【文档说明】【精准解析】上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题.doc，共(22)页，1.596 MB，由小赞的店铺上传

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2019学年交大附中高二年级第一学期期末试卷一、填空题1.复数z满足1iz=，则Imz=_________.【答案】1−【解析】【分析】求出复数z，然后找出其虚部即可.【详解】因为1iz=，故1zii==−故Imz=

1−.故答案为：1−.【点睛】本题考查复数的化简，以及虚部的辨识，属于基础题.2.抛物线24yx=的焦点坐标是___________．【答案】10,16【解析】【分析】将抛物线方程转化为标准形式，由此求得抛物线的焦点坐标.【详解】由24yx=得214xy=，所以抛物线的焦点在y

轴上，且112,4216pp==，所以抛物线的焦点坐标为10,16.故答案为：10,16【点睛】本小题主要考查抛物线焦点坐标的求法，属于基础题.3.若12aiz=（i为虚数单位

，0a）且355z=，则a的值为_________.【答案】1【解析】【分析】由行列式的计算可得复数z，再根据355z=即可求出参数a.【详解】因为12aiz=，故2zai=−，则()()()()332322414286121zaiaaia

iaaai=−=−−−=−−−故()()223328612155zaaa=−+−=整理得3216123310aaa++−=分解因式可得()()211628310aaa−++=对21628310aa++=，因0，故无实数根.故此方程只有一个实数根，解得1a=.故答案为：1.【点睛】本题考查

复数的计算，涉及行列式的计算，以及三次方方程的求解，属基础题.4.直线223xtyt=+=+（参数tR）的倾斜角为_________.【答案】12arctan【解析】【分析】代入消参，将参数方程化为普通方程

，再根据斜率求得倾斜角.【详解】由3yt=+可得3ty=−，代入22xt=+，可得()223xy=+−整理得：直线的一般式方程为240xy−+=则直线的斜率为12k=，设其倾斜角为，)0,故12arctan=.故答案为：12arctan.【点睛】本题考查将直线

的参数方程化为普通方程，以及由直线斜率求解倾斜角，属基础题.5.若方程22(1)(52)1kxky−+−=表示的曲线为双曲线，则实数k的取值范围为_________.【答案】5(,1)(,)2−+【解析】【分析】根据双曲线方程的特点，列出不等式，求解即可.【详解】因

为方程22(1)(52)1kxky−+−=表示双曲线故()()1520kk−−，即()()1250kk−−解得()5,1,2k−+.故答案为：()5,1,2−+【点睛】本题考查由方程表示双曲线求参数的范围，属基础题；重点是要把握双曲

线方程的特点.6.若双曲线的渐近线方程为3yx=，且过点(1,10)A，则双曲线的方程是_________.【答案】2291yx−=【解析】【分析】根据渐近线方程，结合过点的坐标，分析出双曲线的焦点位置，设出方程

，待定系数即可.【详解】因为双曲线的渐近线为3yx=，且过点(1,10)A不难判断，点(1,10)A在直线3yx=的上方，故该双曲线的焦点在y轴上.设双曲线方程为22221yxab−=，则221013,1abab=−=，解得13b=，1a=，则双曲线的方程为229

1yx−=.故答案为：2291yx−=.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，属基础题，本题的重点是要根据双曲线过的点，判断焦点位置.7.点P为直线3440xy++=上的动点，点Q为圆22:2440Cxyxy+−−+=上的动点，则PQ的最小值为_________.【答案】2

【解析】【分析】先判断直线与圆的位置关系，再计算圆心到直线的距离，减去半径，即为所求.【详解】由圆的方程22:2440Cxyxy+−−+=，可得圆心为()416161,2,12r+−==.因为圆心到直线的距离223843134dr++===+，故直线与圆相离，则312minPQdr=−=−

=.故答案为：2.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，以及直线上一点到圆上一点距离的最小值，属基础题.8.已知12FF、是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且12P

FPF⊥，若12PFF的面积为4，则b=_________.【答案】2【解析】【分析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式，代值计算即可求得.【详解】因为12PFPF⊥，故1290FPF=；由椭圆中焦点三角形的面积公式可得212tan2FPFSb

