【文档说明】【精准解析】内蒙古包头市北重三中2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文科）试题.doc，共(17)页，1.413 MB，由小赞的店铺上传

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数学（文科）试题一、选择题1.已知函数n(l)fxax=的导函数是'()fx，且()22f'=，则实数a=A.12B.23C.34D.4【答案】D【解析】【详解】由题意得()()ln'afxaxx==，因为()'22f=，

所以22a=，则4a=，故选D.2.抛物线2yax=的焦点是直线xy10+−=与坐标轴交点，则抛物线准线方程是()A.1x4=−B.x1=−C.1y4=−D.y1=−【答案】D【解析】【分析】先求得直线和坐标轴的焦点，由此求得a的值，并求

得准线方程.【详解】抛物线开口向上或者向下，焦点在y轴上，直线10xy+−=与y轴交点为()0,1，故111,44aa==，即抛物线的方程为24xy=，故准线方程为1y=−，故选D.【点睛】本小题主要考查直线和坐标轴的交点坐标的求法，考查已知抛物线的焦点

求准线方程，属于基础题.3.函数()22lnfxxx=−的单调减区间是（）A.(0,1B.)1,+C.((,10,1−−D.)(1,00,1−【答案】A【解析】【分析】依题意，可求得()fx，由()0fx即可求得函数2()2

fxxlnx=−的单调减区间．【详解】解：2()2(0)fxxlnxx=−，22(1)(1)()2xxfxxxx+−=−=，令()0fx由图得：01x，函数2()2fxxlnx=−的单调减区间是(0,1

)，故选：A．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查解不等式的能力，属于基础题．4.曲线l(n)fxxx=−在点(1,(1))f处的切线方程为A.0xy+=B.1x=C.20xy−−=D.1y=−

【答案】D【解析】由题可得11'()1xfxxx−=−=，则切线的斜率为'(1)0f=，又(1)1f=−，所以切线方程为1y=−，故选D．5.过抛物线22(0)ypxp=焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆的方程为22(3)(2)16xy−+−=，则p=（）A.

2B.1C.2或4D.4【答案】A【解析】【详解】过抛物线()220ypxp=焦点的直线l与抛物线交于,AB两点，以AB为直径的圆的方程为()()223216xy−+−=，可得弦的中点横坐标为3，圆的半径为4可得弦长为8，设直线与抛

物线的交横坐标为12,xx则12126,8xxxxp+=++=，可得2p=，故选A.6.已知直线1yx=−+与椭圆22221(0)xyabab+=相交于A、B两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB的长是（）A.223B.423C.

2D.2【答案】B【解析】试题分析：因为2,22,12ecc===，所以2,1ac==，则211bac=−=，椭圆的方程为2212xy+=，联立221{21xyyx+==−+，化简得：2340xx−=，解得0x=或43x=，代入直线得出1y=或

13y=−，则41(0,1),(,)33AB−，所以423AB=，故选B．考点：椭圆的标准方程及其几何性质．7.曲线()31233fxxx=−++在点()()22f,处的切线与坐标轴围成的三角面积为（）A.6B.32C.3D.12【答案】A【解析】【分析】先求导

数得切线斜率，再根据点斜式得切线方程，最后求切线与坐标轴交点，计算面积.【详解】()21fxx=−+的导数为()'23f=−，()20f=，可得在点()2,0处的切线斜率为：-3，即有切线的方程为()32yx=−−.分别令0x=，0y=可得切线在y，x轴上的截距为6，2

．即有围成的三角形的面积为：16262=．故选A．【点睛】本题考查导数几何意义以及直线点斜式方程，考查基本分析求解能力，属基础题.8.椭圆2242xy+=上的点到直线280xy−−=的距离的最小值

为（）A.655B.25C.3D.6【答案】A【解析】【分析】设2(cos2P，2sin)，02„，求出P到直线280xy−−=的距离d，由此能求出点P到直线的距离的最小值．【详解】解：椭圆2242xy+=，P为椭圆上一点，

设2(cos2P，2sin)，02„，P到直线280xy−−=的距离：225|cos()4||2cos2sin8|6545512d+−−−==+„，当且仅当cos()14+=时取得最小

值．点P到直线280xy−−=的距离的最小值为655mind=．故选：A．【点睛】本题考查点到直线的距离公式的最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程的合理运用，属于中档题．9.若函数y＝a(x3－x)在区间33,33−上递减，则a的取值范围是(

)A.a＞0B.－1＜a＜0C.a＞1D.0＜a＜1【答案】A【解析】【分析】先对函数求导，由函数在区间33,33−上递减，可得y′＜0的范围为33,33−，即可得a的范

