【文档说明】浙江省山河联盟2022-2023学年高二下学期3月联考数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.303 MB，由小赞的店铺上传

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山河联盟2022学年第二学期3月联考高二数学试卷一．单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.直线320xy++=的倾斜角是（）A.3B.6C.23D.3−【答案】C【解析】【分析】由直线方程求出斜率，根据斜率可得倾斜角.【详解】解：将直线320xy++=化为32yx

=−−，所以直线的斜率为3−，即tan3=−，又0，所以23=.故选：C2.若等差数列{}na的前7项和749=S，且3412aa+=，则8a=（）A.12B.13C.14D.15【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求得1,ad，

由此求得8a.【详解】依题意7344912Saa=+=，即11721492512adad+=+=，解得1a1,d2==，所以81715aad=+=.故选：D3.已知向量()1,2,1a=−−，(),1,bxy=−．若//ab，则（）

A.1xy+=B.1xy−=C.0xy+=D.1xy−=−【答案】A【解析】【分析】根据给定条件利用空间向量平行的坐标表示直接计算作答.【详解】向量()1,2,1a=−−，(),1,bxy=−，因//ab，则1121xy−==−−，解得12xy==，所以0xy−=，

B，D都不正确；1xy+=，C不正确，A正确.故选：A4.若椭圆222116xyb+=过点(2,3)−，则其焦距为（）A.25B.23C.45D.43【答案】D【解析】【分析】将点(2,3)−代入椭圆方程求出2b，再根据222cab=−求出半焦距c，从而可得焦距2

c.【详解】解：因为椭圆222116xyb+=过点(2,3)−，所以()()22232116b−+=，解得24b=，所以216a=，所以22216412cab=−=−=，解得23c=，所以焦距243c=，故选：D.5.已知函数()()21lnfxfxx=−，则()fx

的极大值为A.2B.2ln22−C.eD.2e−【答案】B【解析】【详解】()()21lnfxfxx=−，则()()1x211ffx=−,令x=1得()()1211ff=−，所以()11f=则()2lnfxxx=−，()22x1xfxx−=−=所以函数在（0,2）上递增，

在（2，+）上递减，则()fx极大值为()22ln22f=−故选B6.设na是以2为首项，1为公差的等差数列，nb是1为首项，2为公比的等比数列，记12nnbbbMaaa=+++，则nM中不超过2023的项的个数为（）A.8B.9C.10D.11【答案】C的【解析】

【分析】求出数列nnab､的通项公式，可得出数列nba的通项公式，利用分组求和法可求得nM，找出使得不等式2009nM成立的最大正整数n的值，进而可得出结论.【详解】由题意可得()112111,122nnnnannb−−=+−=+==，所以，1121nnbnab

−=+=+，则()12011122222112nnnnnbbbMaaannn−−=+++=++++=+=+−−，所以，数列nM单调递增，因为10111011291033,2102058MM=+==+=，则10112023M

M，则使得不等式2023nM成立的最大正整数n的值为10.因此，数列nM中不超过2023的项的个数为10.故选:C.7.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的右焦点为F，O为坐标原点，P为

双曲线C在第一象限上的点，直线PO交双曲线C的左支于点M，若3MFPF=，且2π3PFM=，则双曲线C的离心率为（）A.52B.3C.2D.72【答案】D【解析】【分析】设双曲线的左焦点为F1，则四边形MFPF1为平行四边形，根据双曲线定义

可得3PFaMFa==，，在△△POF中利用余弦定理得出a，c的关系即可求出离心率．【详解】设双曲线的左焦点为F1，由双曲线的对称性可知四边形MFPF1为平行四边形．∴1MFPF=．设||PFm=，则||3MFm=，1MFm=，∴122

aMFMFm=−=，得ma=，即13MFPFaMFa===，，∵120PFM=，∴△MFP中，由余弦定理可得：2222923cos12013PMaaaaa+==−，得13PMa=，在∴2321PMaPO==，222(13)(3)5

