增大而增大；三、二次函数形如2(0)yaxbxca=++，变形得224()24bacbyaxaa−=++，当0a时，则函数图象开口向上，当0a时

，则函数图象开口向下；对称轴2bxa=−，顶点坐标24(,)24bacbaa−−；当0a时，则函数图象开口向上，当2bxa−时，y随x得增大而减小；当2bxa−时，y随x得增大而增大；当0a时，则函数图象开口向下，当2bxa−时，y随x得增大而增大；当2b

xa−时，y随x得增大而减小.【题型目录】考点一：一次函数考点二：反比例函数考点三：二次函数的概念及简单性质考点四：二次函数的几何和相关问题【考点剖析】考点一：一次函数形如(0)ykxbk=+，当0k时，函数图象经过一、

三象限，y随x的增大而增大；当0k时，函数图象经过二、四象限，y随x的增大而减小；当0b时，函数图象经过一、二象限；当0b时，函数图象经过三、四象限.例1．关于一次函数21yx=−+，下列说法正确的是（）A．它的图象过点()1,2-B．它的图象与直线2

yx=平行C．y随x的增大而增大D．当0x时，总有1y【答案】D【分析】根据一次函数的性质，逐项判断即可．【详解】解：当1x=时，2111y=−+=−，它的图象不过点()1,2-，故A错误；一次函数21yx=−+与直线2yx=的k不相等，它的图象与直线2yx=不平

行，故B错误；一次函数21yx=−+的20k=−，y随x的增大而减小，故C错误；当0x=时，2011y=−+=，y随x的增大而减小，当0x时，总有1y，故D正确，故选：D．变式训练1．在平面直角坐标系中，把一次函数

5yx=向下平移5个单位后，得到的新的一次函数的表达式是（）A．55yx=+B．55yx=−C．55yx=−+D．55yx=−−【答案】B【分析】根据一次函数平移的规律：上加下减，即可解答．【详解】解：把一次函数5yx=向下平移5

个单位后，可得新的一次函数的表达式是55yx=−，故选：B．变式训练2．如果一次函数()23ymxm=−+−的图象经过第二、三、四象限，那么m的取值范围是（）A．3mB．2mC．23mD．不同于上述答案【答案】

C【分析】根据一次函数的性质可得20m−且30m−，即可求解．【详解】解：∵一次函数()23ymxm=−+−的图象经过第二、三、四象限，∴20m−且30m−，解得：23m，故选：C．变式训练3．对于

函数23yx=−+的图象，下列结论错误的是（）A．图象必经过点(1,1)B．图象经过第一、二、四象限C．与x轴的交点为()0,3D．若两点()11,Ay，()23,By在该函数图象上，则12yy【答案】C【分析】求出当1x=时y的值，求出当0y=时，x的值即可判断A、C；根据一次函数图象与系数的

关系即可判断B、D．【详解】解：A、当1x=时，2131y=−+=，一次函数23yx=−+的图象必过点()11，，故A不符合题意；B、20k=−，30=b，一次函数23yx=−+的图象经过第一、二、四象限，故B不符合题意；C、当0y=时，即230x−+=，解得：32x=，一次函数

23yx=−+的图象与x轴的交点为302，，故C符合题意；D、20k=−，y随x的增大而减小，又点()11Ay，，()23By，在一次函数23yx=−+的图象上，且13，12yy，故D不符合题意．故选：C．考点二

：反比例函数形如(0)kykx=，当0k时，函数图象经过一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；当0k时，函数图象经过二、四象限，在那个象限内，y随x的增大而增大；当0a时，则函数图象开

口向上，当2bxa−时，y随x得增大而减小；当2bxa−时，y随x得增大而增大；当0a时，则函数图象开口向下，当2bxa−时，y随x得增大而增大；当2bxa−时，y随x得增大而减小.例2．对于反比

例函数6yx=，下列结论错误的是（）A．函数图象分布在第一、三象限B．函数图象经过点(3,2)−−C．若点(,)ab在其图象上，那么点()ab−−，和点()ba，也一定在其图象上D．若点()11Axy，，()22Bxy，都在函数图象上，且12xx，则12yy【答案】D【分析】根据反比例

