【文档说明】安徽省黄山市“八校联盟”2022-2023学年高二上学期11月期中考试数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.489 MB，由小赞的店铺上传

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黄山市“八校联盟”2022~2023学年度第一学期期中考试高二数学试卷考生注意：1．本试卷共150分.考试时间120分钟.2．请将各题答案填写在答题卡上.3．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第三章3.1.一、选择题：本题共8小题，每

小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.椭圆22149xy+=上的一点到两个焦点的距离之和为（）A.2B.6C.4D.25【答案】B【解析】【分析】由椭圆方程可得3a=，再由椭圆定义即可求得结果.【详解】根据椭圆方程为22149x

y+=可知，椭圆焦点在y轴上，且29a=，即3a=，由椭圆定义可知椭圆上一点到两个焦点的距离之和为26a=.故选：B2.直线123xy+=的斜率为（）A.32B.32−C.23−D.23【答案】B【解析】【分析】直线方程为斜截式即得

．【详解】直线123xy+=的一般式为332yx=−+，其斜率为32−．故选：B．3.古希腊数学家阿基米德多年前利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，则椭圆2211210xy+=的面积为（）A.30πB.12

0πC.230πD.430π【答案】C【解析】【分析】根据椭圆方程求出,ab，再提供的椭圆面积公式求出椭圆的面积.【详解】因为23a=，10b=，所以椭圆的面积为2310π230π=．故选：C4.在三棱锥−PA

BC中，M是平面ABC上一点，且324PMPAtPBMC=++，则t=（）A.1B.3C.17D.12【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的基本定理24777tPMPAPBPC=++，进而得出方程241777t++=，解之即可.【详

解】因为()32424PMPAtPBMCPAtPBPCPM=++=++−，所以724PMPAtPBPC=++，即24777tPMPAPBPC=++．因为M平面ABC上一点，所以241777t++=，所以1t=．故选：A.5.直线:240lxy++

=被圆()()22:319Cxy−++=截得的弦长为（）A.2B.23C.4D.25【答案】C【解析】【分析】先求出弦心距，然后根据圆的弦长公式直接求解即可.【详解】圆()()22:319Cxy−++=，所以圆心()3,1C−，半径3r=，所以弦心距为()223214512d+−+=

=+，所以弦长为2224lrd=−=，是故选：C6.如图所示，在几何体ABCDEF中，ADBC∥，2BAD=，23ABBC==，AECF∥，21AECF==，⊥AE平面ABCD，则异面直线EF与AB所成的角为（）A.6B.3C.4D.2【答

案】A【解析】【分析】根据线面垂直的性质可得⊥AE,ABAEAD⊥，又ABAD⊥，建立如图空间坐标坐标系，利用向量法即可求出空间中的线线角.【详解】由题意知ABAD⊥，因为⊥AE平面ABCD，,ABA

D平面ABCD，所以⊥AE,ABAEAD⊥，以A为原点，AB，AD，AE的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则()3,0,0B，()0,0,1E，313,,22F．所以()3

,0,0AB=，313,,22EF=−，所以33cos,2313344ABEFABEFABEF===++，故异面直线EF与AB所成的角为6．故选：A.7.一条沿直线传播的光线经过点()4,8P−和()3,6Q

−，然后被直线3yx=−反射，则反射光线所在的直线方程为（）A.230xy+−=B.2150xy+−=C.250xy−−=D.230xy++=【答案】D【解析】【分析】首先根据两点式求得入射光线的直线方程，求得入射光线和直线3yx=−的交点，再根据反射光线经过入射点的对称点，结合点关于直

线对称求得对称点，再利用两点式即可得解.【详解】入射光线所在的直线方程为()()368643xy−−−=−−−−，即20xy+=，联立方程组30,20,xyxy−−=+=解得1,2,xy==−即入射点的坐标为()1,

2-．设P关于直线3yx=−对称的点为(),Pab，则()4830,2281,4abba−+−−=−=−−−解得11,7,ab==−即()11,7P−．因为反射光线所在直线经过入射点和P点，所以反射光线所在直线的斜率为()72

11112−−−=−−，所以反射光线所在的直线方程为()1212yx+=−−，即230xy++=．故选：D8.已知对任意的1,1x−，不等式224111mxxm+−−+恒成立，则实数m的最大值是（）A3B.2C.2D.3【答案】A