13cos26213aaaMPFaa+−==，在△POF中，由余弦定理可得：2221313()2cos22aacaaMPF=+−，整理，得2274ca=，即72e=.故选：D8.已知函数()()()2ln2.fxx

xxxaaR=+−若存在13x，，使得()()'fxxfx成立，则实数a的取值范围是（）A.()16，−B.132−，C.54+，D.2,22−【答案】C【解析】【分析】构造函数()()fxgxx=，利用导数进行研究，通过分离常数法求得

a的取值范围.【详解】函数()()fxgxx=，则()()()''20xfxfxgxx−=，而()()()2ln2fxgxxxax==+−，故()()'140gxxax=+−，所以min14axx+，令()()1134hxxxx=+，()()()'22212111044xx

hxxx+−=−+=，所以()hx在区间1,3上递增，最小值为()514h=，所以54a.故选：C【点睛】求解不等式成立的存在性问题或恒成立问题，可考虑分离常数法.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分共20分.全部全部选对得5分，

部分选对得2分，有选错得0分）9.设函数()cosfxx=，则下列说法正确的是（）A.π12f=−B.()2sincosfxxxxxx=−−C.()fx在π,02处的切线方程为π02xy+−=D.[()]cossinxfxxxx=

+【答案】BC【解析】【分析】利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，对四个选项一一求导，即可验证.【详解】对于A：因为()cosfxx=，所以()cos=022f=，所以π0=02f=，故A错误；对于B：因

为()cosfxx=，所以()cosfxxxx=，所以()2sincosfxxxxxx=−−，故B正确；对于C：因为()cosfxx=，所以()sinfxx=−，所以()sin=122f=−−.而()cos=022f=，所以()fx在π,02

处的切线方程为π02xy+−=，故C正确；对于D：()[()]coscossinxfxxxxxx==−.故D错误.故选：BC10.下列说法正确的是（）A.30−是等差数列1,5,9,−−−的第8项B.在等差数列na中，若132nan=−，则当6n=时，前

n项和nS取得最大值C.存在实数a，b，使1,,2,,4ab−成等比数列D.若等比数列na的前n项和为nS，则3S，63SS−，96SS−成等比数列【答案】BD【解析】【分析】求出通项公式，代入即可判断A项；根据

通项公式，得出首项1a、公差d的值，得到nS表达式，即可判断B项；设为等比数列，根据等比中项可得22a=−，28b=−，易知,ab无实数解，即可判断C项；分1q=和1q，根据前n项和公式，即可判断D项.【详解】对于A项，易知等差数列1,5,9,−−−的通项为(

)()11443nann=−+−−=−+，则848329a=−+=−，故A项错误；对于B项，由已知113211a=−=，2d=−，所以()112nnnSnad−=+212nn=−+()2636n=−−+，所以当6n=时，nS取得最大值，故B项正确；对于C项，若存在实数a，b，使得1,,2

,,4ab−成等比数列，则()2122a=−=−，2248b=−=−，显然,ab无实数解，故C项错误；对于D项，设na的公比为q()0q.当1q=时，有36396130SSSSSa=−=−=，满足等比数列；当1q时，()31311aqSq−=−，(

)()3341336345631111aqaqSSaaaqqSqq−−−=++===−−，()()()33743396789631111aqaqSSaaaqqSSqq−−−=++===−−−，满足等比数列.综上所述，3S，63SS−，96S

S−成等比数列，故D项正确.故选：BD.11.已知抛物线C：214yx=的焦点为F，P为C上一点，下列说法正确的是（）A.C的准线方程为116y=−B.直线1yx=−与C相切C.若()0,4M，则PM的最小值为23D.若()3,5M，则PMF△的周长的最小值为11【答案】BCD【解

析】【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A，联立直线与抛物线方程，消元，由Δ0=判断B，设点(),Pxy，表示出2PM，根据二次函数的性质判断C，根据抛物线的定义转化求出PMF△的周长的最小值，即

可判断D.【详解】解：抛物线C：214yx=，即24xy=，所以焦点坐标为()0,1F，准线方程为1y=−，故A错误；由2141yxyx==−，即2440xx−+=，解得()24440=−−=，所以直

线1yx=−与C相切，故B正确；设点(),Pxy，所以()()22222441621212xPyyyyM=+−=−+=−+，所以min23PM=，故C正确；如图过点P作PN^准线，交于点N，NPPF=，()22

3515MF=+−=，所以5611PFMCMFMPPFMFMPPNMFMN=++=+++=+=，当且仅当M、P、N三点共线时取等号，故D正确；故选：BCD12.如图，正三棱柱111ABCABC-中，底面ABC是边长为2的

等边三角形，13AA=，D为BC中点，则（）A.直线1//AB平面1ADCB.点1B到平面1ADC的距离为3105C.异面直线11AB与1CD所成角的余弦值为1010D.设P，Q分别在线段11AB，1DC上，且1111A

