【文档说明】《精准解析》浙江省杭州学军中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题（解析版）.docx，共(22)页，1.121 MB，由小赞的店铺上传

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杭州学军中学2022学年第一学期期末考试高二数学试卷命题人：郑日锋审题人：林智恒一、单选题：（本大题共8小题，每小题6分，共48分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线22xy=的准线方程为（）A.12x=−B.=1x−C.12

y=−D.1y=−【答案】C【解析】【分析】直接根据抛物线的方程求出准线方程；【详解】因为抛物线22xy=，所以其准线方程为12y=−.故选：C.2.若直线yxb=+与圆221xy+=有公共点，则实数b的取值范围是（）A.1,1−B.[]0,1C.0,2D.2,2−

【答案】D【解析】【分析】利用点到直线距离公式，列出不等式，求解作答.【详解】依题意，圆心(0,0)O到直线yxb=+的距离12bd=，解之得22b−，所以实数b的取值范围是2,2−.故选：D3.已知空间两不同直线m，n，两不同平面，，

下列命题正确的是（）A.若m∥且n∥，则mn∥B.若m⊥且mn∥，则n∥C.若m⊥且m∥，则⊥D.若m不垂直于，且n，则m不垂直于n【答案】C【解析】【分析】根据空间中点线面的位置关系结合选项即可逐一求解.【详解】对于A,若m∥且n∥，则mn∥或者,mn异面，或者,m

n相交，故A错误，对于B,若m⊥且mn∥，则n⊥，故B错误，对于C，若m⊥且m∥，则⊥，故C正确，对于D，若m不垂直于，且n，则m有可能与n垂直,例如在正方体1111ABCDABCD−中，1AC不垂直平面ABCD,BD平面ABCD,但是1ACBD⊥,理由如

下：1AA⊥平面ABCD，BD平面ABCD,所以1,AABD⊥又BDCA⊥，11,,CAACCCAAC=平面1AAC,所以BD⊥平面1AAC,1AC平面1AAC,故1ACBD⊥，故D错误，故选：C4.直线l的方程为：(2)(31)1ayax−=−−，若直线l不经过第二象限，则实数a的取值

范围为（）A.2aB.23a−C.2aD.4a【答案】C【解析】【分析】根据直线斜率与截距讨论不经过第二象限时所满足的条件，解得结果.【详解】若直线l斜率不存在，即12,5alx==：不经过第二象限，若直线l斜

率存在，即3112,22aalyxaa−=−−−：，所以31022102aaaa−−−−，综上实数a的取值范围为2a，选C.【点睛】本题考查直线方程，考查空基本分析与求解能力，属于中档题．5.若a，b是异面直线，下列四个命题中正确的是（）A.过不在a，b上任一

点P，必可作直线与a，b都平行B.过不在a，b上任一点P，必可作直线与a，b都相交C.过不在a，b上任一点P，必可作直线与a，b都垂直D.过不在a，b上任一点P，必可作平面与a，b都平行.【答案】C【解析】【分析】根据异面直线的定义

，结合线线平行、线面平行、线面垂直的性性质逐一判断即可.【详解】A；设过P的直线为l，如果//,//lalb，显然可得//ab，这与a，b是异面直线相矛盾，因此本选项不正确；B：在a任取一点M，在b上任取一点N，直线MN上的点才可作一条直线与a、b都相交．其它的点不行，因此本选项不正确；

C：过P点作//,//cadb，显然,cd确定一个平面，显然存在一条直线n，n⊥，过P点一定存在直线与n平行，因此本选项正确；D：经过空间任意一点不一定可作一个平面与两条已知异面直线都平行，有时会出现其中一条直线在所做的平面上，因此本选项不正确；故选：C6.已知圆221xy+=与

抛物线()220ypxp=交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则p等于（）A52B.25C.522D.255【答案】D【解析】【分析】由题，结合抛物线与圆的对称性得弦AB为抛物线()220ypx

p=的通径，进而有2212pp+=，解方程即可得答案.【详解】解：因为四边形ABCD是矩形，所以由抛物线与圆的对称性知：弦AB为抛物线()220ypxp=的通径，.因为圆的半径为1，抛物线的通径为2p，所以有：221