=即22445btanb==，解得2b=故答案为：2.【点睛】本题考查椭圆焦点三角形的面积公式，属基础题.9.已知a,bR+,若直线23xy++=0与直线()1axby−+=2互相垂直,则ab的最大值等于________.【答案】18【解析】【分析】根据题意,由直线垂

直的判断方法可得()12ab−+=0,变形可得2ab+=1,进而结合基本不等式的性质分析可得答案.【详解】根据题意,若直线23xy++=0与直线()1axby−+=2互相垂直,则有()12ab−+=0,变形可得2ab+=1,则()211212()2228ab

abab+==,当且仅当a=122b=时,等号成立;即ab的最大值为18,故答案为：18【点睛】本题考查了两直线垂直系数之间的关系、基本不等式求最值，在应用基本不等式时注意等号成立的条件，属于基础题.10.已知曲线2cos5:,0,sin6x

y==上一动点P，曲线与直线1x=交于点Q，则OPOQ的最大值是_________.【答案】192【解析】【分析】先计算出交点Q的坐标，设出点P的参数形式，利用向量的数量积运算，将其表示为关于的函数，再求函数的最大值即可.

【详解】因为曲线与直线1x=交于点Q，故令21cos=，又因为50,?6，解得θ60=，故可得3602ysin==，则点Q的坐标为31,2.设点()2,Pcossin，则()332,1,

222OPOQcossincossin==+()19sin2=+，其中43,0,32tan=又因为tan4tan，故,42，则4,43+故()192maxOPOQ=.故答案为：192.

【点睛】本题考查椭圆的参数方程，以及参数方程的应用，属综合基础题.11.在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝1x(x>0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为22，则满足条件的实数

a的所有值为________．【答案】－1或10【解析】试题分析：设点1,Pxx()0x，则()22222221111122222PAxaaxaxaxaxaxxxxx=−+−=+−++=+−++−令1,0,2txxtx=+

令()()22222222gttatataa=−+−=−+−（1）当2a时，ta=时()gt取得最小值()22gaa=−，2222a−=，解得10a=（2）当2a时，()gt在区间)2,+上单调递增，所以当2t=时，()gt取得最小值()22242gaa=−+2

24222aa−+=，解得1a=−综上可知：1a=−或10a=所以答案应填：-1或10.考点：1、两点间的距离公式；2、基本不等式；3、一元二次函数的性质.12.如图，已知椭圆22:194xy+=和圆222:()0Ox

yrr+=，设点A为椭圆上的任一点，过A作圆O的两条切线，分别交于椭圆于,BC两点，若直线BC与圆O相切，则r=_________.【答案】65【解析】【分析】根据一般的结论，取特殊的点()0,2A，结合

点在椭圆上，以及圆心到直线的距离等于半径，联立方程组，即可求得结果.【详解】因为A为椭圆上任意一点，都满足题意，故设A点坐标为()0,2，设()(),,,BmrCmr−−−.则点B满足椭圆方程，即可得224936mr+=①直

线AB方程为22ryxm+=−+因为该直线与圆相切，故由圆心到直线的距离公式可得()22221rrm=++②联立①②，消去m可得：2536360rr−+=故解得65r=或6r=因为当6r=时，圆的半径大于椭圆的长轴，不合题意，故65r=.故答案为：65.【点睛】本题考查椭圆与

圆的关系，本题采用了从一般到特殊的方法，是解决选择和填空题重要的手段.二、选择题13.设z为非零复数，则“1zz+R”是“1z=”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】B【解析】【分析】设出复数z，对1zz

+R”进行等价转化，再从充分性和必要性进行推证即可.【详解】设,(,zabiab=+不能同时为0)，则1zz+=2222221abiababiabiabiabiababab−++=++=++−

++++又1z=，等价于221ab+=，即221ab+=若1zz+R，则22bbab=+，解得0b=或221ab+=，不一定满足221ab+=，故充分性不成立；若1z=，即221ab+=，则一定有22bbab=+，即1zz+R，故

必要性成立.综上1zz+R是1z=的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查命题的充分条件和必要条件，涉及复数的运算，属综合基础题.14.如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合（）A.1|||1,Re,2zzzzC=B

.1|||1,Re,2zzzzCC.1|||1,Im,2zzzzC=D.1|||1,Im,2zzzzC【答案】D【解析】【分析】由图可得复数的模长以及虚部的大小情况，据此进行选择.【详解】由图可知，满足条件的复数在单

