【文档说明】湖北省随州市第一中学、荆州市龙泉中学2023届高三下学期四月联考数学试题 含解析.docx，共(26)页，3.371 MB，由小赞的店铺上传

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2023届高三随州一中龙泉中学四月联考数学试题考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答

案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合()0.5log10

Axx=−，24xBx=，则（）A.A=BB.ABC.ABB=D.ABB=【答案】D【解析】【分析】化简集合,AB，再判断各选项的对错.【详解】因为0.5{|log(1)0}{|12}Axxxx=−=，

24={|2}xBxxx=，所以AB且AB，所以A错，B错，{|12}ABxxA==，C错，{|2}ABxxB==，D对，故选：D.2.法国著名数学家棣莫弗提出了公式：()()cosisincosisinn

nrrnn+=+．据此公式，复数5ππ2cosisin44+的虚部为（）．A.162−B.162C.16−D.16【答案】A【解析】【分析】根据题意求出对应的复数，再根据虚部的定义即可得解.的【详解】依题意，5π

π5π5π2cosisin32cosisin4444+=+2232i162162i22=−−=−−，故所求复数的虚部为162−．故选：A.3.设,ab是向量，则

“ab=”是“abab+=−”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【详解】试题分析：由ab=无法得到abab+=−，充分性不成立；由abab+=−，得0ab=，两向量模不一定相等，必要性不成立，故选D.【考点】充要条件

,向量运算【名师点睛】由向量数量积的定义cosabab=(为a，b的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考

查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.4.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.假定在

水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O到水面的距离h为1.5m，筒车的半径r为2.5m，筒车每秒转动rad12，如图1所示，盛水桶M在0P处距水面的距离为3.5m，9s后盛水桶M到水面的距离近似为(取21.4)（）的A.1.

20mB.1.15mC.0.35mD.0.30m【答案】B【解析】【分析】设为水平方向与0OP的夹角，可知水桶M到水面的距离为53sin22y=+，由0P处的y值可构造方程求得4sin5=，根据所求距离为53sin92

122++，利用三角恒等变换公式计算可得结果.【详解】由题意知：水桶M到水面的距离为：53sin22y=+(为水平方向与0OP的夹角)由53sin3.522+=得：4sin5=，则3cos5

=，则9s后水桶M距离水面的距离为：53sin92122++，即5353362sincoscossin1.15242424−++=.9s后水桶M距离水面的距离约为1.15m.故选

：B.5.据美国的一份资料报道，在美国总的来说患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，则不吸烟患肺癌的概率为（）A.0.025%B.0.032%C.0.048%D.0.02%【答案】A【解析】【分析】

根据全概率公式求得正确答案.【详解】设不吸烟患肺癌的概率为x，则0.20.0040.80.001x+=，解得0.000250.025%x==.故选：A6.已知直线l：1xyab+=和圆C：2250xy+=，若直线l与圆C的公共点均为

整点（点的横纵坐标均为整数），则满足条件的直线有（）条A.78B.66C.60D.72【答案】C【解析】【分析】先找出圆上横、纵坐标均为整数的点共有12个，经过其中任意两点的割线为12个点中任取2点，再加上过每一个点的切线，再减

去经过坐标原点,垂直x轴,垂直于y轴的直线，即可得到答案.【详解】由已知可得直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点.2250xy+=上的整点有12个：()()1,7,1,7−、()()7,1,7,1−、()()5,5,5,5−，符合题意

的直线可能同时经过上述12个整点中的2个点或者为圆上过上述12个整点中的1个点的切线，再排除掉其中经过坐标原点的6条，其中有6条直线垂直x轴，有6条垂直于y轴,即得答案为212C1261260+−−=.故选：C.7.设2ea=，2ln2b=

，2e4ln4c=−则（）A.cabB.bcaC.cbaD.bac【答案】C【解析】【分析】构造函数()lnxfxx=，利用导数研究()fx的单调性，由此确定正确答案.【详解】设()()1lnxfxxx=，()()2ln1lnxfxx−=，所以()fx在区间(