PDQABDC=，则PQ的最小值为3【答案】ABD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；【详解】解：在正三棱柱111ABCABC-中，D为BC的中点，所以ADBC⊥，如图建立空间直角坐标系，则()3,0,0A，()0,1,0

B，()0,1,0C−，()0,0,0D，()13,0,3A，()10,1,3B，()10,1,3C−，所以()13,1,3AB=−−，()3,0,0DA=，()10,1,3DC=−，设平面1ADC的法向量为(),,nxyz=，则13030nDAxnDCyz===−+=

，令1z=，则3y=，0x=，所以()0,3,1n=，因为()13013310nAB=−++−=，即1nAB⊥，又1AB平面1ADC，所以1//AB平面1ADC，故A正确；因为()13,1,3AB=−，所以122303113310531ABnn−++

==+，则点1B到平面1ADC的距离为3105，故B正确；因为()113,1,0AB=−，()10,1,3CD=−，设直线11AB与1CD所成角为，则11111110cos20ABCDABCD==，所以异面直线11AB与1CD所成角的余弦值为

1020，故C错误；设1111APDQABDC==，则111APAB=、1DQDC=，因为()113,1,0AB=−，()10,1,3DC=−，所以()13,,0AP=−，()0,,3DQ=−，则()33,,3P−，()0,,3Q−，

所以()()2222233433162412PQ=−++−=−+，所以当34=时2PQ有最小值，所以2min3PQ=，所以min3PQ=，故D正确；故选：ABD第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.曲线()ln2+1yx=在点(0

,0)处的切线方程为__________.【答案】2yx=【解析】【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.【详解】函数()ln2+1yx=的导数为221yx=+，所以切线的斜率22

201k==+，切点为(0,0)，则切线方程为2yx=．故答案为：2yx=．【点睛】易错点睛：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P

处的切线，必以点P为切点，考查学生的运算能力，属于基础题.14.设数列na的前n项和为nS，已知11a=，121nnSS+−=，*Nn，则数列na的通项公式为________.【答案】12nna−=【解析】【分析】由构造法和na与nS关系求解【详解】由题意得1)2(11nn

SS+=++，而112S+=，所以{1}nS+是首项为2，公比为2的等比数列.12nnS+=，21nnS=−，当2n时，112nnnnaSS−−=−=，11a=也满足此式，综上，12nna−=故答案为：12nna−=15.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，O

为平面11AABB的中心，E为BC的中点，则点O到直线1AE的距离为________.【答案】23【解析】【分析】如图，以D为原点建系，利用向量法即可求出答案.【详解】解：如图，以D为原点建系，则()()()12,0,2,2,1,1,1,2

,0AOE，则()()110,1,1,1,2,2AOAE=−=−−，则1111112222cos,323AOAEAOAEAOAE+===，又11,0,AOAE，所以111sin,3AOAE=，所以点O到直线

1AE的距离为11112sin,233AOAOAE==.故答案为：23.16.设函数()()ln,01,0xxxfxxex=+，若函数()()gxfxb=−有三个零点，则实数b的取值范围是________．【答案】(0,1【解析】【分析】将问题转化为()

yfx=与yb=有三个不同的交点；在同一坐标系中画出()yfx=与yb=的图象，根据图象有三个交点可确定所求取值范围.【详解】函数()()gxfxb=−有三个零点等价于()yfx=与yb=有三个不同的交点当0x时，()()1xfxxe=+，则()()()12xxxfxexexe=++=+所以

()fx在(),2−−上单调递减，在(2,0−上单调递增且()212fe−=−，()01f=，()lim0xfx→−=从而可得()fx图象如下图所示：通过图象可知，若()yfx=与yb=有三个不同的交点，则(0,1b故答案为：(0,1【点睛】本题考

查根据函数零点个数求解参数取值范围的问题，关键是将问题转化为曲线和直线的交点个数问题，通过数形结合的方式求得结果，是中档题.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知数列na是递增的等差数列，23a=，若13181

,,aaaaa−+成等比数列.（1）求数列na的通项公式；（2）若13nnnbaa+=，数列nb的前n项和nS，求nS.【答案】（1）21nan=−；（2）321nn+.【解析】【分析】（1）设等差数列na的公差为d，根据题意列出方程组，求得1,ad的值，即可求

解；（2）由（1）求得13311()22121nnnbaann+==--+，结合“裂项法”即可求解.【详解】（1）设等差数列na的公差为(0)dd，因为23a=，若13181,,aaaaa−+成等比数列，可得()()121132720adaaddd+=+

