【文档说明】【精准解析】内蒙古包头市北重三中2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题.doc，共(20)页，1.906 MB，由小赞的店铺上传

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数学（理科）试题一、选择题：每小题只有一个选项符合题意.1.向量()()2,4,,2,,2axby==，若6a=，且ab⊥，则xy+的值为（）A.3−B.1C.3或1D.3−或1【答案】D【解析】22422440aby

xxy=++=++=，又222224206axx=++=+=，所以解得43xy==−或41xy=−=，所以1xy+=或3xy+=−，故选D.2.抛物线2yax=的焦点是直线xy10+−=与坐标轴交点，则抛物线准线方程是()A.1

x4=−B.x1=−C.1y4=−D.y1=−【答案】D【解析】【分析】先求得直线和坐标轴的焦点，由此求得a的值，并求得准线方程.【详解】抛物线开口向上或者向下，焦点在y轴上，直线10xy+−=与y轴交点为()0,1，故111,44aa==，即抛物线的方程为24xy=，

故准线方程为1y=−，故选D.【点睛】本小题主要考查直线和坐标轴的交点坐标的求法，考查已知抛物线的焦点求准线方程，属于基础题.3.3sin20cos20xtyt=+=（t为参数）的倾斜角为（）.A.20B.70C.110D.80【答案

】B【解析】【分析】首先根据题意得到3cos70sin70xtyt=+=（t为参数），消去参数t得到()tan703=−yx，再根据直线方程的斜率即可得到直线的倾斜角.【详解】因为3sin20cos20xtyt=+=（t为参数），所以3cos70sin

70xtyt=+=（t为参数），即3cos70sin70xtyt−==（t为参数），tan703=−yx，()3tan70yx=−，tan70=k，倾斜角为70.故选：B【点睛】本题主要考查直线的参数方程，

属于简单题.4.过抛物线22(0)ypxp=焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆的方程为22(3)(2)16xy−+−=，则p=（）A.2B.1C.2或4D.4【答案】A【解析】【详解】过抛物线()220ypxp=焦点的直线l与抛物线交于,AB两点，以AB

为直径的圆的方程为()()223216xy−+−=，可得弦的中点横坐标为3，圆的半径为4可得弦长为8，设直线与抛物线的交横坐标为12,xx则12126,8xxxxp+=++=，可得2p=，故选A.5.已知直线1yx=−+与椭圆22221(0)xy

abab+=相交于A、B两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB的长是（）A.223B.423C.2D.2【答案】B【解析】试题分析：因为2,22,12ecc===，所以2,1ac==，则211bac=−=，椭圆的方程为2212xy+=，

联立221{21xyyx+==−+，化简得：2340xx−=，解得0x=或43x=，代入直线得出1y=或13y=−，则41(0,1),(,)33AB−，所以423AB=，故选B．考点：椭圆的标准方程及其几何性质．6.已知斜率为k的直线l与椭圆2

2:143xyC+=交于A，B两点，线段AB的中点为(1,)Mm（0m），那么k的取值范围是（）A.12k−B.1122k−C.12kD.12k−，或12k【答案】A【解析】【分析】先设11(,)Axy，22(,)Bxy，再由点差法求出34km=−，再由点(1,)Mm，0m在椭圆

内，求出m的范围即可得解.【详解】解：设11(,)Axy，22(,)Bxy，又点A，B在椭圆22:143xyC+=上，则2211143xy+=，2222143xy+=，两式相减可得：12121212()()()()043xxxxyyyy−

+−++=，又1212yykxx−=−，12122,2xxyym+=+=则12123344xxkyym+=−=−+，又点(1,)Mm，0m在椭圆内，则21143m+，则302m，所以12k

−，故选：A.【点睛】本题考查了椭圆中的中点弦问题，重点考查了点差法，属基础题.7.椭圆2242xy+=上的点到直线280xy−−=的距离的最小值为（）A.655B.25C.3D.6【答案】A【解析】【分析】设2(cos2P，2sin)，02„，求出P到

直线280xy−−=的距离d，由此能求出点P到直线的距离的最小值．【详解】解：椭圆2242xy+=，P为椭圆上一点，设2(cos2P，2sin)，02„，P到直线280xy−−=的距离：225|c

os()4||2cos2sin8|6545512d+−−−==+„，当且仅当cos()14+=时取得最小值．点P到直线280xy−−=的距离的最小值为655mind=．故选：A．【点睛】本题考查点到直线的距离公式的最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆

的参数方程的合理运用，属于中档题．8.已知动点P在椭圆2213627xy+=上，若点A的坐标为()3,0，点M满足1AM=，0PMAM=，则PM的最小值是（）A.2B.3C.22D.3【答案】C【解析】0PMAMPMAM=⊥，2222211PMAPAMAMPMAP，=−==−1AM

=∴点M的轨迹为以为以点A为圆心，1为半径的圆，221PMAP=−，AP越小，PM越小，结合图形知，当P点为椭圆的右顶点时，AP取最小值633ac−=−=，PM最小值是23122−=故选C．点睛：本题考查椭圆上的线段长的最小值的求法，属中档题.解题时要

认真审题，要熟练掌握椭圆的性质，．9.设2F是双曲线C：22221(0,0)xyabab−=的右焦点，O为坐标原点，过2F的直线交双曲线的右支于点P，N，直线PO交双曲线C于另一点M，若223MFPF=，且260MFN=，则双曲线C的离心率为（）A.3B.2C.52D.72【答案】D

【解析】【分析】设双曲线的左焦点为F1，则MF2PF1为平行四边形，根据双曲线定义可得12,3MFaMFa==，在△MF1F2中利用余弦定理得出a，c的关系即可求出离心率．【详解】设双曲线的左焦点为F1，由双曲线的对称性可知四边形MF

2PF1为平行四边形．∴121,//MFPFMFPN=．设2||PFm=，则2||3MFm=，∴2122aMFMFm=−=，即12,3MFaMFa==．∵21260,60MFNFMF==，又122FFc=，在△MF1F2中，由余弦定理可得：2

224923cos60caaaa=+−，即2222747,4ccaa==，∴双曲线的离心率e72ca==．故选D．【点睛】本题考查了双曲线的性质，离心率计算，利用双曲线的对称性是解题的关键，属于中档题．10.已知双曲线222

21xyab−=的离心率为5，圆心在x轴的正半轴上的圆M与双曲线的渐近线相切，且圆M的半径为2，则以圆M的圆心为焦点的抛物线的标准方程为（）A.285yx=B.245yx=C.225yx=D.25yx=【答案】B【解析】设双

曲线渐近线的方程为byxa=，圆心坐标为(),0c，因为圆与直线相切由点到直线距离公式可得222bcab=+，即2b=，又因为离心率为245aa+=，可得1,5,5,252pacp====，所以抛物线的方程为2

45yx=，故选B.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质、双曲线的离心率双曲线的渐近线及抛物线的标准方程与性质，属于难题.求解与双曲线、抛物线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及

顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.11.已知12,FF是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF2||PF1|，椭圆的离心率为1e，双曲

线的离心率为2e，112||||PFFF=，则2133ee+的最小值为（）A.4B.6C.4+22D.8【答案】D【解析】【分析】由题意可得112||||2PFFFc==，再设椭圆和双曲线得方程，再利用椭圆和双

曲线的定义和离心率可得2133ee+的表达式，化简后再用均值不等式即可求解.【详解】由题意得：112||||2PFFFc==，设椭圆方程为221122111(0)xyabab+=，双曲线方程为222222221(0,0)xyabab−=，又∵121212||||2

,||||2PFPFaPFPFa+=−=.∴2122||+22,||22PFcaPFca=−=，∴122aac−=，则22112122393333eaaacceacca++=+=2222229(2)3633caacacca

ca++==++222233626833aacccaca=+++=，当且仅当2233acca=，即23e=时等号成立.则2133ee+的最小值为8.故答案为：8.【点睛】考查椭圆和双曲的定义,焦半径公式以及离心率，其中将

2133ee+化为22229911(18)(218)833aacccaca+++=为解题关键，注意取等号.12.已知过椭圆22221(0)xyabab+=的左焦点且斜率为ba的直线l与椭圆交于,AB

两点.若椭圆上存在一点P，满足0OAOBOP++=（其中点O为坐标原点），则椭圆的离心率为（）A.22B.33C.32D.12【答案】A【解析】分析：根据平方差法得到直线OM的方程为byxa=−，联立方程组，解得点P的

坐标，再根据0OAOBOP++=，得2OPOM=−，把点(,)bcPca−代入椭圆的方程，即可求解离心率的值.详解：设1122(,),(,),AxyBxyAB的中点00(,)Mxy，由题意知2222112222221,1xyxyabab+=+=，两式相减