【解析】【分析】设直线l：4ymx=+，半圆C：()2210xyy+=，则问题转化为原点O到直线l的距离d大于.或等于2，利用点到直线的距离公式得到不等式，解得即可.【详解】解：设直线l：4ymx=+，半圆C：()2210xyy+=，则224111mxxm+−−+表示半圆弧

上任意一点()2,1xx−到直线l的距离大于或等于1，即原点O到直线l的距离d大于或等于2．由200421dm++=+，解得33m−，即实数m的最大值是3．故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知椭圆22:1169xyC+=，则（）A.C的焦点坐标为(5,0)B.C的长轴长为8C.C的短轴长为6D.C的一个顶点为(0,4)−【答案】BC【解析】【分析】根据题意，求得4,3,7abc===，结合

椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解.【详解】由椭圆22:1169xyC+=，可得4,3ab==，则227cab=−=，对于A中，由椭圆的焦点坐标为(7,0)，所以A错误；对于B中，由椭圆的长轴长为28a=，所以B正确；对于C中，由椭圆的短轴长为26b=，所以C正确；对于D

中，顶点坐标(4,0)和(0,3)±，所以D错误.故选：BC.10.如图，在正三棱柱111ABCABC-中，若12ABBB==，则（）为A.三棱锥11BABC−的体积为233B.三棱锥11BABC−的体积

为23C.点C到直线1AB的距离为142D.点C到直线1AB的距离为14【答案】AC【解析】【分析】利用等体积法和三棱锥的体积公式计算即可判断AB；建立如图空间直角坐标系，求出CA在1AB上的投影的长度，利用向量法求出点线距即可判断CD.【详解】三棱锥11BABC−即三棱锥11CABB−，其体积

为1123223323=，故A正确，B不正确；取AC的中点O，则BOAC⊥，3BO=，以O为原点，OB，OC的方向分别为x，y轴的正方向建立如图空间直角坐标系，则()0,1,0A−，()13,0,2B，

()0,1,0C，所以()13,1,2AB=，()0,2,0CA=−，所以CA在1AB上的投影的长度为1122222CAABAB==，故点C到直线1AB的距离22214222d=−=，故C正确，D错误.故选：AC.11.已知直线l：

10xy−−+=和圆C：2240xyy+−=，则下列说法正确的是（）A.直线l过定点()1,1B.对任意λ，直线l与圆C相交C.若0，直线l与圆C交于A，B两点，则AB的最大值为22D.对任意λ，圆C上恒有4个点到直线的距离为1【答案】AB【解析】【分析】对A：根据直线过定点运算求解；对B

：先判断定点()1,1与圆C的位置关系，进而确定直线l与圆C的位置关系；对C：先求圆心()0,2C到直线l的距离，再根据垂径定理结合基本不等式求弦长的取值范围；对D：根据圆心()0,2C到直线l的距离的取值范围，分析判断.【详解】对A：整理直线l的方程

，得()()110xy−−−=，令1010xy−=−=，解得11xy==，可知l过定点()1,1，故A正确；对B：将()1,1代入圆C的方程，得到22114120+−=−，可知点()1,1在圆C内，所以对任意λ，直线l

与圆C相交，故B正确；对C：圆C：2240xyy+−=的圆心()0,2C，半径2r=，因为圆心()0,2C到直线l的距离211d−−=+，所以22222323222222323111ABd−+=−==−=−+++，∵0，则()()1122−+−=−−，

当且仅当()1−=−，即1=−时等号成立，∴12+−，则1120,334,234211d−−++，所以AB的最大值为4，故C不正确；对D：因为圆心C与点()1,1之间的距离为12d=，则圆心C到直线l的距离0,2d，当12d时，即

11rdr−+，则圆C上有2个点到直线的距离为1；当1d=时，即1dr=−，则圆C上有3个点到直线的距离为1；当01d时，即1dr−，则圆C上有4个点到直线的距离为1；故D不正确.故选：AB.12.已

知左、右焦点分别是1F，2F的椭圆C：()222210xyabab+=的离心率为e，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为P，则下列说法中正确的有（）A.2ABF△的周长为4aB.若直线OP斜率为1k，AB的斜率为2k，则2122akkb=−C.若21