2pp+=，解得255p=故选：D7.已知菱形ABCD边长为1，60BAD=，对角线AC与BD交于点O，将菱形ABCD沿对角线BD折成平面角为的二面角，若60,120，则折后点O到直线AC距离的最值为（）A.最小值为34，最大值为32B.最小值为34，

最大值为34C.最小值为14，最大值为34D.最小值为34，最大值为32【答案】B【解析】【分析】首先由二面角的定义可知AOC=，60,120，再在AOC中解决点到直线的距离的最值.【详解】,A

OBDCOBD⊥⊥，AOC=，60,120菱形ABCD边长为1，60BAD=，32AOCO==，点O到AC的距离31cos22dAOC=当60AOC==时，d取得最大值333224=,当120AOC==，d取得最

小值313224=,故选：B8.已知椭圆2222:1(0)xyabab+=内有一定点(1,1)P，过点P的两条直线1l，2l分别与椭圆交于A、C和B、D两点，且满足APPC=，BPPD=，若变化时，直线CD的斜率总为14−，则椭圆的离心率为A.32B.12C.

22D.55【答案】A【解析】【分析】设出,,,ABCD四点的坐标，将,AB两点坐标代入椭圆方程并化简，同理将,CD两点坐标代入椭圆方程并化简，根据14ABCDkk==−化简上述两个式子，由此求得22ba的值，

进而求得椭圆离心率.【详解】设()()()()11324423,,,,,,,,AxyBxyCxyDxy因为()1,1P，且APPC=uuuruuur，所以131311xxyy+=++=+，同理242411x

xyy+=++=+.将,AB两点坐标代入椭圆方程并化简得()()()()22121212120bxxxxayyyy+−++−=，即()()2212120ABbxxayyk+++=，同理()()2234340CDbxxayyk++

+=，由于APPC=uuuruuur，BPPD=uuruuur，所以14ABCDkk==−，即()()()()221212223434104104bxxayybxxayy+++−=+++−=，即()()()()221212223434104104

bxxayybxxayy+++−=+++−=，两式相加得()()221324132404abxxxxyyyy+++−+++=，即()()22222204ab+−+=，所以2214ba=，所以233142bea

=−==，故选A.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查定比分点坐标公式，考查点在曲线上的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，考查椭圆离心率的求法，难度较大，属于难题.二、多选题（每小题6分，全部选对得

6分，部分选对得3分，选错得0分，共24分）9.如图，长方体1111ABCDABCD−被平面BCFE截成两个几何体，其中E，F分别在11AB和11DC上，且11EFBC∥，则以下结论正确的是（）A.EFBC∥B.AD∥平面BCFEC.几

何体11AAEBDDFC−为棱台D.几何体11BBECCF−为棱柱【答案】ABD【解析】【分析】A由长方体的性质及线线平行的推论判断；B根据线面平行的判定判断；C、D根据棱台、棱柱的定义判断正误.【详解】由11//BCBC及11//EFBC，得//EFBC，则A正

确；由//ADBC，BC平面BCFE，AD平面BCFE，得//AD平面BCFE，则B正确；以两个平行的平面1AAEB和1DDFC为底面，其余四面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都平行，符合棱柱的定义，则C错误（由于11,,,AADDCFBE延长后不交于一点，则几何体11AAEB

DDFC−不为棱台）；以两个平行的平面1BBE和1CCF为底面，其余三面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都平行，符合棱柱的定义，则D正确，故选：ABD10.已知曲线C：221mxny+=，下列结论正确的是（）A.若0mn，则C是椭圆，其焦点在x轴上B.若0mn，则C是双曲线，其焦点

在x轴上C.若0m=，0n，则C是两条直线D.若mn=，则C是圆【答案】BC【解析】【分析】根据椭圆方程、双曲线方程、直线方程、圆的方程特征进行逐一判断即可.【详解】A：当0mn时，22221111xymxnymn+=