函数的性质得出函数增减性以及所在象限和经过的点的特点分别分析得出即可．【详解】A、∵60k=，∴图象在第一、三象限，故A选项正确，不符合题意；B、∵反比例函数6yx=，∴6xy=，故图象经过点()32−−，，故B选项正确，不符合题意；C、∵点()ab，在6yx=图象上，∴()()6ababba

==−−=，故C选项正确，不符合题意；D、∵不能确定点()11Axy，，()22Bxy，是否在同一象限内，∴不能确定12yy、的大小，故原选项错误，符合题意．故选：D．变式训练1．在每一象限内的双曲线5myx−=上，y

都随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．5mB．5mC．5mD．5m【答案】A【分析】根据在每一象限内的双曲线5myx−=上，y都随x的增大而增大，可得50m−，从而即可得到答案．【详解】解：在每一象

限内的双曲线5myx−=上，y都随x的增大而增大，50m−，5m，故选：A．变式训练2．已知点()2,a−；()2,b；()3,c在函数(0)kykx=的图像上，则下列判断正确的是（）A．abcB．b

acC．acbD．cba【答案】C【分析】根据反比例函数的性质，每个象限内，y随x的增大而减小，且第一象限同正，第三象限同负，计算选择即可．【详解】∵点()2,a−；()2,b；()3,c在函数(0)kykx=的图像上，∴每个象限内，y随x的增大而减小，且第一象限同正，第三

象限同负，∴0,0a＜＜c＜b，∴＜＜acb，故选C．变式训练3．如图，过x轴正半轴上的任意一点P作y轴的平行线交反比例函数()20=yxx和()40yxx=−的图象于A，B两点，C是y轴上任意一点，则ABC的面积为（）A．2B．3C．6D．

12【答案】B【分析】设点P的坐标为()0a，，由此可得出点A、B的横坐标都为a，再将xa=分别代入反比例函数解析式，得出A、B的纵坐标，继而得出AB的值，从而得出三角形的面积．【详解】解：设()()00Paa，，则点A、B的横坐标都为a，将xa

=代入()20=yxx得出，2ya=，故2Aaa，；将xa=代入()40yxx=−得出，4ya=−，故4Baa−，；∴246ABaaa=−−=，∴ABC的面积为：116322OPABaa==．故选：B．考点三：二次函

数的概念及简单性质形如2(0)yaxbxca=++，变形得224()24bacbyaxaa−=++，当0a时，则函数图象开口向上，当0a时，则函数图象开口向下；对称轴2bxa=−，顶点坐标24(,)24bacbaa−−；例3．对于二次函数223yxx=−+的图

象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．顶点坐标是(1,2)C．对称轴是直线=1x−D．当=1x−时，y有最大值是2【答案】B【分析】将二次函数的一般式转化为二次函数的顶点式，再根据二次函数的性质即可解答．【详解】解：∵2223(1)2yxxx=−+=−+，∴由10a=知抛物线开

口向上，故A选项错误；∵顶点坐标是(1,2)，故B选项正确；∵对称轴是直线1x=，故C选项错误；∵当1x=时，y取得最小值2，无最大值，故D选项错误；故选：B．变式训练1．把抛物线22yx=−向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（）A．22(1)2yx=−++B．22(

2)1yx=−−+C．22(2)1=−++yxD．22(1)2yx=−−+【答案】D【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”即可解答．【详解】解：∵抛物线22yx=−向上平移2个单位，再向右平移1个单位，∴平移之后的抛物线的解

析式为22(1)2yx=−−+，故选D；变式训练2．对于二次函数()232yx=−−−，下列说法正确的是（）A．图像的开口向上B．图像的对称轴是直线3x=C．图像的顶点是()3,2−−D．当3x时，y随x的增大而增大【答案】B

【分析】根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：∵()232yx=−−−，∴10a=−，开口向下，顶点()32−，，对称轴是直线3x=，当3x时，y随x的增大而减小．故选项A、C、D错误，选项B正确；故选：B．变式训练3．已知抛物线()20yaxbxca=++的对称轴为直线2x=，与x轴的一

个交点坐标()40，，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②<0abc−+；③40abc++=；④抛物线的顶点坐标为()2b，；⑤当2x时，y随x增大而增大．其中结论正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①③④⑤【答案】C

【分析】根据轴对称的性质求得抛物线与x轴的另一个交点坐标为()00，，可判断①正确；当=1x−时，y值为正，可判断②错误；根据对称轴为直线2x=，且抛物线过原点，求得4ba=−，0c=，可判断③正确；求出顶点坐标，判断④正确；利用二次函数的增减性，可判断⑤错误．【详