=，解得1a1,d2==，所以数列na的通项公式为1(1)221nann=+−=−.（2）由（1）可得133311()(21)(21)22121nnnbaannnn+===−−+−+，所以31111111313[(1)()()()](1)233557212122121

nnSnnnn=−+−+−++−=−=−+++.【点睛】关于数列的裂项法求和的基本策略：1、基本步骤：裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式；累加：将数列裂项后的各项相加；消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相

加，得到数列的前n项和.2、消项的规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.18.设圆C的半径为r，圆心C是直线24yx=−与直线1yx=−的交点．（1）若圆C过原点O，求圆C的方程；（2）已知点()0,3A，若圆C上存在点M，

使2=MAMO，求r的取值范围．【答案】（1）()()223213xy−+−=；（2）322,322−+.【解析】【分析】（1）联立两直线方程，可求得圆心C的坐标，求出圆C的半径，由此可得出圆C的方程；（2）设点(),Mxy，由2=MAM

O可求得点M的轨迹为圆D，利用圆C与圆D有公共点可得出关于r的不等式，由此可解得r的取值范围．详解】（1）由241yxyx=−=−，得32xy==，所以圆心()3,2C.又圆C过原点O，13rOC==，圆C的方程为：

()()223213xy−+−=；（2）设(),Mxy，由2=MAMO，得：()222232xyxy+−=+，化简得()2214xy++=.点M在以()0,1D−为圆心，半径为2的圆上.又点M在圆()()222:32Cxyr−+−=上，22rCDr

−+，即2322rr−+，322322r−+.【点睛】结论点睛：圆与圆的位置关系：设圆1C与圆2C的半径长分别为1r和2r.（1）若1212CCrr−，则圆1C与圆2C内含；【（2）若1212CCrr=−，则圆1C与圆2C内切；（3

）若121212rrCCrr−+，则圆1C与圆2C相交；（4）若1212CCrr=+，则圆1C与圆2C外切；（5）若1212CCrr+，则圆1C与圆2C外离.19.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为菱形，且60DAB=，△ADP为等边三角形.（1）求证

：ADPB⊥；（2）若2AB=，6BP=，求PC与平面PBD所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）65【解析】【分析】（1）E是AD中点，连接,PEEB，由题设易得,PEADEBAD⊥⊥，根据线

面垂直的判定有AD⊥面PEB，再由线面垂直的性质即可证结论.（2）根据已知及勾股定理可证PEEB⊥，即可构建以E为原点，,,EAEBEP为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，进而确定相关点坐标，求直线PC的方向向量与平面PBD的法向量，

应用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值.【小问1详解】∵ABCD为菱形，且60DAB=，∴△ADB等边三角形，又△ADP为等边三角形，若E是AD中点，连接,PEEB，易知：,PEADEBAD⊥⊥，为又PEEBE=，即AD⊥面

PEB，又PB面PEB，∴ADPB⊥【小问2详解】由2AB=，6BP=，结合（1）知：3PEEB==，即222PEEBBP+=，∴PEEB⊥，又,PEADEBAD⊥⊥，故可构建以E为原点，,,EAEBEP为x、y、z轴正方向的空

间直角坐标系，∴(1,0,0),(0,3,0),(2,3,0),(0,0,3)DBCP−−，则(2,3,3)PC=−−，(1,3,0)DB=，(1,0,3)DP=，若(,,)mxyz=是面PBD的一个法向量，则3030DB

mxyDPmxz=+==+=，令1y=，则(3,1,1)m=−，∴236|cos,|||5||||105PCmPCmPCm===，即PC与平面PBD所成角的正弦值为65.20.某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”A系列进行市场销

售量调研，通过对该品牌的A系列一个阶段的调研得知，发现A系列每日的销售量()fx（单位：千克）与销售价格x（元/千克）近似满足关系式2()10(7)4afxxx=+−−，其中47x，a为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出A系列15千克.（1）求函数()fx的解析式

；（2）若A系列的成本为4元/千克，试确定销售价格x的值，使该商场每日销售A系列所获得的利润最大.【答案】（1）()21010(7)4fxxx=+−−；（2）当销售价格为5元/千克时，A系列每日所获得的利润最大.【解析】【详解】分析

：（1）根据题意已知销售价格为6元/千克时，每日可售出A系列15千克.即可求出a得到解析式；（2）设该商场每日销售A系列所获得的利润为()hx，然后根据利润计算式得出具体表达式，然后根据导数求最值思维求解即可.详解：（1）有题意可知，当6x=时，