+=，由11000mnmnmnmnnm，所以C是椭圆，其焦点在y轴上，因此本选项不正确；B：当0mn时，22221111xymxnymn+=+=，由1100mnmnmnmnnm

，所以C是双曲线，其焦点在x轴上，因此本选项正确；C：当0m=，0n时，22211nmxnynyyn+===，所以C是两条直线，因此本选项正确；D：若0mn==，显然221mxny+=不成立，所以C没有轨迹，因此本选项不正确；故选：BC11.若OA，OB，OC是三

个不共面的单位向量，且两两夹角均为，则（）A.的取值范围是()0,πB.,,OAABBC能构成空间的一个基底C.“3OPOAOBOC=−−”是“P，A，B，C四点共面”必要不充分条件D.()0OAOBOCBC++=【答案】ABD【解析】

【分析】利用向量的夹角的定义判断A；利用空间向量的基底的性质判断B；利用共面向量定理判断C；利用向量数量积公式判断D.【详解】解：因为OA，OB，OC是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为，对于A，由向量所成角的定义得()0,π，故

正确；对于B，因为,,OAABBCuuuruuuruuur不共面，所以,,OAABBC能构成空间的一个基底，故正确；对于C，因为3OPOAOBOC=−−，3-1-1=1，所以P，A，B，C四点共面；当P，A，

B，C四点共面时，不一定有3OPOAOBOC=−−成立，所以“3OPOAOBOC=−−”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件，故错误；对于D，()()()OAOBOCBCOAOBOCOCOB++=++−uuuruuuru

uuruuuruuuruuuruuuruuuruuur=22OAOCOAOBOBOCOBOCOBOC−+−+−uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur=2211cos11cos110OAOCOAOBOBOC−−+=−

−+=uuuruuuruuuruuuruuuruuur，故正确.故选：ABD.12.如图，过双曲线222:1(0)yCxbb−=右支上一点P作双曲线的切线l分别交两渐近线于A、B两点，交x轴于点D，12,FF分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）的A.2mi

n||21ABb=+B.OAPOBPSS=△△C.AOBSb=△D.若存在点P，使121cos4FPF=，且122FDDF=，则双曲线C的离心率2e=【答案】BCD【解析】【分析】联立切线方程与渐近线方程，求出,AB的坐标，即可得2202(1)1ABbx=+

−，由0x的取值范围即可得min||2ABb=，从而可判断A，由中点坐标公式可判断P是,AB的中点，由此可判断BC，由余弦定理结合122FDDF=可判断D.【详解】先求双曲线2221yxb−=上一点00(,)Pxy的切线方程：不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由

对称性同理可得）.由2221yxb−=，得222ybxb=−，所以2222bxybxb=−，则在00(,)Pxy的切线斜率220022200bxbxyybxb==−，所以在点00(,)Pxy处的切线方程为：20000()bxyyxxy−=−又有

220021yxb−=，化简即可得切线方程为：0021yyxxb−=.不失一般性，设00(,)Pxy是双曲线在第一象限的一点，11(,)Axy是切线与渐近线在第一象限的交点，22(,)Bxy是切线与渐近线在第四象限的交点,双曲线的渐近线方程是ybx=，联立：0021yyxxbybx

−==，解得：20000(,)bbAbxybxy−−，联立：0021yyxxbybx−==−，解得：20000(,)bbBbxybxy−++，则222200000000()()bbbbABbxybxybxybxy=−++=−+−+2202(1)1bx+−，又因为01x，所以

AB22(1)12bb+−=，即min||2ABb=，A错误；由220000000000,22bbbbbxybxybxybxyxy−++−+−+==，可知00(,)Pxy是,AB的中点，所以OAPOBPSS=△△，B正确；易知点D坐标为01(,0)x，则2212

