【文档说明】黑龙江省鹤岗市第一中学2021届高三下学期2月月考数学（理）试题含答案.docx，共(29)页，1017.399 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年度理科数学月考试卷一、单选题1．已知集合02xAxx=−，220Bxxx=−++，则AB=（）A．02xxB．12xx−C.02xxD．10xx−2．已知i为虚数单位，且复数3412

iiz+=−，则复数z的共轭复数为（）A．12i−+B．12i−−C．12i−D．12i+3．已知m，n，l为两两不重合的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若//mn，//nl，//l则//

mB．若m⊥，//mn，//，则n⊥C．若ml⊥，l⊥，则//mD．若⊥，m，则m⊥4．已知平面向量a与b的夹角为3，若()1,3,7aab=−=，则b=（）A．3B．2C．3D．45．等比数列{}na的各项均为正数，39a=，则3132333435loglo

glogloglogaaaaa++++=（）A．52B．53C．15D．106．已知2nxx−的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为（）A．－34B．672C．84D

．－6727．下列命题为真命题的是（）A．若0ab，则11abB．“0xR，00xex”的否定是“0xR，00xex”C．函数()()11xfxexxR−=−−有两个零点D．幂函数()22231mmymmx−−=−−在()0,x+上是减函数，则实数1m=−8．受新

冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼有甲、乙、丙、丁、戊、己六个班排队吃饭，甲班不能排在第一位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（）A．120种B．192种C．156种D．240种9．“幻方”最早记载于我国公元前500

年的春秋时期《大戴礼》中，n阶幻方（3n，*nN）是由前2n个正整数组成的一个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15.现从如图所示的3阶幻方中任取

3个不同的数，记“取到的3个数和为15”为事件A，“取到的3个数可以构成一个等差数列”为事件B，则()|PBA=（）A．12B．23C．13D．3410．已知函数2()23sincos2cos(0)222xxxfx=+

的图象与直线3y=相切，相邻的切点间的距离为23．将()fx的图象向左平移(0)个单位长度得到()gx的图象，若()gx是偶函数，则的最小值是（）A．6B．3C．9D．1811．若函数()

3211232xbfaxxcx=+++在()0,1上取得极大值，在()1,2上取得极小值，则31ba−−的取值范围是（）A．1,12B．31,2C．13,22D．1,2212．已

知12,FF是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，|PF2|>|PF1|，椭圆的离心率为1e，双曲线的离心率为2e，112||||PFFF=，则2133ee+的最小值为（）A．8B．6C．4+22D．4二、填空题13．欲

利用随机数表从00、01、02、…、59这些编号中抽取一个容量为6的样本，选取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读，每次读取两位，直到取足样本，则第4个被抽取的样本的编号为_______3395220018747218001838795869328176

80269282808425399084607980243659873882075389359635237918059890073514．已知()fx满足对,()()0,xRfxfx+−=且0x时，()xfxem=+（m为常数），则(ln5)f−的值为

__________．15．如图，三棱椎PABC−的底面ABC是等腰直角三角形，90ACB=，且2PAPBAB===，3PC=，则点C到平面PAB的距离等于______．16．已知函数()22lnxefxkxxx=−+，若2x=是函数()fx

的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为_________三、解答题17．某市规划一个平面示意图为如图的五边形ABCDE的一条自行车赛道，ED，DC，CB，BA，AE为赛道(不考虑宽度)，BD，BE为赛道内的两条服务

通道，23BCDBAE==，8km,23kmDEBCCD===.（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度；①23CDE=；②3cos5DBE=（2）在（1）条件下，应该如何设计，才

能使折线段赛道BAE最长(即BA+AE最大)18．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立

.（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（2）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）.19．如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABC，//,90ADBCABC=，2AD=，23AB=，6BC=．（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；（2）PA长为何值时，直线

PC与平面PBD所成角最大？并求此时该角的正弦值．20．已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为22，且直线1xyab+=与圆222xy+=相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C相交于不

