【文档说明】北京市第一六六中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(15)页，701.195 KB，由管理员店铺上传

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北京市第一六六中学2023-2024学年度第二学期月考试卷高一数学（考试时长：120分钟）一、选择题（每题4分，共10题）1.在ABC中，3cos2A=−，则∠A=（）A.π3B.2π3C.3π4D.5π6【答案】D【解析】【分析】根据()0,πA及特殊角的函数值得到

答案.【详解】因为()0,πA，所以5π6A=.故选：D2.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递增的是（）A.sinyx=B.cosyx=−C.sin2yx=D.tan()yx=−【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，结合三角函

数的奇偶性、单调性判断即得.【详解】对于A，函数sinyx=是奇函数，在(0,1)上单调递增，A是；对于B，函数cosyx=−是偶函数，B不是；对于C，函数sin2yx=是奇函数，而当π(0,1)4x=时，sin2yx=取最大值，则

sin2yx=在(0,1)上不单调，C不是；对于D，函数tan()yx=−是奇函数，在(0,1)上单调递减，D不是.故选：A3.在下列函数中，以π为周期的是（）A.tan2yx=B.sincosyxx=C.sin2yx=D.sincosyxx=+【答案

】B【解析】【分析】利用函数性质逐一确定周期.【详解】对于A：tan2yx=的周期π2T=，错误；对于B：1sincossin22yxxx==，其周期2ππ2T==，正确；对于C：sin2yx=的周期2ππ2T==，则sin2yx=的周期π2T=，错误；对

于D：πsincos2sin4yxxx=+=+，其周期2πT=，错误.故选：B4.一个扇形的弧长为2π5，面积为2π5，则此扇形的圆心角为（）A.π6B.π3C.π5D.2π5【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式求出扇形所在圆半径，再利用弧

长公式求解即得.【详解】设扇形所在圆半径为r，于是12π2π255r=，解得2r=，所以此扇形的圆心角2ππ525==.故选：C5.将函数()sinfxx=的图象向右平移π3个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函

数()gx的图象，则()gx的解析式为（）A.()πsin23xgx=−B.()πsin26xgx=−C.()πsin23gxx=−D.()2πsin23gxx=−【答案】A【解析】.【分析】由题意利用

()sinyAωxφ=+的图象变换规律，得出结论.【详解】将函数()sinfxx=的图象向右平移π3个单位长度，可得πsin3yx=−的图象；再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()πs

in23xgx=−的图象.故选：A.6.在ABC中，ABAC=，25sin5B=，则cosA=（）A.55B.255C.35D.45【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用等腰三角形性质，借助

二倍角公式计算即得.【详解】在ABC中，ABAC=，则π2AB=−，而25sin5B=，所以()22253coscos212sin1255ABB=−=−−=−+=.故选：C7.在ABC中，“πsinsin(

)2AB=−”是“π2C=”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义A判断得解.【详解】在ABC中，由πsinsi

n()2AB=−，得B为锐角，π2B−为锐角，当A为锐角时，π2AB=−，即π2AB+=，则π2C=，当A为钝角时，ππ2AB−=−，即π2AB−=，则π2C，因此命题“若πsinsin()2AB=−，则π

2C=”是假命题；当π2C=时，π2AB+=，有π2AB=−，则πsinsin()2AB=−，所以“πsinsin()2AB=−”是“π2C=”的必要而不充分条件.故选：B8设函数21()tan1f

xx=+，则可断定函数()fx（）A.最小正周期π，奇函数，在区间π(0,)2上单调递增B.最小正周期为π，偶函数，在区间π(0,)2上单调递减C.最小正周期为π2，奇函数，在区间π(0,)2上单调递增D.最小正

周期为π2，偶函数，在区间π(0,)2上单调递减【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用奇偶函数定义、复合函数单调性，结合正切函数性质判断得解.【详解】函数21()tan1fxx=+的定义域为π{R|π,Z}2xxkk+，显然2211()()tan()1tan1f

xfxxx−===+−+，即函数()fx是偶函数，排除AC；又2211(π)()tan(π)1tan1fxfxxx+===+++，即函数()fx的周期是π，而(0)1f=，当π2x=时，()fx无意义，则π2不是()fx的周期，因此()fx的最小周期是π，排

