【文档说明】【精准解析】上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题.doc，共(21)页，1.465 MB，由小赞的店铺上传

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2019学年交大附中高一年级第一学期期末试卷一、填空题1.弧度数为2的角的终边落在第______象限.【答案】二【解析】【分析】将弧度化为角度,即可判断出所在象限.【详解】根据弧度与角度关系可知157.3rad所以2114.6rad则弧度数为2的角的终边落在第

二象限故答案为:二【点睛】本题考查了弧度与角度的关系,属于基础题.2.幂函数()afxx=的图像经过点12,2，则()3f=______.【答案】13【解析】【分析】根据幂函数所过的点,代入可求得幂函数解析式,即可求得()3f的值.【

详解】幂函数()afxx=的图像经过点12,2代入可得122a=解得1a=−所以幂函数解析式为()1fxx−=则()11333f−==故答案为:13【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法,函

数求值,属于基础题.3.已知sincos2sin2cos+=−，则tan的值为_______.【答案】5【解析】【分析】由齐次式化简方法,即可得关于tan的方程,解方程即可求得tan的值.【详解】根据齐次式化减法方法,将式子

上下同时除以cos可得tan12tan2+=−变形可得()tan12tan2+=−解得tan5=故答案为:5【点睛】本题考查了齐次式的化简求值,属于基础题.4.2233cossin88−=____【答案】22−【解析】解答：2233c

ossin88−=cos6π8=−cosπ4=−22，故答案为−22.5.已知lg2,103ba==，用ab、表示12log5=___________．【答案】12aab−+【解析】试题分析：103lg3bb==()12210lglg10lg212log5lg32lg22lg32aa

b−−===++考点：对数式运算及指数式与对数式的转化6.若4tan3a=，则cos22a+=______.【答案】2425−【解析】【分析】根据同角三角函数关系商数式,用sina表示cosa.结合平方关系,即可求得2sina的值.结合诱导公式及正弦二倍角公式,即

可求解.【详解】因为4tan3a=则sin4tancos3aaa==则3cossin4aa=由同角三角函数关系式22sincos1aa+=代入可得223sinsin14aa+=解得216sin25a=由诱导公式及正弦二倍角公式化简可得cos22a+sin22

sincosaaa=−=−32sinsin4aa=−23sin2a=−3162422525=−=−故答案为:2425−【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,诱导公式及正弦二倍角的化简应用,属于基础题.7.已知函数(

)()1123121xaxaxfxx−−+=的值域为R，则实数a的取值范围是_____.【答案】10,2【解析】【分析】根据整个函数值域为R及分段函数右段的值域,可判断出左段的函数为单调性递增,且最大值大于等于1,即可求得

a的取值范围.【详解】当1x时,()12xfx−=,此时值域为)1,+若值域为R,则当1x时.()()123fxaxa=−+为单调递增函数,且最大值需大于等于1即1201231aaa−−+,解得102a故答案为:10,2

【点睛】本题考查了分段函数值域的关系及判断,指数函数的性质与一次函数性质的应用,属于中档题.8.已知0,2，2sin21cos2=+，则tan=______.【答案】12【解析】【分析】根据正弦与余弦二倍角公式,结合同角三角函数关系式,代入化简

即可求得tan的值.【详解】因为2sin21cos2=+由正弦与余弦二倍角公式,结合同角三角函数关系式代入化简可得22224sincossincoscossin=++−即22sincoscos=当0,2时,

cos0所以2sincos=则sin1tancos2==故答案为:12【点睛】本题考查了正余弦二倍角公式的应用,同角三角函数式的化简应用,属于基础题.9.已知,02−，()1sin22−=−，则sincos−=_

______.【答案】62−【解析】【分析】根据角的范围,可判断sin0,cos0.由诱导公式化简所给条件式,可求得1sin22=−.将所求式子平方化简,再开根号即可求解.【详解】因为,02

−则sin0,cos0所以sincos0−由诱导公式可知()1sin2sin22−==−则sincos−()2sincos=−−12sincos=−−由正弦二倍角公式代入可得

12sincos1sin2−−=−−112=−−−62=−故答案为:62−【点睛】本题考查了三角函数式的化简求值,根据角的范围化简三角函数式,注意角的范围及三角函数的符号,属于基础题.10.已知锐角，满足()si

n23sin+=，则()tancot+=______.【答案】2【解析】【分析】将三角函数式配成()++与()+−,由正弦函数和角与差角公式展开,即可求解.【详解】锐角,满足()sin2

3sin+=变形可得()()sin3sin++=+−由正弦和角与差角公式展开可得()()()()sincossincos3sincos3sincos+++=+−+合并化简可得()()4sinco

s2sincos+=+等式两边同时除以()2coscos+可得()2tantan=+即()tancot2+=故答案为:2【点睛】本题考查了三角函数式化简求值,角的变化形式,属于中档题.11.己知，()0,，且()23tan3−=，53tan11=−，

