【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第37讲 数列的综合应用（讲） Word版含解析.docx，共(11)页，807.337 KB，由小赞的店铺上传

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第37讲数列的综合应用（讲）思维导图题型归纳题型1数列在数学文化与实际问题中的应用【例1-1】（2020•北辰区二模）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六

朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第一天走的路程为()A．180里B．170里C．160里D．150里【分析】设该人第n天走na里路，则{

}na是公比为12的等比数列，利用等比数列前n项和公式求解．【解答】解：设该人第n天走na里路，则{}na是公比为12的等比数列，由题意得1661(1)2315112aS−==−，解得1160a=．故选：C．【例1-2】（2020春•河池期末）《

九章算术》一书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第二十日所织尺数为()A．18B．19C．20D．21【分析】由题意可知，每日所织数量构成等差数列，且25815aaa++=，728S=，利用等差数列的通项公式与求

和公式即可得出．【解答】解：由题意可知，每日所织数量构成等差数列，且25815aaa++=，728S=，设公差为d，由25815aaa++=，得5315a=，55a=，由728S=，得4728a=，44a=，则541daa=−

=，20515515120aad=+=+=．故选：C．【跟踪训练1-1】（2020春•河南期末）公元1202年意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即

121aa==，12(3,*)nnnaaannN−−=+…．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．若记2122()(*)nnnnnbaaanN++=−，数列{}nb的前n项和为n

S，则2020(S=)A．2020223−+B．2020223−C．2021223−D．2021223−+【分析】直接利用关系式的变换求出数列为等比数列．进一步利用等比数列的前n项和公式求出结果．【解答】解：由题意知：2212132211221212()222nnnnnnnnn

nnnnnnbaaaaaaabaaaaaa++++++++++++−−−===−−−，由于12b=−，所以(2)nnb=−，则2020202120202(12)2233S−−−==．故选：C．【跟踪训练1-2】（2020春•

永州期末）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一格问题：“一百二十六里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要去126里外的地方，第一天健步行走，从第二天起

因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第一天走了()A．64里B．32里C．16里D．8里【分析】由题意利用等比数列的求和公式，求得结果．【解答】解：这个人每天走的路程成等比数列{na}，公比为12q

=，6天共走了126里路．则有161(1)2126112a−=−，求得164a=，故选：A．【跟踪训练1-3】（2020春•安徽期末）我国古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有浦生一日，长三尺．莞生一日，长

一尺．浦生日自半．莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有浦生长1日，长为3尺．莞生长1日，长为1尺．浦的生长逐日减半．莞的生长逐日增加1倍．问几日浦、莞长度相等？”根据上面的已知条件，若浦、莞长度相等时，问浦的长度是(

)A．4尺B．5尺C．3尺D．6尺【分析】设浦每日生长的尺数为数列{}na，则{}na为等比数列，且13a=，公比12q=．设莞每日生长的尺数为数列{}nb，则{}nb为等比数列，且11b=，公比2d=．当浦、莞长度相等

时，有13(1)1(12)211212nn−−=−−，求出26n=，由此能求出浦、莞长度相等时，浦的长度．【解答】解：设浦每日生长的尺数为数列{}na，则{}na为等比数列，且13a=，公比12q=．设

莞每日生长的尺数为数列{}nb，则{}nb为等比数列，且11b=，公比2d=．当浦、莞长度相等时，有13(1)1(12)211212nn−−=−−，解得26n=或21n=（舍)，浦、莞长度相等时，浦的长度是13(1)126(1)51

612n−=−=−（尺)．故选：B．【名师指导】1．解决数列与数学文化相交汇问题的关键2．解答数列应用题需过好“四关”题型2数列中的新定义问题【例2-1】（2020春•宿州期末）对于数列{}na，定义112

33nnnaaaTn−+++=为{}na的“最优值”，现已知数列{}na的“最优值”3nnT=，记数列{}na的前n项和为nS，则2020(2020S=)A．2019B．2020C．2021D．2022【分析

】由已知可得112333nnnaaan−+++=，得到2n…时，有2112133(1)3nnnaaan−−−+++=−，两式相减可得21(2)nann=+…，验证1n=时，13a=适合上式，可得数列{}na是公差为2的等差数列，求其前2020项的和，则答案可求．【解答】解：

11233nnnaaaTn−+++=，且3nnT=，112333nnnaaan−+++=，当2n…时，有2112133(1)3nnnaaan−−−+++=−，两式相减可得：11133(1)3(21)3nnnnnannn−−−=−−