00000111()22AOBADOBDObbSSSODyybxbxybxy=+=−=+=−+，当点00(,)Pxy在顶点(1,0)时，仍然满足AOBSb=△，C正确；因为1201(,0),(,0),

(,0)FcFcDx−，所以101(,0)FDcx=+，201(,0)DFcx=−，因为122FDDF=，则00112()ccxx+=−，解得03cx=，即03xc=，代入220021yxb−=，得222029bybc=−

，所以222222212223999()6bbPFcbcbcccc=++−=+++−2222299(1)6(1)16ccccc−=+++−−=，222222222223999()6bbPFcbcbcccc=−+−=+−+−2222299(1)6(1)4c

cccc−=+−+−−=，的所以2222212121212164451cos224244PFPFFFccFPFPFPF+−+−−====，所以24c=，2c=，所以离心率2cea==，D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：利用导

数几何意义求得在双曲线上一点00(,)Pxy的切线方程，并联立渐近线方程，求得,AB的坐标，判断出P是AB中点.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程是______

____【答案】340xy++=.【解析】【详解】试题分析：解：因为A（1，3），B（-5，1），所以AB的中点坐标（-2，2），直线AB的斜率为：3-11=153+，所以AB的中垂线的斜率为：-3，所以以A（1，3），B（-5，1）为端点的线段的垂直平分线方程

是y-2=-3（x+2），即3x+y+4=0．故答案为3x+y+4=0．考点：直线方程点评：本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，直线方程的求法，考查计算能力．14.若圆锥的侧面面积为2，底面面积为，则该圆锥的母线长为______

.【答案】2【解析】【分析】根据圆面积公式算出底面半径r＝1，再由圆锥侧面积公式建立关于母线l的方程，解之即可得到该圆锥的母线长．【详解】解：∵圆锥的底面积为，∴圆锥的底面半径为r，满足2r=，解得1r=又∵圆锥的侧面积为2，∴设圆锥的母线长为l，可得

2rl=，12l=，解之得2l=故答案为：2【点睛】本题给出圆锥的底面圆面积和侧面积，求它的母线长，着重考查了圆的面积公式和圆锥侧面积公式等知识，属于基础题．15.已知P是抛物线2yx=上的动点，记点P到直线l：40xy−+=的距离为d，则d的

最小值为______．【答案】1528##1528【解析】【分析】作直线l：40xy−+=的平行线且与抛物线相切，再求两平行线间的距离即可．【详解】设直线直线l：40xy−+=的平行线为yxb=+且与抛物线2yx=相切，联立2yxbyx=+=，整理得20yy

b−+=，则140b=−=，得14b=，则d的最小值为22141524811d−==+．故答案为：1528．16.已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A-BCD的外接球，BC=3，23AB=，点E在线段BD上，且BD=3BE，过点

E作圆O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__.【答案】[2,4]【解析】【分析】设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接1OO,O1D，OD，O1E，OE，可得R2＝3+（3﹣R）2，解得R＝2，过点E作圆O的截面，当截面与OE

垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解．【详解】如图：设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接1OO,O1D，OD，O1E，OE，则0123sin6033OD==，AO12213.ADDO=−=Rt△OO1D

中，R2＝3+（3﹣R）2，解得R＝2，∵BD＝3BE，∴DE＝2在△DEO1中，O1E34232cos300.=+−=∴22112OEOEOO=+=过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面

的面积最小，此时截面圆的半径为()22222.−=，最小面积为2π．当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π．故答案为[2π，4π]【点睛】本题考查了球与三棱锥的组合体，考查了空间想象能力，转化思想，解题关键是要确定何时取最值，属于中档题．四、解答题（

本大题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.等差数列na的前n项和为nS，已知52a=−，324S=−，求（1）数列na通项公式；（2）na的前n项和nS的最小值.【答案】（1）212nan=

−（2）-30【解析】【分析】（1）根据数列的基本公式求出通项公式，（2）根据（1）表达出nS，利用二次函数性质求出nS的最小值.【小问1详解】由已知得11423324adad+=−+=−，解得1102ad=−=