围．【详解】函数y=a（x3﹣x），求导可得，y′=a（3x2﹣1）=3a（x﹣33）（x+33），由函数在区间33,33−上递减，可得y′=a（3x2﹣1）=3a（x﹣33）（x+33）＜0的范围为33,33−，所以a＞0，故选

A．【点睛】本题主要考查了有函数的单调性求参数的范围问题，利用了函数的单调性与函数的导数关系，属于基础题．10.已知定义在),e+上的函数()fx满足()()ln0fxxfxx+且()40f=，其中()f

x¢是函数()fx的导函数，e是自然对数的底数，则不等式()0fx的解集为（）A.),4eB.)4,+C.(),e+D.),e+【答案】A【解析】【分析】根据条件构造函数()()gxfxlnx=，求函数的导数，研究函数的

单调性，将不等式()0fx等价为()()4gxg，进行求解即可．【详解】解：xe…，1lnx…，则不等式()()0fxxfxlnx+等价为()()0fxfxlnxx+，设()()gxfxlnx=，则()()()0fxgxfxlnxx=+，即()gx在[e，)+上

为减函数，f（4）0=，g（4）f=（4）40ln=，则不等式()0fx等价为()0lnxfx，即()()04gxg=，()gx在[e，)+上为减函数，4ex„，即不等式()0fx的解集为[e，4)，故选：A．【点睛】本题主

要考查不等式的求解，根据条件构造函数，通过导数研究函数的单调性是解决本题的关键．属于中档题．11.设2F是双曲线C：22221(0,0)xyabab−=的右焦点，O为坐标原点，过2F的直线交双曲线的右支于点P，N，直线PO交双曲线C于另

一点M，若223MFPF=，且260MFN=，则双曲线C的离心率为（）A.3B.2C.52D.72【答案】D【解析】【分析】设双曲线的左焦点为F1，则MF2PF1为平行四边形，根据双曲线定义可得12,3MFaMFa==，在△MF1F2中利用余弦定理得出a，c的关

系即可求出离心率．【详解】设双曲线的左焦点为F1，由双曲线的对称性可知四边形MF2PF1为平行四边形．∴121,//MFPFMFPN=．设2||PFm=，则2||3MFm=，∴2122aMFMFm=−=，即12,3MFaMFa==．∵21260,60MFNFMF

==，又122FFc=，在△MF1F2中，由余弦定理可得：2224923cos60caaaa=+−，即2222747,4ccaa==，∴双曲线的离心率e72ca==．故选D．【点睛】本题考查了双曲线的性质，离心率计算，利用双曲线的对称性

是解题的关键，属于中档题．12.已知12,FF是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF2||PF1|，椭圆的离心率为1e，双曲线的离心率为2e，112||||PFFF=，则2133ee+的最小值为（）A.4B.6C.4+22D.8【答案

】D【解析】【分析】由题意可得112||||2PFFFc==，再设椭圆和双曲线得方程，再利用椭圆和双曲线的定义和离心率可得2133ee+的表达式，化简后再用均值不等式即可求解.【详解】由题意得：112||||2PFFFc==，设椭圆方程为221122111(0)xyabab+=

，双曲线方程为222222221(0,0)xyabab−=，又∵121212||||2,||||2PFPFaPFPFa+=−=.∴2122||+22,||22PFcaPFca=−=，∴122aac−=，

则22112122393333eaaacceacca++=+=2222229(2)3633caacaccaca++==++222233626833aacccaca=+++=，当且仅当2233acca=，即23e=时等号成立.则2133ee+的

最小值为8.故答案为：8.【点睛】考查椭圆和双曲的定义,焦半径公式以及离心率，其中将2133ee+化为22229911(18)(218)833aacccaca+++=为解题关键，注意取等号.二、填空题13.曲线C:x2+y2=1经过伸缩变换2xxyy=

=得到曲线C，则曲线C的方程为______________.【答案】2214xy+=【解析】【分析】由2xxyy==得2xxyy==，代入x2+y2=1，即可得曲线C的方程.