解】解：∵抛物线()20yaxbxca=++的对称轴为直线2x=，与x轴的一个交点坐标()40，，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为()00，，结论①正确；∵抛物线的对称轴为直线2x=，∴当=1x−和5x=时，y值相同，且均为正，∴0abc−+，结论②错误；∵抛物线

的对称轴为直线2x=，且抛物线过原点，∴22ba−=，0c=，∴4ba=−，0c=，∴40abc++=，结论③正确；当2x=时，()2424yaxbxcabcabcbb=++=++=+++=，∴抛物线的

顶点坐标为()2b，，结论④正确；观察函数图象可知：当2x时，y随x增大而减小，结论⑤错误．综上所述，正确的结论有：①③④．故选：C．考点四：二次函数的几何和相关问题图形为三角形时，等腰，等边，直角三角形，重点把握边之间的关系；三角形面积的最值中，确定底或高最值即可.图形为四边形时，

掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质.例4．如图，已知二次函数23yaxbx=++的图象交x轴于点()0A1,，B()3,0，交y轴于点C．(1)求这个二次函数的表达式；(2)求点C的坐标和直线BC的表达式；(3)点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求BCP面积的最大值．【答案】(1)2

43yxx=−+；(2)(0,3)C，3yx=−+；(3)278【分析】（1）将()0A1，，()30B，代入函数解析式23yaxbx=++，求出a、b，即可求解；（2）求出点C的坐标，再用待定系数法直

线BC解析式；（3）设点P坐标为(t，t2-4t+3)，过点P作//PEy轴，表示出PE长，得到△BCP面积与t函数关系式，根据函数性质即可求解．【详解】（1）解：将()0A1，，()30B，代入函数解析式，得309330abab++++＝＝，解得14

ab−＝＝，∴这个二次函数的表达式是243yxx=−+（2）当0x=时，3y=，即点()03C，，设BC的表达式为ykxm=+，将点()30B，点()03C，代入函数解析式，得303kmm+==，解得13

km=−=，∴直线BC的解析是为3yx=−+，（3）设点P坐标为2()43ttt−+，，过点P作PEy轴，交直线BC于点(3)Ett−+，，223(43)3PEttttt=−+−−+=−+，∴2213327(33()2228)BCPBPECPESSSttt=

+=−+=−−+∵302−，∴当32t=时，278BCPS=最大．变式训练1．已知抛物线212yxbxc=−++经过点()1,0A，30,2B，顶点为C．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)求以A、B、C为顶点的ABC的面积．【答案】(1)21322yxx=−−+(2)12

【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）过点C作CDx⊥轴于点D，先求出点C的坐标，再根据ABCABOADCOBCDSSSS=+−梯形，即可求解．【详解】（1）解：把点()1,0A，30,2B代入212yxbxc=−++得：1

0232bcc−++==，解得：132bc=−=，∴抛物线的解析式为21322yxx=−−+；（2）解：如图，过点C作CDx⊥轴于点D，∵()2213112222yxxx=−−+

=−++，∴点C的坐标为()1,2-，∴1,2ODCD==，∵()1,0A，30,2B，∴31,2OAOB==，∴ABCABOADCOBCDSSSS=+−梯形()1313121111222222=++−+

12=．变式训练2．如图，已知抛物线223yxx=−++交x轴于点A，B（点A在点B的右侧），交y轴于点E，其顶点为C，连接AC．(1)求点A，B，E的坐标；(2)求点C坐标；(3)若点F为抛物线上一点，且90CAF=∠，求点F坐标．【答案】(1)()3,0A，()1,0B−，()0

,3E(2)顶点C的坐标为()1,4(3)点F的坐标为39,24−−【分析】（1）根据坐标轴上的点的坐标的特征，分别令0x=和0y=即可求出点A，B，E的坐标；（2）将抛物线的一般式化为顶点

式，即可得到顶点C的坐标；（3）过点C作CHx⊥轴于H，过点F作FGx⊥轴于G，设()2,23Fmmm−++，可得223FGmm=−−，3AGm=−，再证明∽FAGACH，可得FGAGAHCH=，即422AGCHFGAH===，变形得2AGFG=，即()23223mmm−=