，所以()11212naandn=+−=−.在【小问2详解】()22111112111224nnnSnadnnn−=+=−=−−.当5n=或6时，nS有最小值-30.18.已知直三棱柱111AB

CABC-中，侧面11AABB为正方形.2ABBC==，E，F分别为AC和1CC的中点，11BFAB⊥.（1）求四棱锥11EBBCF−的体积；（2）是否存在点D在直线11AB上，使得异面直线BF，DE的距离为1?若存在，求出此时线段DE的长；若不存在，请

说明理由.【答案】（1）1（2）存在，5DE=或352【解析】【分析】（1）找到四棱锥的高，利用四棱锥体积公式求出体积；（2）根据题目中的条件建立空间直角坐标系，表达出与BF，ED均垂直的向量，进而利用异面直线BF，DE的距离为1建

立等式求出a.【小问1详解】∵侧面11AABB为正方形，∴111ABBB⊥，又11BFAB⊥，且1BBBFB=，1,BBBF面11BBCC，∴11AB⊥平面11BBCC，又11//ABAB，∴AB⊥平面1

1BBCC，取BC中点G，则//EGAB，∴EG⊥平面11BBCC.∴()()1111111111122113232EBBCFVCFBBBCEG−=+=+=.【小问2详解】以B为原点，分别

以BA，BC，1BB所在直线建立空间直角坐标系，如图，则()0,0,0B，()1,1,0E，()0,2,1F，设(),0,2Da，则()0,2,1BF=，()1,1,2EDa=−−，()1,1,0BE=.设与BF

，ED均垂直的向量为(),,nxyz=，则·0·0BFnEDn==，即20(1)20yzaxyz+=−−+=，取()()5,1,21naa=−−−，∴异面直线BF，DE的距离()25112551BEnadna+−===+−，解得1a=或72.∴()2155EDa=−+

=或352.故存在点D在直线11AB上，使得异面直线BF，DE的距离为1，且此时5ED=或352.19.1F，2F分别为椭圆C：()222210xyabab+=的左、右焦点，B为短轴的一个端点，E是椭圆C上的一点，满足12OEOF

OE=+，且12EFF的周长为()232+.（1）求椭圆C的方程；（2）三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三.角形，BMN是以B为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形，求BMN的面积.【答案】（1）2214xy

+=（2）6425或3215【解析】【分析】（1）利用题目条件建立ac、的方程组，进而求出椭圆C的方程；（2）联立直线与椭圆表示出MN、的横坐标,进而表示出BMBN、，利用等角三角形求出k的值，从而求出BMN的面积.【小问1详解】设()0,Bb，由112OEOFOB=+，

得1,2Ecb−.∵点E在椭圆C上，∴22114ca+=，即32ca=.①∵12EFF的周长为()232+，∴()22232ac+=+，即32ac+=+.②联立①②解得2a=，3c=，∴1b=.∴椭圆C的方

程为2214xy+=.【小问2详解】不妨设M，N分别在y轴左、右侧，设BM：()10ykxk=+，则BN：11yxk=−+.由221,44,ykxxy=++=消去y得()221480kxkx++=.∴点M的横坐标2814Mkxk=−+.以1k−代k得

点N的横坐标284Nkxk=+.∴22281114MkBMkxkk=+=++，22218114NBNxkkk=+=++.∵BMBN=，∴22228811144kkkkk+=+++.即324410kkk−+−=.解得11k=，2352k+=，3352

k−=.BMN的面积()()2222321124kSBNk+==+.当1k=时，6425S=；当352k=时，3215S=.20.如图，在四棱锥PABCD−中，1,90,1,2ADBCADCPABBCCDADE=====∥为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90.（1）在直线

PA上找一点M，使得直线//MC平面PBE，并求AMAP的值；（2）若直线CD到平面PBE的距离为255，求平面PBE与平面PBC夹角的正弦值.【答案】（1）2（2）265【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直充要条件列出等

