【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题5.2 任意角和弧度制-重难点题型检测 Word版含解析.docx，共(13)页，193.247 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-fc58c55ce4edd85d5b236f1d16c4d56a.html

以下为本文档部分文字说明：

专题5.2任意角和弧度制-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·全国·高三专题练习）将分针拨慢5分钟，则分针转过的角是（）A．60°B．−60°C．30°D．−30°【

解题思路】根据任意角的概念计算可得.【解答过程】解：将分针拨慢是逆时针旋转，所以分针拨慢5分钟，转过的角为560×360°=30°．故选：C.2．（3分）（2022·全国·高三专题练习）将−885∘化为𝛼+𝑘⋅360∘(𝑘∈Z,𝛼∈[0

∘,360∘))的形式是（）A．−165°+(−2)×360°B．195°+(−3)×360°C．195°+(−2)×360°D．165°+(−3)×360°【解题思路】直接由终边相同的角的概念求解即可.【解答过程】由𝛼∈[0°,360°]知−885∘=195∘−1080∘=19

5°+(−3)×360°.故选：B.3．（3分）（2021·全国·高一单元测试）在直角坐标系中，若角𝛼与角𝛽的终边关于𝑥轴对称，则𝛼与𝛽的关系是（）.A．𝛼=−𝛽B．𝛼+𝛽=360∘⋅𝑘(𝑘∈𝑍)C．𝛼=�

�D．𝛼−𝛽=360∘⋅𝑘(𝑘∈𝑍)【解题思路】本题可通过角𝛼与角𝛽的终边关于𝑥轴对称得出角𝛽=2𝑘𝜋−𝛼，然后通过计算并与题目中的四个选项对比即可得出结果.【解答过程】因为角−𝛼与角𝛼的终边关于𝑥轴对称，所以角𝛽与角−𝛼的终边相同，即𝛽=2𝑘𝜋−𝛼(�

�∈𝑍)，所以𝛼+𝛽=𝛼+2𝑘𝜋−𝛼=2𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)，故选：B.4．（3分）（2022·全国·高一课时练习）已知𝛼∈{𝛼|45°+𝑘⋅360°≤𝛼≤90°+𝑘⋅360°}，则角𝛼的终边落在的阴影部分是（）A．B．C．D．【解题思

路】令𝑘=0即可判断出正确选项.【解答过程】令𝑘=0，得45°≤𝛼≤90°，则B选项中的阴影部分区域符合题意.故选：B．5．（3分）（2022·江西省高一阶段练习）下列说法中，正确的是（）A．第二象限的角是钝角B．第二象限的角必大于第一象限的角C．−150°是第二象

限的角D．−252°16′,467°44′,1187°44′是终边相同的角【解题思路】根据已知条件，结合象限角的定义与终边相同的角的定义即可求解【解答过程】对于A：当角为510°是，该角为第二象限角，但不是钝角，故A错误；对于B：分别

取第一象限的角为730°，第二象限角510°，此时第一象限的角大于第二象限的角，故B错误；对于C：−150°是第三象限的角，故C错误；对于D：因为467°44′=−252°16′+2×360°,1187°44′=−252°16′+4×360°，所以−252

°16′,467°44′,1187°44′是终边相同的角，故D正确；故选：D.6．（3分）（2022·辽宁高二开学考试）下面关于弧度的说法，错误的是（）A．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数B．一个角的角度数为𝑛，弧度数为𝛼，则𝑛180=𝛼𝜋.C．长度

等于半径的√3倍的弦所对的圆心角的弧度数为2𝜋3D．航海罗盘半径为10cm，将圆周32等分，每一份的弧长为5𝜋16cm.【解题思路】根据弧度制与角度制的定义，以及转化关系，即可判断选项.【解答过程】A.根据弧度数定义可知A正确；B.根据弧度与角度

