【文档说明】山东省临沂市第四中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题word版含解析.docx，共(19)页，1.502 MB，由小赞的店铺上传

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山东省临沂市兰临沂第四中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选

涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线()12:20,:2120lax

ylxay+−=+++=，若1l∥2l，则a=（）A.1−或2B.1C.1或2−D.2−【答案】B【解析】【分析】由条件结合直线平行结论列方程求a，并对所得结果进行检验.【详解】因为1l∥2l，()12:20,:2120laxylxay+−=+++=，所以()1

12aa+=，所以220aa+−=，解得2a=−或1a=，当2a=−时，1:220lxy−+=，2:220lxy−+=，直线12,ll重合，不满足要求，当1a=时，1:20+−=lxy，2:10lxy++=，直线12,

ll平行，满足要求，故选：B.2.过点()3,3P的直线l与线段MN相交，()()2,3,3,2−−−MN，则l的斜率k的取值范围为（）A.1665kB.566kC.65k或6kD.16k或65k【答案】B【解析】【分析】根据斜率的计算公式求相应的斜率，结合图形分析斜率的

取值范围.【详解】如图所示：则()()()333256,32336PMPNkk−−−−====−−−，若过点()3,3P直线l与线段MN相交，所以566k.故选：B.3.在三棱柱111ABCABC−中，记1AAa=，ABb=，ACc=，点P

满足12BPPC=uuruuur，则AP=（）A.113332abc−+B.121333abc++C.223331abc+−D.212333abc++【答案】D【解析】【分析】利用空间向量的线性运算求出结果．【

详解】三棱柱111ABCABC−中，记1AAa=，ABb=，ACc=，如图所示：故()()111222333APABBPbBCbBCCCbACABCC=+=+=++==+−+222122212333333

333bacbbacabc=++−=++=++．故选：D．4.已知点()2,1P−关于直线10xy−+=对称，则对称点的坐标为（）A.()0,1−B.()0,2−C.()1,1-D.()2,1−【答案】A的【解析】【分析】先设点的坐

标，根据斜率间关系及中点在对称直线上列方程求解计算即得.【详解】设对称点坐标(),Qab，由题意知直线QP与1yx=+垂直，结合1yx=+的斜率为1，得直线QP的斜率为-1，所以112ba−=−−−，化简得10ab++=，①再由QP的中点

在直线1yx=+上，12122ba+−=+，化简得10ab−−=，②联立①②，可得0,1ab==−，所以对称点Q的坐标为()0,1−.故选：A.5.已知向量()2,1,3a=−，()1,4,2b=−−，()1,3,c=，若

a，b，c共面，则=（）A.4B.2C.3D.1【答案】D【解析】【分析】根据共面定理得cmanb=+，即可代入坐标运算求解.【详解】因为a，b，c共面，所以存在两个实数m、n，使得cmanb=+，即()()()1,3

,2,1,31,4,2mn=−+−−，即214332mnmnmn−=−+=−=，解得111mn===.故选：D6.点()2,1P−−到直线()()():131240Rlxy+++−−=的距离最大

时，其最大值以及此时的直线方程分别为（）A.13;2310xy−+=B.11;340xy+−=C.13;3250xy+−=D.11;2310xy−+=【答案】C【解析】【分析】由直线l的方程求出其所过定点坐标，由此确定最大距离及此时直线l的方程.【详解】直线l的方程()()13

1240λxλyλ+++−−=可化为()2340xyxy+−++−=，联立20340xyxy+−=+−=，解得11xy==，所以直线l经过定点()1,1C，当PCl⊥时，点P到直线l的距离最大，最大距离为()()22211113PC=−−+−−=，因为直线PC

的斜率112123PCk+==+，PCl⊥，所以直线l的斜率32lk=−，所以13312+−=−+，所以()()21331+=+，所以2633+=+，故13=，所以直线l的方程为3250xy+−=.故选：C

.7.下列命题中正确的是（）A.点()3,2,1M关于平面yOz对称的点的坐标是()3,2,1−−B.若直线l的方向向量为()1,1,2e=−，平面的法向量为()6,4,1m=−，则l⊥C.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为120，则直线l与

平面所成的角为30oD.已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若12OPmOAOBOC=−+，则12m=−【答案】C【解析】【分析】由空间点关于平面的对称点的特点可判断A；由向量的数量积的性质可判断B

