【文档说明】浙江省杭州第二中学等四校联盟2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题 含解析.docx，共(26)页，3.653 MB，由小赞的店铺上传

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2022学年第二学期四校联盟期中考试试卷高一年级数学学科命题：浙江省温州中学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指

定区域填写班级、姓名、试场号、座位号；3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题

卷的相应位置．1.化简PMPNMN−+uuuuruuuruuuur所得的结果是（）A.2MNuuuurB.2NMuuuurC.0D.PM【答案】C【解析】【分析】根据向量加减法运算可直接得到结果.【详解】0PMPNMNNMMN−+=+=.故选：C.2.已知,mn表示两条不同的直

线，,,表示三个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若,mn∥∥，则mn∥B.若,m⊥⊥，则//mC.若,⊥⊥，则∥D.若,mm⊥∥，则⊥【答案】D【解析】【分析】根据空间中点线面的位置关系,即可结合选项逐

一求解.【详解】对于A,平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能异面，也可以相交，故A错误,对于B,若,m⊥⊥，则//m或者m，故B错误，对于C,若,⊥⊥，不能得到∥,例如正方体一个顶点处的三个平面分别为,，，故C错误，对于D，若,mm

⊥∥，则⊥，故D正确，故选：D3.已知圆台上、下底面的直径分别为4和10，母线长为5，则该圆台的体积为（）A.145π3B.116π3C.65πD.52π【答案】D【解析】【分析】根据上下底面半径及母线长求出圆台的高，再由圆台体积公式求解.

【详解】因为圆台上、下底面的直径分别为4和10，母线长为5，所以圆台的高225(52)4h=−−=，所以()222114π(5252)52π33VhSSSS=++=++=，故选：D4.已知O是原点，点()2,4A−，()1,Ba，若ABO为钝角，则a的取值范围是（）A

.()1,2B.(,1)(2,)−+C.()1,3D.(,1)(3,)−+【答案】C【解析】【分析】确定()3,4BAa=−−，()1,BOa=−−，得到0BABO，BA与BO不共线，解得答

案.【详解】()3,4BAa=−−，()1,BOa=−−，则()()23,41,340BABOaaaa=−−−−=−+，解得13a且BA与BO不共线，即340aa+−，解得2a−综上()1,3a故选：C5.已知ABC的三个内角A，B，C

所对边分别为a，b，c，则“cosacB=”是“ABC为直角三角形”的是（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由正弦定理可得sinsincosACB=，利用三角形的内角和及和角的正弦公式化简可得C为

直角，结合充分条件及必要条件进行判断即可.【详解】因为cosacB=，由正弦定理可得，sinsincosACB=，即()sinsincosBCCB+=，所以sincossincossincosBCCBCB+=，所以sincos0BC

=，因为0πB，0πC，所以sin0B，cos0C=，则π2C=，ABC为直角三角形，但ABC为直角三角形时不一定是π2C=，所以cosacB=是△ABC为直角三角形充分不必要条件，故选：A.6.已知长方体

1111ABCDABCD−的棱4AB=，3BC=，15AA=，点P，Q分别是线段1BB，1AC上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是（）A.对于任意一点Q，直线1DQ与直线1BB是异面直线B.对于任意一点Q，存在一点P

，使得1CPDQ⊥C.对于任意一点P，存在一点Q，使得1CPDQ⊥D.以上说法都不正确【答案】B【解析】【分析】由长方体中的线面关系，判断选项正误.【详解】对于A，当点Q为1AC中点时，直线1DQ即直线

1DB，与1BB共面，A错误；对于B，当95BP=时，CBP与1CCB△相似，1CPBC⊥，所以1CPAD⊥，因为CP平面11BCCB，11CD⊥平面11BCCB，所以11CPCD⊥，因为1111CDADD=，11CD平面11ACD，1AD平面11ACD，所以⊥CP

平面11ACD，1DQ平面11ACD，所以1CPDQ⊥，B正确；对于C，长方体中，11CD⊥平面11BCCB，CP平面11BCCB，所以对任意点P，11CPCD⊥，而1DQ与11CD不平行，所以不存在Q，使得对任意点P，1CPDQ⊥，C错误；对于D，B选项正

确，所以D错误.故选：B.7.在ABC中，90BAC=，AD是BAC的角平分线，3AB=，4AC=，E是AC的中点，则DE的长度为（）A.2377B.2177C.377D.177【答案】A【解析】【分析】先利用面积相等求出AD，再结合余弦定理可得