的转化关系，可知B正确；C.根据三角形关系可知，长度等于半径的√3倍的弦所对的圆心角为120∘，即弧度数为2𝜋3，故C正确；D.圆周长为2𝜋𝑟=20𝜋cm，32等分后，每一份弧长为5𝜋8cm，故D错误.故选：D.7．（3分）（2022·全国·高三专题

练习）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形𝑂𝐶𝐷截去同心扇形𝑂𝐴𝐵所得图形，已知𝑂𝐴=0.2m,𝐴𝐷=0.3m,∠𝐴𝑂𝐵=100°，则该扇环形砖雕的面积为（）m2．A．𝜋

6B．π12C．π12D．7π120【解题思路】根据扇形的面积公式公式即可求解.【解答过程】由100∘=5π9以及扇形的面积公式可得:𝑆扇环𝐴𝐵𝐶𝐷⌢=𝑆扇𝐶𝑂𝐷⌢−𝑆扇𝐴𝑂𝐵⌢=12�

�𝐷2×5π9−12𝑂𝐴2×5π9=12×5π9(0.52−0.22)=7π120,故选：D.8．（3分）（2022·全国·高三专题练习）如图为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”图案，画法如下：在水平直线l上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B

为圆心，AB为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，则如图所示的“螺旋蚊香”图案的总长度为（）A．56𝜋3B．14π

C．24πD．10π【解题思路】根据弧长公式𝑙=𝛼×𝑟可求得𝐴𝐷⌢，同理可求得其他弧的长度.【解答过程】扇形ABD的半径为1，圆心角为2𝜋3，所以𝐴𝐷⌢的长𝑙1=2𝜋3×1，同理可得之后的各段弧长分别为𝑙2=2𝜋3×2，𝑙3=2𝜋3×3，𝑙4=2𝜋3×4，𝑙5=2

𝜋3×5，𝑙6=2𝜋3×6，所以“螺旋蚊香”图案的总长度𝑙=2𝜋3×(1+2+3+4+5+6)=14𝜋.故选：B．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·全国·高一课时练习）已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心

角的弧度数是（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】设出扇形所在圆的半径及其弧长，再由条件列出方程求解即可作答.【解答过程】设扇形的半径为𝑟，弧长为𝑙，则{2𝑟+𝑙=6,12𝑙𝑟=2,解得{𝑟=1,𝑙=4或{𝑟=2,𝑙=2,，又圆心角𝛼=�

�𝑟，所以𝛼=4或𝛼=1，故选：AD.10．（4分）（2022·山东·高二阶段练习）下列命题正确的是（）A．终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{𝛼|𝛼=2𝑘𝜋,𝑘∈𝑍}B．终边落在y轴上的角的集合为{𝛼∣𝛼=90°+𝑘𝜋,𝑘∈𝑍}C．第三象限角的集合为{𝛼∣

𝜋+2𝑘𝜋≤𝛼≤3𝜋2+2𝑘𝜋,𝑘∈𝑍}D．在−720°~0°范围内所有与45°角终边相同的角为−675°和−315°【解题思路】根据任意角的定义判断即可.【解答过程】终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{𝛼∣𝛼=2𝑘

𝜋,𝑘∈𝑍}故A正确.终边落在y轴上的角的集合为{𝛼∣𝛼=90°+𝑘𝜋,𝑘∈𝑍}属于角度制和弧度制的混用，故B错误.第三象限角的集合为{𝛼∣𝜋+2𝑘𝜋<𝛼<3𝜋2+2𝑘𝜋,𝑘∈𝑍}不能取等号，等号时表示轴线角，故C错

误.−720°~0°范围内所有与45°角可以表示为{𝛼|𝛼=45∘+360∘⋅𝑘,𝑘=−1,−2}，故𝛼=−675°或𝛼=−315°，故D正确.故选：AD.11．（4分）（2022·全国·高一课时练习）下列结论中不正确的是（）A．终边经过