；由线面角的定义可判断C；由共面向量定理可判断D.【详解】对于A，点()3,2,1M关于平面yOz对称的点的坐标是()3,2,1−，A选项错误；对于B，若直线l的方向向量为()1,1,2e=−，平面的法向量为()6,4,1m=−，()()1614210em=+−

+−=，有em⊥，则//l或l，B选项错误；对于C，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为120，则直线l与平面所成的角为()9018012030−−=，C选项正确；对于D，已知O为空间任意

一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若12OPmOAOBOC=−+，则1112m−+=，解得12m=，D选项错误.故选：C.8.在空间直角坐标系Oxyz−中，()1,0,0A，()0,2,0B，()0,0,2C，点H在平面ABC内，则当OH取最小时

，点H的坐标是（）A.211,,333B.666,,366C.333,,366D.()2,1,1【答案】A【解析】【分析】根据题意可知，OH为三棱锥OABC−的高时，为所求，可设(,,)Hxyz，则(,,)OHxyz=,可求出点

O到平面ABC的距离,得到22223xyz++=，再利用//OHm，得2,,xyz===，解出即可.【详解】由题意，在空间直角坐标系Oxyz−中，()1,0,0A，()0,2,0B，()0,0,2C，设(,,)Hxyz，

(,,)mabc=为平面ABC的法向量，则(,,)OHxyz=，(1,2,0),(0,2,2)ABBC=−=−,(1,0,0)OA=，则0202200mABabbcmBC=−+=−+==，令1,b=则

2,1ac==，故(2,1,1)m=，则点O到平面ABC的距离为，26,36OAmm==所以22263OHxyz=++=，则2222,3xyz++=又//OHm，,R,0OHm=，即(,,)(2,1,1,)(2,,)xyz

==，所以2,,xyz===，代入2222,3xyz++=可得13=，则21,,33xyz===所以211,,333OH=，则211,,,333H故选：A.二、多选题：本题共3小题

，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量()()2,1,1,1,,2axby==−，则（）A.若1,24xy==−，则//abrrB.若1,1xy==，则ab⊥C.若1,12xy==

，则2cos,3ab=D.若1,12xy==，则向量a在向量b上的投影向量112,,333c=−【答案】ACD【解析】【分析】代入,xy的值，得到向量,ab的坐标，利用向量的坐标运算，判断向量的平行垂直，求向量夹角的余

弦和投影向量的坐标.【详解】向量()()2,1,1,1,,2axby==−若1,24xy==−，则()1,1,1,1,2,22ab==，2ba=，所以//abrr，A选项正确；若1,1xy==，()()2,1,1,1,1,2ab==

−，2120ab=−+，不满足则ab⊥，B选项错误；若1,12xy==，()()1,1,1,1,1,2ab==−，则1122cos,336ababab−+===，C选项正确；若1,12xy==，(

)()1,1,1,1,1,2ab==−，则向量a在向量b上的投影向量:()1,1,22112cos,3,,33336bcaabb−===−，D选项正确.故选：ACD10.下列说法正确的是（）A.直线sin20xy++=的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44

B.“1a=−”是“直线210axy−+=与直线20xay−−=互相垂直”的充要条件C.过点()1,2P且在x轴，y轴截距相等的直线方程为30xy+−=D.经过平面内任意相异两点()()1122,,,xyxy的直线都可以用方程()()()()211211xxyyyyxx−−=−−表示．

【答案】AD【解析】【分析】对于A：根据tansin[1,1]=−−可求倾斜角的取值范围；对于B：根据两直线垂直的条件求出a的值即可判断；对于C：分截距是否为0两种情况求解可判断；对于D：对斜率

为0、斜率不存在特殊情况讨论可以确定所求直线均可用()()()()211211xxyyyyxx−−=−−表示.【详解】对于A：直线的倾斜角为，则tansin[1,1]=−−，因为0π，所以π3π0,,π44，故A正确.对于B：当1a=−时，直线10xy−+

=与直线20xy+−=斜率分别为1,1−，斜率之积为1−，故两直线相互垂直，所以充分性成立，若“直线210axy−+=与直线20xay−−=互相垂直”，则20aa+=，故0a=或1a=−，所以得不到1a=−，故必要性不成立，故B错误.对于C：截距0时，设

直线方程为ykx=，又直线过点()1,2P，为所以可得2k=，所以直线方程为2yx=，当截距不0时，调直线方程为1xyaa+=，又直线过点()1,2P，所以可得3a=，所以直线方程为30xy+−=，所以过点()1,2P且在x轴，y轴截距相等的直线方程为30xy+−=或2yx=，故