同的两点A﹐B，M为线段AB的中点，O为坐标原点，射线OM与椭圆C相交于点P，且O点在以AB为直径的圆上．记AOM，BOP△的面积分别为1S，2S，求12SS的取值范围．21．已知函数()1sin()xfxeaxaR=−−.（1）当1a=时，判断()fx在(0,)+

的单调性；（2）当[0,]x时，()0fx恒成立，求实数a的取值范围.22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos(22sinxy==+为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴

为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设,AB为曲线C上不同两点（均不与O重合），且满足4AOB=，求OAB的最大面积.23．已知,xyR，且1xy+=．（1）求证：22334x

y+；（2）当0xy时，不等式11|2||1|aaxy+−++恒成立，求a的取值范围．参考答案1．A【分析】先求得集合A、B，再由集合的交集运算得出选项.【详解】由已知得02Axx=，()()22021012

Bxxxxxxxx=−−=−+=−，∴02ABxx=.故选：A2．C【分析】根据复数模的计算公式，以及复数的除法运算，求出z，即可得出其共轭复数.【详解】因为3412iiz+=−，所以512zi=−，则()()(

)512512121212iziiii+===+−−+，因此复数z的共轭复数为12i−.故选：C3．B【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断各选项．【详解】若//mn，//nl，//l，则//m或m，故A错误；若⊥，m，则m可能

与成任意角度，故D错误；若ml⊥，l⊥，则//m或m，故C错误；由m⊥，//mn，得n⊥，又//，得n⊥．故B正确.故选：B．4．C【分析】可求出||2a=，再根据,3ab=，对||7ab−=两边平方，进行数量积的运算得出2||2||30bb−−=，从而根据||0b

解出||b即可．【详解】解：(),,1,33aba==，||7ab−=，所以()22132a=+=22()42||||7abbb−=−+=，且||0b，解得3b=．故选：C．5．D【分析】根据等比数列的性质得5123453aaaaaa=，由对数运算化简即可.【

详解】解：因为等比数列{}na的各项均为正数，且39a=所以3132333435logloglogloglogaaaaa++++()()()()55103123453333logloglog9log310aaaaaa=====.故选：D.【点睛】对数运算的一般思

路：（1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；（2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数

的积、商、幂的运算.6．D【分析】由二项式系数公式求得9n=，再根据通项公式令x指数为0解出参数r然后代回公式求得常数项.【详解】由已知，2512n=，则9n=，所以()93921992(2)rrrrrrrTCxCxx−−+=−=−.令930r−=，得3r=，

所以常数项为()3392884672C−=−=−，故选：D．【点晴】方法点晴：求二项式展开式的指定项问题，一般由通项公式建立方程求参数，再代回公式求解.7．C【分析】作差11baabab−−=可判断A；写出命题的否定可判断B；利用导数判断函数的单调性和极

值可判断C；根据幂函数的定义可判断D.【详解】对于A，11baabab−−=，因为0ab，所以0,0baab−，所以110−ab，11ab，错误；对于B，“0xR，00xex”的否定是“xR，xex”，错误；对于C，函数()()11xfxexxR−=−−，()

1e1xfx−=−，当()0fx得1x，当()0fx得1x，所以()fx在1x是单调递增函数，在1x是单调递减函数，所以()fx在1x=时有最小值，即()011110fe=−−=−，()3344150fee=−−=−，()3322110fee−−−=+−=

+，所以()fx有两个零点，正确；对于D，由已知得2211230mmmm−−=−−，无解，幂函数()22231mmymmx−−=−−在()0,x+上是减函数，则实数1m=−，错误.故选：C.【点睛】本题是一道综合题，对于零点的判断，可以利用函数的单调性结合极值情况进行判断，

考查了学生对基础知识、基本技能的掌握情况.8．B【分析】丙丁捆绑在一起作为一个元素，变成5个元素进行排列，其中甲先在后面4个位置中选一个，这样由乘法原理可得结论（注意丙丁内部也有排列）．【详解】丙丁捆绑在一起