=+．21(2)nann=+…．当1n=时，13a=适合上式．21nan=+．则数列{}na是以3为首项，以2为公差的等差数列．2020(3220201)2020202220202S++==．可得则202020222020

S=．故选：D．【例2-2】（2020春•武邑县校级期末）定义：若211(*nnnnaaqnNaa+++−=−，q为非零常数），则称{}na为“差等比数列”．已知在“差等比数列”{}na中，11a=，22a=，34a=，则

20202019aa−的值是()A．20192B．20182C．20172D．20162【分析】“差等比数列”的性质得32212aaaa−=−，由此推导出20182020201921()2aaaa−=−．【解答】解

：在“差等比数列”{}na中，11a=，22a=，34a=，322142221aaaa−−==−−，21211aa−=−=．201820182020201921()22aaaa−=−=．故选：B．【跟踪训练2-1】（2020•重

庆模拟）斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，，在数学上，斐波那契数列{}na定义如下：121aa==，12(3,)nnnaaannZ−−=+…．随着n的增大，1nnaa+越来越逼近黄金分割510.

6182−，故此数列也称黄金分割数列，而以1na+、na为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应该是()A．144厘米B．233厘米C．250厘米D．377厘米【分析】设出长，根据长和宽之间的关系代入面积计

算即可．【解答】解：设该长方形的长为x厘米，则宽为0.618x；故有：20.618336x=平方分米33600=平方厘米；233x厘米；故选：B．【跟踪训练2-2】（2020•香坊区校级二模）有限数列1{Aa=，2a，，}na，nS为其前n项和，定义12nSSSn+++为A

的“凯森和”，如有504项的数列1a，2a，，504a的“凯森和”为2020，则有505项的数列2，1a，2a，，504a的“凯森和”为()A．2014B．2016C．2018D．2020【分析】本题根据根据“凯森和”的定

义，分别写出两个数列的“凯森和”的定义式，然后进行比较，找出两个定义式的联系，进行转化并加以计算可得正确选项．【解答】解：由题意，可知对于504项的数列1a，2a，，504a，根据“凯森和”的定义，有1250411212

504()()2020504504SSSaaaaaa++++++++++==，则11212()()2020504naaaaaa++++++=，对于505项的数列2，1a，2a，，504a，根

据“凯森和”的定义，有12505112125042(2)(2)(2)505505SSSaaaaaa++++++++++++++=112125042505()()505aaaaaa++++++++=25052020504505+=20

18=．故选：C．【名师指导】1．新定义数列问题的特点通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识

和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．2．新定义问题的解题思路遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．题型3数列与函数、不等式的综合问

题【例3-1】（2020春•资阳期末）记数列{}na前n项和为nS，若1，na，nS成等差数列，且数列112{}(1)(1)nnnaaa+++−−的前n项和nT对任意的*nN都有210nT−+…恒成立，则的取值范围为()A．(−，1]6B

．(−，1]2C．(−，5]6D．(−，1]【分析】直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法的应用和分离参数法及函数的恒成立问题的应用求出参数的取值范围．【解答】解：数列{}na

前n项和为nS，若1，na，nS成等差数列，所以21nnaS=+①，当1n=时，11a=．当2n…时，1121nnaS−−=+②，①−②得122nnnaaa−−=，整理得12nnaa−=（常数），所以数列{}na是以1为首项，2为公比的等比数列．所以12nn

a−=．所以11112211(1)(1)(21)(21)2121nnnnnnnnaaa+++++==−−−−−−−，则1111111111337212121nnnnT++=−+−++−=−−−−．由于对任意的*nN都有210nT

−+…恒成立，所以12nT+…恒成立．即(1)2nminT+…，当1n=时，15(1)13nminTT+=+=，所以523…，解得56…，所以5(,]6−．故选：C．【例3-2】（2020春•河南期末）已知

数列{}na的前n项和为nS，11a=，当2n…时，满足na，nS，12nS−成等比数列．（Ⅰ）求证：数列1{}nS为等差数列，并求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）求证：222223411232naaana+++++．【分析】（Ⅰ）先利用1nnnaSS−=−代入

题中变形整理得到1112nnSS−−=，即可证明数列1{}nS为等差数列且求出nS，再次利用1nnnaSS−=−即可得数列{}na的通项公式；（Ⅱ）先结合（Ⅰ）把21nna+表示出来变形即得到2122224111[](21)(21)2(21)(21)nnnannnn+==−+

