【文档说明】2024届高考二轮复习数学试题（新高考新教材） 题型专项练4　解答题组合练（A） Word版含答案.docx，共(8)页，155.572 KB，由小赞的店铺上传

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题型专项练4解答题组合练(A)1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a+b=ccosB-bcosC.(1)求角C的大小;(2)设CD是△ABC的角平分线,求证:1𝐶𝐴+1𝐶𝐵=1𝐶𝐷.2.在数列{an}中,a1=1,an+1=𝑎𝑛𝑐𝑎𝑛+1

(c>0),且a1,a2,a5成等比数列.(1)证明:数列{1𝑎𝑛}是等差数列,并求{an}的通项公式;(2)设数列{bn}满足bn=(4n2+1)anan+1,其前n项和为Sn,证明:Sn<n+1.3

.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为B1B的中点,F为C1D的中点,AC=AB=BC=12C1C=2.(1)若M为AB的中点,求证:FM∥平面A1ACC1;(2)求二面角F-A1C1-B1的

余弦值.4.我市某医疗用品生产企业对原有的生产线进行技术升级,为了更好地对比技术升级前和升级后的效果,其中甲生产线继续使用技术升级前的生产模式,乙生产线采用技术升级后的生产模式,质检部门随机抽检了甲、乙两条生产线的各200件该医疗用品,在抽取的400件产品中,根据检测结果将它们分为“A”“B”“

C”三个等级,A,B等级都是合格品,C等级是次品,统计结果如表所示.表1等级ABC频数20015050表2生产线检测结果合计合格品次品甲160乙10合计在相关政策扶持下,确保该医疗用品的每件合格品都有对口销售渠道,但按照国家对该医疗用品产品质量的要求,所有的次品必须由厂家自行

销毁.(1)请根据所提供的数据,完成上面的2×2列联表(表2),并依据α=0.001的独立性检验,能否认为产品的合格率与技术升级有关?(2)在抽检的所有次品中,按甲、乙生产线生产的次品比例进行分层随机抽样,抽取10件该医疗用品,

然后从这10件中随机抽取5件,记其中属于甲生产线生产的有X件,求X的分布列和均值.(3)每件该医疗用品的生产成本为20元,A,B等级产品的出厂单价分别为m元、40元.已知甲生产线抽检的该医疗用品中有70件为A等级,用样本

的频率估计概率,若进行技术升级后,平均生产一件该医疗用品比技术升级前多盈利不超过9元,则A等级产品的出厂单价最高为多少元?附:χ2=𝑛(𝑎𝑑-𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(

𝑏+𝑑),其中n=a+b+c+d.α0.050.010.0050.001xα3.8416.6357.87910.8285.已知函数f(x)=ex+1+ax2+2ax(a∈R).(1)若f(x)在区间(-1,+∞)内单调递增,求a的取值范围;(2)若f(x)存在两个极值点x

1,x2(x1<x2),且x2-x1>ln2,求a的取值范围.6.已知双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的离心率为√72,双曲线上的点到焦点的最小距离为√7-2.(1)求双曲线C的方程;(2)四边形MNPQ的四个顶点均在双曲线C上,且MQ∥

NP,MQ⊥x轴,若直线MN和直线QP交于点S(4,0),四边形MNPQ的对角线交于点D,求点D到双曲线C的渐近线的距离之和.题型专项练4解答题组合练(A)1.(1)解由a+b=ccosB-bcosC及正弦定理得s

inA+sinB=sinCcosB-sinBcosC.又sin(B+C)=sin(π-A)=sinA,所以sin(B+C)+sinB=sinCcosB-sinBcosC,所以2sinBcosC+sinB=0.因为B∈(0,π),所以sinB≠0,所以cosC=-12.又C∈

(0,π),所以C=2π3.(2)证明因为CD是△ABC的角平分线,且C=2π3,所以∠ACD=∠BCD=π3.在△ABC中,S△ABC=S△ACD+S△BCD,则12CA·CBsin2π3=12CA·CDsinπ3+12CD·CBsinπ3,即CA·

CB=CA·CD+CD·CB.两边同时除以CA·CB·CD得1𝐶𝐴+1𝐶𝐵=1𝐶𝐷.2.(1)解由a1=1,an+1=𝑎𝑛𝑐𝑎𝑛+1,得1𝑎𝑛+1=1𝑎𝑛+c,即1𝑎𝑛+1−1𝑎𝑛=c,所以数列{1𝑎

𝑛}是等差数列,其公差为c,首项为1.因此1𝑎𝑛=1+(n-1)c,an=11+(𝑛-1)𝑐.由a1,a2,a5成等比数列,得𝑎22=a1a5,即(1𝑐+1)2=1×14𝑐+1,解得c=2或c=0(舍去).故an=

12𝑛-1.(2)证明因为bn=4𝑛2+14𝑛2-1=1+2(2𝑛-1)(2𝑛+1)=1+12𝑛-1−12𝑛+1,所以Sn=b1+b2+…+bn=n+1-13+13−15+…+12𝑛-1−12𝑛+1=n+1-12𝑛+1.因为12𝑛+1>0,

所以Sn<n+1.3.(1)证明如图,取AA1的中点N,连接C1N,ND,取C1N的中点E,连接EF,AE.∵AN∥BD,AN=BD,∴四边形ANDB为平行四边形,∴AB∥ND,AB=ND.∵E,F分别为C1N,C1D的中点,∴EF􀰿12