)()()1,e,0,fxfx递减；在区间()()()e,,0,fxfx+递增.()e2eelneaf===，()()24424ln22ln2ln4fbf=====，2222eee2e4ln42ln2cf===−

，由于2e1e2e42，所以()()()2ee242ffff=，即cba.故选：C8.在三棱锥−PABC中，PAAB⊥，2PA=，22ABBC==，二面角PABC--的大小为3π4．若三棱锥−PABC的所有顶点都在球O的球面上，则当三棱锥−PABC的体积最大时

，球O的体积为（）A.3π2B.6πC.82π3D.714π3【答案】D【解析】【分析】作二面角PABC--的平面角，确定三棱锥的高，根据条件证明ABBC⊥，建立坐标系，根据条件确定球心位置，求出球的半径，由此可得球O的体积.【详解】设点P在平面ABC内的射影为H，连接AH，考虑到二面角P-AB-

C的大小为3π4，则点H与点C在直线AB的两侧．因为PH⊥平面ABC，AB平面ABC，所以PHAB⊥，又PAAB⊥，PAPHP=，,PAPH平面PAH，所以AB⊥平面PAH，AH平面PAH，所以PAH为二面角PABC--的平面角的补角，所以π4PAH=，又2PA=，所以1PHAH=

=，从而三棱锥−PABC的高为1．又ABC的面积1sin2SABBCABC=，所以当ABBC⊥时，ABC的面积最大，最大值为1，所以当ABBC⊥时，三棱锥−PABC的体积最大，因此点C和点P在图中两全等长方体构成的大长方体的体对角线的顶点上．以A为坐标原点，建立

如图所示的空间直角坐标系Axyz．因为球O的球心O与ABC的外接圆的圆心的连线垂直平面ABC，ABC为AC为斜边的直角三角形，所以其外接圆的圆心为AC的中点，所以球O的球心O在底面ABC内的射影为线段AC的中点，于是设1,1,2Oz

．又(0,0,0)A，(1,0,1)P−，由||||OAOP=，得222222131(1)(1)22zz++=−+−+−，解得32z=，则球O的半径142OA=，所以球O的体积3344π14714ππ3323VR===．故选：D.【点睛】与

球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，求出球心的位置，再求球的半径.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给

出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列结论正确的有（）A.若随机变量，满足21=+，则()2()1=+DDB.若随机变量()23,N−，且(6)0.84=P，则(36)0.

34=PC.若线性相关系数||r越接近1，则两个变量的线性相关性越强D.按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44．48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则6

7mn+=【答案】BC【解析】【分析】由方差的性质判断A；由正态分布的对称性判断B；由相关系数的定义判断C；根据百分位数的定义判断D.【详解】对于A，由方差的性质可得2()2()4()DDD==，故A错误；对于B，由正态分布的图象的对称性可得(36)(6)0.5

0.34PP=−=，故B正确；对于C，由相关系数知识可得：线性相关系数||r越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故C正确；对于D，甲组：第30百分位数为30，第50百分位数为372+m，乙组：第30百分位数为n，第50百分位数为33447722+=，则30

377722nm=+=，解得3040nm==，故70mn+=，故D错误；故选：BC10.中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状，如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为2222221xyzabc++=（0z，a，b，0c，且a，b，c全相

等）若该建筑的室内地面是面积为2π(0)mm的圆，则下列结论正确的是（）A.ab=；B.cm=；C.2acm=；D.若acm，则1c【答案】AD【解析】【分析】令0z=得底面曲线方程结合已知条件分别判断A,B,D选项，根据反证法判断C选项即可.【详解】已知2222221xyzabc++=,令