除D；函数tanyx=在π(0,)2上单调递增，且tan0x，则2tanyx=在π(0,)2上单调递增，所以函数21()tan1fxx=+在π(0,)2上单调递减，B正确.故选：B9.已知函数π()sin()(0,||)2fx

x=+的部分对应值如下表：.为xπ6π22π3()fx121212−且函数()fx在区间π[]6,π6−上单调递增，则=（）A.π6−B.π3−C.2π3−D.π6【答案】A【解析】【分析】根据

给定表格中数据，结合单调区间可得函数()fx图象的对称轴及对称中心，函数()fx的周期，再利用正弦函数的图象性质求解即得.【详解】由函数()fx在区间π[]6,π6−上单调，得函数()fx的周期ππ2π(]6[326)T−=−，又

ππ1()()262ff==，且πππ263−=，于是得()fx图象的一条对称轴为π3x=，又2π1()32f=−，2πππ326−=，于是得()fx图象的一个对称中心为7π(,0)12，而34π2T，7πππ1234−=，因此7ππ4()π123T=−=

，2π2T==，()sin(2)fxx=+，显然ππ2π,Z32kk+=+，解得ππ,Z6kk=−+，而π||2，则π0,6k==−，函数π()sin(2)6fxx=−，当ππ[]66,x−时，πππ2[]66,

2x−−，函数()fx在π[]6,π6−上单调递增，符合题意，所以π6=−.故选：A10.设锐角ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且1,2cAC==，则ABC周长的取值范围为（）A.(3,22]+B.(3,33]+C

.(22,33)++D.(22,33]++【答案】C【解析】【分析】首先求出角C的范围，利用二倍角的正弦公式和正弦定理得2cosaC=，再利用正弦定理和三角恒等变换得24cos1bC=−，最后得到周长表达式，再利用二次函数的性质即可得到范围.【详解】因为△ABC为锐角三角形，

所以02A，02B，02C，即022C，022CC−−，02C，所以64C，23cos22C；又因为2AC=，所以sin2sincosACC=，又因为1c=和正弦定理得2cosaC=，由sinsinbcBC=，即()sin3sinsin3sinc

os2cossin2sinsinsinsinCcBCCCCCbCCCC−+====()22sin2cos1cos2sincos4cos1sinCCCCCCC−+==−，所以24cos2cosabcCC++=+，令costC=，则23,22t

，又因为函数242ytt=+在23,22上单调递增，所以函数值域为()22,33++，则ABC的周长的取值范围为()22,33++.故选：C.【点睛】关键点睛：本题解题关键是利用正弦定理实现边角的转化得到A

BC周长关于角C的函数关系，借助二次函数的单调性求最值.二、填空题（每题5分，共6题）11.已知cos21=，则sin=______．【答案】0【解析】【分析】根据二倍角的余弦公式求解即可.【详解】2cos212sin1=−=，2sin0=，即sin0=.故答案为

：0.12.在ABC中，5a=，2b=，1cos4A=，则B=______；边c=______．【答案】①.π3②.152+【解析】【分析】先利用正弦定理求B，再用余弦定理求c.【详解】因为1cos4A=，则π0,2A，所以215sin1cos4A

A=−=，由正弦定理sinsinabAB=得152sin34sin25bABa===，又ab，所以AB，所以π3B=，由余弦定理2222451cos244bcacAbcc+−+−===，解得152c+=，负值舍去.故答案为：π3；152+.13.在平面直

角坐标系xOy中，角与角均以原点为顶点，以Ox为始边，它们的终边关于原点对称，点(),1Mx−在角的终边上．若1tan3=，则x=______；sin=______．【答案】①.3−②.1010【解析】【分

析】根据给定信息，利用正切函数的定义求出x，再利用正弦函数的定义求出sin.【详解】依题意，11tan3x−==，解得3x=−，因此(3,1)M−−，角的终边过点(3,1)M，于是22||3110OM

=+=，110sin1010==.故答案为：3−；101014.设函数()22cos2sin4cosfxxxx−=+．则π3f−=______；函数()fx的最小值为______．【答案】①.94−②.73−##123−【

解析】【分析】先化简，然后计算π3f−，换元，然后利用二次函数的性质求()fx最值.【详解】()()2222cos2sin4cos22cos11cos4cosfxxxxxxx+−=−+−−=23cos