25AFAFc=，则e的最小值为77D.若2126AFAFc=，则e的最大值为77【答案】ACD【解析】【分析】根据椭圆的定义即可判断A；设()11,Axy，()22,Bxy，利用点差法和中点坐标公式可得2122bkk

a=−，进而判断B；根据平面向量的坐标表示可得22222222121222,cAFAFxacacaca=+−−−，结合选项计算即可判断CD.【详解】A:根据椭圆的定义，2ABF△的周长为11224AFBFAFBFa+++=，故A正确；B:设()1

1,Axy，()22,Bxy，则1212,22xxyyP++，所以12112yykxx+=+，12212yykxx−=−，由2211222222221,1,xyabxyab+=+=得2222121

2220xxyyab−−+=，的所以()()()()2121221212yyyybxxxxa+−=−+−，即2122bkka=−，故B不正确；C:()()22212111111,,AFAFcxycxyxyc=−−−−−=+−，因为(

)22221222211221baxcyxacaa−==−+−，所以22222222121222,cAFAFxacacaca=+−−−，由2222225accac−−，得7676e，故C正确；D:由22222

26accac−−，得7247e，故D正确．故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知椭圆C的焦距为6，且短轴的一个顶点为(0,2)，则椭圆C的标准方程为________．【答案】221134xy+

=【解析】【分析】根据题意可得椭圆焦点在x轴上，且3c=，2b=即可得出答案.【详解】由焦距为6可知26c=，即可得3c=，又短轴的一个顶点为(0,2)，即可得2b=，所以可得22213abc=+=，且焦点在x轴上；因此可得椭圆C的标准方程为221134x

y+=.故答案为：221134xy+=14.已知圆1C：()()22429xy+++=与圆2C：22240xyxym++−+=相离，则整数m的一个取值可以是______．【答案】2##3##4【解析】【分析】写出两圆的圆心及半径，利用两点之间坐标公式求出圆心的距离，利用两圆相离的关系列

出不等式，求出整数m的值.【详解】解：由题意在圆1C：()()22429xy+++=与圆2C：22240xyxym++−+=中，圆1C的圆心为()4,2−−，圆2C的圆心为()1,2-，圆1C的半径为3，圆2C的半径为5m−，∴两圆圆心的距离为()()2241225−++−

−=．∴53550mm−+−，解得15m，∴整数m的取值可能是2，3，4．故答案为：2或3或4.15.已知椭圆22:186xyC+=，则椭圆C上的点到直线:140lxy+−=的距离的最大值为________．【答案】27【解析

】【分析】设点(22cos,6sin)P，利用点到直线的距离公式求得P到直线:140lxy+−=的距离，结合辅助角公式，即可求得最大值.【详解】因为椭圆22:186xyC+=，所以可设椭圆上一点(22cos,6sin)P，则点P到直线:

140lxy+−=的距离22cos6sin14237sin()1(tan)311d+−==+−=+，则当sin()1+=−时，max27.d=故答案为;27.16.在长方体1111ABCDABCD−中，1BC=，2AB=，13DD=，则11BD

CD=______；点C到平面11ACB的距离为______．【答案】①.5−②.67【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量求解出答案.【详解】以D为坐标原点，DA，DC，1DD的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．因为1BC=，

2AB=，13DD=，所以()0,2,0C，()1,2,0B，()11,0,3A，()10,2,3C，()10,0,3D．因为()11,2,3BD=−−，()10,2,3CD=−−，所以()()()11022335BDCD=+−−+−=−．设平面11ACB的法向量为(),,

nxyz=，因为()111,2,0AC=−，()11,0,3BC=−，所以1112030ACnxyBCnxz=−+==−+=,令2z=，得()6,3,2n=．因为()10,0,3CC=，所以点C到平面11ACB的距离1222667632CCndn===++．故答案为：5−

，67.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线1:(21)(2)30laxay+−++=，直线2:(1)220laxy−++=．（1）若12//ll，求实数a的值；（2）若12ll⊥，求实数a的值．【答案】17.0

a=18.52a=或1a=−【解析】【分析】（1）1:l1110AxByC++=，2:l2220AxByC++=，若12//ll，则12210ABAB−=，求出参数后，需代入验证，排除两直线重合的情况；（2）1:l1110AxByC++=，2:l22