【详解】由2xxyy==得2xxyy==，代入x2+y2=1，得2214xy+=.故答案为：2214xy+=【点睛】本题主要考查利用伸缩变换求曲线的方程，考查学生的基本运算能力.14.函数y＝13x3－ax2＋x－2a在R上不是单调

函数，，则a的取值范围是________．【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】试题分析：函数导数221yxax=−+，因为函数在R上不是单调函数，所以导数值有正有负，即导函数221yxax=−+与x轴有两个交点01a或1a−考点

：函数单调性点评：本题通过函数导数判定函数单调性，在R上不是单调函数，则存在极值点，即存在导数值大于零和小于零的情况15.已知x，yR+且24xy=，则xy+的最小值______.【答案】3【解析】【分析】根据条件便可得到24yx=，从而根据三个数的均值不等式计算可得；【详解】解：x，

yR+，24xy=；24yx=；所以32244332222xxxxxyxx+=++=…，当且仅当1y=，2x=时取“=”；xy+的最小值为3．故答案为：3【点睛】考查基本不等式用于求最值的方法，注意在应用33abcabc++…求abc+

+最小值时，应使得abc为常数，且a，b，0c，并会判断“=”成立的条件，属于基础题．16.在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，−1），P是曲线上一个动点，则BPBA的取值范围是_____________.【答案】[0,1+2]

【解析】试题分析：由题意设(cos,sin)P,[0,π]，则(cos,1sin)BP=+，又(1,1)BA=，所以=cossin1=2sin()+1[0,12]4BPBA++++，所以BPBA的取值范围为[

0,12]+.【考点】平面向量的数量积、三角函数的图象和性质、数形结合的思想【名师点睛】本题解答时利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，从而转化成平面向量的坐标运算，利用三角函数的图象和性质，得到的取值范围.本题主要考

查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等.三、解答题.17.在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程是23cos3sinxy=+=（θ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐

标方程为：(cossin)t+=（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设直线θ＝()6R与直线l交于点M，与曲线C交于P，Q两点，已知｜OM｜•｜OP｜•｜OQ）＝10，求t的值．【答案】（1）24cos50−−=；（2）13−−或31+.【解析

】【分析】（1）由曲线C的参数方程，可得曲线C的普通方程，再将其化为极坐标方程．（2）将6=代入()cossint+=中，求得|OM|，将6=代入24cos50−−=中，得22350−−=，得到

|OP||OQ|=5．再根据|OM||OP||OQ|=10，解得t值即可.【详解】（1）由曲线C的参数方程，可得曲线C的普通方程为()2229xy−+=，即22450xyx+−−=．∵cosx=，siny=，故曲线C

的极坐标方程为24cos50−−=．（2）将6=代入()cossint+=中，得312t+=，则()31t=−．∴|OM|=()31t−．将6=代入24cos50−−=中，得22350−−=．设点P的极径为1，点Q的极径为2，则125=−．所以|OP|

|OQ|=5．又|OM||OP||OQ|=10，则5()31t−=10．∴t=13−−或31+【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，考查了利用极坐标解决长度问题，考查了学生的运算能力

和转化能力，属于基础题型．18.选修4-5：不等式选讲已知函数()2fxx=−.（1）解不等式：()()124fxfx+++；（2）已知2a,求证：()(),2xRfaxafx+恒成立.【答案】（1）3522−，（2）详见解析【

解析】试题分析：（1）利用绝对值定义，将不等式等价转化为三个不等式组，它们的并集为所求解（2）证明不等式恒成立问题，实质是求对应函数()()22yfaxafxaxax=+=−+−最值问题，利用绝对值三角不等式易得函数最小值：y2222axaaxa

−+−=−，再根据2a，易得()()2faxafx+试题解析：（1）解：(1)(2)4fxfx+++，即14xx−+，①当0x时，不等式为14xx−−，即32x−，302x−是不等式的

解；②当01x时，不等式为14xx−+，即14恒成立，01x是不等式的解；③当1x时，不等式为14xx−+，即52x，512x是不等式的解．综上所述，不等式的解集为3522−，．（2）证明：2a，()()22faxaf

xaxax+=−+−22axaxa=−+−22axaax=−+−22222axaaxa−+−=−，()()2xRfaxafx，+恒成立．考点：绝对值定义，绝对值三角不等式【名师点睛】含绝对值不等式的解法

有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．19.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线(

)220ypxp=及点()2,0M，动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，4AB=.（1）求p的值；（2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线1l经过点C且垂直于y轴，直线2l经过点M且垂直

于直线l，记1l，2l相交于点P，求证：点P在定直线上.【答案】（1）1；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）当直线l过点M且垂直于x轴时，由4AB=知抛物线所过的点，代入抛物线方程求得p的值；（2）

设直线l的方程，与抛物线方程联立，消去x化简得关于y的方程，利用根与系数的关系以及中点坐标求出直线1l的方程，再根据垂直关系求出直线2l的方程，由此求得两直线的交点坐标P，并判断点P在定直线1x=上．【详解】（1）因为l过()2,

0M，且当l垂直于x轴时，4AB=，所以抛物线经过点()2,2，代入抛物线方程，得422p=，解得1p=.（2）由题意，直线l的斜率存在且不为0，设直线l方程为：()()20ykxk=−，()11,Axy，()22,Bxy.联立()222yxykx==−消