答案或建立直角坐标系，分别求出D，E坐标，再利用两点间距离公式，即可求值.【详解】方法一：因为90BAC=，3AB=，4AC=，所以ABC的面积为14362S==；因为AD是BAC的角平分线，所以1

172sin45sin456224SABADACADAD=+==，解得1227AD=.在DAE中，122AEAC==，45DAE=∠，所以2222cosDEADAEADAEDAE=+−1222148272492884249==+−，即2377DE=.故选

：A.方法二：因为90BAC=，所以ABAC⊥，如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系，则(0,0)A，(3,0)B，(0,4)C，由AD是BAC的角平分线可知，直线AD的方程为：yx=，因为(3,0)B，(0,4)

C，则43BCk=−，所以直线BC的方程为：443yx=−+，联立方程组443yxyx==−+，可得127127xy==，所以1212(,)77D，因为E是AC的中点，所以(0,

2)E，所以，由两点间距离公式得，221212237()(2)777DE=+−=，则DE的长度为2377.故选：A.8.已知正四面体−PABC内接于球，D为棱AB上点，满足3ADDB=．若存在过D点且面积为3π的截面圆，则正四面体棱长的取值范围为（）A.[23,4]B.[22,4]C.[2

2,6]D.[23,6]【答案】B【解析】【分析】设正四面体棱长a，球半径为R，计算得到64Ra=，当截面过球心时，棱长最短，当OD⊥截面时，棱长最长，分别计算棱长得到答案.【详解】设正四面体棱长为a，球半径为R，截面圆的半径为r，则2π3πr=，则3r=，设PH⊥平

面ABC于H，则HABC中心，且球心O在PH上，连接CH并延长与AB交于点G，连接,,OGODDH，PH⊥平面ABC，AB平面ABC，故PHAB⊥，ABGC⊥，PHGCH=，,PHGC平面OGC，故AB⊥平面OGC，OG平面OGC，则

ABOG⊥，为是233323HCaa==，223633PHaaa=−=，则2226333RaRa=−+，解得64Ra=，当截面过球心时，3R=，此时棱长最短，故634Ra==，2

2a=；当OD⊥截面时，棱长最长，此时222222ODOGGDOHGHGD=+=++222631264aaa=++，即34ODa=，故22236344Raa=+=，解得4a=；综上所述

：22,4a.故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查了多面体的外接球问题，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力，其中确定截面过球心时，棱长最短，OD⊥截面时，棱长最长，再计算棱长是解题的关键.二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共2

0分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设平面向量,,abc均为非零向量，则下列命题正确的是（）A.若acbc=，则ab=B.若//ab，则abab=C.若ab

ab+=−，则ab⊥D.若0acbc==，则//ab【答案】CD【解析】【分析】选项A通过特殊情况当c与,ab都垂直时进行排除；选项B将//ab转化为,0ab=rr或π，再借助平面向量数量积定义运算后验证；选项C对abab+=−两边平方化简后进行判断；选项D根据数量积及向量共

线的相关定义判断结论.【详解】对于选项A，当c与,ab都垂直时，acbc=成立，但ab=不一定成立，故A错误；对于选项B，由//ab得,0ab=rr或π，此时cos,abababab==，故B错误；对

于选项C，对abab+=−两边平方得222222abababab++=+−，即22abab=−，故0ab=，即ab⊥，故C正确；对于选项D，因为0acbc==，所以ac⊥且bc⊥，因为,,a

bc均为非零的平面向量，所以//ab，故D正确.故选：CD10.已知正方体1111ABCDABCD−，E，F分别为AB，BC的中点，则（）A.11ACBD⊥B.11AFAB⊥C.1BD⊥平面1BEFD.1//DF平面1ADE【答案】AB【解析】【分析】根据正方体的性质，利用

线线平行判断A，由线面垂直判断B，根据垂线性质判断C，由线线平行及线面相交判断D.【详解】正方体1111ABCDABCD−，如图，由图知，11//BDBD，而ACBD⊥，所以11ACBD⊥，故A正确；因为FB⊥平面11AABB，1AB平面11AABB，则FB⊥1AB，又11ABAB⊥，1AB

BFB=I，1,ABBF平面1ABF，所以1AB⊥平面1ABF，又1AF平面1ABF，所以11AFAB⊥，故B正确；因为11DA⊥面11AABB，1AB面11AABB，可得111DAAB⊥，又11BAAB⊥，111