位圆内（含边界），故1z；又复数对应点的纵坐标大于等于12，故其虚部大于等于12.综上所述，阴影部分（含边界）对应的复数集合为1|||1,Im,2zzzzC.故选：D.【点睛】本题考查

复数在复平面内的对应情况，属基础题.15.过抛物线24yx=的焦点作一条直线与抛物线相交于AB、两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（）A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在【答案】A【

解析】【分析】分别讨论直线斜率存在和不存在的情况，根据是否能够满足横坐标之和为2进行判断.【详解】根据题意，抛物线的焦点坐标为()1,0.若直线的斜率不存在，则,AB两点关于焦点对称，故满足122xx+=；若直线的斜率不存在，设直线方程为()1ykx=−联立抛物线方程24yx=，可得

()2222240kxkxk−++=设()()1122,,,AxyBxy，故212222442kxxkk++==+，不可能等于2，故此时不存在满足题意的直线.综上所述，满足题意的直线只有1条.故选：A.【点睛】本题考查直线与

抛物线的位置关系，属基础题.16.曲线2222:19045xyxy−−+−=，要使直线()ymmR=与曲线有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A.55,33−B.()3,3−C.553,

,333−−D.55553,,,33333−−【答案】C【解析】【分析】先对曲线进行转化，再画出曲线的图像，数形结合解决问题.【详解】对方程：222219045xyxy−−+

−=等价于当2290xy+−时，22145xy−=，或2290xy+−=故画出该曲线对应的图像如下所示：如图实线所示即为该方程表示的曲线，直线12,ll即为满足题意的直线；不妨联立方程22145xy−=与2290xy+−=解

得2259y=，即可得53y=，由图容易知当5,33m或53,3m−−时，直线ym=与曲线有4个交点.故选：C.【点睛】本题考查曲线与方程的认知，涉及双曲线方程和圆方程，属基础题.三、解答题17.已知实系数一元二次方程20(,)xaxba

bR++=的一根为2i−（i为虚数单位），另一根为复数z.（1）求复数z，以及实数,ab的值；（2）设复数z的一个平方根为，记22−、、在复平面上对应点分别为、、ABC，求()OAOBOC+的值.【答案】（1）2,0,4ziab===（2）2−【解析】【分析】

（1）将2i−代入方程，根据复数相等，即可得到参数的值，以及复数z；（2）求出平方根，再求出22−、、对应的点的坐标，利用向量的坐标运算即可求解.【详解】（1）因为2i−是方程20(,)xaxbabR++=的一个根，故()()2220iaib−+−+=整理得240aib+

−=故可得20,40ab=−=，即0,4ab==故原方程等价于()2242xi=−=故方程的另一个根2zi=综上所述：2,0,4ziab===.（2）设abi=+，则22222ababii=−+=即可得22,1abab==解得1,1ab==或1,1ab=−=−不妨取1i=+（另一解也有相同

的结果），则222,1ii=−=−故()()()1,1,0,2,1,1ABC−则()()()1,31,1132OAOBOC+=−=−=−.故()2OAOBOC+=−.【点睛】本题考查复数的综合知识，涉及复数相等的转换，复数在复平面内对应的点的坐标，属综合基础题.18

.如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有三个监测点、、ABC，且30OAOBOCkm===，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早040V秒（注：信号

每秒传播0V千米）.（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；（2）若已知C点与A点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与检测中心O的距离；（3）若C点监测点信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红

外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少公里？【答案】（1）221(0)400500xyx−=（2）(205,205),2010POP−=（3）202【解析】【分析】（1）根据题意，其轨迹满足双曲线的定义，故直接写出方程即可；（

2）AC垂直平分线与双曲线的交点，即为所求点；（3）根据两点之间的距离公式，将问题转化为求二次函数的最小值即可.【详解】（1）设观察员可能出现的位置的所在点为(),Pxy因为A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早040V秒故00404060PBPA

VABV−===故点P的坐标满足双曲线的定义，设双曲线方程为22221(0)xyxab−=由题可知240,260ac==，解得222500bca=−=，故点P的轨迹方程为221(0)400500xyx−=.（2）因为()()