−−，解得m的值，即可写出点F的坐标．【详解】（1）解：∵抛物线223yxx=−++，令0x=，则3y=，∴()0,3E，令0y=，则2023xx=−++，解得，3x=或=1x−，∴()3,0A，()1,0B

−．（2）解：∵抛物线()222314yxxx=−++=−−+，∴顶点C的坐标为()1,4．（3）解：过点C作CHx⊥轴于H，过点F作FGx⊥轴于G，设()2,23Fmmm−++，∵()3,0A，()1,4C，∴4CH=，312AH=−=，223FGmm=−−，3AG

m=−，∵CHx⊥轴，FGx⊥轴，90CAF=∠，∴90AHCFGA==，90CAHFAGCAHACH+=+=，∴FAGACH=，∴∽FAGACH，∴FGAGAHCH=，∴422AGCHFGAH===，∴2AGFG=，∴

()23223mmm−=−−，解得32m=−或3（舍去），∴223392323224mm−++=−−+−+=−，∴点F的坐标为39,24−−．【课堂小结】1．知识清单：(

1)一次函数，反比例函数的概念及性质．(2)二次函数的概念，性质，几何及相关问题．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：函数图象的画法和相关性质的应用．【课后作业】1、若一次函数ykxb=+的图象经过

第一、二、四象限，则k、b的取值范围是（）A．00kb，B．00kb，C．00kb，D．00kb，【答案】D【分析】根据一次函数图象和性质进行判断即可．【详解】解：一次函数ykxb=+的图象经过第一、二、四象限，0k

，0b，故D正确．故选：D．2、已知点()11,Axy，()22,Bxy，()33,Cxy三点在直线714yx=−+的图象上，且132xxx，则1y，2y，3y的大小关系为（）A．123yyyB．132yyyC．213yyyD．321yyy【答案】B【分析】

先根据70k=−，判断出函数的增减性，再由132xxx，即可得出结论．【详解】解：∵直线714yx=−+中，70k=−，∴y随x的增大而减小，∵132xxx，∴132yyy．故选：B．3

、在平面直角坐标系中，将直线21yx=+向上平移2个单位长度，平移后的直线与两坐标轴围成的三角形面积是（）A．34B．94C．32D．2【答案】B【分析】先根据图形平移的性质得出平移后的解析式，再求出此直线与x、y轴的交点，利用三角形的面积公式即可求解．【详解】解：将直线2

1yx=+的图象向上平移2个单位，得到23yx=+，令0x=，得3y=，令0y=，得32x=−，∴平移后的直线与两坐标轴围成的三角形面积是1393224=，故选：B．4、如图，函数12yx=−与23yax=+的图象相交于点(),2Am，则关于x的不等式23xax−+的解集是（）A．4x

−B．2xC．1x−D．1x−【答案】D【分析】首先把点(),2Am代入12yx=−，即可求得点A的坐标，再根据两函数的图象，即可求解．【详解】解：函数12yx=−过点(),2Am，22m−=，解得：1m=−，()1,2A−，由两函数的图象可知，当1x−时，12

yy，即23xax−+．故选：D．5、若点()11,Ay−，()22,By，()33,Cy在反比例函数6yx=−的图象上，则1y，2y，3y的大小关系是（）A．123yyyB．231yyyC．132yyyD．321

yyy【答案】C【分析】先由60k=−得到函数的图象分别在第二象限和第四象限内，在每个象限内y随x的增大而增大，然后得到1y，2y，3y的大小关系即可．【详解】解：∵反比例系数中，60k=−，∴反比例函数图象

分别在第二象限和第四象限内，在每个象限内函数值y随x的增大而增大，1023−，1320yyy，故选：C．6、已知反比例函数6yx=−，下列说法不正确的是（）A．图象经过点()3,2−B．图象分别位于第二、四象限内C．

在每个象限内y的值随x的值增大而增大D．1x−时，6y【答案】D【分析】根据反比例函数的性质逐一判断即可．【详解】因为()32=6−−，所以A正确，不符合题意；因为反比例函数6yx=−，所以图象分别位于第二、四象限内；在每个象限内y的值随x的值增大而增大；所以

B、C正确，不符合题意；当1x−时，6y或0y，所以D错误，符合题意，故选D．7、在同一平面直角坐标系中，函数1ykx=+与kyx=（k为常数且0k）的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】同一个选项中分别判

