【文档说明】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三上学期调研考试（一）数学试题（原卷版）.docx，共(5)页，530.279 KB，由小赞的店铺上传

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长郡中学2025届高三第一次调研考试数学本试题卷共4页.时量120分钟，满分150分.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非

选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合3

20,20AxxxBxxx=−==−−∣∣，则AB=（）A.0,1B.1,0−C.0,1,2D.1,0,1−2.已知,mn是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则m∥的一个充分条件是（）Am∥,nn∥B.m∥,∥

C.,,mnnm⊥⊥D.,mnAn=∥,m3.20252xx−的展开式中的常数项是（）A.第673项B.第674项C.第675项D.第676项4.铜鼓是流行于中国古代南方一些少数民族地区的礼乐器物，已有数千年历史，是作为祭祀器具和打击乐器使用的.如图，用青铜打造的实

心铜鼓可看作由两个具有公共底面的相同圆台构成，上下底面的半径均为25cm，公共底面的半径为15cm，铜鼓总高度为30cm.已知青铜的密度约为38g/cm，现有青铜材料1000kg，则最多可以打造这样的实心铜鼓的个数为（）

（注：π3.14）.A.1B.2C.3D.45.已知定义在()0,+上的函数()fx满足()()()1fxxfx−（()fx为()fx的导函数），且()10f=，则（）A.()22fB.()22fC.()33fD.

()33f6.已知过抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点F且倾斜角为π4的直线交C于,AB两点，M是AB的中点，点P是C上一点，若点M的纵坐标为1，直线:3230lxy++=，则P到C的准线的距离与P到l的距离之和的最

小值为（）A.31326B.51326C.31313D.913267.已知函数()()π2sin0,2fxx=+，对于任意的xR，ππ1212fxfx+=−，()π02fxfx+

−=都恒成立，且函数()fx在π,010−上单调递增，则的值为（）A.3B.9C.3或9D.38.如图，已知长方体ABCDABCD−中，2ABBC==，2AA=，O为正方形ABCD的中心点，将长方体ABCDABCD−绕直线OD进行旋转．若平面

满足直线OD与所成的角为53，直线l⊥，则旋转的过程中，直线AB与l夹角的正弦值的最小值为（）（参考数据：4sin535，3cos535）A.43310−B.33410−C.33310+D.43310+二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某机械制造装备设计研究所为推进对机床设备的优化，成立,AB两个小组在原产品的基础上进行不同方向的研发，A组偏向于智能自动化方向，B组偏向于节能增效方

向，一年后用简单随机抽样的方法各抽取6台进行性能指标测试（满分：100分），测得A组性能得分为：91,81,82,96,89,73，B组性能得分为：737096799488，，，，，，则（）A.A组性能得分的平均数比B组性能得分的平均数高B.A组性能得分的中位数

比B组性能得分的中位数小C.A组性能得分的极差比B组性能得分的极差大D.B组性能得分的第75百分位数比A组性能得分的平均数大10.嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在一起的两

个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中,ACBD分别为两个截面椭圆的长轴，且,,,ACBD都位于圆柱的同一个轴截面上，AD是圆柱截面圆的一条直径，设上､下两个截面

椭圆的离心率分别为12,ee，则能够保证2CDAB的12,ee的值可以是（）A.1262,32ee==B.1215,25ee==C12340,27ee==D.1232,34ee==11.对于任意实数,

xy，定义运算“”xyxyxy=−++，则满足条件abbc=的实数,,abc的值可能为（）A.0.5log0.3a=−，0.30.4b=，0.5log0.4c=B.0.30.4a=，0.5log0.4b=，0.5log0.3c=−C0.09a=，0.10.1b=e，10l

n9c=D.0.10.1ea=，10ln9b=，0.09c=..三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在复平面内，复数z对应的点为()1,1，则21zz−=+______．13.写出一个同时满足下列条件①②③的数列{𝑎

𝑛}的通项公式na=______.①mnaamn−−是常数，*,mnN且mn；②652aa=；③{𝑎𝑛}的前n项和存在最小值.14.清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁･查理･卡特兰名字命名）.

有如下问题：在nn的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数122CCnnnn−−.如图，现有34的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角A走

到右上角B共有__________种不同的走法；若要求从左下角A走到右上角B的过程中只能在直线AC的右下方，但可以到达直线AC，则有__________种不同的走法.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知M

为圆229xy+=上一个动点，MN垂直x轴，垂足为N，O为坐标原点，OMN的重心为G.（1）求点G的轨迹方程；（2）记（1）中的轨迹为曲线C，直线l与曲线C相交于A、B两点，点(0,1)Q，若点()3,0H恰好是ABQ的垂心，求直线l的方程.16.如

图，四边形ABDC为圆台12OO的轴截面，2ACBD=，圆台的母线与底面所成的角为45°，母线长为2，E是BD的中点．（1）已知圆2O内存在点G，使得DE⊥平面BEG，作出点G的轨迹（写出解题过程）；（2）点K是圆2O上的一点（不同于A，C），2CKAC=，求平面ABK与平面

CDK所成角的正弦的值．17.素质教育是当今教育改革的主旋律，音乐教育是素质教育的重要组成部分，对于陶冶学生的情操、增强学生的表现力和自信心、提高学生的综合素质等有重要意义．为推进音乐素养教育，培养学生的综

合能力，某校开设了一年的音乐素养选修课，包括一个声乐班和一个器乐班，已知声乐班的学生有24名，器乐班的学生有28名，课程结束后两个班分别举行音乐素养过关测试，且每人是否通过测试是相互独立的．（1）声乐班的学生全部进行测试．若声乐班每名学生通过测试的概率都为p

（01p），设声乐班的学生中恰有3名通过测试的概率为()fp，求()fp的极大值点0p．（2）器乐班采用分层随机抽样的方法进行测试．若器乐班的学生中有4人学习钢琴，有8人学习小提琴，有16人学习电子琴，按学习的乐器利用分层随机抽样的方

法从器乐班的学生中抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取3人进行测试，设抽到学习电子琴的学生人数为，求的分布列及数学期望．18.已知数列{𝑎𝑛}为等比数列，{𝑏𝑛}为等差数列，且112ab==，858aa=，48ab=.（1）求{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}的通项公式；（2）数列

()12sin122241nnb−+−的前n项和为nS，集合*422NnnnSbAntnna++=，共有5个元素，求实数t的取值范围；（3）若数列nc中，11c=，()22log2114nnnacnb=−

，求证：1121231232ncccccccccc++++.19.设有n维向量12naaaa=，12nbbbb=，称1122,nnabababab

=+++为向量a和b内积，当,0ab=，称向量a和b正交．设nS为全体由1−和1构成的n元数组对应的向量的集合．（1）若1234a=，写出一个向量b，使得,0ab=．（2）令,,nBxyxyS=．若

mB，证明：mn+为偶数．的