30,0,0,30AC−，设AC的垂直平分线方程为ykx=则()3001030k−=−−−，则AC的垂直平分线方程为yx=−联立221(0)400500xyx−=可得22000x=，故205,205xy=−=故观

察员遇险地点坐标为()205,205−与检测中心O的距离为()()222052052010km−+=.（3）设轨迹上一点为(),Pxy，则()22223060900PCxyxyy=+−=+−+又因为22140050

0xy−=，可得2244005xy=+代入可得：229950601300800800202553PCyyy=−+=−+=当且仅当503y=时，取得最小值202.故扫描半径r至

少是202km.【点睛】本题考查根据双曲线的定义写出双曲线的方程，以及求双曲线上一点到一个定点距离的最小值，属双曲线方程的综合应用题.19.已知椭圆2211xymm+=+：，过点(1,0)D−的直线:(1)lykx=+与椭圆交于MN、两点（M点在N

点的右侧），与y轴交于点E；（1）当1m=且1k=时，求点MN、的坐标；（2）当2m=时，设,EMDMENDN==，求证：+为定值，并求出该值.【答案】（1）41(0,1),(,)33MN−−（2）证明见详解；定值为3【解析】【分析】（1）根据

条件，联立直线和椭圆方程，解方程组即可求得交点坐标；（2）联立直线与椭圆方程，将+的结果用韦达定理进行处理，即可得到结果.【详解】（1）当1m=且1k=时，联立直线1yx=+与椭圆方程2212xy+=可得2340xx+=，因为M

点在N点的右侧，故解得40,3MNxx==−代入直线方程可得11,3MNyy==−故,MN两点的坐标分别为()410,1,,33MN−−−.（2）当2m=时，椭圆方程为22132xy+=联立直线方程()1

ykx=+，可得()2222236360kxkxk+++−=设()()1122,,,MxyNxy则22121222636,2323kkxxxxkk−+=−=++对直线方程()1ykx=+，令0x=，解得yk=故点E的坐

标为()0,k.因为,EMDMENDN==即可得()()1111,1,xykxy−=+，()()2222,1,xykxy−=+则1212,11?xxxx==++121212121212211?1xxxxxxxxxxxx+++=+=+++++2222

222222366122232323343661232323kkkkkkkkkk−−−+++===−−−++++，故+为定值，定值是3.【点睛】本题考查直线与椭圆交点坐标的求解，以及椭圆中的定值问题，关键是对韦

达定理的熟练应用，属基础题.20.设抛物线22(0)ypxp=：，00(,)Dxy满足2002ypx，过点D作抛物线的切线，切点分别为1122(,),(,)AxyBxy.（1）求证：直线11()yypxx=+与抛物线相切；（2）若点A坐标为(4,4)，点D

在抛物线的准线上，求点B的坐标；（3）设点D在直线0xp+=上运动，直线AB是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不存在，请说明理由；【答案】（1）证明见详解；（2）1,14−（3）是，(),0p【解析】【分析

】（1）联立直线方程与抛物线方程，由0=，即可证明；（2）根据点A在抛物线上解得p，进而写出D点坐标，再根据点B既在直线()222yyxx=+上，又在抛物线上，联立方程组即可求得B的坐标；（3）写出直线AB的方程，根据过点

A和过点B的直线交于点D得到的结论，整理化简直线方程，即可求得AB恒过的定点.【详解】（1）联立直线11()yypxx=+与抛物线方程22ypx=，消去x可得211102yyypx−+=故2112ypx=−，因为点()11,Axy在抛物线上，

故21120ypx=−=则直线11()yypxx=+与抛物线22ypx=只有一个交点又因为0p，故该直线不与x轴平行，即证直线11()yypxx=+与抛物线相切.（2）因为点()4,4A在抛物线22ypx=上

，故可得1624p=，解得2p=由（1）可知过点A的切线方程为()11yypxx=+，即240xy−+=又抛物线的准线方程为1x=−，故令1x=−，解得32y=，即点D的坐标为31,?2−.因为过点()22,Bxy的切线方程

为()222yyxx=+，其过点31,?2D−故可得()223212yx=−+，又因为点()22,Bxy满足抛物线方程，故可得2224yx=，联立方程组可得222340yy−−=解得221,4yy=−=（舍去，与A点重合），214x=，故点B的坐标为1,14−