点(𝑎,−𝑎)(𝑎≠0)的角的集合是{𝛼|𝛼=−𝜋4+𝑘𝜋,𝑘∈𝑍}B．将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是𝜋3C．若𝛼是第一象限角，则𝛼2是第一象限角，2𝛼为第一或第二象限角D．𝑀={𝑥|𝑥=45°+𝑘⋅90°,𝑘∈𝑍}，𝑁={𝑦|𝑦=9

0°+𝑘⋅45°,𝑘∈𝑍}，则𝑀⊆𝑁【解题思路】根据角的终边位置判断A，根据角的定义判断B，利用特殊值判断C，根据集合间的包含关系判断D．【解答过程】对于选项A：终边经过点(𝑎,−𝑎)(𝑎≠0)的角在第二和第四象限的角平分线上，故角的集合是{𝛼|𝛼=−𝜋4+𝑘𝜋,

𝑘∈𝑍}，正确；对于选项B：将表的分针拨快10分钟，按顺时针方向旋转圆周角的六分之一，则分针转过的角的弧度数是−𝜋3，错误；对于选项C：若𝛼=400∘⇒𝛼2=200∘，𝛼2不是第一象限角，错误；对于选项D：𝑀={𝑥|𝑥=45°+𝑘⋅90

°,𝑘∈𝑍}={𝑥|𝑥=(2𝑘+1)×45∘，𝑘∈𝑍}，而(2𝑘+1)×45∘，𝑘∈𝑍表示45∘的奇数倍，𝑁={𝑦|𝑦=90°+𝑘×45°，𝑘∈𝑍}={𝑦|𝑦=(𝑘+2)×45∘，𝑘∈𝑍}，而(𝑘+2)×45∘，𝑘∈

𝑍表示45∘的整数倍，所以𝑀⊆𝑁，正确．故选：BC.12．（4分）（2023·全国·高三专题练习）如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A以1rad/s的

角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（）A．经过1s后，∠BOA的弧度数为𝜋3＋3B．经过𝜋12s后，扇形AOB的弧长为7𝜋12C．经过𝜋6s后，扇形AOB的面积为𝜋3D．经过5𝜋9s后，A，B在单位圆上第一次相遇【解题思路】结合

条件根据扇形面积，弧长公式逐项分析即得.【解答过程】经过1s后，质点A运动1rad，质点B运动2rad，此时∠BOA的弧度数为𝜋3+3，故A正确；经过𝜋12s后，∠𝐴𝑂𝐵=𝜋12+𝜋3+2×𝜋12=7𝜋12，故扇形AOB的弧长为7𝜋12×1=7𝜋12，故B正确；经过𝜋6s

后，∠𝐴𝑂𝐵=𝜋6+𝜋3+2×𝜋6=5𝜋6，故扇形AOB的面积为𝑆=12×5𝜋6×12=5𝜋12，故C不正确；设经过ts后，A，B在单位圆上第一次相遇，则𝑡(1+2)+𝜋3=2𝜋，解得𝑡=5𝜋9(s)，故D正确.故选：ABD.三．填空题（共4小题，

满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·上海·高一阶段练习）已知角α与角β的终边关于直线𝑦=𝑥对称，则α与β的关系为𝛽=𝜋2−𝛼+2𝑘𝜋,𝑘∈𝑍.【解题思路】先在0∼2𝜋得出α与β的关系，然后由终边相同的角的关系得出答案.