C错误；.对于D：经过平面内任意相异两点()()1122,,,xyxy的直线：当斜率等于0时，1212,yyxx=，方程1yy=，能用方程()()()()211211xxyyyyxx−−=−−表示；当斜率不存在时，

1212,yyxx=，方程为1xx=，能用方程()()()()211211xxyyyyxx−−=−−表示；当斜率不为0且斜率存在时，直线方程为112121yyxxyyxx−−=−−，也能用方程()()()()211211xxyyyyxx−−=−−表示，故D正确.故选：AD.11

.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，E为线段1BC的中点，点F和点P分别满足111DFDC=，11DPDB=，其中,0,1，则下列说法正确的是（）A.BP⊥平面AECB.AP与平面11BDDB所成

角的取值范围为45,60C.PEPF+的最小值为526D.点P到直线1BC的距离的最小值为66PE=【答案】ACD【解析】【分析】对于A选项，利用正方体的性质及线面垂直的判定定理即可判断；对于B选项，由题AP与平面11BDDB所成角即为APO,计算即可

判断；对于C选项，利用展开图即可判断；对于D选项，利用A，P，E三点共线.1PEBC⊥，1PEBD⊥，即此时P到直线1BC的距离最小即可判断.【详解】对于A选项，则BDAC⊥，为为由题可知，1BB⊥平面ABCD，且AC平面ABCD，则1BBAC⊥，又

1BDBBB=，1,BDBB平面11DBB，AC⊥平面11DBB，1BD平面11DBB，则1BDAC⊥，同理可得11BDBC⊥，1BCACC=，1,BCAC平面1ABC，直线1BD⊥平面1ABC

，平面AEC即为平面1ABC，111,//DPDBBPDB=,BP⊥平面AEC,则选项A正确；对于选项B：如图，连接AC交BD于点O，连接OP，知AO⊥平面11BDDB，所以APO即为AP与面11BDDB所成角，所以22sinAOAPOAPAP==，由P在1DB上知6,23AP

，所以13sin,22APO，因为()0,90APO，所以APO的范围是30,60，即直线AP与平面11BDDB所成角的范围是30,60，故B错误；对于C项，

把问题转化为在平面11ABCD内求点P使得PEPF+最小，如图，作点E关于线段1DB的对称点1E，过点1E作11DC，AB的垂线，垂足分别为F和H，则1PEPFEF+，设1EBA=，则()1111sinsin3ABDCBD=−=，故1

12sin6EHBE==，故1252266EF=−=.对于D项，当23=时，P平面1ABC且A，P，E三点共线.此时1PEBC⊥，1PEBD⊥，即此时P到直线1BC的距离最小，最小值为1636AE=.故选：ACD.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在直线210xy

−+=上求一点，使它到直线:320lxy+−=的距离等于原点到l的距离，则此点的坐标为______.【答案】()1,1或31,55−【解析】【分析】设直线210xy−+=上点为()21,aa−，再根据点到直线的距离公式求解即可.【详

解】设直线210xy−+=上的点为()21,aa−，点()21,aa−直线:320lxy+−=的距离为2132531910aaa−+−−=+，原点到l的距离为221910−=+，所以5321010a−=

，解得1a=或15a=，所以此点的坐标为()1,1或31,55−.故答案为：()1,1或31,55−.13.已知空间向量,,abc两两夹角为60，且1abc===，则2abc−+

=_______．【答案】5【解析】的【分析】先计算出12abbcca===rrrrrr，再运用向量的模长公式展开，代入即得.【详解】依题意，12abbcca===rrrrrr，则222(2)abcabc−

+=−+222||4||244abcabbcac=++−−+11162445222=−−+=，25abc−+=.故答案为：5.14.如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点,AE和点A，F，使AAa⊥，且AAb⊥（AA称为异面直线a，b的公垂线）．已知AEm

=，AFn=，EFl=，则公垂线AA=______________．【答案】2222coslmnmn−−【解析】【分析】根据异面直线a，b所成的角为，可得EA与AF得夹角为或π−，再由EFEAAAAF=++

，两边同时平方，结合数量积得运算律即可得解.【详解】解：因为异面直线a，b所成的角为，则EA与AF得夹角为或π−，则cos,cosEAAF=，由EFEAAAAF=++，得()2222222EFEAAAAFEAAFEAAAAFA

A=+++++，即22222cos00lmAAnmn=++++，所以2222cosAAlmnmn=−−，即公垂线2222cosAnmmAln=−−.故答案为：2222coslmnmn−−.四、解答

