【文档说明】安徽省A10联盟2023-2024学年高二上学期9月初开学摸底考试数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.540 MB，由小赞的店铺上传

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安徽省A10联盟2023-2024学年高二上学期9月初开学摸底考试数学试题第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知复数z满足()2i5z−=，则z=（）A.52B.102C.5D.5【答案】D【解析】【

分析】计算z并求其模长即可.【详解】()()()52i52i2i2i2iz+===+−−+，2i5z=+=.故选：D2.已知集合2cos,,10AyyxxBxx===−R，则()AB=Rð（）A.0,1B.1,1−C.)1,−+D.)1,+【答案】B【解析】【分析】求

集合A中函数的值域，求集合B中的不等式，得到这两个集合，再求补集和并集的运算.【详解】由0cos1x，得0,1A=，不等式210x−解得1x−或1x，则()(),11,B=−−+，

所以1,1B=−Rð，得()1,1AB=−Rð.故选：B3.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态满意程度的指标，常用区间0,10内的一个数来表示，该数越接近10表示幸福感指数越高．已知甲、乙、丙、丁4人的幸福感指数分别为(

)3ln621log150,4tan300,(5)2−−，，则这4人的幸福感指数最高的是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】B【解析】【分析】根据题意，分别估算出甲，乙，丙，丁四人的幸福感指数的范围，即可判断.【详解】甲：222l

og128log150log256，即78222log2log150log2，27log1508；乙：3182−=；丙：()oo4tan3004tan60438−==；丁：由幂函数ln6yx=在()0,+上递增，()ln6ln65e6=；所

以乙的幸福感指数最接近10，幸福感指数最高.故选：B.4.若向量()()2,1,3,4ab=−=，则b在a上的投影向量为（）A.42,55−B.4525,55−C.68,55

D.42,2525−【答案】A【解析】【分析】由投影向量的定义，利用向量数量积和向量的模，计算即可.【详解】向量()()2,1,3,4ab=−=，则b在a上的投影向量为()()()2223

1422422,1,555521abaaaaa+−−===−=+−.故选：A5.已知函数()fx的部分图象如图所示，则()fx的解析式可能为（）A.()3lnfxxx=B.()()2e1xf

xx=−C.()3exxxfx−=D.()32xxxfx−=【答案】C【解析】【分析】利用排除法，根据函数定义域、奇偶性以及函数的符号分析判断.【详解】对于选项A：因为()3lnfxxx=的定义域为|0xx，与

图象不符，故A错误；对于选项B：因为()()()()22e1e1xxfxxxfx−−=−−=−=，且定义域关于原点对称，即()fx为偶函数，()fx图象关于y轴对称，与图象不符，故B错误；对于选项D：因为()()()31122xxxxxxxfx+−−==，当01x，则(

)()()1102xxxxfx+−=，与图象不符，故D错误；故选：C.6.已知顶角为36的等腰三角形为黄金三角形，底边与腰长的比值为黄金分割比512−，根据上述信息，可得sin126=（）A.154+B.558+C.

558−D.358−【答案】A【解析】【分析】作出等腰三角形ABC，以AC为底边，o36B=，求出osin18的值，再利用诱导公式以及二倍角的余弦公式求解即可.【详解】如图，在等腰三角形ABC中，AC为底边，o

36B=，512ACAB−=，作BDAC⊥，则o18ABD=，o51sin184ADAB−==，2oo2o5115sin126cos3612sin181244−+==−=−=.故选：A.7.某校积极开展“戏曲进校园”活动，为了解该

校各班参加戏曲兴趣小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本标准差为2，且样本数据互不相等，则该样本数据的极差为（）A.3B.4C.5D.6【答案】D【解析】【分析】根据样本平均数、标准差及极差的定义分类讨论计算即可.【详解】不

妨设该五个班级的样本数据分别为(),,,,abcdeabcde，且,,,,abcdeN，则依题意有()()()()()22222757777725abcdeabcde++++=−+−+−+−+−=

，化简得()()()()()2222235,7777720,abcdeabcde++++=−+−+−+−+−=易知12345109edcbaabcdeee++++++++−，又易知五个数据减7的平方数为整数，