【解答过程】若𝛼与𝛽均在0∼2𝜋内时，如图1：则𝛽−𝛼=2(𝜋4−𝛼)=𝜋2−2𝛼.即𝛽=𝜋2−𝛼，如图2：则𝛽−𝛼=2(5𝜋4−𝛼)=5𝜋2−2𝛼=2𝜋+(𝜋2−2𝛼)，即𝛽=2𝜋+𝜋2−𝛼，由终边相同的角的关系可得：𝛽=𝜋2−

𝛼+2𝑘𝜋,𝑘∈𝑍.所以α与β的关系为：𝛽=𝜋2−𝛼+2𝑘𝜋,𝑘∈𝑍.故答案为：𝛽=𝜋2−𝛼+2𝑘𝜋,𝑘∈𝑍.14．（4分）（2022·全国·高一课时练习）若α是第二象限角，则180°－α是第一象限角．【解题思路】利用象限角的定义进行求解.【解答

过程】若α是第二象限角，则𝑘⋅360∘+90∘<𝛼<𝑘⋅360∘+180∘，𝑘∈Z，所以−𝑘⋅360∘−180∘<−𝛼<−𝑘⋅360∘−90∘，𝑘∈Z，即−𝑘⋅360∘<180∘−𝛼<−𝑘⋅360∘+90∘，𝑘∈Z，所以180°－α是第一象限

角．故答案为：一.15．（4分）（2022·全国·高一课时练习）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角𝜃的集合是[2𝑘𝜋−𝜋6,2𝑘𝜋+3𝜋4],𝑘∈Z．【解题思路】确定以边界为终边的角，即可得角𝜃的集合.【解答过程】由题图，终边𝑂𝐵对应角为2𝑘𝜋−𝜋

6且𝑘∈Z，终边𝑂𝐴对应角为2𝑘𝜋+3𝜋4且𝑘∈Z，所以阴影部分角𝜃的集合是[2𝑘𝜋−𝜋6,2𝑘𝜋+3𝜋4],𝑘∈Z.故答案为：[2𝑘𝜋−𝜋6,2𝑘𝜋+3𝜋4],𝑘∈Z.16．（4分）（2022·浙江·高一期中）鲁洛克斯三角形是

一种特殊的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.它的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来.如图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧𝐴𝐵⌢的长度为2π，则

该鲁洛克斯三角形的面积为18(π−√3).【解题思路】由弧长公式可求得等边△𝐴𝐵𝐶的边长，再根据该鲁洛克斯三角形的面积等于三个扇形的面积减去2个△𝐴𝐵𝐶的面积，结合扇形和三角形的面积公式即可得解.【解

答过程】解：由题意可知∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐵𝐴𝐶=π3，设𝐴𝐵=𝑟，则弧𝐴𝐵⌢的长度为π3𝑟=2π，所以𝑟=6，设弧𝐴𝐵⌢所对的扇形的面积为𝑆，𝑆△𝐴𝐵𝐶=12⋅𝐴𝐵⋅𝐴𝐶

⋅sinπ3=9√3，则该鲁洛克斯三角形的面积为3𝑆−2𝑆△𝐴𝐵𝐶=3×12×π3×62−2×9√3=18(π−√3).故答案为：18(π−√3).四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·河南南阳·高

一期中）时间经过2小时20分钟，时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？【解题思路】根据时钟的转动规律，先求出每分钟时针和分针转动的角度，进而求出经过2小时20分钟，时针、分针转动的角度即可，结合角度制和弧度制的换算即可.【解答过程】每经过1分钟，时针转了−360°12×

60=−0.5°，分针转了−360°60=−6°，时间经过2小时20分钟，则时针转了−0.5°×140=−70°，等于−70°×π180°=−7π18，则分针转了−6°×140=−840°，等于−840°×π180°=−14π3.18．（6分）（202

2·上海·高一课时练习）写出下列角𝛼与𝛽的关系.（1）角𝛼与𝛽的终边互相垂直；（2）角𝛼与𝛽的终边互为反向延长线；（3）角𝛼与𝛽的终边关于y轴对称【解题思路】（1）由题意结合任意角、终边相同的角的概念可得𝛼−𝛽=90∘+�

�⋅360∘,𝑘∈𝑍或𝛽−𝛼=90∘+𝑘⋅360∘,𝑘∈𝑍，化简即可得解；（2）由题意结合任意角、终边相同的角的概念可得𝛼−𝛽=180∘+𝑘⋅360∘,𝑘∈𝑍或𝛽−𝛼=180∘+𝑘⋅360∘,𝑘∈𝑍，化简即可得解；（3）由题意结合