断出两个函数的k值，看符号是否一致即可得到答案．【详解】解：A、由函数图象可知1ykx=+中，0k，kyx=中，0k，故此选项不符合题意；B、由函数图象可知1ykx=+中，0k，kyx=中，0k，但是函数1ykx=+与y轴交于y轴正半轴，故此选项不符合题

意；C、由函数图象可知1ykx=+中，0k，kyx=中，0k，故此选项符合题意；D、由函数图象可知1ykx=+中，0k，kyx=中，0k，故此选项不符合题意；故选C．8、如图，正比例函数yax=（a为常数，且0a）和反比例函数

kyx=（k为常数，且0k）的图像相交于)(2,Am−和B两点，则不等式kaxx的解集为（）A．<2x−或2xB．22x−C．20x−或2xD．<2x−或02x【答案】C【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征得到B点坐标为()2,m−，然后根据函数

图像位置及交点坐标即可得出结论．【详解】解：正比例函数yax=（a为常数，且0a）和反比例函数kyx=（k为常数，且0k）的图像相交于()2,Am−和B点．A、B两点关于原点对称，()2,Bm

−，kaxx反比例函数图像位于一次函数的上方，不等式kaxx的解集为20x−或2x，故选C．9、如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交函数3yx=（0x）、6yx=−（0x）的图象于点A、点B．若C是y轴上任意一点，则ABC的面积为（）A．9B

．6C．92D．3【答案】C【分析】连接OA、OB，根据反比例函数的性质可得1322AOPSAPOP==，16322BOPBSPOP===，根据C是y轴上任意一点，ABy∥轴，可得AOBABCSS=，结合AOBAOPBOPSSS=+，问题得解．【详解】连接OA、OB，如图，根据题意有：

1322AOPSAPOP==，16322BOPBSPOP===，∵C是y轴上任意一点，ABy∥轴，∴AOBABCSS=，∵AOBAOPBOPSSS=+，∴39322AOBS=+=，∴92ABCAOBSS==，故选：C．10、将二次函数2yx=的图象向右

平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A．2(1)2yx=−+B．2(1)2yx=++C．2(1)2yx=−−−D．2(1)2yx=−+−【答案】A【分析】根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．【详解】解：将二次函数2yx=的图象向右平移1个单位，再向上平

移2个单位后，所得图象的函数表达式是()212yx=−+，故选：A．11、对于抛物线22(5)4yx=++，下列说法错误的是（）A．开口向上B．对称轴是直线5x=−C．当5x−时，y随x的增大而减小D．当5x=−

时，函数值有最小值4【答案】C【分析】根据二次函数图象的性质逐项分析判断即可求解．【详解】解：∵22(5)4yx=++，2a=0，∴抛物线开口向上，对称轴是直线5x=−，当5x−时，y随x的增大而增大，当5x=−时，函数值有最小值4，故选：C．12、二

次函数()20yaxbxca=++中的自变量x与函数值y的部分对应值如表：x…4−2−1−012…y…53−4−3−05…则下列结论：①0a；②当函数值0y时，对应x的取值范围是20x−；③顶点坐标为()1,4−−；④若点()13,Py−，()25,Qy在抛物线上，

则12yy．其中所有正确结论的序号为（）．A．①③B．②④C．①④D．②③【答案】A【分析】由待定系数法求出函数解析式为223yxx=+−，即判断①，求出抛物线与x轴的交点，根据函数图象即可判断②，把函数解析式化为顶点式，即可判断③，分别求出3x=−和5x=的函数值，即可判断④．【详解】解

：把点()1,4−−，()0,3−，()1,0代入()20yaxbxca=++得，430abccabc−+=−=−++=，解得123abc===−，∴223yxx=+−，∵1a=，∴0a，故①正确；当0y=时，2230xx+−=，解得123,1,xx=−=∴抛物线与x轴的交

点为()()3,0,1,0−，223yxx=+−的图象如下：由图象可知，当函数值0y时，对应x的取值范围是31x−，故②错误；∵()222314yxxx=+−=+−，∴顶点坐标为()1,4−−；故③正确；∵当3x=−时，()()2212332

330yxx=+−=−+−−=，当5x=时，22223525332yxx=+−=+−=，∴点()13,Py−，()25,Qy在抛物线上，则12yy．故④错误；综上可知，所有正确结论的序号为①③，故选：A