0z=得底面曲线方程为22221xyab+=,建筑的室内地面是面积为2π(0)mm的圆，ab=,且22π=πma得ma=,故A正确；ab=,,,abc不全相等，cm，故B错误；由2acm=得2mmc=，即cm=，则abcm===与,,abc不全相等矛盾，故C错误；若

acm，即,0,mcmm则1c，故D正确.故选:AD.11.在平面直角坐标系中，定义1212(,)dPQxxyy=−+−为()()1122,,,PxyQxy两点之间的“曼哈顿距离”，则下列说法正确的是（）A.若点C在线段AB上，则有(,)(,)(,)dACdCBdAB+=

B.若A、B、C是三角形的三个顶点，则有(,)(,)(,)dACdCBdAB+C.若O为坐标原点，点B在直线220xy+−=上，则(0,)dB的最小值为2D.若O为坐标原点，点P满足(,)1dOP=，则P所形成图形的面积为2【答案】AD【解析】【分析】根据定义结合绝对值三角不等式分别判断

各选项.【详解】A选项：若点C在线段AB上，设点()00,Cxy，()()1122,,,AxyBxy，则0x在1x，2x之间，0y在1y，2y之间，则010120201212(,)(,)(,)dACdCBxxyyxxyyxxyydAB+=−+−+−+−=−+−=，故A正确；B选项：在ABC

中，010120201212(,)(,)(,)dACdCBxxyyxxyyxxyydAB+=−+−+−+−−+−=，故B错误；C选项：设(),Bxy，则(0,)2222dBxyxx=+=+−，即(0,)dB的最小值为22，C选项错误；D选项：由(,)1d

OPxy=+=，则点P的轨迹如图所示，面积为12222=，D选项正确.故选：AD.12.已知函数e()xxfx=−，()lngxxx=−，则下列说法正确的是（）A.(ln)fx在(1,)+上是增函数B.1x，不等式()2()faxflnx恒成立，则正实数a的最

小值为2eC.若()gxt=有两个零点1x，2x，则122xx+D.若()()12(2)fxgxtt==，且210xx，则21lntxx−的最大值为1e【答案】ABD【解析】【分析】A选项，由题()()lnlnfx

xxgx=−=，()1,x+，判断()gx在()1,+上的单调性即可；B选项，由()fx单调性，()()22max2lnlnlnxfaxfxaxxax；C选项，由()gxt=有两个零点1x，1x

，构造函数应用极值点偏移可解；D选项，因()()1232，fg，及()()fxgx，在()1,+上单调递增，结合B选项分析可判断选项.【详解】对于A选项，()()lnlnfxxxgx=−=，()1,x+.又当

()1,x+时，()1110xgxxx−=−=，则()lnfx在()1,+上是增函数，故A正确；对于B选项，1x时，2ln0x，又a为正实数，所以0ax，又0x时，()e10xfx=−，所以()fx在()1,+单调递

增，故()()22lnlnfaxfxaxx，即max2lnxax.令()2lnxxx=，知()222lnxxx−=，所以()x在()1,e上递增，在()e,+上递减，所以()()max2eex==，得正实数a的最

小值为2e，故B正确；对于C选项，()gxt=有两个根1x，2x，等价于函数()gxt−有两个零点1x，2x.注意到()111xgxtxx−−=−=，则()gxt−在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，因函数有零点，则()(

)1101gxtgttt−=−=−min.设1201xx，令()()()2hxgxgx=−−，()0,1x，因为()()()2hxgxgx=+−，所以()()()()()22111222xxxhxgxgxxxxx−−−−=+−=+=−−，当01x时，()0

hx，()hx单调递减；所以()hx在()0,1上单调递减，所以()()10hxh=，即当01x时，()()2gxgx−，由题意()()()2112gxgxgx=−，21x，121x−，且()gx在()1,+

上单调递增，所以212xx−，即122xx+．故C错误；对于D选项，由AB选项分析可知，()()fxgx，在()1,+上单调递增，又()()()122fxgxtt==，()()11233ln32e，fg=−=−，则2131xx.由()(