.（3）由（1）得过A点的切线方程为()11yypxx=+令xp=−，可解得211ppxyy−+=过B点的切线方程为()22yypxx=+令xp=−，可解的222ppxyy−+=因为两直线交于点D，故可得221212ppxppxyy−+−+=整理得()211212xy

xypyy−=−①当过,AB两点的直线斜率存在，则设其方程为：()211121yyyyxxxx−−=−−整理得2121122121yyxyxyyxxxxx−−=+−−，将①代入可得故直线方程为()()122121212121pyyyyyyyxxpx

xxxxx−−−=+=−−−−故该直线恒过定点(),0p;当过,AB两点的直线斜率不存在时，1212,xxyy==−，代入①可得12xxp==过此时直线1:ABxxp==，也经过点(),0p综上所述，直线恒

过定点(),0p，即证.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线中直线恒过定点的问题，属综合性中档题；在本题中，要注意利用第一问中的结论去解决第二问和第三问.21.已知椭圆2211612xy+=：.双曲线的实轴顶点就是椭圆的焦点，双曲线的焦距等于椭圆

的长轴长.（1）求双曲线的标准方程；（2）设直线l经过点(3,0)E与椭圆交于AB、两点，求OAB的面积的最大值；（3）设直线:lykxm=+（其中为,km整数）与椭圆交于不同两点AB、，与双曲线交

于不同两点CD、，问是否存在直线l，使得向量0ACBD+=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.【答案】（1）221412xy−=（2）43（3）存在，9【解析】【分析】（1）根据椭圆方程可以得到双曲线的焦距和顶点坐标，从而直

接写出双曲线方程即可；（2）设出直线方程，将三角形面积拆分为2个三角形的面积，从而利用韦达定理进行处理；（3）根据直线与两个曲线相交，通过夹逼出,km的取值范围，再结合向量相加为零转化出的条件，得到,km之间的关系，从而利用

,km是整数，对结果进行取舍即可.【详解】（1）对椭圆2211612xy+=：，因为22222116,124abcab===−=，，故其焦点为()2,0，椭圆的长轴长为28a=.设双曲线方程为22221xymn−=，由题可知：222,228mmna=+=

=，解得212n=.故双曲线的方程为：221412xy−=.（2）因为直线AB的斜率显然不为零，故设直线方程为3xmy=+，联立椭圆方程2211612xy+=可得()223418210mymy++−=设交点()()

1122,,,AxyBxy，则1212221821,3434myyyymm+=−=−++则()2121212124yyyyyyyy+=−=+−22218843434?mmm−=+++()()2222284341

83434?mmmm+−=+++()22257633634mm+=+221274334mm+=+又1212OABSOEyy=+故221127343234OABmSm+=+221276334mm+=+令()2127,7mtt+=，解得2217344mt=−故2116

3636343199344442OABtSttt===++当且仅当944tt=时，即63,6tm==时，取得最大值.故OAB的面积的最大值为43.（3）联立直线ykxm=+与椭圆方程2211612xy+=可得()2223484480kxkmxm+++−=()()2222644344

480kmkm=−+−整理得2216120km−+①设直线与椭圆的交点为()()1122,,,AxyBxy故可得122834kmxxk+=−+②同理：联立直线ykxm=+与双曲线方程221412xy−=可得()22232120kxkmxm−−−−=()()2222

443120kmkm=+−+整理得224120km−−③设直线与双曲线的交点为()()3344,,,CxyDxy故可得34223kmxxk+=−④要使得0ACBD+=即可得()()31314244,,xxyyxxyx−

−=−−故可得1234xxxx+=+将②④代入可得2282343kmkmkk−=+−解得0km=.综上所述，要满足题意，只需使得：2222412041200,kmkmkmkZmZ−−−−=故当0k=时，m可以取得0,1,2,3满足题意；即直线方

程可以为0,1,2,3yyyy====当0m=时，k可以取1满足题意.即直线方程可以为yx=故存在这样的直线有9条，能够使得0ACBD+=.【点睛】本题考查椭圆方程和双曲线方程，涉及椭圆中三角形面积的最大值，以及圆锥曲线中的直线的存在性问题，属综合性困难题；其中解决第三问的关

键是要把握住“整数”这一个关键词，同时也要对向量进行合理的转化.