2−的值为_______.【答案】23−【解析】【分析】根据正切差角公式,代入53tan11=−可求得3tan9=.将角配凑后可求得()tan23−=.根据3tan19=及53tan011=−可得,的范围,即可求得2−的范围

,进而求得2−的值.【详解】因为()23tan3−=,53tan11=−由正切差角公式展开可得()tantan23tan1tantan3−−==+代入53tan11=−,53tan23113531tan11+=+−化简可求得3tan9

=则()()tan2tan−=+−()()tantan1tantan+−=−−323933323193+==−因为3tan19=所以04,即0225

3tan011=−所以2则20−−所以223−=−故答案为:23−【点睛】本题考查了正切差角与和角公式的应用,配凑角的形式求正切值,根据三角函数值判断角的取值范围,属于中档题.12.己知()fx是定义域为R的单调函数，且对任意实数x，都有()3

2415xffx+=+，则217logsin6f=______.【答案】75−【解析】【分析】根据函数解析式,利用换元法表示出()fx.结合函数的单调性,令xt=代入后可求得()fx的解析式.结合三角函数的化简求值及对数运算将217logsi

n6化简,代入解析式即可求解.【详解】对任意实数x,都有()32415xffx+=+令()341xfxt+=+则()25ft=因为()fx是定义域为R的单调函数所当xt=时,函数值唯一,即代入()341xfxt+=+可得(

)341tftt+=+,即23541tt+=+化简可得32415tt=−+,经检验可知1t=为方程的解而341ty=+为单调递减函数,25yt=−为单调递增函数所以两个函数只有一个交点,即32415tt=−+只有一个根为1t=所以()3141xfx=−++而2221751lo

gsinlogsinlog1662===−所以217logsin6f()1f=−1371415−=−+=−+故答案为:75−【点睛】本题考查了复合函数解析式的求法,换元法求解析式的应用,

三角函数化简及对数运算性质应用,属于难题.二、选择题13.“sin0”是“为第三、四象限角”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由α为第三、四象限角

,可得sinα<0.反之不成立,例如α=3π2.故选B.14.A为ABC的一个内角，若12sincos25AA+=，则这个三角形的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】C【解析】【分析】将所给式子两边同时平方,化简可得37sincos

100AA=−由三角形中角的取值范围,即可判断A的范围,进而判断三角形形状.【详解】A为ABC的一个内角,若12sincos25AA+=则()2212sincos25AA+=由同角三角函数关系式展开化简可得14412sincos625AA+=则48137sinc

os1300100AA=−=−因为0A则sin0A所以cos0A则A为钝角所以ABC为钝角三角形故选:C【点睛】本题考查了同角三角函数关系化简三角函数式,根据角的范围判断三角形形状,属于基础题.15.已知函数()()log6afxax=−在)2,3x上为减函数，则

a的取值范围是（）A.()1,2B.(1,2C.()1,3D.(1,3【答案】B【解析】【分析】根据一次函数单调性,结合对数型复合函数单调性的性质,可得1a.再根据对数的定义域要求,即可求得2a,综上可得a的取值范围.【详解】由01a可知6yax=−为单调递减函数由复合

函数单调性性质可知,当()()log6afxax=−为减函数时对数部分为增函数,即1a由对数定义域的要求可知,60ax−在)2,3x时恒成立所以当3x=时,满足630a−解得2a综上可知,12a,即(1,2a故选:B【点睛】本题考查了复合函数单调性的性质及

参数求法,注意定义域的要求,属于中档题.16.设1x，2x分别是函数()xfxxa−=−和()log1agxxx=−的零点（其中1a），则129xx+的取值范围是（）A.)6,+B.()6,+C.)10,+D.

()10,+【答案】D【解析】【分析】根据零点定义,可得1x,2x分别是1xax=和1logaxx=的解.结合函数与方程的关系可知1x,2x分别是函数1yx=与函数xya=和函数logayx=交点的横坐标,所以可得101x,

21x.而xya=与logayx=互为反函数,则由反函数定义可得121xx=.再根据基本不等式,即可求得12xx+的最小值,将129xx+化为1228xxx++,即可得解.【详解】因为1x,2x分别是函数()xfxx

a−=−和()log1agxxx=−的零点则1x,2x分别是1xax=和1logaxx=的解所以1x,2x分别是函数1yx=与函数xya=和函数logayx=交点的横坐标所以交点分别为121211,,,xxxxAB因为1a所