)12fxgx=，即12ln1222elnelnxxxxxx−=−=−，即有()()12lnfxfx=，又121ln1xx，，()fx在()1,+上单调递增，所以12lnxx=，即12exx=，所以1211lnlnlnextttxxxt==−−，其中2t.由B选项分析可知，2ln2exx

，其中ex=时取等号，则1211lnlnln1eextttxxxt==−−，其中ex=时取等号，所以21maxln1etxx=−，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：对于复杂函数，常利用导数求单调区间.对于恒成立问题，常利用分离参数法将问题转化为求最值.对

于双变量问题，常结合题目条件寻找变量间关系，将双变量转化为单变量.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.()52111xx+−的展开式中，常数项为________．【答案】11【解析】【分析】将问题转化成51(1)x−的常数项及含

2x−的项，利用二项展开式的通项公式求出第1r+项，令x的指数为0，2−求出常数项及含2x−的项，进而相加可得答案．【详解】先求51(1)x−的展开式中常数项以及含2x−的项；155C()C(1)1rrrrrrTxx−+=−=−由0r−=得0r=，由2r−

=−得2r=；即51(1)x−的展开式中常数项为05C，含2x−的项为2225C(1)x−−()251(1)1xx+−的展开式中常数项为0255CC11+=故答案为：1114.已知是第三象限角，3cos2sin2+=，则tan=________．【答案】22【解析】【分

析】利用二倍角公式可得1sin3=−，再由同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】因为23cos2sin23(12sin)sin20+−=−+−=，整理可得26sinsin10−−=，解得1sin03=−，或1sin

2=，由于是第三象限角，1sin2=（舍去）所以22si2cos13n−=−−=，sintan22cos==aaa．故答案为：22．15.已知等比数列na中，22a=，514a=，则满足12231212nnaaaaaa+++

+成立的最大正整数n的值为______．【答案】3【解析】【分析】设na的公比为q，由22a=，514a=，解得和1a，由数列1nnaa+是等比数列，用公式法求和，解不等式求出n.【详解】已知na为等比数列，设其公比为q，由352aaq=得，3124q=，318q=，解得1

2q=，又22a=．∴14a=．因为21211==4nnnnaaqaa+++，所以数列1nnaa+也是等比数列，其首项为128aa=，公比为14．∴()1223132211432nnnaaaaaa−++++=−，从而有11464n．∴

3n．故max3n=．故答案为：3.【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质．16.已知抛物线22(0)ypxp=，圆2212pxy−+=与y轴相切，直线l过抛物线的焦点与抛物线交于A，D

两点，与圆交于B，C两点（A，B两点在x轴的同一侧），若ABCD=，[1,4]，则弦长AD的取值范围为________．【答案】94,2【解析】【分析】先求得p，设直线l的方程为1xmy=+，然

后根据的取值范围求得2m的取值范围，再利用弦长公式求得弦长AD的取值范围.【详解】抛物线22(0)ypxp=的焦点为,02p，圆2212pxy−+=的圆心为,02p，半径为1，由于圆2

212pxy−+=与y轴相切，所以1,22pp==，抛物线方程为24yx=，圆()2211xy−+=，设直线l的方程为1xmy=+，由214xmyyx=+=消去x并化简得2440ymy−−=，设()()1122,,,AxyDxy，不妨

设A在第4象限，D在第1象限，则12124,4yymyy+==−，()22212121212242,144yyxxmyymxx+=++=+==，由于ABCD=，所以ABCD=，则()()1211,1111AFDFxx−=−+−=+−，即12xx=，则221

x=，211,xx==，所以212142xxm+=+=+，21124m=+−，函数1,2，根据对勾函数的性质可知，函数1y=+在[1,4]上单调递增，所以152,2+，112

0,2+−，11120,48+−，即2m的取值范围是10,8.所以21292444,2ADxxm=++=+.故答案为：94,2【点睛】在抛物线中，求解过焦点的弦长问题