题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，三棱柱111ABCABC−中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAACAA==．（1）设1AAa=，ABb=，ACc=，用向量,,abc表示1BC，并求出1BC的长度；（2）求异

面直线1AB与1BC所成角的余弦值．【答案】（1）1BCacb=+−；12BC=（2）66【解析】【分析】（1）根据向量加减法运算法则可得1BCacb=+−，根据21()=+−BCacb计算可得1BC的长度；（2）根据空间向量的夹角公式计算可得结果.【小问1详

解】1111111111BCBBBCBBACABAAACABacb=+=+−=+−=+−，因为11||||cos11cos602ababBAA===，同理可得12acbc==，所以22221()22

21111112BCacbacbacabcb=+−=+++−−=+++−−=【小问2详解】因为1ABab=+，所以2221()21113ABababab=+=++=++=，因为2211()1111112222()1ABBCabacb

aacabbacbb=++−=+=+−++−++−=−，所以11111116cos,623ABBCABBCABBC===．所以异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为66．16.已知点()1,3P，_______，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补

充在横线处，并作答（1）求直线1l的方程；（2）求直线2l：250xy+−=关于直线1l的对称直线的方程条件①：点P关于直线1l的对称点1P的坐标为()1,1−；条件②：点M的坐标为()6,2−，直线1l过点()2,4−且与直线PM平行；条

件③：点N的坐标为()3,1−−，直线1l过点()2,4−且与直线PN垂直.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）20xy+−=（2）210xy+−=.【解析】【分析】（1）选择条件①：由题意可得1l是线段1PP的垂直平分线，根据垂直关系可得斜率

，再结合中点坐标，根据点斜式即可求解方程；选择条件②：根据平行关系可得斜率，再根据点斜式即可求解方程；选择条件③：根据垂直关系可得斜率，再根据点斜式即可求解方程；（2）联立1l，2l的方程可得两直线的交点坐标，在直线2l：250xy+−=上取()0,5A，求得对称点坐标，再根据两点式即可求

解方程.【小问1详解】选择条件①：因为点P关于直线1l的对称点1P的坐标为()1,1−，所以1l是线段1PP的垂直平分线，又()131111PPk−==−−，所以直线1l的斜率为1−.又线段1PP的中点坐标为()0,2，所以直线1l的方程为(

)20yx−=−−，即20xy+−=.选择条件②：因为23161PMk−−==−−，直线1l与直线PM平行，所以直线1l的斜率为1−，又直线1l过点()2,4−，所以直线1l的方程为()42yx−=−+，即20xy+−=.选择条件③：因为()()31113PNk−−==

−−，直线1l与直线PN垂直，所以直线1l的斜率为1−，又直线1l过点()2,4−，所以直线1l的方程为()42yx−=−+，即20xy+−=.【小问2详解】由20250xyxy+−=+−=解得3,1,xy==−故1l，2l的交点坐标为()3,1−，因为()0,5

A在直线2l：250xy+−=上，设()0,5A关于1l对称的点为()1,Amn，则51,520,22nmmn−=++−=解得3,2,mn=−=所以直线2l关于直线1l对称的直线经过点()3,1−，()3,2−，代入两点式方程得132133yx+−=+−−，即210xy+−=

，所以直线2l：250xy+−=关于直线1l的对称直线的方程为210xy+−=.17.已知直线()():12360maxaya−++−+=，:230nxy−+=.（1）若坐标原点O到直线m的距离为5，求a的值；（2）当0a=时，直线l过m与n的交点，且它

在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程.【答案】（1）14a=−或73a=−（2）370xy−=或120xy−+=【解析】【分析】（1）依据点到直线的距离公式建立方程求解即可.（2）联立求出直线交点，再分类讨论直线是否过原点，求解即可.【小问1

详解】设原点O到直线m的距离为d，则()()2265123adaa−+==−++，解得14a=−或73a=−；【小问2详解】由360230xyxy−++=−+=解得219xy=−=−，即m与n的交点为()21,9−−.当直线l过原点时，此时直线斜率为93217=，所以直线l的方程

为370xy−=；当直线l不过原点时，设l的方程为1xybb+=−，将()21,9−−代入得12b=−，所以直线l的方程为120xy−+=.故满足条件的直线l的方程为370xy−=或120xy−+=.18.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥底面ABCD

，底面ABCD为直角梯形，ABAD⊥，//BCAD，222ADBCPA===，1AB=，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点.（1）证明：平面//PEF平面GAC；（2）求直线GC与平面PCD所成角的正弦值.【答案】（1）证明见