−−+，再利用裂项相消法求和即可把2222234123naaana+++++求出来，进而证明222223411232naaana+++++．【解答】解：（Ⅰ）由题意知22(21)nnnSaS=−，即221

112()(21)22nnnnnnnnnSSSSSSSSS−−−=−−=−−+，整理得：112nnnnSSSS−−=−，两边同时除以1nnSS−得：1112nnSS−−=，又因为11111Sa==，所以1nS是以1为首项，2为公差的等差数列，则11(1)221nnnS

=+−=−，故121nSn=−．当2n…时，11122123(21)(23)nnnaSSnnnn−−=−=−=−−−−，当1n=时，11a=，故1,12,2(21)(23)nnannn==−−−…．（Ⅱ）2122224

111[](21)(21)2(21)(21)nnnannnn+==−+−−+，因此222223412222211111123(1)()[]2335(21)(21)naaanann+++++=−+−++−−+2

211111[1]2(21)22(21)2nn=−=−++，故222223411232naaana+++++．【跟踪训练3-1】（2020春•宣城期末）若数列{}na的通项公式为12nnan+=，则满足1011

2020na的最小的n的值为()A．1009B．1010C．1011D．1012【分析】根据通项公式直接解不等式即可．【解答】解：12nnan+=，10112020na11011101022020nnn+；又因为n为正整数；故满足10112020na的最小的

n的值为1011；故选：C．【跟踪训练3-2】（2020春•胶州市期末）在①414S=−，②515S=−，③615S=−三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答．已知等差数列{}na的前n项和为nS，满足：，*nN．（1）求nS的最小值；（2）设数列671{}nnaa++的

前n项和nT，证明：1nT．【分析】（1）分别利用等差数列的定义和数列的求和求出结果．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和．【解答】解：（1）①若选择②③；由题知：6650aSS

=−=，又因为15535()5152aaSa+===−，所以33a=−．所以6333daa=−=，解得1d=．所以6(6)6naann=+−=−．所以125670aaaaa=，所以6515nSSS==−…

②若选择①②；由题知：5541aSS=−=−，又因为15535()5152aaSa+===−，所以33a=−．所以5322daa=−=，1d=．所以3(3)6naandn=+−=−．所以125670aaaaa=，所以6515nSSS

==−…③若选择①③；由题知：1666()152aaS+==−，所以161255aaad+=+=−由题知：1444()142aaS+==−，所以141237aaad+=+=−所以15a=−，1d=．所以6nan=−．所以125670aaaaa=，

所以6515nSSS==−…．证明（2）因为6nan=−，所以671111(1)1nnaannnn++==−++所以11111111122311nTnnn=−+−++−=−++．【跟踪训练3-3】（202

0春•内江期末）已知数列{}na满足212324623(*)nnnnnNaaaa++++=+．（1）求数列{}na的通项；（2）设nnabn=，若2222123nnSbbbb=++++，求证：1163662nnnaS

a++−−．【分析】（1）当2n…时，根据1231231224622462(1)()()nnnnnnaaaaaaaaa−−=++++−++++即可求得na，不过要注意的是记得检验首项1a是否也满足当2n…时的通项，这里是一个易错点；（2）先由第（1）小问结果求出2nb的表达式即2

21(1)nbn=+，再通过对2nb进行放缩即2114(1)(2)(1)(21)(23)nnnnn+++++，最后再累加即可得到一个比结论更强的不等式．【解答】解：（1）当1n=时12,4a=，所以112a=，当2n…时21232462,3nnnnaaaa++++=+①，2123

12462(1)(1)3(1)nnnnaaaa−−++++=−+−②，由①−②得222nnna=+，所以1nnan=+，当1n=时，也满足上式，综上可知*()1nnanNn=+．（2）因为nnabn=，所以11nnabnn==+，所以221111(1)(1)(2)12nbnnnnn==−+

++++，222212311222(2)nnnSbbbbnn=++++−=++，36(2)nnSn+，又因为113636322nnnann++−=−=++，所以1663nnSa+−，又因为2222144112(

)(1)4(21)4832123nbnnnnnnn===−+++++++，所以2222123112()323nnSbbbbn=++++−+，所以118662()32323nnSnn−=++，1142626222n

nnann+++−=−=++，又因为42860223(2)(23)nnnnnn+−=++++，所以1662nnSa+−，综上：1163662nnaaSa++−−．【名师指导】1．数列与函数综合问题的主要类型及求解策略(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问

题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函

数，在解决问题时要注意这一特殊性．2．数列与不等式综合问题的求解策略解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分

离参数，转化为研究最值问题来解决．