，可设出直线方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，然后利用弦长公式12xxp++来进行求解.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，π3C=．（1）若BC边上的高等于33a，求cosA；（2）若

2CACB=，求AB边上的中线CD长度的最小值．【答案】（1）714（2）3【解析】【分析】（1）先求得,ABAC（用a表示），然后利用余弦定理求得cosA.（2）先求得ab，利用向量法求以及基本不等

式求得CD长度的最小值.【小问1详解】过A作AEBC⊥，垂足为E，则33AEa=，323,2π333tan3aAEaCEACCEa=====，222237,33333aaaBEaABaa=−==+=，在三角形ABC

中，由余弦定理得22274799cos1472233aaaAaa+−==.【小问2详解】π12cos,432CACBababab====，()12CDCACB=+，两边平方得()()222211444CDCACBab=+=++()124

34ab+=，当且仅当2ab==时等号成立，所以CD的最小值为3.18.已知正三棱锥−PABC的底面边长等于23，顶点P在底面ABC内的投影为O，点O在侧面PAB内的投影为D，连接PD与棱AB交于点E．（1）证明：点E是棱AB的中点；（2）若点D是PAB

的重心，求直线CD与平面PAC所成角的正弦值．【答案】（1）证明详见解析（2）1111【解析】【分析】（1）根据线线垂直、线面垂直、等腰三角形的知识证得点E是棱AB的中点；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线CD与平面PAC

所成角的正弦值.【小问1详解】由于PO⊥平面,ABCABÌ平面ABC，所以POAB⊥.由于OD⊥平面PAB，AB平面PAB，所以ODAB⊥.由于,,POODOPOOD=平面POD，所以AB⊥平面POD，由于PE平面POD，所以ABPE⊥，由于PAP

B=，即三角形PAB是等腰三角形，所以E是棱AB的中点.【小问2详解】由（1）可知,,EOC单点共线，连接CE，以E为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，23,3,3,2,1ABBCACBECEOCOE=====

==，设,0POtt=，则()()()()()3,0,0,0,3,0,3,0,0,0,1,0,0,1,ACBOPt−，由于D是三角形PAB的重心，所以10,,33tD，20,,33tOD=−，由于OD⊥平面PAB，P

E平面PAB，所以ODPE⊥.所以()2220,,0,1,0,23333ttODEPtt=−=−==（负根舍去），则()12820,1,2,0,,,0,,3333PDCD=−，()()3,1,2,3,3,0PAAC=−−−=，设

平面PAC的法向量为(),,nxyz=，则320330nPAxyznACxy=−−−==+=，故可设()3,1,2n=−，设直线CD与平面PAC所成角，则821133sin116663CDnCDn−+===.19.某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与

语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：语文成绩合计为优秀不优秀数学成绩优秀503080不优秀4080120合计90110200（1）根据0.010=的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？（2）

在人工智能中常用()()()PBALBAPBA=∣∣∣表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，A表示“选到的学生语文成绩不优秀”，B表示“选到的学生数学成绩不优秀”请利用样本数据，估计()LBA∣的值.（

3）现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数X的概率分布列及数学期望.附：()()()()22()nadbcabcdacbd−=++++0.0500.0100.001x3

.8416.63510.828【答案】（1）认为数学成绩与语文成绩有关；（2）83；（3）分布列见解析，()158EX=.【解析】【分析】（1）零假设0H后，计算2的值与6.635比较即可；（2）根据条件概率公式计算即可；（3）分层抽样后运用超几何分布求解.【小问1详

解】零假设0H：数学成绩与语文成绩无关.据表中数据计算得：22200(50803040)16.4986.6359011012080−=根据小概率值0.010=的2的独立性检验，我们推断0H不成立，而认为数学成绩与语文成绩有关