看作一个班，变成5个班进行排列，然后在后面4个位置中选1个排甲，这样可得排法为214244192AAA=．故选：B．9．A【分析】根据题意，先列举出事件A发生对应的基本事件，再列举出事件AB同时发生对应的基本事件，基

本事件的个数比，即为所求的概率.【详解】根据题意，事件A包含的基本事件有：()8,1,6，()3,5,7，()4,9,2，()8,3,4，()1,5,9，()6,7,2，()8,5,2，()4,5,6；共8个基本

事件；事件AB同时发生包含的基本事件有：()3,5,7，()1,5,9，()8,5,2，()4,5,6共4个基本事件，所以()()()48|12nABPBAnA===.故选：A.【点睛】本题主要考查求条件概率，属于基础题型.10．C【分析】根据二倍角公

式可得()2sin16fxx=++，由题意可得23T=，从而可得23T==，再利用三角函数图象的平移变换可得()2sin3316=+++gxx，由()gx是偶函数，可得3()62+=+Zkk，解

方程即可.【详解】2()23sincos2cos222xxxfx=+3sincos12sin16xxx=++=++，因为()fx的图象与直线3y=相交，相邻的交点间的距离为23，即23T=所以2323==，故()2sin316=++fxx．()

fx的图象向左平移(0)个单位长度，得到()2sin3316=+++gxx的图象，因为()gx是偶函数，所以3()62+=+Zkk，得()93=+Zkk．因为0，所以的最小值是9．故选：C11．C【分析】求导后导函数为二

次函数，根据极值的条件得到关于,ab的不等式组，利用线性规划方法，画出可行域，将所求式子的值看做区域上点与定点的连线的斜率，根据直线斜率的变化规律求得取值范围.【详解】∵()3211232xbfaxxcx=+++()22fxxaxb=++∵函数f(x)在()0,1

上取得极大值，在()1,2上取得极小值，()()()001020fff，即021020babab++++，在直角坐标系aOb中画出不等式组所表示的区域如图所示：这是由()()()2,0,1,0,3,1ABC−−−为顶点的三角形及其内部区域，3

1ba−−可看作区域上点(),Pab与点()1,3M的连线的斜率，结合图形可知313,122ba−−故选：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值和简单线性规划问题，属小综合题.关键点在于求得导函数后，结合二次函数的性质和函数取得极大值和极小值的条件，得到()()()0010

20fff,得到a,b,c满足的不等式组.然后解决由多个二元一次不等式组构成的条件下求表达式的取值范围问题，常见直线型目标函数，斜率型目标函数和距离型目标函数，利用数形结合方法求解是常用的思路.

12．A【分析】由题意可得112||||2PFFFc==，再设椭圆和双曲线得方程，再利用椭圆和双曲线的定义和离心率可得2133ee+的表达式，化简后再用均值不等式即可求解.【详解】由题意得：112||||2PFFFc==，设椭圆方程为221122

111(0)xyabab+=，双曲线方程为222222221(0,0)xyabab−=，又∵121212||||2,||||2PFPFaPFPFa+=−=.∴2122||+22,||22PFcaPFca=−=，∴122aac−=，则2211212239333

3eaaacceacca++=+=2222229(2)3633caacaccaca++==++222233626833aacccaca=+++=，当且仅当2233acca=，即23e=时等号成立.则2133ee+

的最小值为8.故答案为：8.【点睛】考查椭圆和双曲的定义,焦半径公式以及离心率，其中将2133ee+化为22229911(18)(218)833aacccaca+++=为解题关键，注意取等号.13．58【分析】根据随机数表的读取方式，重复出现的数字只读一次即可得出

结果.【详解】根据随机数表的知识可知，抽取的样本的编号依次为18、00、38、58、32、26，故第4个被抽取的样本的编号为58.故答案为：5814．4−【分析】由题可得()00f=，由此可求得1m=−，再由(ln5)(ln5)ff−=−即可求出.