7,7,7,7,7abcde−−−−−五个数的绝对值不超过4，当11e=时，()()()()222277774abcd−+−+−+−=，由数据为整数且均不相同得不成立，当10e=时，()()()()2222777711abcd−+−+−+−=，由数据为整数且均不相同得该四个平方数只能为0,1,1,

9，则4,6,7,8abcd====，符合题意，此时极差为6；当9e=时，()()()()2222777716abcd−+−+−+−=，由数据整数且均不相同得不成立；综上，五组数据的极差为6.故选：D【点睛】本题关键在于对五组数据减7的平方数

进行讨论，排除.8.在RtABC△中，2,ABBCD==为AC的中点．将ABD△沿BD翻折，得到三棱锥CABD−，当二面角ABDC−−为π3时，三棱锥CABD−的外接球的表面积为（）的为A.4π3B.5π3C.7π3

D.103【答案】C【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面ACD，是边长为1的正三角形，BD⊥平面ACD，将三棱锥BACD−补形成正三棱柱，三棱锥的外接球球心就是正三棱柱的外接球球心，求出其半径可得解.【详解】由题意CDBD⊥，ADBD⊥，

二面角ABDC−−的平面角是ADC，π3ADC=，又1ADDC==，ACD是边长为1的正三角形，BD⊥平面ACD，将三棱锥BACD−补形成正三棱柱，三棱锥的外接球球心就是正三棱柱的外接球球心，取A

CD外接圆的圆心E，BGHV外接圆的圆心F，根据对称性知正三棱柱的外接球球心O是EF的中点，()()2212212BD=+=，12EO=，又ACD是边长为1的正三角形，点E是其外心，222131323EC=−=，在RtO

EC△中，22221321236OCOEEC=+=+=，即216R=，三棱锥CABD−的外接球的表面积为2774π4ππ123SR===.故选：C.二、选择题（本题共4小题

，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.若函数()cosyfxx=+在区间ππ,36−内单调递增，则()fx可以是（）A.()sinπx−B.πsin2x+C.πcos2x

−D.3πcos2x−【答案】AC【解析】【分析】将每个选项代入()cosyfxx=+并化简，检验在ππ,36−是否单增.【详解】对A：()πsinπcossincos2s

in4yxxxxx=−+=+=+，当ππ,36x−时，ππ5π,41212x+−，sinyt=在π5π,1212t−为增函数，故A正确.对B：πsincos2cos2yxxx

=++=，当ππ,36x−时，2cosyx=不单调，故B错误.对C：ππcoscossincos2sin24yxxxxx=−+=+=+，同A正确；对D：3ππcoscossincos2cos24yxxxxx=−+=−+=+

，当ππ,36x−时，ππ5π,41212x+−，cosyt=在π5π,1212t−不单调，故D错误.故选：AC10.一个口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白

球，每次从中随机抽取1个球，则（）A.若不放回地抽取两次，则“取到2个红球”和“取到2个白球”是互斥事件B若不放回地抽取两次，则“取到2个红球”与“取到2个白球”相互独立C.若有放回地抽取两次，则第1次取到红球的概率大于第2次取到红球的概率D.若有放回地抽取两次，

则至少取到一次红球的概率是2125【答案】AD【解析】【分析】对于A，根据互斥事件概念判断；对于B，互斥事件不可能是相互独立事件；对于C，有放回地抽取每次抽到红球的概率均相等；对于D，使用对立事件计算概率..【详解】对于A，若不放回地抽取两次，则取到

的球不可能是2个红球和2个白球，所以“取到2个红球”和“取到2个白球”是互斥事件，故A正确；对于B，若不放回地抽取两次，记事件A：“取到2个红球”，记事件B：“取到2个白球”，则A与B是互斥事件，所以()0PAB=，而()()0PAPB，所以()(

)()PAPBPAB，所以A与B不是相互独立事件，故B错误；对于C，若有放回地抽取两次，则第1次取到红球的概率为35，第2次取到红球的概率为35，所以第1次取到红球的概率等于第2次取到红球的概率，故C错误；对于D，若有放回地抽取两次，则至少取到一次红球的概率是22211525−=，故

D正确.故选：AD.11.在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc．则下列结论正确的是（）A.若AB，则coscosABB.若2BCBAAB，则角A为钝角C.若,,ABC均不为直角，则tant

antantantantanABCABC=++D.若π2,2,6abB===，则ABC唯一确定【答案】BC【解析】【分析】利用特殊值、向量运算、两角和的正切公式、正弦定理等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选