1DAABA=，111,DAAB面11DAB，所以1AB⊥面11DAB，又1BD面11DAB，则11⊥ABBD，若1BD⊥平面1BEF，由1BE平面1BEF，可得11BDBE⊥，由111=ABBEB，11,ABBE面11AABB，可得1BD⊥面11AABB，

又11DA⊥面11AABB，所以1//BD11DA，显然有矛盾，所以1BD⊥平面1BEF不正确，故C错误；延长CB，使FKCB=，连接1KA，因为1111//,=ADBCADBC，所以1111//,=ADFKADFK，所以

四边形11ADFK为平行四边形，故11//DFAK，而1AK平面11ADEA=，故1DF与平面1ADE不平行，故D错误.故选：AB11.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2c=，则下列

选项正确的是（）A.若π,124Bb=，则ABC有两解B.若π,π,22Bb，则ABC无解C.若ABC为锐角三角形，且2BC=，则21sin,42AaaD.若2ABC+=，则ab+的最大值为22【答案】ACD【解析】【分析】根据边角的关系，可

判断三角形的个数，即可判断AB；根据三角形是锐角三角形，求角C的范围，即可判断C；利用正弦定理，将边表示为三角函数，利用三角函数的性质，即可判断D.【详解】对于A，因为π,124Bb=，所以sincBbc，则ABC有两解，A正确．对于B，因为π,π,22Bb

，所以ABC有且仅有一解，B错误．对于C，由π0π32π022π02CCC−得ππ64C，则12sin,22C，因为sinsinacAC=，所以sin21sin,42aCAaac=

，C正确．对于D．因为2ABC+=，所以π3C=，又因为226sinsinsin332abcABC====，所以2626sin,sin33aAbB==，则26262626sinsinsin3333abABA+=+=+2sin3A−=2633πsincos22sin3226A

AA+=+，由2π03A，得ππ5π666A+，所以当ππ62A+=，即π3A=时，ab+取得最大值22，D正确．故选：ACD12.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，90ACB=，14ACC

BCC===，P为棱11BC的中点，Q为棱1BB上的动点，平面APQ与棱11AC交于点R，则下列说法中正确的是（）A.存在点Q，使得1AQAP⊥B.线段1CR长度的取值范围是0,2C.当点Q与点B重合时，四棱锥CAQPR−的体积为16D.设截面AQPR，APR△，APQ△

的面积分别为123,,SSS，则212394,2SSS【答案】BCD【解析】【分析】以点C为坐标原点，CA、CB、1CC所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设点()0,4,Qa、(),0,4R

b，其中04a，04b.，利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项；求出b与a的关系式，利用反比例函数的基本性质可判断B选项；利用锥体和台体的体积公式可判断C选项；利用函数的性质可判断D选项.【详解】因为1CC⊥平面ABC，ACBC⊥，以点C为

坐标原点，CA、CB、1CC所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()4,0,0A、()0,4,0B、()0,0,0C、()14,0,4A、()10,4,4B、()10,0,4C、()0,2,4P

、设点()0,4,Qa、(),0,4Rb，其中04a，04b.对于A选项，若存在点Q，使得1AQAP⊥，且()14,4,4AQa=−−，()4,2,4AP=−，()1168440AQAPa=++−=，解得2a=−，

不合乎题意，A错；对于B选项，设ARmAPnAQ=+，其中m、nR，即()()()4,0,44,2,44,4,bmna−=−+−，即44424044mnbmnman−−=−+=+=，可得1648ba=+−，04a，则884a−−−，所以，164

0,28ba=+−，B对；对于C选项，当点P与点B重合时，0a=，则1b=，此时点R为11AC的中点，如下图所示：在直三棱柱111ABCABC-中，四边形11AABB为矩形，则11//ABAB且11

ABAB=，所以P、R分别为11BC、11AC的中点，则11//PRAB且1112PRAB=，所以，//PRAB且12PRAB=，同理1//CRAC且112CRAC=，1//CPBC且112CPBC=，所以，1112CPCRPRABBCAC===，故几

何体1ABCRPC−为三棱台，182△ABCSACBC==，111122CPRSCPCR==，()11111156144333ABCGECABCRPCABCRPCVSSSSCC−=++==，11111824333CRPCRPCVSCC−===，因此，1116C