；【小问2详解】∵()()()()808()()()()()()303()PABPBAPABnABPALBAPABPBAPABnABPA======∣∣∣，∴估计()LBA∣的值为83；【小问3详解】按分层抽样，语文成绩优秀的5人，

语文成绩不优秀的3人，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.()3338C10C56PX===，()125338CC151C56PX===，()215338CC30152C5628PX====，()3538C1053C5628PX====，∴X的概率分布列为：X0123P15615

561528528∴数学期望()11515510515012356562828568EX=+++==.20.已知数列na的前n项和为nS，()()12nnSnaan=+N．（1）证明：数列na是等差数列；（2）若（1）中数列na满足36S=，515S

=，令11Annnnab++=，记12nnTbbb=+++，证明1nT【答案】（1）证明详见解析（2）证明详见解析【解析】【分析】（1）利用11,1,2nnnSnaSSn−==−以及等差数列的定义证得结论成立.（2）先求得na，利用裂项求和法求得nT，进而证得1nT.【小问1详解】依

题意，()()12nnSnaan=+N，当1n=时，1122aa=；当2n时，由()12nnSnaa=+得()()11121nnSnaa−−=−+，两式相减并化简得()()1121nnnanaa−−=−−，则()111nnnanaa+−=−，两式

相减得()()()11121nnnnnananana+−−−−=−−，即()()()111121nnnnanana+−−+−=−，由于2,10nn−，所以()1122nnnaaan+−+=，所以数列na是等差数列；【小问2详解】设等差数列na的公差为d，依题意36

S=，515S=，所以1133651015adad+=+=，解得11ad==，所以nan=.()()1111A1!!1!nnnnanbnnn++===−++，所以12nnTbbb=+++()()1111!1

!1!111112!2!3!nnn=−+−++−−=++.21.已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab−=离心率为2，顶点到渐近线的距离为32．（1）求双曲线的标准方程；（2）双曲线E的左、右顶点分别为1A、2A，过点()(),0Ttta

作斜率为k的直线交双曲线E的右支于M、N两点，直线1AM、2AN分别与直线l：xt=交于点P、Q，TPTQ=，试探究的取值是否与k有关？若有关，求与k的关系式；若无关，求的值．的【答案】（1）2213yx−=（2）的取值

与k无关，1=−【解析】【分析】（1）利用离心率公式和点到直线距离公式即可求出方程；（2）设出直线MN方程，并与双曲线方程联立，由韦达定理得出点MN、横坐标关系式；再分别写出直线1AM、2AN方程，并与直线xt=联立得点PQ、坐标；由TPTQ=，得出表达式，并化简出定值.【小

问1详解】由题意知，双曲线E的渐近线方程为byxa=，顶点为(,0)a，离心率2cea==，所以2ca=，3ba=.由顶点到渐近线的距离为32知，222233322abaacaab===+，解得1,3,

2abc===.故双曲线的标准方程为2213yx−=.【小问2详解】由题知,1(1,0)A−，2(1,0)A，1t，直线MN方程为()ykxt=−.设11(,)Mxy，22(,)Nxy，由22()13ykxtyx=−−=，得22222(3)230kxktxkt−−++=，则有2

30k−，0，212223ktxxk+=−，2212233ktxxk+=−.直线1AM方程为11(1)1yyxx=++，与直线xt=联立得点11(1),1tyPtx++；直线2AN方程为22(1)1yyxx=−−，与直线xt=联立得点22(1),1ty

Qtx−−；因为TPTQ=，所以1122(1)1(1)1tyxtyx++=−−12121212(1)1(1)()(1)1(1)(1)(1)()tyxktxtxxtyktxxt+−+−−==+−−+−12121212(1)()(1)()txxxtxttx

xtxxt+−−+=−−+−，其中1t.由212223ktxxk+=−，得221223ktxxk=−−，代入上式得2221122222112232(1)(())3332(1)()33ktkttxtxtkkktktttxxtkk++−−