【详解】,()()0,xRfxfx+−=()00f=，0x时，()xfxem=+，()000fem=+=，解得1m=−，()ln5(ln5)(ln5)14ffe−=−=−−=−.故答案为：4−.15．33【分析】将三棱锥PA

BC−补全为边长为1的正方体，再由等体积法求得点到平面距离.【详解】由题意，可将三棱锥PABC−补全为边长为1的正方体如图所示，2PAPBAB===，1ACBCPD===，设点C到平面PAB的距离为h，则由CPAABCPBVV−−=得1133ABCPABSPDSh=△△，所以()2111132

3324ABCPABSPDhS===△△．故答案为：33【点晴】方法点晴：求点到平面距离通常用等体积法求解.16．(,e−【分析】求()fx的导函数，因为2x=是函数()fx的唯一一个极值点，所以2x=是导函数()fx的唯一根，所以0xekx

−=在()0,+上无变号零点．设()xegxx=，结合()xegxx=与yk=的图像可知答案．【详解】由题可得()()24222221xxxekxxexxefxkxxxx−−−=−−

+=因为2x=是函数()fx的唯一一个极值点，所以2x=是导函数()fx的唯一根所以0xekx−=在()0,+上无变号零点．设()xegxx=，则()()21xxegxx−=当()0,1x时，()0gx，()gx在()

0,1上单调递减当()1,x+时，()0gx，()gx在()1,+上单调递增所以()()min1gxge==，结合()xegxx=与yk=的图像可知，若2x=是函数()fx的唯一极值点，则ke故实数k的取

值范围为(,e−.【点睛】本题考查导函数问题，解题的关键是构造函数()xegxx=17．（1）10BE=；（2）当ABAE=时，折线段赛道BAE最长.【分析】（1）在BCD△中应用余弦定理求得BD，进而在RtBDE应用勾股定理求得BE．（2）在BAE

△中，应用余弦定理表达出AB与AE的等量关系，再结合不等式求得ABAE+的最大值即可．【详解】（1）①当23CDE=时，在BCD△中，由余弦定理得：2222BDBCCDBC=+−cos36CDBCD=，6BD=∴.BCCD=，6CBDCDB==

，又23CDE=，2BDE=，在RtBDE中，22366410BEBDDE=+=+=.②当3cos5DBE=，由6BD=，8DE=，在BDE中，利用余弦定理可得2222cosDEBDBEBDBEDBE=+−,解得

10BE=或145BE=−（舍）.（2）在BAE△中，23=BAE，10BE=.由余弦定理得2222cosBEABAEABAE=+−BAE，即22100ABAEABAE=++，故()2100A

BAE+−=22ABAEABAE+，从而()231004ABAE+，即2033ABAE+，当且仅当ABAE=时，等号成立，即设计为ABAE=时，折线段赛道BAE最长.18．（1）5681；（2）

22481.【分析】（1）甲在4局以内（含4局）赢得比赛的情况有：前2局甲赢；第1局乙赢、第2、3局甲赢；第1局甲赢、第2局乙赢、第3、4局甲赢，从而就可以求出概率.（2）根据题意X的可能取值为2,3,4

,5，求出相应的概率，列出分布列，再利用均值公式计算即可.【详解】（1）用A表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，kA表示“第k局甲获胜”，kB表示“第k局乙获胜”.则2()3kPA=，1(),1,2,3,4,53kPBk==.121231234()

()()()PAPAAPBAAPABAA=++121231234()()()()()()()()()PAPAPBPAPAPAPBPAPA=++2222122125633333381=++=.（2）X的可能取值为2,3,4,5.12121212(2)(

)()()()()()PXPAAPBBPAPAPBPB==+=+2211533339=+=，123123123123(3)()()()()()()()()PXPBAAPABBPBPAPAPAPBPB==+=+122211233

33339=+=，1234123412341234(4)()()()()()()()()()()PXPABAAPBABBPAPBPAPAPBPAPBPB==+=+21221211103333333381=+=8(5)1

(2)(3)(4)81PXPXPXPX==−=−=−==.故X的分布列为X2345P59291081881所以.考点：1.概率的求解；2.期望的求解.19．（1）证明见解析；（2）23PA=，直线PC与平面PBD所成角最大，此时该角的正弦值为35.【分析】（1）根据已知条件，得到BDPA⊥，