项，2ππ,36AB==，AB，13cos,cos22AB=−=，coscosAB，所以A选项错误.B选项，22cosBCBAABBABCBAB==，即cosBCBBA，即cosaBc，由正弦定理得()sincossinsinsincoscoss

inABCABABAB=+=+，则cossin0AB，由于0πB，所以sin0B，所以cos0A，所以A为钝角，所以B选项正确.C选项，()tantantantantantanABCABAB=−+tantantanta

n1tantanABABAB+=−−，()tantantantantantanABCABAB++=+−+()()()tantan1tantantantantantantantan1tantan1tantanABABABABABABAB+−−++=+−=−−tanta

ntantan1tantanABABAB+=−−，所以tantantantantantanABCABC=++，C选项正确.D选项，1sin212aB==，所以sinaBba，所以ABC有两解，所以

D选项错误.故选：BC12.已知函数()()()2ln1,2xfxxgxm=−=+，则“对123,2,1,2xx−−，使得()()12fxgx成立”的充分不必要条件可以是（）A.2ln35m−B.2ln3

4m−C.3ln240m−D.2ln330m−【答案】BCD【解析】【分析】先求命题成立的充要条件，然后利用取值范围的真包含关系，得充分不必要条件.【详解】由复合函数的单调性可知，函数()()2ln1fxx=−在3,2−−上单调递减，所以3,2x−−时，()()

max3ln83ln2fxf=−==，函数()2xgxm=+在1,2单调递增，所以1,2x时()()max24gxgm==+，对123,2,1,2xx−−，使得()()12fxgx成立，则有()()

maxmaxfxgx，即3ln24m+，得3ln24m−对123,2,1,2xx−−，使得()()12fxgx成立的充要条件为)3ln24,m−+，各选项中，有)2ln34,−+)3ln24,−+)2ln33,0−)

3ln24,−+)3ln24,0−)3ln24,−+则“对123,2,1,2xx−−，使得()()12fxgx成立”的充分不必要条件可以是BCD选项.故选：BCD第Ⅱ卷非选择题（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分

．）13.已知函数()()2230lg1(0)xxxfxxx−−=−．则110ff=________．【答案】5【解析】【分析】根据分段函数计算即可.【详解】11lg121010f=−=−，()()()2222235f−=−

−−−=，故答案为：514.若0,0ab，且2abab+=，则2ab+的最小值为________．【答案】8【解析】【分析】利用基本不等式、一元二次不等式求得2ab+的最小值.【详解】211222222abababab

++==，当且仅当24ab==时等号成立，()()22820abab+−+，()()2280abab++−，280,28abab+−+，所以2ab+的最小值为8.故答案为：8

15.在棱长为3的正方体1111ABCDABCD−中．点E在棱1AA上，且113AAAE=，记过点1,,DCE的平面与侧面11ABBA的交线为l．且lABF=，则EF的长为________．【答案】22【解析】【分析】作出过1,,DCE的平面，由此确定F的位置，进而求得E

F的长.【详解】连接1AB，由于1111//,BCADBCAD=，所以四边形11BCDA是平行四边形，所以11//ABDC，过E作1//EFAB，交AB于F，则1//EFDC，所以1,,,EFCD四点共面，故l即直线EF，由于

113AAAE=，所以3BABF=，所以222,2222AEAFEF===+=.故答案为：2216.已知向量()()23sin,1,cos,cos,0axbxx==，记函数()fxab=，若()fx在ππ,612

−上单调递增．则的取值范围为________．【答案】(0,2【解析】【分析】由倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用函数在区间内的单调性求的取值范围.【详解】向量()()23sin,1,c

os,cos,0axbxx==，()2311π13sincos+cossin2+cos2+=sin2++22262fxabxxxxxx===，由0，当ππ,612x−

，有ππ2,36x−，则πππππ2++,+63666x−，依题意有πππ+362πππ+662−−，解得02.所以的取值范围为(0,2.故答案为：(0,2.四、解答题

（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设向量()3,1,ab=−为单位向量，且22ab+=．（1）求a与b夹角的大小；（2）已知向量,35cambdab=−+=−，若//cdrur，求实数m的值．【答案】（1）2π3（2