以101x,21x由于函数1yx=与函数xya=和函数logayx=都关于yx=对称所以点A与点B关于yx=对称因为111,Axx关于yx=对称的点坐标为111,xx所以121xx=即121xx=,且12xx所以

129xx+1228xxx=++12228xxx+228x+,由于12xx,所以不能取等号因为21x所以2282810x++=即()12910,xx++故选:D【点睛】本题考查了反函数的定义及性质综合应用,函数与方程的关系应用,基本不等式求最值,综合性强,

属于难题.三、解答题17.已知0,2，0,2，43sin7=，()11cos14+=−.（1）求tan2的值；（2）求cos的值.【答案】（1）8347−（2）12【解析】【分析】

（1）由同角三角函数关系式,可由43sin7=求得cos.再求得tan,结合正切的二倍角公式即可求得tan2的值（2）由同角三角函数关系式,可先求得1cos7=,()53sin14+=.将co

s变形为()coscos=+−,由余弦的差角公式展开并代入已知值即可求得cos的值【详解】（1）由同角三角函数关系式22sincos1+=,43sin7=代入可得22431cos1sin177=−=−=而0,2所以1

cos7=则43sin7tan431cos7===所以由正切二倍角公式可得()222tan24383tan21tan47143===−−−（2）由同角三角函数关系式22sincos1+

=及()()22sincos1+++=且43sin7=,()11cos14+=−.0,2,0,2则可求得1cos7=,()53sin14+=则由余弦差角公式化简可得

()coscos=+−()()coscossinsin=+++1115343147147=−+12=【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,正切二倍角公式及余弦差角公式的应用,角的配凑法应用,属于中档题.18.已知函数()33xxfxa−=−，其中

a为实常数.（1）若()07f=，解关于x的方程()5fx=；（2）判断函数()fx的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）1x=或3log2（2）当1a=时，函数为奇函数，当1a=−时，函数为偶函数，当1a时，函数为非奇非偶函数，见解析【解析】【分析

】（1）根据()07f=,代入可求得a的值.即可得()fx的解析式,进而得方程.解指数形式的二次方程,即可求得解.（2）表示出()fx−.根据奇偶性定义即可求得a的值,即可判断奇偶性.【详解】（1）因

为()07f=代入可得17a−=,解得6a=−所以()363xxfx−=+则()5fx=可化为3635xx−+=化简可得()235360xx−+=即()()32330xx−−=解得3log2x=或1x=（2）()33xx

fxa−=−则()33xxfxa−−=−当1a=时,()33xxfx−=−,()33xxfx−−=−此时()()fxfx=−−,函数()fx为奇函数当1a=−时,()33xxfx−=+,()33xxfx−−=+,此时(

)()fxfx=−,函数()fx为偶函数当1a时,()()fxfx=−−与()()fxfx=−都不能成立,所以函数()fx为非奇非偶函数综上可知,当1a=时,()fx为奇函数;当1a=−时,()fx为偶函数;当1a时,函数()fx为非奇非偶

函数.【点睛】本题考查了指数方程的解法,利用奇偶性定义判定函数奇偶性,属于基础题.19.高境镇要修建一个扇形绿化区域，其周长为400m，所在圆的半径为r，扇形的圆心角的弧度数为，()0,2.（1）求绿化区域面积

S关于r的函数关系式，并指出r的取值范围；（2）所在圆的半径为r取何值时，才能使绿化区域的面积S最大，并求出此最大值.【答案】（1）2200Srr=−+，200,2001r+（2）当100mr=时，S最大为210000m【解析】【分

析】（1）表示出弧长,即可由扇形面积公式表示出S.根据弧度定义,用弧长和半径表示出圆心角弧度数,并结合()0,2即可求得半径的取值范围.（2）由二次函数性质,即可求得面积的最大值,及此时的半径.【详解】（1）当半径为r,所以弧长为400

2r−所以()2140022002Srrrr=−=−+由弧度定义可知4002rr−=,而()0,2所以400202rr−,解得2002001r+综上可知2200Srr=−+,200,2001r+（2）因为2200Srr=−+(

)210010000r=−−+由二次函数的性质可知,当100mr=时,S最大为210000m【点睛】本题考查了扇形的弧长与面积公式应用,根据二次函数性质求最值,属于基础题.20.已知函数()yfx=的定义域为()1,+，对于定义

域内的任意实数x，有()()22fxfx=成立，且(1,2x时，()2logfxx=.（1）当(31,2x时，求函数()yfx=的最大值；（2）当(3.71,2x时，求函数()yfx=的最大值；（3）已知()()200ffb=（实数

1b），求实数b的最小值.【答案】（1）4（2）5.6（3）47551264【解析】【分析】（1）根据定义可知()22xfxf=,依次代入各段定义域,即可求得当(31,2x