再利用正切函数的性质，求得0030,BAC60ABD==，得到BDAC⊥，进而可证得平面PBD⊥平面PAC；（2）建立空间坐标系，得到()23,2,0BD=−，()0,2,DPt=−，()23,6,PCt=−，进而得到平面PBD的一个法向量为231,3,nt=

，进而可利用向量的公式求解【详解】（1）∵PA⊥平面,ABCDBD平面ABCD，∴BDPA⊥，又3tan,tan33ADBCABDBACABAB====，∴0030,BAC60ABD==，∴090AEB=，即BDAC⊥（E为AC与BD交点）．又PAAC，∴BD⊥平

面PAC，又因为BD平面PBD，所以，平面PAC⊥平面PBD（2）如图，以AB为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴，建立空间坐标系，如图，设APt=，则()()()()23,0,0,23,6,0,0,2,0,0,0,BCDPt，则()23,2,0BD=−，()0,2,tDP=−，()23,6,P

Ct=−，设平面PBD法向量为(),,nxyz=，则00nBDnDP==，即232020xyytz−+=−+=，取1x=，得平面PBD的一个法向量为231,3,nt=

，所以22226333cos,1214448451PCnPCnPCntttt===++++，因为22221441445151275tttt+++=≥，当且仅当23t=时等号成立，所以5c33353os,PCn

=，记直线PC与平面PBD所成角为，则sincos,PCn=，故3sin5，即23t=时，直线PC与平面PBD所成角最大，此时该角的正弦值为35．【点睛】关键点睛：解题关键在于利用定义和正切函数的性质，得到BD⊥平面PAC，进而证明平面PAC⊥平面PBD；以及建立空间直角坐标系，

求出法向量，进行求解直线PC与平面PBD所成角的最大值，难度属于中档题20．（1）22163xy+=；（2）36,33．【分析】（1）依题意得到22ca=，再利用点到直线的距离公式得到221211ab=+，再根据222cba+=解方程即可；（2）由M为线段AB的中点，可得12OMSSO

P=，对直线l的斜率的斜率存在与否分两种情况讨论，当直线l的斜率存在时，设直线():0lykxmm=+，()11,Axy，()22,Bxy．联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，根据0OAOB=，即可得到12120xxy

y+=，从而得到m与k的关系，即可求出面积比的取值范围；【详解】解：（1）∵椭圆的离心率为22，∴22ca=（c为半焦距）．∵直线1xyab+=与圆222xy+=相切，∴221211ab=+．又∵222cb

a+=，∴26a=，23b=．∴椭圆C的方程为22163xy+=．（2）∵M为线段AB的中点，∴12AOMBOPOMSSSSOP==△△．（ⅰ）当直线l的斜率不存在时，由OAOB⊥及椭圆的对称性，不妨设OA所在直线的方程为yx=，得22Ax=．则2

2Mx=，26Px=，∴1233OMSSOP==．（ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线():0lykxmm=+，()11,Axy，()22,Bxy．由22163ykxmxy=++=，消去y，得()222214260kxkmxm++−=＋．∴()()()2222221682138630k

mkmkm=−+−=−+，即22630km−+．∴122421kmxxk+=−+，21222621mxxk−=+．∵点O在以AB为直径的圆上，∴0OAOB=，即12120xxyy+=．∴()()221212121210xxyykxxkmxxm

+=++++=．∴()22222264102121mkmkkmmkk−++−+=++．化简，得2222mk=＋．经检验满足0成立．∴线段AB的中点222,2121kmmMkk−++．

当0k=时，22m=．此时12633mSS==．当0k时，射线OM所在的直线方程为12yxk=−．由2212163yxkxy=−+=，消去y，得2221221Pkxk=+，22321Pyk=+．∴()22321