4cos1xx=−−，则293cos4cos133ππ34πf−=−−−−=−，令cos,1,1xtt=−，则()()2341fxgttt==−−，对称轴为23x=，故最

小值为222273413333g=−−=−.故答案为：94−；73−.15.对于函数()fx，满足“xR，都有()()10fxfx−=，()()5fxfx+=−”，且()31f=，则()()

()7924fff++=______．【答案】1【解析】【分析】确定函数周期性，然后赋值求解.【详解】因为()()()510fxfxfx=−+=+，所以函数()fx的周期为10，当3x=时，由()()10fx

fx−=得()()731ff==当9x=时，由()()5fxfx+=−得()()959ff=−+，即()()9140ff+=，又()()1424ff=，所以()()9240ff+=，所以()()()79241fff++=.故答案为：116.

设AB是单位圆的一条直径，ABC的顶点C在该单位圆上，延长CB到D（B在线段CD），使得3CDCB=，则CDCA+的最大值为______．【答案】4【解析】【分析】由题意得到224CACB+=，根据边CA和CB的范

围可设2sinCA=，2cosCB=，其中π0,2=，转化为三角函数求最大值即可.【详解】AB是单位圆的一条直径，ABC的顶点C在该单位圆上，CACB⊥，224CACB+=，()0,2CA，()0,2CB，故可设2sinCA

=，2cosCB=，其中π0,2，则π323cos2sin4sin3CDCACBCA+=+=+=+，π0,2，ππ5π,336+，π1sin,132+，(2,4CDCA+，CDCA

+的最大值为4.故答案为：4.三、解答题（共五小题，共80分）17.在ABC中，3cossinaBbA=．（1）求B的大小；（2）若6b=，23a=，求ABC的面积．【答案】（1）π3；（2）63.【

解析】【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角求出tanB即可得解.（2）由（1）的结论，利用正弦定理求出A，再利用三角形面积公式求解即得.小问1详解】【在ABC中，由3cossinaBbA=及正弦定理定理，得3sincossinsinABBA=

，而sin0A，则tan3B=，又0πB，所以π3B=.【小问2详解】由（1）知π3B=，而6b=，23a=，由正弦定理得323sin12sin62aBAb===，而ab，则AB，于是π6A=，π2C=,所以

ABC的面积1632ABCSab==.18.已知函数()πtan4fxx=+．（1）求()fx的定义域；（2）求证：()1sin2cos2xfxx+=；【答案】（1）π|π,Z4xxkk+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据正切函数的

性质求定义域；（2）利用三角公式变形证明.【小问1详解】令πππ,Z42xkk+=+，得ππ,4xkk=+Z，即()fx的定义域为π|π,4xxkk+Z；【小问2详解】()()()22222sincos1sin2sin2sincoscos

cos2cossincossinsincosxxxxxxxxxxxxxx++++==−−+sincostan1cossin1tanxxxxxx++==−−，11ππ,42kxk+Z，()πtan1tan

41tanxfxxx+=+=−，所以()1sin2cos2xfxx+=.19.在ABC中，()22sincos02ABC++=．（1）求A的大小；（2）若2bc=，求证：ABC为直角三角形．【答案】（1）π3（2）证明见解析【解析】【分析】（1）在A

BC中，()coscosABC+−=，结合降幂公式，化简即可得到答案；（2）利用余弦定理2222cosabcbcA=+−，结合2bc=，化简即可求证.【小问1详解】由于在ABC中，πBCA+=−，则()()coscosπco

sAABC−+==−，所以()22sincos02ABC++=，可化简为：1cos2cos02AA−−=，即1cos2A=，因为(0,π)A，所以π3A=.【小问2详解】由（1）知π3A=，根据余弦定理得：2222cosabcbcA=+−，由于2bc=，则22

222423acccc=+−=，所以222bac=+，则ABC是以B为直角的直角三角形.20.已知函数2sincos3)()sin0(fxxxxm=++，在下列三个条件中，选择可以确定和m的值的两个条件作为已知．条件①：()fx的最小正周期为