）53m=【解析】【分析】（1）由已知条件，利用向量数量积和向量的模，求a与b夹角的大小；（2）利用向量共线的条件，有cd=，列方程求实数m的值．【小问1详解】向量()3,1a=−，b为单位向量，()22312a=−

+=，1b=，22ab+=，()2222444444abaabbab+=++=++=，则1ab=−，设a与b夹角为，则1cos2abab−==，由0π，所以a与b夹角的大小为2π3.【小问2详解】已知向量,35cambdab=−+=−，由a与b不共线，若//cdrur

，则R使cd=，即()35ambab−+=−，有135m−==−，解得53m=.18.中国人民志愿军被称为“最可爱的人”，2023年7月27日是抗美援朝胜利70周年，为了解抗美援朝英雄事迹、某党支部组织了抗

美援朝知识竞赛活动、现抽取其中50名党员的成绩，按)))))40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100进行分组，得到如下的频率分布直方图．（1）求图中a的值及估计这50名党员的成绩的平均数；（2）若采用分层随机抽样的方法，从成绩在

)80,90和90,100内的党员中共抽取4人，再从这4人中任选2人在会上进行演讲，求这2人的成绩不在同一区间的概率．【答案】（1）0.03a=；74.5（2）12【解析】【分析】（1）利用面积之和为1求a，根据频率分布直方图中平均数的求法求

成绩的平均数；（2）计算成绩在)80,90和90,100内的党员人数，根据分层抽样确定两个区间内抽取人数，根据古典概型求概率.【小问1详解】由图可知：()0.0050.010.020.0250.01101a+++++=，所以0.03a=.平均数：450.05550.1650.2

750.25850.3950.174.5+++++＝.所以这50名党员的成绩的平均数74.5.【小问2详解】由图可知分数在[80,90)的概率为0.3，分数在[90,100)的概率为0.1，所以若按分层抽样从这两组中抽4人，则分数在[80,

90)的人数为3人，分数在[90,100)的人数为1人，所以从4人中任选2人有24C6=种，若2人的成绩不在同一区间，则有1131CC3=种，所以3162P==，所以这2人的成绩不在同一区间的概率为12．19

.已知函数()32,32xxxxafxa−=+R．（1）若()fx为奇函数，求a的值；（2）在（1）的条件下，求()fx的值域．【答案】（1）1a=（2）()1,1−【解析】【分析】（1）根据奇函数定义求解.（2）()311322xxfx−+=，令32xt=

换元后求值域即可.【小问1详解】因为()fx为奇函数，所以()()0fxfx+−=，xR即()()1323232322303232323232xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxaaaaa−−−−−+−

−−−+=+==+++++，所以1a=.【小问2详解】()3232132321xxxxxxfx++−−==,令32xt=，则()11221111ttfxttt−+−=+==−++，因为3(0,)2xt+=，所以()211,11

t−−+，所以()fx的值域()1,1−．20.如图所示，四边形ABCD为圆O的内接四边形，其中2,3,22,1ABBCCDDA====．（1）求sinD的值；（2）求四边形ABCD的面积及圆O的半径．【答案】（1）7210（2）7

2；102.【解析】【分析】（1）连接AC，由ABCD为圆内接四边形，得到coscosBD=−，分别在ABC和ADC△中，利用余弦定理，列出方程，求得2cos10D=−，进而求得sinD的值；（2）令三角形的面积公式，分别求得ABCS和ADCS△，结合ABCADCSSS

=+，再由余弦定理，求得AC的长，结合正弦定理，即可求得四边形ABCD外接圆的半径.【小问1详解】解：如图所示，连接AC，因为四边形ABCD为圆内接四边形，可得πBD+=，所以coscosBD=−，在ABC中，由余弦定理可得2222cosACABBCABBCB=+−，即2292

23cos1162cosACDD=++=+，ADC△中，由余弦定理可得2222cosACADDCADDCD=+−，即2182122cos942cosACDD=+−=−，所以1162cos942cosDD+=−，解得2cos10D=−，

又因为(0,π)D，所以272sin1cos10DD=−=.【小问2详解】解：由（1）知，72sin10D=，因为πBD+=，可得72sinsin10BD==，所以117221sin23221010ABCSABBCB==