时函数()yfx=的解析式,即可求得最大值.（2）先判断出(3.728,16,并求得当(8,16x时()fx的解析式,根据函数单调性,代入3.72x=即可求解.（3）求得当(12,2mmx+时()fx的解析式,根据(782002,

2,代入解析式,并结合()()200ffb=,即可求得m的最小值及b的最小值.【详解】（1）因为函数()yfx=的定义域为()1,+,对于定义域内的任意实数x,有()()22fxfx=成立,则()22xfxf=当(1,2x时,(

)2logfxx=.值域为(0,1当(2,4x时,()222log22xxfxf==,值域为(0,2当(4,8x时,()22224log4log224xxxfxf===,值域为(0,4综上可知,当(31,2x

时,函数()yfx=的最大值为4.（2）由（1）可知当(8,16x时,()22228log8log248xxxfxf===且函数()28log8xfx=为单调递增函数所以最大值为()()3.733.7222.728log8log2log882f==−()83.735.6=−

=故最大值为5.6（3）由（1）可知,当(12,2mmx+时,()22log2mmxfx=而(782002,2,所以()()()77722272002002log2log200log22ffb==−=则设(12,2mmb+,则()22lo

g2mmbfb=所以72272002log2log22mmb=,mZ9m,则47551264b所以b的最小值为47551264【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法,

抽象函数解析式关系的应用,根据函数的单调性求最值,复杂方程的解法,属于难题.21.已知函数()()2log1afxxx=+−，()1,x+，0a且1a.（1）若a为整数，且2222aaf−+=，试确定一个满足条件的a的值；（2）设()yfx=的反函数

为()1yfx−=，若()()1*442nnfnnN−−+，试确定a的取值范围；（3）若2a=，此时()yfx=的反函数为()1yfx−=，令()()()11221fxkgxfx−−+=+，若对一切实数1x，2x，3x，不等式()()()123gxg

xgx+恒成立，试确定实数k的取值范围.【答案】（1）2（2）()1,11,44（3）1,42−【解析】【分析】（1）将222aax−+=代入方程,结合指数式与对数式的转化,即可的关于2a的方程,化简后即可求得一个a的值.（2）根据所给()()

2log1afxxx=+−,可求得反函数解析式()1122xxafxa−=+.根据不等式,先求得右端的最小值及相应的n,将n代入左段并解不等式即可求得a的取值范围（3）代入2a=可得反函数解析式.将反函数解析代入()()()

11221fxkgxfx−−+=+,即可求得()gx的解析式.利用换元法()121,32xxmm=++,将()gx化为()gm的表达式.结合反比例函数单调性及不等式()()()123gxgxgx+,即可求得k的取值范围.【详解】（1）a为整数,0a且1a.且22

22aaf−+=代入可得22222log1222aaaaa−−+++−=即()()22222222124aaaaa−−++++−=化简可得22222222aaaaa−−

+−+=则2222222aaaaa−−+−+=所以22aa=故满足条件的a的值可以是2（2）()yfx=的反函数为()1yfx−=则()2log1ayxx=+−令xy=,代入可得()2log1axyy=+−则21x

ayy=+−,所以21xayy−=−平方化简可得122xxaya=+所以()1122xxafxa−=+则()1122nnafna−=+()()1*442nnfnnN−−+成立,则()1min442nnfn−−+

即可令442nny−+=,令44nt=,即112ytt=+,由打勾函数图像与性质可知当4t时为单调递增函数所以当1n=时min11174248y=+=则不等式化为()1171

8f−即117228aa+,且0a且1a.化简可得241740aa−+即()()4140aa−−,解得144a综上可知,a的取值范围为()1,11,44（3）由（2）可知()1122xxafxa−=+当2a=时,()121222xxfx−=+代入()()()11

221fxkgxfx−−+=+可得()1221212xxxxkgx++=++令()121,32xxmm=++则()111mkkgmmm+−−==+当10k−,即1k时,函数()11kgmm−=+

在)3,+上单调递增所以此时()gm的值域为11,13k−+若满足对一切实数1x,2x,3x,不等式()()()123gxgxgx+恒成立则只需12113k−+即可,解得112m−当10k−=,即1k=时,()1gm=,不等式()()()123

gxgxgx+恒成立当10k−时,即1k.函数()11kgmm−=+在)3,+上单调递减此时函数()gm的值域为11,13k−+若满足对一切实数1x,2x,3x,不等式()()()123gxgxgx+恒成立则只需11113k−+

+,解不等式可得14k综上所述,k的取值范围为1,42−【点睛】本题考查了对数方程的化简求解,指数方程的解法,反函数的求法及性质应用,不等式恒成立问题的解法,换元法求参数的取值范围,综合性强,属于难题.