20AxByC++=，若12ll⊥，则12120AABB+=，由此求参数即可.【小问1详解】因为12//ll，所以()()()212120aaa轾+?--+=臌，整理得：250aa+=，即：()50aa+=，解得：0a=或5a=−，当0a=时，1:230lxy−+=，2:220lxy−++=，即2

20xy−−=，符合题意；当5a=−时，1:9330lxy-++=，即310xy−−=，2:6220lxy-++=，即310xy−−=，此时1l与2l重合，不符合题意.所以0a=.【小问2详解】因为12ll⊥，所以()()()211220aaa

轾+-+-+?臌，整理得：22350aa−−=，即：()()2510aa−+=，解得：52a=或1a=−，所以52a=或1a=−.18.已知圆C：()()22114xy−++=．（1）过点()3,2P向圆C作切线l，求切线l的方程；（2）若Q为直线m：34

80xy−+=上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求QM的最小值．【答案】（1）3x=或51290xy−+=（2）5【解析】【分析】（1）按斜率存在和不存在两种情形分类求解，斜率存在时设出直线方程，由圆心到直线的

距离等于半径求得参数值；（2）确定直线与圆相离，由切线长公式QC最小即可，只要求得圆心到直线的距离（为最小值）即可得切线长的最小值．【小问1详解】若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为3x=．若切线l的斜率存在，设切线l的方程为(

)23ykx−=−，即320kxyk−−+=．因为直线l与圆C相切，所以圆心()1,1C−到l的距离为2，即22321kk−+=+，解得512k=，所以切线l的方程为()52312yx−=−，即51290xy−+=．综上，切线l的方程为3x=或51290xy−+=．【小问2详解】圆心

C到直线m的距离为22348323(4)++=+−，直线m与圆C相离，因为224QMQC=−，所以当QC最小时，QM有最小值．当MCm⊥时，MC最小，最小值为22348334++=+，所以QM的最小值为

2345−=．19.已知P为椭圆22:184yxC+=上一动点，C的上，下焦点分别为1F，2F，定点(1,1)M−．（1）求1PMPF+的最大值；（2）若直线l与C交于,AB两点，且AB的中点为M，求2ABF△的面积．【答案】（

1）52（2）306【解析】【分析】（1）连接22,PFMF，求得22MF=，得到22PMPFMF+，结合椭圆的定义，得到122122PMPFPFMFPFaMF+?+=+，即可求解；（2）设1122(,),(,)AxyBxy，利用点差法求得直

线AB的斜率为2k=，得到AB的直线方程，联立方程组求得121212,6xxxx+=−=，结合弦长公式和点到直线的距离公式，利用三角形的面积公式，即可求解.【小问1详解】解：如图所示，连接22,PFMF，由椭圆得的定义，可得12242PFPFa+==，又由椭圆22:184

yxC+=，可得22,2ab==，则222cab=−=，所以2(0,2)F，因为(1,1)M−，可得222(01)(21)2MF=++−=，又因为22PMPFMF+，则12212242252PMPFPFMFPFaMF+?+=+=+=，当且仅当2,,PFM三点共线，且

点P在2MF的延长线上时，等号成立，所以1PMPF+的最大值为52.【小问2详解】解：如图所示，设1122(,),(,)AxyBxy，因为点M为AB的中点，可得12122,2xxyy+=−+=，又由221122222828yxyx+=+=，两式相减，可得21212121()()2()()0

yyyyxxxx−++−+=，可得212121212()2(2)22yyxxxxyy−+−=−=−=−+，即直线AB的斜率为2k=，所以AB的方程为12(1)yx−=+，即23yx=+，联立方程组222328yxyx=++=，整理得26

1210xx++=，所以121212,6xxxx+=−=，则221212122150125()45433ABxxxxxx=+−=+−=−=，又由焦点2(0,2)F到直线23yx=+的距离为2223152(1)d−+==+−，所以2ABF△的面积为1115013022365SABd=

==.20.在长方体1111ABCDABCD−中，底面ABCD是边长为2正方形，14AA=，M，N分别是AD，1BD的中点．（1）证明：MN与平面BCN不垂直．（2）求MN与平面1CMD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）4105105【解析】【分