ARPQABCRPCCRPCVVV−−−=−=，C对；对于D选项，()4,2,4AP=−，()4,4,AQa=−，则点Q到直线AP的距离为222156813APAQaadAQAP−−=−=，()4,0,4ARb=−，则点R到直线AP的距离为222ARAPdA

RAP=−()24568138aaa−−=−，所以，223148SdSda==−，故()2223312232332482284SSSSSaSSSSSSa+−==++=++−，令8,04taa=−，则4,8t，则424tyt=++，由双勾函数的性质知，424tyt=+

+在4,8t上单调递增，则当4t=时，min4y=；当8t=时，max92y=，则212394,2SSS，D对.故选：BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卷的相应位置

．13.已知平面向量(4,3)a=，||2b=，a与b的夹角为60，则||ab+=________．【答案】39【解析】【分析】利用向量模长求解的一般方法，平方再开方.【详解】由(4,3)a=得5a=由题有°cos52cos605abab===所以()()()22222||25

25239ababaabb+=+=++=++=故答案为：3914.已知直三棱柱111ABCABC-的侧棱与底面边长都相等，D，F分别是11AB和11AC的中点，那么异面直线BD和AF所成角的余弦值等于________．【答案】710##0.7【解析】【分析】根据直

三棱柱111ABCABC-的性质以及等边三角形的性质，取AB的中点O，易证得OD⊥平面ABC，建立空间直角坐标系，运用向量与向量的夹角和直线与直线所成的角的关系，即可得出异面直线BD和AF所成角的余弦值.【详解】因为直三棱柱111ABCABC-的侧棱与底面边长都相

等，所以ABC为等边三角形，取AB的中点O，所以COAB⊥，因为D为11AB的中点，所以1//ODAA，又因为1AA⊥平面ABC，所以OD⊥平面ABC，如图，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OD所在直线为x

轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，因为直三棱柱111ABCABC-的侧棱与底面边长都相等，设2AB=，则(1,0,0)B，(1,0,0)A−，(0,0,2)D，13(,,2)22F−，(1,0,2)BD=−，13(,,2)22AF=，设异面直线BD和AF所成角为，所以7coscos

,10BDAFBDAFBDAF===，即异面直线BD和AF所成角的余弦值为710.故答案为：710.15.在ABC中，60ABC=，点D在边AC上，1CD=，3ADBD==，则sinA的值是________．

【答案】217【解析】分析】由正弦定理先求出BC，然后结合余弦定理及二倍角公式进行化简即可得解.【详解】由3ADBD==得ABDBAD=，设ABDBAD==，则2BDC=，ABC中，由正弦定理得sinsinBCACABC=，所以4sin83sinπ3sin3BC

==，在BDC中，由余弦定理可得，2222cos2BCBDCDBDCD=+−，即2264sin106cos2106(12sin)3=−=−−故223sinsin7A==，由0πA，可知21sin7A=.故答案为：21716.如图正方体1111ABCDABCD

−的棱长是3，E是1DD上的动点，P、F是上、下两底面上的动点，Q是【EF中点，2EF=，则1PBPQ+的最小值是______．【答案】361−##136+－【解析】【分析】以ABCD、、、为顶点构造棱长为2的正方体ABCDABCD−，利用对称性将

1PBPQ+转化为PBPQ+，由图形得到1DQPB、、、四点共线时取最小值，进而求解.【详解】以ABCD、、、为顶点构造棱长为2的正方体ABCDABCD−，由对称得1PBPB=，1PBPQPBPQ+=+，因为E是

1DD上的动点，F是下两底面上的动点，则1DEFV是直角三角形，Q是EF中点，且2EF=，故11QD=，所以PBPQ+取最小值时，1DQPB、、、四点共线，则136DB=，此时1361PBPQ+=−．故答案为：361−.【点睛】在平面解析几何中求直线上一动点到两定点（在直线同

一侧）的距离之和的最小值时，通常将其中一定点对称到直线的另一边，利用三点共线时距离之和最小，在立体几何中也有类似的方程，此题中作正方体ABCDABCD−的目的就是为了找出1B关于平面ABCD的对称点B，从而将1PBPQ+转化为PBPQ+求最小值.四、解答题：本大题共6小题，共

70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.如图，在菱形ABCD中，60BAD=，2AB=，2ECDE=，AE交BD于点F．（1）若AFABAD=+，求λ和μ的值；（2）设P是线段BC的中点，求AFAP的值．【答案】（1）14=，34=；（2）17