去x，得2240kyyk−−=，则122yyk+=，124yy=−.因为C为AB中点，所以1212Cyyyk+==，则直线1l方程为：1yk=.因为直线2l过点M且与l垂直，则直线2l方程为：()12yxk=−−，联立()112ykyxk==−−，解得11xyk

==即11,Pk，所以，点P在定直线1x=上.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程与简单几何性质应用问题，也考查了直线与方程的应用问题，属于中档题．20.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2343xatyt=+=

+（其中t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A的极坐标为2,6，直线l经过点A．曲线C的极坐标方程为2sin4cos=．（1）求直线l的普通方程与曲线

C的直角坐标方程；（2）过点()3,0P作直线l的垂线交曲线C于D，E两点（D在x轴上方），求11PDPE−的值．【答案】（1）直线l的普通方程为32yx=−，曲线C的直角坐标方程为24yx=；（2）12

．【解析】【分析】（1）将点A的直角坐标代入直线的参数方程，求出a的值，再转化成普通方程；在曲线方程两边同时乘以，即可得到答案；（2）设直线DE的参数方程为33212xtyt=−=（t为参数），再利用参数的几何意义，即可得到答案；【详解】解：（1）由题意得点A的直

角坐标为()3,1，将点A代入2343xatyt=+=+得13at==−，则直线l的普通方程为32yx=−．由2sin4cos=得22sin4cos=，即24yx=．故曲线C的直角坐标方程为24y

x=．（2）设直线DE的参数方程为33212xtyt=−=（t为参数），代入24yx=得2831630tt+−=．设D对应参数为1t，E对应参数为2t．则1283tt+=−，12163tt=−，且10t，20t．∴1212121211111112ttPDPEt

ttttt+−=−=+==．【点睛】本题考查参数方程和普通方程、极坐标方程的互化、直线方程中参数的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.21.已知函数()22ln

1fxaxx=−−，其中aR，0a.（1）当2a=时，求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；（2）求函数()fx的单调区间.【答案】（1）22yx=−+；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）当2a=时，()24ln1

fxxx=−−，求出函数的导函数，再求出()1f，()1f，再利用点斜式求出切线方程；（2）首先求出函数的导函数，再对参数a分类讨论，求出函数的单调区间；【详解】解：（1）当2a=时，()24ln1fxxx=−−，所以()42fxxx=−，所以()10f=，()12f=−，所以切线方

程为：()021yx−=−−，即：22yx=−+（2）函数定义域为()0,+，()22afxxx=−，因为aR，0a①当0a时，()0fx在()0,+上恒成立，所以函数()fx的单调递增区间为()0,+，无单调递减区间；②当0a时，由()00fxx得xa

，由()00fxx得0xa，所以函数的单调递增区间为(),a+，单调递减区间为()0,a【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究含参函数的单调区间，属于基础题.22.设椭圆22221(0)xyabab+=的离心率12e=，椭圆上的点到左焦点1F的距离的最

大值为3.（1）求椭圆C的方程；（2）求椭圆C的外切矩形ABCD的面积S的取值范围.【答案】（1）22143xy+=（2）[83,14]【解析】【分析】（1）根据题意求出bac，，，进而可求出结果；（2）当矩形ABCD的一组对

边斜率不存在时，可求出矩形ABCD的面积；当矩形ABCD四边斜率都存在时，不防设AB，CD所在直线斜率为k，则BC，AD斜率为1k−，设出直线AB的方程为ykxm=+，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式等，即可求解.【详解】解：（1）由题设条件

可得12ca=，3ac+=，解得2a=，1c=∴2223bac=−=，所以椭圆C的方程为22143xy+=（2）当矩形ABCD的一组对边斜率不存在时，得矩形ABCD的面积83S=当矩形ABCD四边斜率都存在时，不防设AB，CD所在直线斜率为k，则BC，AD斜率为1k−，设直线AB的方程为yk

xm=+，与椭圆联立22143ykxmxy=++=可得()2224384120kxkmxm+++−=，由()()()22284434120kmkm=−+−=，得2243mk=+显然直线CD的直线方程为ykxm=−，直线AB，CD间的距离22

122224322111mmkdkkk+===+++，同理可求得BC，AD间的距离为22122434322111kkdkk++==++所以四边形ABCD面积为2212223443411ABCDkkSddkk++==++4242122512421kkkk++=++24241221kkk=+++221

41212kk=+++1412144+=（等号当且仅当1k=时成立）又41283ABCDS=，故由以上可得外切矩形面积的取值范围是83,14【点睛】本题主要考查椭圆方程以及直线与椭圆的综合，灵活运用弦长公式，韦达定理等即可求解，属于

常考题型.