=，117214sin122221010ADCSADDCD===，在所以四边形ABCD的面积2114710102ABCADCSSS=+=+=，在ABC中，由余弦定理可得2222cosACABBCABBCB=+−24929223105=+−=，所以755AC=，设四边形ABC

D外接圆的半径为R，可得755210sin7210ACRB===，所以四边形ABCD外接圆的半径为102R=.21.已知函数()()πsin0,0,2fxAxBA=++的部分图象如图所示．（1）求()fx的解析式；（2）将()fx图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐

标不变），得到函数()gx的图象，若()gx与()hx的图象关于12x=对称，求不等式()2sin2hxh的解集．【答案】（1）()π2sin(2)33fxx=++（2）ππ(π,π),Z44kkk−++【解析】【分析】（1）根据函数()fx的图象，得到minm

ax()1,()5fxfx==，求得2,3AB==，再根据17πππ212122T=−=，得到2=，结合π()512f=，求得π3=，即可求解；（2）根据三角函数的图象变换和对称性，求得即()2cos3hxx=+，由()2sin()2hxh，结合余弦函数的性质，得到22sin22x

−，即可求解.【小问1详解】由函数()fx图象，可得minmax()1,()5fxfx==，所以51512,322AB−+====，又由17πππ212122T=−=，所以πT=，可得2π2T==，所以()()2sin23fxx=++，因为ππ()2sin(2)351212f=

++=，即πsin()16+=，解得ππ2π,Z62kk+=+，即ππ,Zkk=+23，又因为π2，所以π3=，所以()π2sin(2)33fxx=++，即函数()fx的解析式为()π2sin(2)33fxx=++.【小问2详解】将()π2sin(2)33fxx=++图象

上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()π2sin()33gxx=++，设(,)Mxy是函数()hx的图象上的任意一点，点M关于直线π12x=的对称点为11(,)Nxy，则11π6xxyy

=−=，代入函数()π2sin()33gxx=++，可得ππ2sin[()]32cos363yxx=−++=+，即()2cos3hxx=+，又由不等式()2sin()2hxh，即2cos(sin)cos(

)2x，的设sin[1,1]tx=−，即2coscos()2t，由余弦函数的性质，可得2222t−，即22sin22x−，解得ππ2π2π,Z44kxkk−++或3π5π2π2π,Z44

kxkk++，即ππππ,Z44kxkk−++，即不等式()2sin()2hxh的解集为ππ(π,π),Z44kkk−++.22.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，且222,ADABPAE===为BC的中点．

（1）求直线PE与平面PAD所成角的正弦值；（2）求二面角PDEA−−的正切值；（3）探究在PA上是否存在点F，使得EF∥平面PCD，并说明理由．【答案】（1）33（2）22（3）F为PA中点时，EF∥平面PCD【解析】【分析】（1）根据线面角的几何法即可利用线面垂直求解，（2）利用垂直关系求解

二面角的平面角，由三角形的边角关系即可求解，（3）利用线线平行即可求证线面平行.【小问1详解】取AD中点为O，连接,OPOE,由于四边形ABCD为矩形，,OE分别为中点，所以//,OEABOEAD⊥,由于PA⊥平面ABCD，PA平面PAD,所以平面AB

CD⊥平面PAD，又平面ABCD平面PADAD=,OE平面ABCD,所以OE⊥平面PAD,故EPO为直线PE与平面PAD所成的角，1222,22,12ADABPAPOPAAOAD=======,故22113sin33EOEPOPEPOEO

====+.【小问2详解】由于()()22222222,224AEEDABBEAEDEAD==+=+=+==,所以AEDE⊥,又PA⊥平面ABCD，ED平面ABCD，所以PAED⊥，,,PAAEAPAAE=平面PAE，ED⊥平面PAE,PE平

面PAE,故EDPE⊥,故AEP即为二面角PDEA−−的平面角，由于AEP△为直角三角形，且1,2PAAE==，故12tan22PAAEPAE===【小问3详解】取PD中点为M，PA中点为F,连接

,FMCM,则1//,2FMADFMAD=,又1,//2ECADECAD=,因此//,,FMECFMEC=故四边形FMCE为平行四边形，故//EFCM,CM平面PCD,EF平面PCD，故//EF平面PCD,因此在PA上是存在点F，使得//EF平面PCD，此时F为PA中点，获得更多资源请

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