析】（1）建立坐标系，利用向量证明MN与平面内的一条直线不垂直即可；（2）求出平面1CMD的法向量，利用线面角的向量求法进行求解.【小问1详解】解：以D为坐标原点，DA，DC，1DD的方向分别为x，y，z轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0M，()1,1,2N，()2,2,0B，()0,2,0C，()10,0,4D，()0,1,2MN=．的（1）证明：因为()2,0,0BC=−，()1,1,2CN=−，所以0MNBC=，但30MNCN=，所以MN与平面BCN不垂直

．【小问2详解】设平面1CMD的法向量为(),,nxyz=，因为()1,2,0CM=−，()10,2,4CD=−，所以1240,20,CDnyzCMnxy=−+==−=令1z=，得()4,2,1n=．设MN与平面1CMD所成的角为θ，则4105sincos,105MNnMN

nMNn===，故MN与平面1CMD所成角的正弦值为4105105．21.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为直角梯形，其中ABBC⊥，//ABCD，2PA=，122ABBCCD===，PA

⊥平面ABCD，M为PD的中点．（1）证明：//AM平面PBC．（2）求平面PBC与平面PCD的夹角．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】(1)取PC的中点为N，连接MN，NB，利用中位线证明MNAB∥且MNAB=，所以四边形MNBA为平行四边形，得到AMBN∥，再利用线面平行

得判定即可证明；(2)过A作AHCD⊥，垂足为H，以A为坐标原点，AH，AB，AP的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出平面PBC与平面PCD的法向量，代入向量夹角公式即可求解.【小问1详解】证明：取PC的中点为N，连接M

N，NB，则MNCD∥且12MNCD=．因为ABCD∥且12ABCD=，所以MNAB∥且MNAB=，所以四边形MNBA为平行四边形，所以AMBN∥．又因为BN平面PBC，AM平面PBC，所以AM∥平面PBC．【小问2详解

】过A作AHCD⊥，垂足为H，则2DH=．如图，以A为坐标原点，AH，AB，AP的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则()002P,,，()0,2,0B，()2,2,0C，()2,2,0D−．设平面PBC的法向量为()111,,xyz=m，因为(

)0,2,2BP=−，()2,0,0BC=，所以111220,20,mBPyzmBCx=−+===令11y=，得()0,1,1=m．设平面PCD的法向量为()222,,nxyz=，因为()2,2,2PC=−，(

)2,2,2PD=−−，所以2222222220,2220,nPCxyznPDxyz=+−==−−=令21x=，得()1,0,1n=．设平面PBC与平面PCD的夹角为θ，则11cos222mnmn===，所以平面PBC与平面PCD的夹角为3．22.已知椭圆W

：()222210xyabab+=的离心率为255，左、右焦点分别为1F，2F，过2F且垂直于x轴的直线被椭圆W所截得的线段长为255．（1）求椭圆W的方程；（2）直线()0ykxk=与椭圆W交于A，B两点，连接1AF交椭圆W于点C，若5ABCS=△，求直线AC的方程．【答案

】（1）2215xy+=；（2）320xy−+=或320xy++=.【解析】【分析】（1）根据题意可得255ba=，结合离心率和222abc=+即可求解；（2）根据题意可设直线AC的方程为2xty=−，()11,Axy，()

22,Cxy，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出12yy+、12yy，根据弦长公式求出AC，利用点到直线的距离公式求出点O到直线AC的距离，结合三角形面积公式计算求出t，即可求解.【小问1详解】由题意知，设过2F且垂直于x轴的直线交椭圆于点

(),Pcm，则22221cmab+=，解得2bma=，所以22525ba=，所以255ba=．因为椭圆W的离心率255cea==，所以2245ca=．因为222abc=+，所以25a=，21b=，故椭圆W的方程为2215xy+=．【小问2详解】由题意知，直

线AC不垂直于y轴，设直线AC的方程为2xty=−，()11,Axy，()22,Cxy，联立方程组222,55,xtyxy=−+=消去x并整理得()225410tyty+−−=，所以12245tyyt+=+，12215yyt=−+，所以()()()()222221212

1114ACtyytyyyy=+−=++−()()222222251441555tttttt+=++=+++．因为点O到直线AC的距离221dt=+，且O是线段AB的中点，所以点B到直线AC的距离为2d，所以()222222514511222551ABCttS

ACdttt++===+++△．由2245155tt+=+，解得23t=，所以3t=，故直线AC的方程为32xy=−，即320xy−+=或320xy++=．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com