π；条件②：()fx的最大值与最小值之和为0；条件③：3(0)2f=−，（1）求函数()fx的解析式；（2）求函数()fx在区间[0,π]2的最大值；（3）令3()()2gxfxm=−−，若2[()]2()30gx

tgxt−−在ππ[,]42x上恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）π()sin(2)3fxx=−；（2）1；（3）116t.【解析】【分析】（1）由条件①②③分别求出参数，再确定选择的两个条件求出函数解析式.（2）

由（1）的结论，利用正弦函数的性质求出最大值.（3）由（1）求出()gx及在指定区间上的值域，由不等式分离参数，用换元法后结合函数的单调性求出最值得t的范围.【小问1详解】依题意，函数11cos2sin23sin(2π32())322fmxxxxm−−++++==，条件①，2ππ2=

，解得1=；条件②，33(1)(1)022mm+++−++=，解得32m=−；条件③，2sπ33)3in(2m−++=−，解得32m=−，显然选择条件①②或①③可以确定和m的值，选择条件①②，π()sin(2)3fxx=−，选择条件①③，π()sin(2)3fxx=−.【小问

2详解】由（1）知π()sin(2)3fxx=−，当[0,]2πx时，ππ2π2[]333,x−−，则当ππ232x−=，即5π12x=时，max()1fx=，所以函数()fx在[0,π]2的最大值为1.【小问3详解】由（1）知sππ))3

333()sin(2()in(222gxxx=−−−−−=，当ππ[,]42x时，ππ2π12[,],()[,1]3632xgx−，由2[()]2()30gxtgxt−−，得2[()]2()3g

xtgx+，令2()3pgx=+，[4,5]p，则19(6)4tpp+−，显然函数69ypp=+−在[4,5]上单调递增，因此当4p=时，19(6)4pp+−取得最小值116，则116t，所以实数t的取值范围是116t.21.如图所示，在ABC中，π6A=，7BC=，D、E分别是边AB、

AC上的点（不与端点重合），且7DE=．再从条件①、条件②、条件③条件①：33AB=；条件②：21cos14B=；条件③：4CE=．中选择两个使得三角形存在且解唯一，并求：（1）sinC的值；（2）BE的长度；（3）四边形BCED的面积．【答案】（1）32114；（2）19；（3）13

34.【解析】【分析】（1）选条件①③，利用余弦定理结合已知判断并求sinC的值；选条件②③，利用同角公式及和角的正弦、正弦定理判断并求sinC的值；选条件①②，由正弦定理判定三角形解的情况即得.（2）由（1）的结论，利用余弦定理求出BE

.（3）由（1）的结论，求出ABC、ADEV的面积，作差可得出四边形BCED的面积.【小问1详解】选条件①③，33AB=，4CE=，在ABC中，π6A=，7BC=，由余弦定理得2222cosBCACABACABA=+−

，即27279ACAC=+−，整理得29200ACAC−+=，解得4AC=或5AC=，而4ACCE=，则5AC=，于是ABC存在且唯一，由正弦定理得133sin3212sin147ABACBC==

=.选条件②③，21cos14B=，4CE=，在ABC中，π6A=，7BC=，则257sin1cos14BB=−=，由正弦定理得577sin1451sin2BCBACCEA===，()4sinsinsincoscoss573

21132114214n21iCBABABA=+=+==，由正弦定理得3217sin14331sin2BCCABA===，于是ABC存在且唯一，因此321sin14C=.选条件①②，33AB=，21cos14B=，在ABC中，π6A=，7BC=，由余弦定

理得，22212cos2772337514ACABBCABBCB=+−=+−=，此时222(33)5(7)3cos22335A+−==，π6A=，符合题意，即ABC存在且唯一，由D、E分别是边AB、AC上的点（不与端点重合），知点D位置不确定，保证7DE=的点E不能确定，

因此ADEV不能确定，即不符合题意.【小问2详解】由（1）知，321sin14C=，5AC=，33AB=，在ABE中，1AE=，由余弦定理得2232cos1272133192BEAEABAEABA=+−=+−=【小问3详解】由（1）知5AC=，33AB=，而π6A=，

则1153··sin24ABCSABACA==，在ADEV中，1,7AEDE==，由余弦定理得2222cosDEAEADAEADA=+−，即237122ADAD=+−，整理得2360ADAD−−=，解得23AD=，13sin22ADESAEADA==，所以四边形BCED的面

积为1334ABCADESSS=−=..