式，解之即可求得AMAP的值；（2）先由直线CD到平面PBE的距离为255求得PA的长度，再利用平面PBE与平面PBC法向量的夹角公式去求平面PBE与平面PBC夹角的正弦值.【小问1详解】在四棱锥PABCD−中，90PAB=o，异面直线PA与CD所成的角为90.即,PAA

BPACD⊥⊥,又ABCD、为两相交直线，则PA⊥平面ABCD取PD中点F，连接EF，又AEDE=，则//PAEF，则EF⊥平面ABCD又四边形ABCD中，1,90,12ADBCADCBCCDAD====∥，AEDE=则BEAD⊥，则三直线

BEADEF、、两两互相垂直以E为原点，分别以ED、EB、EF所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图：设(0)PAhh=，则(0,0,0)E，(1,0,0)A−，(0,1,0)B，(1,1,0)C，(1,0,0)D，(1,0,)

Ph−，(1,1,)PBh=−,(1,0,)PEh=−设平面PBE的一个法向量为111(,,)nxyz=，则00PEnPBn==，即1111100xhzxyhz−=+−=，令11z=，则110xhy==，，则(,0,1)nh

=设(1,0,)Mt−，则(2,1,)MCt=−由直线//MC平面PBE，可得MCn⊥，即0MCn=则200ht+−=，解之得2th=，则2AMh=，又PAh=，则22AMhAPh==【小问2详解】由直线CD到平面PBE的距离为255，得点C到平面PBE的距

离为255，又(1,0,0)CB=−，(,0,1)nh=为平面PBE的一个法向量则255CBnn=，即22551hh−=+，解之得2h=，则(1,0,2)P−，(2,0,1)n=，(1,1,2)PB=−设平面PBC

的一个法向量为222(,,)mxyz=，又(1,0,0)CB=−则00CBmPBm==，即2222020xxyz−=+−=，令21z=，则2202xy==，，则(0,2,1)m=设平面PBE与平面PBC夹角为则2222222

002111coscos5201021mnmnmn++====++++，又π02，则2126sin1cos1255=−=−=21.已知点()2,0A，104,33B−−在双曲线E：

()222210,0xyabab−=上．（1）求双曲线E的方程；（2）直线l与双曲线E交于M，N两个不同的点（异于A，B），过M作x轴的垂线分别交直线AB，直线AN于点P，Q，当MPPQ=时，证明：直线l过定点．【答

案】（1）2214xy−=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将点坐标代入双曲线方程，即可求解,ab的值，进而得双曲线方程；（2）设直线方程，联立直线与双曲线方程，得到韦达定理，根据向量关系，转化为坐标关系，即可得,mk的关系，进而可得直线过

定点.【小问1详解】由题知，222224111014133aab=−−−=，得21b=，所以双曲线E方程为2214xy−=．【小问2详解】的由题意知，当l⊥x轴时，Q与N重合，由MPPQ=可知：P是MQ的中点，显然不符合题意，故l

的斜率存在，设l的方程为ykxm=+，联立2214ykxmxy=+−=，消去y得()222148440kxkmxm−−−−=，则()()()222222641611416140kmmkmk=++−=+−，即2214mk+，且2140k−，设()11,Mxy，()22,Nxy，12

2814kmxxk+=−，21224414mxxk+=−−，AB方程为()124yx=−，令1xx=，得112,4xPx−，AN方程为()2222yyxx=−−，令1xx=得11222,2xQxyx−−，由MPPQ=，得111222222xxyyx−−

=+−，即12121222yyxx+=−−，即()()()()()12211212122242kxmxkxmxxxxx+−++−=−++，即()()()121214422480kxxkmxxm−+−−+++=，将122814

kmxxk+=−，21224414mxxk+=−−代入得即22416161680mkmkkm++−−=，所以()()2220mkmk++−=，得22mk=−或2mk=−，当22mk=−，此时由0，得58k，符合题意；当2m

k=−，此时直线l经过点A，与题意不符，舍去所以l的方程为22ykxk=+−，即()22ykx=−+，所以l过定点()2,2．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com