4.【解析】【分析】（1）根据给定的条件，利用基底{,}ABAD表示向量AF，再借助平面向量基本定理作答.（2）用基底{,}ABAD表示向量AP，结合（1）的结论，利用数量积的运算律求解作答.【小问1详解

】菱形ABCD，//DCAB，则13DFDEFBAB==，即有14DFDB=，于是1()4AFADABAD−=−，因此1344AFABAD=+，又AFABAD=+，,ABAD不共线，所以14=，34=.【小问2详解

】因为P是线段BC的中点，则12APABBPABAD=+=+，所以223()()11137442488AFAPABADABADABADABAD=++=++137174422cos604884=++

=.18.三棱柱111ABCABC-的棱长都为2，D和E分别是1BB和11AC的中点．（1）求证：直线//DE平面1ABC；（2）若160AAC=，点B到平面11ACCA的距离为3，求三棱锥1DABC−的体积．【答案】（1）证明见解析（2）12

【解析】【分析】（1）法一，根据中位线可得线线平行，证明面面平行再证线面平行，法二，作出辅助线，证明//DEHG，即可得证；（2）根据线面平行可得11DABCEABCVV−−=，由等体积法求解.【小问1详解】在

三棱柱111ABCABC-中，11//ABAB，取11BC中点F，连接DF，EF，∵D和E分别是1BB和11AC的中点，111//,//,DFBCEFAB//EFAB，又DF面1ABC，1BC面1ABC，且EF面1ABC，AB面1ABC，∴DF//面1ABC，E

F//面1ABC，又DFEFF=，,DEEF面DEF，∴面DEF//平面1ABC，而DE面DEF，故直线DE//平面1ABC．法二，连接CE交1AC于点G，连接CD交1BC于点H，连接HG，如图，

在三棱柱111ABCABC-中，11//ACAC，11//BBCC，∴112ECEGGCAC==，112DHBDHCCC==，∴EGDHGCHC=，则//DEHG，又DE面1ABC，HG面1ABC，∴直线//DE平面1A

BC.【小问2详解】如图，∵直线DE//平面1ABC，∴11DABCEABCVV−−=，又160AAC=，所以平行四边形11ACCA边AC上的高2sin603h==，由B到面11ACCA的高3Bh=，则11111111333322EABCBAE

CAECBVVSh−−====.19.已知ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足tan2sincAaC=．（1）求角A；（2）若2bc=，点D为边BC中点，且7AD=，求ABC的面积．【答案】（1）π3的（2）23【解析】【分析】（1）根据正弦定理得到sinta

n2sinsinCAAC=，切化弦可得答案.（2）根据余弦定理得到221028BCc=−，再次利用余弦定理得到22231028BCcc==−，解得2c=，再利用面积公式计算得到答案.【小问1详解】由正弦定理，可得：sintan2sinsinCAAC=，即sinsin2sinsincosA

CACA=，(),0,πAC，sin0A，sin0C，故1cos2A=，故π3A=，【小问2详解】在ACD中，2222cosACADCDADCDADC=+−，在ABD△中，2222cosABADBDADBDADB=+−，CDBD=，π,coscos

ADCADBADCADB=−=−，222222ACABADBD+=+，即()()22222272ccBD+=+，故22572BDc=−,22241028BCBDc==−，在ABC中，2222212cos(2)222BCABACABACBACcccc=+−=+

−故22231028BCcc==−，解得2c=，21sinsin232ABCSbcAcA===.20.在三棱锥−PABC中，面PAC⊥面ABC，APPC⊥，22PCBC==，45ACPACB==．（1）求

证：BCBP⊥；（2）求二面角APCB−−的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）过P作PHAC⊥交AC于H，连接HB，利用线面垂直证明线线垂直；（2）过H作HDAC⊥交AB于D，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.【小问1详解】过P作PHAC⊥交AC于H，连接HB，

∵PHAC⊥，面PAC⊥面ABC，面PAC面ABCAC=，PH在面PAC内，∴PH⊥面ABC，BC面ABC，∴PHBC⊥，∵45ACP=，∴cos2CHPCACP==，在BCHV中，222cos451HBCHBCCHBC=+−