任意角、终边相同的角的概念可得𝛼+𝛽2=90∘+𝑘⋅360∘,𝑘∈𝑍或𝛼+𝛽2=270∘+𝑘⋅360∘,𝑘∈𝑍，化简即可得解.【解答过程】（1）若角𝛼与𝛽的终边互相垂直，则𝛼−𝛽=90∘+

𝑘⋅360∘,𝑘∈𝑍或𝛽−𝛼=90∘+𝑘⋅360∘,𝑘∈𝑍，所以𝛽=𝛼+𝑘⋅360°±90°,𝑘∈𝑍；（2）若角𝛼与𝛽的终边互为反向延长线，则𝛼−𝛽=180∘+𝑘⋅360∘,𝑘∈𝑍或𝛽−𝛼

=180∘+𝑘⋅360∘,𝑘∈𝑍，所以𝛽=𝛼+180°+𝑘⋅360°,𝑘∈𝑍；（3）若角𝛼与𝛽的终边关于y轴对称，则𝛼+𝛽2=90∘+𝑘⋅360∘,𝑘∈𝑍或𝛼+𝛽2=270∘+𝑘⋅360∘,

𝑘∈𝑍，所以𝛼+𝛽=180∘+2𝑘⋅360∘,𝑘∈𝑍或𝛼+𝛽=540∘+2𝑘⋅360∘,𝑘∈𝑍，所以𝛼+𝛽=180∘+𝑘⋅360∘,𝑘∈𝑍，所以𝛽=−𝛼+180°+𝑘⋅36

0°,𝑘∈𝑍.19．（8分）（2022·全国·高一课时练习）写出与下列各角终边相同的角的集合，并指出[−2𝜋,2𝜋)内与它终边相同的角．(1)−53𝜋；(2)215𝜋；(3)34𝜋；(4)16𝜋．【解题思路】根据终边相同的角

的概念及给定区间即可得到答案.【解答过程】（1）由题意，与−53𝜋终边相同的角的集合为𝑆={𝛼|𝛼=2𝑘𝜋−53𝜋,𝑘∈𝑍}，令−2𝜋≤2𝑘𝜋−53𝜋<2𝜋,𝑘∈𝑍，得−16≤𝑘<116,𝑘∈𝑍，∴𝑘=0,1，∴在[−2𝜋,2𝜋)内

与−53𝜋终边相同的角为−53𝜋，𝜋3；（2）由题意，与215𝜋终边相同的角的集合为𝑆={𝛼|𝛼=2𝑘𝜋+215𝜋,𝑘∈𝑍}，令−2𝜋≤2𝑘𝜋+215𝜋<2𝜋,𝑘∈𝑍，得−3110≤𝑘<−1110,𝑘∈𝑍，∴𝑘=−3

,−2，∴在[−2𝜋,2𝜋)内与215𝜋终边相同的角为−9𝜋5，𝜋5；（3）由题意，与34𝜋终边相同的角的集合为𝑆={𝛼|𝛼=2𝑘𝜋+34𝜋,𝑘∈𝑍}，令−2𝜋≤2𝑘𝜋+34𝜋<2𝜋,𝑘∈𝑍，得−118≤𝑘<58,𝑘∈𝑍，∴𝑘=−1,0

，∴在[−2𝜋,2𝜋)内与34𝜋终边相同的角为−54𝜋，3𝜋4；（4）由题意，与16𝜋终边相同的角的集合为𝑆={𝛼|𝛼=2𝑘𝜋+16𝜋,𝑘∈𝑍}，令−2𝜋≤2𝑘𝜋+16𝜋<2𝜋,𝑘∈𝑍，得−1312≤𝑘<1112,𝑘∈𝑍，∴𝑘=−