解析（2）16【解析】【分析】（1）利用中位线定理得到线线平行，进而得到线面平行，再利用面面平行的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可.【小问1详解】连接EC，设EB与AC相交于点O，如图，因为//BCAD，且12BCADAE==，ABAD⊥，所

以四边形ABCE为矩形，所以O为EB的中点，又因为G为PB的中点，所以OG为PBE△的中位线，即//OGPE，因为OG平面PEF，PE平面PEF，所以//OG平面PEF，因为E，F分别为线段AD，DC的中点，所以//EFAC，因为AC平面PEF，EF平面PE

F，所以//AC平面PEF，因为OG平面GAC，AC平面GAC，ACOGO=，所以平面//PEF平面GAC.【小问2详解】因为PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以PAAB⊥，PAAD⊥，因为ABAD⊥，所以,,PAABAD两两互相垂直，以A为原点，,,ABADAP所

在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则𝐴(0,0,0)，11,0,22G，𝐶(1,1,0)，()0,2,0D，𝑃(0,0,1)，所以11,1,22GC=−，()1,1,1PC=−，(

)0,2,1PD=−，设平面PCD的法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则00nPDnPC==，所以200yzxyz−=+−=，令1y=，可得2z=，1x=，所以()1,1,2n=，设直线GC与平面PCD所成角为θ，则222111112122si

n6116122nGCnGC++−===++−，所以直线GC与平面PCD所成角的正弦值为16.19.如图1所示PAB中，,12APABABAP⊥==．,DC分别为,PAPB中点．将PDC△沿DC向平面ABCD上方翻折至图

2所示的位置，使得62PA=．连接,,PAPBPC得到四棱锥PABCD−，记PB的中点为N，连接CN，动点Q在线段CN上．（1）证明：CN⊥平面PAB；（2）若2QCQN=，连接,AQPQ，求平面PAQ与平面A

BCD的夹角的余弦值；（3）求动点Q到线段AP的距离的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）31919（3）6,36轾犏臌【解析】【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证；（2）建立空间直角坐标系，利

用法向量的夹角即可求解平面的夹角；（3）根据向量共线求出()3,6,3Q，利用空间向量表示出点到直线距离，利用二次函数性质求范围即可.【小问1详解】因为折叠前D为PA中点，12PA=，所以6PDAD==，折叠后，62PA=，所以222PDADPA+=，所以PDAD⊥，在折叠前,DC分别为,PA

PB中点，所以//DCAB，又因为折叠前PAAB⊥，所以DCPA⊥，所以在折叠后PDAD⊥，DCPD⊥，ADDC⊥；以D为坐标原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0D，()6,0,0A，()6,12,0B，()0,6,0C，()0,0,6P

，N为PB中点，所以()3,6,3N，()3,0,3CN=，设平面PAB的法向量为𝑚⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，又()6,0,6AP=−，()0,12,0AB=，所以00APmABm==，660120xzy−+==，令1x=，则0y=，1z=，所以()

1,0,1m=，所以3CNm=，所以//CNm，所以CN⊥平面PAB.【小问2详解】设()000,,Qxyz，由（1）知，()3,0,3CN=，因为动点Q在线段CN上，且2QCQN=，所以23CQCN=，所以()()0002,6,3,0,33xyz−=，所以02x=，06y=，02z=，所以()

2,6,2Q，()2,6,4QP=−−，()4,6,2QA=−−，设平面PAQ的法向量为()111,,nxyz=，00QPnQAn==，11111126404620xyzxyz−−+=−−=，令11x=，则113y=，11z=，所以11,,13n=，设平

面ABCD的法向量为()0,0,6DP=，所以226319cos,1916113nDPnDPnDP===++，所以平面PAQ与平面ABCD的夹角的余弦值为31919.【小问3详解】设()111,,Qxyz，()111,6,CQxyz=−，

()3,0,3CN=，动点Q在线段CN上，所以CQCNl=，0,1，即()()111,6,3,0,3xyz−=，即111363xyz===，所以()3,6,3Q，()6,0,6AP=−，()63,6,3QA=−−−

，设点Q到线段AP的距离为d，22QAAPdQAAP=−，()()()()222266336636362d−−−=−+−+−−，0,1，2183654dl

l=-+，0,1，令2183654tll=-+，0,1，则()218136t=−+，0,1，根据二次函数的性质可知36,54t，所以6,36d，由此可知动点Q到线段AP的距离的取值范围为6,36.