得1212121222()()()()0xxxxyyyyab+−+−+=，则1212220ABxxyykab+++=，而ABbka=，所以00220xyab+=，所以直线OM的方程为byxa=−，联立()b

yxabyxca=−=+，解得,22PPcbcxya=−=，又因为0OAOBOP++=，所以2OPOM=−,所以点(,)bcPca−代入椭圆的方程，得222ac=，所以22cea==，故选A.点睛：本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，求双曲线的离心

率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,ac，代入公式cea=；②只需要根据一个条件得到关于,,abc的齐次式，转化为,ac的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e(e的取值范围)．二、填空题：

13.在正方体1111ABCDABCD−中，点MN，分别是11AABB，的中点，则CM和1DN所成角的余弦值为__________．【答案】19【解析】【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，设棱长为2，根据异面直线所成角的空间向量求法可求得结果.【详解】以D为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系设

正方体棱长为2，则()0,2,0C，()2,0,1M，()10,0,2D，()2,2,1N()2,2,1CM=−，()12,2,1DN=−1114411cos,339CMDNCMDNCMDN−−==

=即异面直线CM与1DN所成角的余弦值为19故答案为：19【点睛】本题考查空间向量法求解异面直线所成角的问题，易错点是忽略异面直线所成角的范围为0,2，造成求解余弦值时符号错误.14.曲线C:x2+y2=1经过伸缩变

换2xxyy==得到曲线C，则曲线C的方程为______________.【答案】2214xy+=【解析】【分析】由2xxyy==得2xxyy==，代入x2+y

2=1，即可得曲线C的方程.【详解】由2xxyy==得2xxyy==，代入x2+y2=1，得2214xy+=.故答案为：2214xy+=【点睛】本题主要考查利用伸缩变换求曲线

的方程，考查学生的基本运算能力.15.已知x，yR+且24xy=，则xy+的最小值______.【答案】3【解析】【分析】根据条件便可得到24yx=，从而根据三个数的均值不等式计算可得；【详解】解：x，yR+，

24xy=；24yx=；所以32244332222xxxxxyxx+=++=…，当且仅当1y=，2x=时取“=”；xy+的最小值为3．故答案为：3【点睛】考查基本不等式用于求最值的方法，注意在应用33abcabc++…求abc++最小值时，应使得ab

c为常数，且a，b，0c，并会判断“=”成立的条件，属于基础题．16.在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，−1），P是曲线上一个动点，则BPBA的取值范围是_____________.【答案】[0,1+2]【解析】试题分析：由题意设(cos,sin)P,[0,π]

，则(cos,1sin)BP=+，又(1,1)BA=，所以=cossin1=2sin()+1[0,12]4BPBA++++，所以BPBA的取值范围为[0,12]+.【考点】平面向量的数量积、三角函数的图象和性质

、数形结合的思想【名师点睛】本题解答时利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，从而转化成平面向量的坐标运算，利用三角函数的图象和性质，得到的取值范围.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等.三、解答题：应写

出文字说明、证明过程、演算步骤.17.在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程是23cos3sinxy=+=（θ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：(cossin)t+=（1）求曲线C的极坐标方程；（2

）设直线θ＝()6R与直线l交于点M，与曲线C交于P，Q两点，已知｜OM｜•｜OP｜•｜OQ）＝10，求t的值．【答案】（1）24cos50−−=；（2）13−−或31+.【解析】【分析】（

1）由曲线C的参数方程，可得曲线C的普通方程，再将其化为极坐标方程．（2）将6=代入()cossint+=中，求得|OM|，将6=代入24cos50−−=中，得22350−−=，得到|OP||OQ|=5．再根据|OM||OP||OQ|=10，解得t值即可.【详解】（1

）由曲线C的参数方程，可得曲线C的普通方程为()2229xy−+=，即22450xyx+−−=．∵cosx=，siny=，故曲线C的极坐标方程为24cos50−−=．（2）将6=代入()cossint+=中，得312t+=，则()31t

=−．∴|OM|=()31t−．将6=代入24cos50−−=中，得22350−−=．设点P的极径为1，点Q的极径为2，则125=−．所以|OP||OQ|=5．又|OM||OP||OQ|=

10，则5()31t−=10．∴t=13−−或31+【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，考查了利用极坐标解决长度问题，考查了学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.如图，菱形ABCD与正BCE