=∴222CHBCBH=+，∴BCBH⊥，又PHHBH=，PH、BH在面PHB内，∴BC⊥面PHB，又BP面PHB，∴BCBP⊥.【小问2详解】过H作HDAC⊥交AB于D，以H点为原点，分别以HD，HC，HP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则(0,2,0)A−，(0,2,

0)C，(0,0,2)P，22,,022B，∴(0,2,2)PC=−，22,,222PB=−，设面PBC的一个法向量()1111,,nxyz→=，则110nPBnPC→→==

，即11111222022220xyzyz+−=−=，令11y=，则111xz==，∴1(1,1,1)n®=，∵(0,2,2)PC=−，(0,2,2)PA=−−，设面PAC的一个法向量()2222,,nxyz→=，则220nPAnPC→→==，即22

21220220yzyz−=−−=，令21x=，则220yz==，∴2(1,0,0)n→=，设二面角APCB−−的大小为，∴121213cos331nnnn===.21.为了美化环境，某公园欲将一块空地规

划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝5百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝，(2，)．（1）当cos

＝55−时，求小路AC的长度；（2）当草坪ABCD面积最大时，求此时小路BD的长度．【答案】（1）37AC=；（2）26BD=【解析】【分析】（1）在△ABD中，由余弦定理可求BD的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinθ，根据正弦定理可求sin∠ADB35=，进而可求cos∠

ADC的值，在△ACD中，利用余弦定理可求AC的值．的（2）由（1）得：BD2＝14﹣65cosθ，根据三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求．SABCD＝7152+sin（θ﹣φ），结合题意当θ﹣φ2=时，四边形ABCD的面积最大，即θ＝φ2+，此时cos

φ25=−，sinφ15=，从而可求BD的值．【详解】（1）在ABD中，由2222cosBDABADABAD=+−，得21465cosBD=−，又5cos5=−，∴25BD=．∵,2∴2

252sin1cos155=−=−−=由sinsinBDABBADADB=得：2532sin5ADB=，解得：3sin5ADB=，∵BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形∴2CDB=且2

5CDBD==∴3coscossin25ADCADBADB=+=−=−在ACD中，2222cosACADDCADDCADC=+−()()2235252525375=+−−=，解得：37AC=（2）由（1）得：21

465cosBD=−，21135sin22ABCDABDBCDSSSBD=+=+357sin35cos2=+−()()35157sin2cos7sin22=+−=+−，此时2sin5=，1cos5=，且0,2当2−=时，四边

形ABCD的面积最大，即2=+，此时1sin5=，2cos5=−∴221465cos1465265BD=−=−−=，即26BD=答：当5cos5=−时，小路AC的长度为37百米；草坪ABCD的面积最大时，小

路BD的长度为26百米．【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22.如图，在三棱柱111ABCABC-中，ABAC⊥，平面ABC⊥

平面11BCCB，且1BCAB⊥，点D为棱11AB的中点．（1）求证：直线1BC⊥平面ABC；（2）若1AB=，3AC=，13BB=，求直线CD与平面11ABBA所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）7014【解析】【分析】（1）过点

A作AHBC⊥，交边BC于点H，确定1AHBC⊥，1BCAB⊥得到线面垂直.（2）过点C作1CEAB⊥，交直线1AB于点E，确定直线CD与面11ABBA所成角即CDE，计算各线段长度，计算得到答案.【

小问1详解】ABAC⊥，过点A作AHBC⊥，交边BC于点H．AHBC⊥，平面ABC⊥平面11BCCB，平面ABC平面11BCCBBC=，AH平面ABC，故AH⊥面11BCCB，1BC平面11BCCB，故1AH

BC⊥，又1BCAB⊥，AHABA=，,AHAB平面ABC，故1BC⊥平面ABC．【小问2详解】ABAC⊥，1ABBC⊥，1ACBCC=，1,ACBC面1ABC，故AB⊥平面1ABC，AB平面11ABBA，故平面11ABBA⊥平面1ABC．过点C作1CEAB⊥，交直线1AB于点E，

平面11ABBA平面11ABCAB=，CE平面1ABC，则CE⊥面11ABBA．故直线CD与面11ABBA所成角即CDE，1BCAB⊥，11ABAB∥，故111BCAB⊥，又1AB=，3AC=，13BB=，故132BC=+=，1945BC=−=，13522AB=+=，2121522CD

=+=，113530422CACBCEAB===，故70sin14CECDECD==，即直线CD与面11ABBA所成角的正弦值为7014获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com