1,0，∴在[−2𝜋,2𝜋)内与16𝜋终边相同的角为−116𝜋，𝜋6.20．（8分）（2022·江西·高一阶段练习）已知𝛼=𝜋3．(1)写出与角𝛼终边相同的角的集合，并求出在(−4𝜋,−𝜋

)内与角𝛼终边相同的角；(2)若角𝛽与角𝛼终边相同，判断角𝛽2是第几象限的角．【解题思路】（1）根据终边相同的角的定义即可得出答案；（2）根据角𝛽的范围求出角𝛽2的范围，即可判断角𝛽2所在的象限.【解答过程】(1)解：与角𝛼终边相同的角的集合为{𝜃

∣𝜃=2𝑘𝜋+𝜋3,𝑘∈Z}，令−4𝜋<2𝑘𝜋+𝜋3<−𝜋，得−136<𝑘<−23，又𝑘∈Z,∴𝑘=−2,−1，∴在(−4𝜋,−𝜋)内与角𝛼终边相同的角是−11𝜋3,−5𝜋3；(2

)由（1），知𝛽=2𝑘𝜋+𝜋3(𝑘∈𝑍)，则𝛽2=𝑘𝜋+𝜋6(𝑘∈𝑍)，则当k为偶数时，角𝛽2是第一象限角；当k为奇数时，角𝛽2是第三象限角，∴角𝛽2是第一或第三象限角．21．（8分）（2022·全国·高三专题练习）已知扇形的圆心角是𝛼，半径是𝑟，弧长为�

�.(1)若𝛼=100°,𝑟=2，求扇形的面积；(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．【解题思路】（1）先把角度化为弧度，再利用扇形面积公式求解即可；（2）由题意可知扇形的面

积为𝑆=12𝑙𝑟=12(20−2𝑟)⋅𝑟=−(𝑟−5)2+25，利用二次函数的的性质，结合弧度的定义即可求解【解答过程】（1）因为𝛼=100°=100×π180=5π9，所以扇形的面积为𝑆=12𝑙𝑟=12𝛼𝑟2=12×5π9×4=10π9；（2）由题意可知：𝑙+2�

�=20，即𝑙=20−2𝑟，所以扇形的面积为𝑆=12𝑙𝑟=12(20−2𝑟)⋅𝑟=−(𝑟−5)2+25，当𝑟=5时，扇形面积的最大值为25，此时𝑙=20−2×5=10，𝛼=𝑙𝑟=105=2.22．（8分）（2022·全国·高一）某地政府部门欲

做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形𝑂𝐴𝐷挖去扇形𝑂𝐵𝐶后构成的)．已知𝑂𝐴=2米，𝑂𝐵=𝑥米(0<𝑥<2)，线段𝐵𝐴、线段𝐶𝐷与弧𝐵𝐶⌢、弧𝐴𝐷⌢的长度之和为6米，圆心角为𝜃弧

度．(1)求𝜃关于𝑥的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为𝑦，试问𝑥取何值时，𝑦的值最大?并求出最大值．【解题思路】(1)根据弧长公式和周长列方程得出𝜃关于𝑥的函数解析式；(2)根据面积公式求出𝑦关于𝑥的函数表达式

，根据二次函数性质可得𝑦的最大值．【解答过程】(1)根据题意，弧𝐵𝐶⌢的长度为𝑥𝜃米，弧𝐴𝐷⌢的长度𝐴𝐷=2𝜃米，∴2(2−𝑥)+𝑥𝜃+2𝜃=6，∴𝜃=2𝑥+2𝑥+2(0<𝑥<2)．(2)依据题意

，可知𝑦=𝑆扇𝑂𝐴𝐷−𝑆扇𝑂𝐵𝐶=12𝜃×22−12𝜃𝑥2，化简得：𝑦=−𝑥2+𝑥+2，0<𝑥<2，∴当𝑥=12，𝑦max=−(12)2+12+2=94．∴当𝑥=12时，y的值最大，且最大值为94．