()15,fx=，即10152a+=，解得10a=，所以()()2101074fxxx=+−−.（2）设该商场每日销售A系列所获得的利润为()hx，则()()()23210=41071018010501950(47)4hxxxxxxxx

−+−=−+−−，()2303601050hxxx=+−，令()2303601050=0hxxx=+−，得5x=或7x=（舍去），所以当45x时，()()(0,4,5hxhx在为增函数；当57x时，()())0,5,7hxhx在为减函数，故当=5

x时，函数()hx在区间()4,7内有极大值点，也是最大值点，即=5x时函数()hx取得最大值50.所以当销售价格为5元/千克时，A系列每日所获得的利润最大.点睛：考查函数的表示，导函数最值的应用，正确理解题意，写出具体表达式，然后借助导数分析思维求解是解题关键，做此类

题要有耐心，认真审题，读懂题意，属于中档题.21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=，右焦点F的坐标为20（，），且点22（，）在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）过点F的直线交椭圆于,AB两点（直线不与x轴垂直），已知点A与点P关于x

轴对称，证明：直线PB恒过定点，并求出此定点坐标．【答案】（1）22184xy+=，22（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组确定a,b,c的值即可确定椭圆方程和椭

圆的离心率；(2)设()11,Pxy，()22,Bxy，()11,Axy−，联立直线方程与椭圆方程，由题意可得AFFBkk=，结合韦达定理和直线斜率的定义得到m与k的关系，代入直线PB的方程即可证得直线过定点.【详解】（1）由已知得22222421{2ababcc+==+=，解得

228{4ab==，∴椭圆C的标准方程22184xy+=，∴椭圆C的离心率22222cea===.(2)设()11,Pxy，()22,Bxy，则()11,Axy−，可设PB的直线方程为ykxm=+，联立方程22{184ykxmxy=++=，整理得()2222

14280kxkmxm+++−=，∴2121222428,2121kmmxxxxkk−−+==++，AFFBkk=，∴121222yyxx=−−，整理得，()()1212240kxxmkxxm+−+−=，∴()2222842402121mkmkmkmkk−−+−−=++，解得4mk=

−，∴PB的直线方程为：()44ykxkkx=−=−，直线PB恒过定点()4,0.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、

弦长、斜率、三角形的面积等问题．22.已知函数()1ln4fxaxx=++，其中aR．（1）讨论函数()fx的单调性；（2）对任意1,ex，不等式()()211fxxx++恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）())2e14,+−+【解析】【分

析】（1）求出导函数()fx，分类讨论确定()fx的正负得单调区间；（2）不等式变形为()21ln40xax+−−．引入新函数()()()21ln41,egxxaxx=+−−，求出导函数()gx，分类讨论0a时，不等式不恒成立，0a时由导数确定函数有极小值点，而最大值是比较(

e)g和(1)g的大小得到，从而得出参数范围．【小问1详解】函数()fx的定义域为()0,+，()2211aaxfxxxx−=−=，当0a时，()0fx恒成立，函数()fx在()0,+上单调递减；当0a时，由()0fx¢>，

得1xa，由()0fx，得10xa，∴函数()fx10,a上单调递减，在1,a+上单调递增．综上，当0a时，函数()fx在()0,+上单调递减；当0a时，函数()fx在10,a上单

调递减，在1,a+上单调递增.【小问2详解】()()211fxxx++，即()21ln40xax+−−．令()()()21ln41,egxxaxx=+−−，则()22222axxagxxxx+−=+−=．在

当0a时，()0gx，()gx在1,e上单调递增，∴()()min10gxg==，不等式不恒成立；当0a时，令()()2220hxxxax=+−，此时()hx在()0,+上单调递增，且()00ha=−，∴存在唯一()00,

x+时，使得()00hx=，∴当()00,xx时，()0hx，则()0gx，()gx单调递减；当()0,xx+时，()0hx，则()0gx，()gx单调递增，∴()gx在1,e上的最大值(

)()()maxma1,exgxgg=，则()()10e0gg，即()2e140a+−−，解得()2e14a+−，∴实数a的取值范围是())2e14,+−+．【点睛】本题考

查用导数求函数的单调性，由不等式恒成立确定参数范围．解题时需要分类讨论．在讨论导函数的正负、单调性时，需要对导函数中的一部分进行讨论求解，这是难点