13、如图为二次函数2yaxbxc=++的图象，该图象与x轴的交点是()1,0−和()3,0，给由下列说法：①0ab；②方程20axbxc++=的根为11x=−，23x=；③0abc++；④当1x时，y随x值的增大而增大；（5）当0y时，1x−或3x．其中

，正确的说法有（）A．①②④B．①②⑤C．①③⑤D．②④⑤【答案】B【分析】根据抛物线的对称轴判断①，根据抛物线与x轴的交点坐标判断②，根据函数图象判断③④⑤．【详解】解：∵对称轴是12bxa=−=，∴0ab，①正确；∵二次函数

2yaxbxc=++的图象与x轴的交点坐标为()1,0−、()3,0，∴方程20axbxc++=的根为11x=−，23x=，②正确；∵当1x=时，0yabc=++，③错误；∵对称轴是1312x−+==，开口向上，∴当1x时，y随x

值的增大而减小；④错误；当0y时，1x−或3x．⑤正确，综上所述，正确的有①②⑤，故选：B．14、如图所示的二次函数2yaxbxc=++的图象中，某同学观察得出了下面五条信息：（1）240bac−；（2）1c；

（3）20ab−；（4）0abc++；（5）0abc你认为其中错误的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】D【分析】（1）根据图象与x的交点的个数，求根的判别式；（2）取0x=时，01yc=；

（3）对称轴方程2bxa=−，根据图象开口方向判断a与0的关系，将不等式变形即可；（4）取1x=时，0yabc=++．（5）根据图象对称轴分析出a和b同号，由（2）得0c，即可得出结论．【详解】解：由图象得：抛物线与x轴交于两个点，∴240bac

−，结论（1）正确；由函数图象与y轴交点得：当0x=时，01yc=，即01c，结论（2）错误；由抛物线的对称轴的位置得：102ba−−，∴12ba，又∵抛物线开口向下，∴a<0，∴2ba∴20ab−，结论（3）正确；由函数图象可得：当1x

=时对应的函数值小于0，即0abc++，结论（4）正确；由该函数的图象知，开口向下，∴a<0，对称轴方程02bxa=−，∴02ba，∴a、b同号，∴0ab；由（2）得0c，∴0abc，结论（5）

正确；综上所述，（2）错误，故只有1个错误．故答案为：D15、已知：如图，直线33yx=+与x轴交于C点，与y轴交于A点，且OAB是等腰直角三角形．(1)求A、B、C三点的坐标；(2)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；(3

)若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么PAB是否有最大面积？若有，求出PAB的最大面积；若没有，请说明理由．【答案】(1)A(0,3)，B(3,0)，C(1,0)−(2)223yxx=−++(3)存在，PAB最大面积为278【分析】（1）运用一次函数与坐标轴交点坐标

的特点分别求出A、C坐标，再利用OAB是等腰直角三角形，即可解答；（2）用待定系数法即可求解；（3）设点P(,)xy，过点P作PNx⊥轴于点N，进而表示ONx=，PNy=，3BNx=−，由PABAOPNBPNAOBSSSS=+−梯形可得出39()22PABSx

y=+−，代入223yxx=−++，再化为顶点式即可解答．【详解】（1）解：令330yx=+=得：=1x−，故点C坐标为(1,0)−；令0x=得，333033yx=+=+=，故点A的坐标为(0,3)OAB为等腰直角三角形3OBOA==点B的坐标为(3,0)故点A的坐标为(0,3)，点B的坐

标为(3,0)，点C的坐标为(1,0)−（2）解：设过点A、B、C三点的抛物线的解析式为2yaxbxc=++则3933030cabab=++=−+=，解得：123abc=−==解析式为：223yxx=−++（3）解：存在．如图，设P(,)xy是第一象限的抛物线上一点，过

点P作PNx⊥轴于点N，则ONx=，PNy=，3BNOBONx=−=−PABBPNAOBAONPSSSS=+−梯形111()222OAPNONPNBNOAOB=++−111(3)(3)33222yxyx=++−−39

()22xy=+−(,)Pxy在抛物线上，223yxx=−++代入上式得：223933327()(3)()222228PABSxyxxx=+−=−−=−−+当32x=时，PABS取得最大值278，所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得PAB的面积最大，面积最大值为278．