MPOMymOPyk==+．∴()21222111321321SmSkk==+++，∴1236,33SS．综上，12SS的取值范围为36,33．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定

直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21．（1）()fx在(0,)+上单调递增；（2）(,1]−.【分析】（1）代入a的值，求出函数的导数，判断在(0,)

+上()'0fx，可得函数()fx在(0,)+上递增；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，根据最小值是否大于零确定a的范围即可．【详解】（1）当1a=时，()1sinxfxex=−−，所以(

)cosxfxex=−当(0,)x+时，e1x，cos1x，所以()0fx.所以()fx在(0,)+上单调递增.（2）因为()1sin()xfxeaxaR=−−.所以()cos=−xfxeax，设()()hxfx=，()sinxhxeax

=+，当0a时，即0a−时，因为[0,]x，sin0x，所以sin0−ax，而10xe−，所以1sin0xeax−−，即()0fx恒成立.当01a时，()sin0xhxeax=+，所以()fx在[0,]上递增，而(0)10=−fa，所以()(0)0fxf

，所以()fx在[0,]上递增，即()(0)0fxf=成立，当1a时，()sin0xhxeax=+，所以()fx在[0,]上递增，而(0)10fa=−，202fe=，所以存在0[0

,]x，有()00fx=，当00xx时，()0fx，()fx递减，当0xx时，()0fx，()fx递增，所以当0xx=时，()fx取得最小值.最小值为()0fx，而()0(0)0fxf=，不成立.综上：实数a的取值范

围是(,1]−.【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()afx恒成立(()maxafx即可)或()afx恒成立（()minafx即可）；②数形结合(()yfx=图象在()ygx=上方即可)；③讨论最值()min0fx

或()max0fx恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.22．（1）4sin=；（2）222+.【分析】（1）由曲线C的参数方程消去参数，得到曲线C的普通方程，再利用普通方程与极坐标方

程的转化公式即可得到答案；（2）设出,AB两点的极坐标，代入极坐标方程中，得到OA与OB，由三角形面积公式1sin2AOBSOAOBAOB=，对其进行化简，结合三角函数的值域，即可得到三角形面积的最大值．【详解】（1）设曲线C上任意点的极坐标为(,

)，由题意，曲线C的普通方程为22(2)4xy+−=，即2240xyy+−=，则24sin=，故曲线C的极坐标方程为4sin=.（2）设1,()A，则2(,)4B+，故3(0,)4，因为点,AB在曲线C上，则14sin=，24sin()4=+，

故1sin2AOBSOAOBAOB=242sinsin()4(sinsincos)2sin22cos224=+=+=−+22sin(2)24=−+，3(0,)4,故38=时，OAB取

到最大面积为222+.【点睛】本题考查参数方程、普通方程以及极坐标方程的转化，其中普通方程与极坐标方程转化的公式为：222cossinxyxy==+=，考查两线段积的取值范围的求法，涉

及三角函数的辅助角公式以及三角函数的值域，考查学生转化与划归的思想以及运算求解的能力，属于中档题．23．（1）见证明；（2）35[,]22−.【分析】（1）由柯西不等式即可证明；（2）可先计算11xy+的最小值，再分2a，1a

2−，1a−三种情况讨论即可得到答案.【详解】解：（1）由柯西不等式得2222211(3)1()1333xyxy+++．∴()22243()3xyxy++，当且仅当3

xy=时取等号．∴22334xy+；（2）1111()2224yxyxxyxyxyxyxy+=++=+++=，要使得不等式11|2||1|aaxy+−++恒成立，即可转化为|2||1|4aa−++，当2a时，421a−≤，可得522a

，当1a2−时，34，可得1a2−，当1a−时，214a−+，可得312a−−，∴a的取值范围为：35[,]22−．【点睛】本题主要考查柯西不等式，均值不等式，绝对值不等式的综合应用，意在考查学生的分析能力，计

算能力，分类讨论能力，难度中等.