−+−−=+−−+−−−−2222221222221(1)[323(1)(3)](1)[323(1)(3)]tktktktttkxtktktktttkx++−+−+−−=−++−+−+−2222122221(1)[33(1)(3)](1)[33(1)

(3)]tktktttkxtktktttkx+−++−+−−=−+++−+−221221(1)[(3)(1)(1)(3)](1)[(3)(1)(1)(3)]tktttkxtktttkx++−+−−=−++−+−221221(3)(3)1

(3)(3)ktkxktkx−++−==−+−−.所以的取值与k无关，1=−.22.设()fx是定义在区间(1,)+上的函数，其导函数为()fx．如果存在实数a和函数()hx，其中()hx对任意的(1,)x+都有()0hx，使得()2()(

)1fxhxxax=−+，则称函数()fx具有性质()Pa．（1）设函数2()ln(1)1bfxxxx+=++，其中b为实数．（i）求证：函数()fx具有性质()Pb；（ii）求函数()fx的单调区间．（2）已知函数()gx具有性

质()2P.给定12,(1,)xx+，12xx，设m为实数，12(1)mxmx=+−，12(1)mxmx=−+，且1，1，若()()12|()()|gggxgx−−，求m的取值范围．【答案】（1）（i）见解析；（i

i）见解析（2）()0,1【解析】【分析】（1）（i）对()fx求导，可得()()2101hxxx=+恒成立，即可证明函数()fx具有性质()Pb；（ii）()2221124bbxxbxx=−+=−+−

，()x与()fx的符号相同，分22b−，2b=，2b−和2b，讨论()fx的正负，即可得出函数()fx的单调区间.（2）对()gx求导，()()22()()21()1gxhxxxhxx=

−+=−，分析可知其()0gx在()1,x+恒成立，分1,12mm，12m=和12m三种情况讨论求解m的取值范围．【小问1详解】（i）()()()222121()111bfxxbxxxxx+=−=−+++，因为1x，()()2101hxxx=+恒成立，所以函数

()fx具有性质()Pb；（ii）设()2221124bbxxbxx=−+=−+−，()x与()fx的符号相同.当2104b−即22b−时，()0x，()0fx，故此时()fx区

间()1,+上递增；当2b=时，对于1x，有()0fx，所以此时()fx在区间()1,+上递增；当2b−时，()x的图象开口向上，对称轴12bx=−，而()01=，对于1x，总有()0x，(

)0fx，所以此时()fx在区间()1,+上递增；在当2b时，()x的图象开口向上，对称轴12bx=，方程()0x=的两根为：221244,22bbbbxx+−−−==，且11x，()22420,124bbbb−

−=+−，当241,2bbx+−时，()0x，()0fx，此时()fx在区间241,2bb+−上递减；同理得：()fx在区间24,2bb+−+上

递增.综上所述：当2b时，()fx在区间()1,+上递增；当2b时，()fx在区间241,2bb+−上递减，在24,2bb+−+上递增.【小问2详解】由题意，得：()()22()()21()1gxhxxxhxx=−+=−，又()hx对任

意的()1,x+都有()0hx，所以对任意的()1,x+都有()0gx，()gx在()1,+上递增.又()()1212,21xxmxx+=+−=−−，当1,12mm时，，且()()()()11221211,11xmxmxxmxmx−=−+−−=−+−，所以

()()()()22121210xxmxx−−=−−−，所以12xx或12xx，若12xx，则()()()()12ffxfxf，所以()()12()()gggxgx−−不合题意.所以12xx，即()()

11212211xmxmxmxmxx+−−+，解得：1m，112m，当12m=时，=，()()120()()gggxgx=−−，符合题意.当12m时，，且()()212112,xmxxxmxx−=−−=−−，同理有12xx，即()()11

212211xmxmxmxmxx−++−，解得：0m，102m，综合以上讨论，所求m的取值范围时()0,1.【点睛】本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识、考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力.获

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