所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，2BC=，3FD=.（1）证明：EF平面ABCD；（2）若60CBA=，求直线EF与平面AFB所成角的正弦值.【答案】(1)证明过程详见解析（2）4228【解析】【分析】（1）过点E作E

HBC⊥于H，由面面垂直的性质可知EH⊥平面ABCD，又FD⊥平面ABCD，可得//FDEH，即四边形EHDF为平行四边形，得到线线平行，从而得到线面平行；（2）分别以HB，HA，HE为,,xyz轴建立空间直角坐标系Hx

yz−，求出平面ABF的法向量，利用线面角的向量公式进行计算即可得到答案.【详解】解：（1）如图，过点E作EHBC⊥于H，连接EH，∴3EH=.∵平面ABCD⊥平面BCE，EH平面BCE，平面ABCD平面BCE于BC，∴EH⊥平面ABCD.又∵FD⊥平面

ABCD，3FD=.∴//FDEH，∴四边形EHDF为平行四边形.∴//EFHD，∵EF平面ABCD，HD平面ABCD，∴//EF平面ABCD.（2）连接HA.由（1）得H为BC中点，又60CBA=，ABC为等边三角形，∴HABC⊥.分别以HB，

HA，HE为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz−.则()1,0,0B，()2,3,3F−，()0,03E，()0,3,0A.()3,3,3BF=−，()1,3,0BA=−，=(2,3,0)EF−=(-2,3,

0)EF，设平面ABF的法向量为()2222,,nxyz=.由2200nBFnBA==，得22222333030xyzxy−++=−+=令21y=，得()23,1,2n=.42sincos,28EFn==，直线EF与平面AFB所

成角的正弦值为4228.【点睛】本题考查线面平行的判定定理和利用空间向量求线面角，利用空间向量解题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方

程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线()220ypxp=及点()2,0M，动直线l过点M交抛物线于A，B两点

，当l垂直于x轴时，4AB=.（1）求p的值；（2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线1l经过点C且垂直于y轴，直线2l经过点M且垂直于直线l，记1l，2l相交于点P，求证：点P在定直线上.【答案】（1）1；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）当直线l过

点M且垂直于x轴时，由4AB=知抛物线所过的点，代入抛物线方程求得p的值；（2）设直线l的方程，与抛物线方程联立，消去x化简得关于y的方程，利用根与系数的关系以及中点坐标求出直线1l的方程，再根据垂直关系求出直线2l的方程，由

此求得两直线的交点坐标P，并判断点P在定直线1x=上．【详解】（1）因为l过()2,0M，且当l垂直于x轴时，4AB=，所以抛物线经过点()2,2，代入抛物线方程，得422p=，解得1p=.（2）由题意，直线l的斜率存在且不为0，

设直线l方程为：()()20ykxk=−，()11,Axy，()22,Bxy.联立()222yxykx==−消去x，得2240kyyk−−=，则122yyk+=，124yy=−.因为C为AB中点，所以1212Cyyyk+==，则直线1l

方程为：1yk=.因为直线2l过点M且与l垂直，则直线2l方程为：()12yxk=−−，联立()112ykyxk==−−，解得11xyk==即11,Pk，所以，点P在定直线1x=上.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程与简单几何性质应用问题，也考查了直线与

方程的应用问题，属于中档题．20.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2343xatyt=+=+（其中t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A的极坐标为2,6，直线l经过点A．曲线C的极坐标方程为

2sin4cos=．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）过点()3,0P作直线l的垂线交曲线C于D，E两点（D在x轴上方），求11PDPE−的值．【答案】（1）直线l的普通方程为32yx=−，曲线

C的直角坐标方程为24yx=；（2）12．【解析】【分析】（1）将点A的直角坐标代入直线的参数方程，求出a的值，再转化成普通方程；在曲线方程两边同时乘以，即可得到答案；（2）设直线DE的参数方程为33212xtyt=−=

（t为参数），再利用参数的几何意义，即可得到答案；【详解】解：（1）由题意得点A的直角坐标为()3,1，将点A代入2343xatyt=+=+得13at==−，则直线l的普通方程为32yx=−．由2sin4cos=得22sin4cos=

，即24yx=．故曲线C的直角坐标方程为24yx=．（2）设直线DE的参数方程为33212xtyt=−=（t为参数），代入24yx=得2831630tt+−=．设D对应参数为1t，E对应参数为2t．则1283tt+=−，12163

tt=−，且10t，20t．∴1212121211111112ttPDPEtttttt+−=−=+==．【点睛】本题考查参数方程和普通方程、极坐标方程的互化、直线方程中参数的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归

思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.21.如图,四棱锥PABCD−中，//ABDC，2ADC=，122ABADCD===，6PDPB==，PDBC⊥．（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；（2）在线

段PC上是否存在点M，使得平面ABM与平面PBD所成锐二面角为3？若存在，求CMCP的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）见证明；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用余弦定理计算BC，根据勾股定理可得BC⊥BD，结合BC⊥PD得出BC⊥平面PBD，于是平面PBD⊥平面PBC

；（2）建立空间坐标系，设CMCP=λ，计算平面ABM和平面PBD的法向量，令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于12，解方程得出λ的值,即可得解．【详解】（1）证明：因为四边形ABCD为直角梯形，且//ABDC,2ABAD==,2ADC

=,所以22BD=，又因为4,4CDBDC==．根据余弦定理得22,BC=所以222CDBDBC=+，故BCBD⊥.又因为BCPD⊥,PDBDD=,且BD,PD平面PBD，所以BC⊥平面PBD，又因为BC平面PBC，所以PBCPBD⊥平面平面（2）由（1）得平面ABCD⊥平面P

BD,设E为BD的中点，连结PE，因为6PBPD==,所以PEBD⊥,2PE=,又平面ABCD⊥平面PBD，平面ABCD平面PBDBD=，PE⊥平面ABCD.如图，以A为原点分别以AD，AB和垂直平面ABCD的方向为,,xyz轴正方向，建立

空间直角坐标系Axyz−，则(0,0,0)A，(0,2,0)B，(2,4,0)C，(2,0,0)D，(1,1,2)P，假设存在(,,)Mabc满足要求，设(01)CMCP=，即CMCP=，所以(2-,4-3,2)M,易得平面PBD的一个法向量为(2,2,0)BC=.设(,,)n

xyz=为平面ABM的一个法向量，(0,2,0)AB=，=(2-,4-3,2)AM由00nABnAM==得20(2)(43)20yxyz=−+−+=，不妨取(2,0,2)n=−.因为平面P

BD与平面ABM所成的锐二面角为3，所以22412224(2)=+−，解得2,23==−，（不合题意舍去）.故存在M点满足条件，且23CMCP=.【点睛】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，面面角一般是定义法，做出二

面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做．22.设椭圆22221(0)xyabab+=的离心率12e=，椭圆上的点到左焦点1F的距离的最大值为3.（1）求椭圆C的方程；（2）求椭圆C

的外切矩形ABCD的面积S的取值范围.【答案】（1）22143xy+=（2）[83,14]【解析】【分析】（1）根据题意求出bac，，，进而可求出结果；（2）当矩形ABCD的一组对边斜率不存在时，可求出

矩形ABCD的面积；当矩形ABCD四边斜率都存在时，不防设AB，CD所在直线斜率为k，则BC，AD斜率为1k−，设出直线AB的方程为ykxm=+，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式等，即可求解.【详解】解：（1）由题设条件可

得12ca=，3ac+=，解得2a=，1c=∴2223bac=−=，所以椭圆C的方程为22143xy+=（2）当矩形ABCD的一组对边斜率不存在时，得矩形ABCD的面积83S=当矩形ABCD四边斜率都存在时，不防设

AB，CD所在直线斜率为k，则BC，AD斜率为1k−，设直线AB的方程为ykxm=+，与椭圆联立22143ykxmxy=++=可得()2224384120kxkmxm+++−=，由()()()22284434120kmkm=−+−=，得2243mk=+显然

直线CD的直线方程为ykxm=−，直线AB，CD间的距离22122224322111mmkdkkk+===+++，同理可求得BC，AD间的距离为22122434322111kkdkk++==++所以四边形ABCD面积为221222344341

1ABCDkkSddkk++==++4242122512421kkkk++=++24241221kkk=+++22141212kk=+++1412144+=（等号当且仅当1k=时成立）又41283ABCDS=，故由以上可得外切矩形面积的取

值范围是83,14【点睛】本题主要考查椭圆方程以及直线与椭圆的综合，灵活运用弦长公式，韦达定理等即可求解，属于常考题型.