ND.又AM􀰿12ND,∴AM􀰿EF,∴四边形MAEF为平行四边形,∴MF∥AE.又MF⊄平面A1ACC1,AE⊂平面A1ACC1,∴FM∥平面A1ACC1.(2)解如图,建立空间直角坐标系,则C1(√3,1,0),F(√32,32,1),

∴𝐴1𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(√3,1,0),𝐴1𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(√32,32,1).设平面FA1C1的法向量为n=(x,y,z),则n·𝐴1𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=√3x+y=0,n·𝐴

1𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=√32x+32y+z=0,取x=√3,则y=-3,z=3,∴n=(√3,-3,3)为平面FA1C1的一个法向量.由题意可知m=(0,0,1)为平面A1B1C1的一个法向量.设二面角F-A1C1-B1的平面角为θ,由图可知θ为锐角,∴cosθ=|𝑚·𝑛||𝑚

||𝑛|=3√21=√217.4.解(1)根据所提供的数据,可得2×2列联表如下.生产线检测结果合计合格品次品甲16040200乙19010200合计35050400零假设为H0:产品的合格率与技术升级无关.根据列联表中的数据,计算可得,χ2=400×(160×10-190×40)2

200×200×350×50≈20.571>10.828=x0.001,根据小概率值α=0.001的独立性检验,推断H0不成立,即认为产品的合格率与技术升级有关,此推断犯错误的概率不大于0.001.(2)

由于抽检的所有次品中,甲、乙生产线生产的次品数的比为4∶1,故抽取的10件中有8件是甲生产线生产的,2件是乙生产线生产的,所以X的所有可能取值为3,4,5,所以P(X=3)=C83C22C105=29,P

(X=4)=C84C21C105=59,P(X=5)=C85C105=29,所以X的分布列为X345P295929所以E(X)=3×29+4×59+5×29=4.(3)甲生产线抽检的产品中有70件A等级

,90件B等级,40件C等级,乙生产线抽检的产品中有130件A等级,60件B等级,10件C等级.用样本的频率估计概率,则技术升级前,单件产品的利润(单位:元)为m·70200+40×90200-20=720m-2,技术升级后,单件产品的利润(

单位:元)为m·130200+40×60200-20=1320m-8.由1320m-8-(720𝑚-2)≤9,解得m≤50.故A等级产品的出厂单价最高为50元.5.解(1)由题意知f'(x)=ex+1+2ax+2a≥0在区间(-1,+∞)内恒成立,即2a≥-e𝑥+1𝑥

+1在区间(-1,+∞)内恒成立.令h(x)=-e𝑥+1𝑥+1(x>-1),则h'(x)=-e𝑥+1·𝑥(𝑥+1)2,由h'(x)>0,得-1<x<0;由h'(x)<0,得x>0,所以h(x)在区间(-1,0)内单调递增,在区间(0,+∞)内单调递减,所以h(x)≤h(0

)=-e,所以2a≥-e,即a≥-e2.(2)由题意知,x1,x2是方程f'(x)=0的两根,又f'(-1)=1≠0,故x1,x2是-e𝑥+1𝑥+1=2a的两根,令h(x)=-e𝑥+1𝑥+1,由(1)知h(x)在区间(-∞,-1)和(-1,0)内单调递

增,在区间(0,+∞)内单调递减,当x<-1时,h(x)的图象在x轴上方,当x>-1时,h(x)的图象在x轴下方,此时当x=0时,h(x)取得最大值h(0)=-e,所以当2a<-e,即a<-e2时,方程h(x)=2a有两根x1,

x2,其中-1<x1<0<x2.若x1+ln2≤0,即-1<x1≤-ln2,则x2-x1>ln2一定成立;若x1+ln2>0,即x1>-ln2,则x2-x1>ln2⇔x2>x1+ln2⇔h(x2)<h(x1+ln2),而h(x2)=h(x1

)=2a,所以h(x1)<h(x1+ln2)⇔-e𝑥1+1𝑥1+1<-e𝑥1+ln2+1𝑥1+ln2+1⇔1𝑥1+1>2𝑥1+ln2+1,即x1<ln2-1,所以-ln2<x1<ln2-1.所以当x2-x1>ln2时,-1<x1<ln2-1.所以2a=h(x

1)<h(ln2-1)=-2ln2,所以a<-1ln2.6.解(1)由题意得{𝑐-𝑎=√7-2,𝑐𝑎=√72,𝑎2+𝑏2=𝑐2,解得a2=4,b2=3,所以双曲线C的方程为𝑥24−𝑦23=1.(2)如图,由MQ⊥x轴,MQ∥NP,可知四边形MNP

Q为等腰梯形,且关于x轴对称,故四边形MNPQ的对角线的交点D在x轴上.设点D(t,0),则对角线MP的方程为x=my+t(m≠0),设M(x1,y1),P(x2,y2),由对称性知Q(x1,-y1),N(x2,-y2),联立{𝑥24-𝑦23=1,𝑥=𝑚𝑦+𝑡,消去x得(3m2-

4)y2+6mty+3t2-12=0,所以Δ=(6mt)2-4(3m2-4)(3t2-12)=48(3m2-4+t2)>0,即3m2+t2>4.由根与系数的关系得y1+y2=-6𝑚𝑡3𝑚2-4,y1y2=3𝑡2-123𝑚2-4,由M,N,S三点共线知kMS=kNS,即𝑦1

𝑥1-4=-𝑦2𝑥2-4,所以y1(my2+t-4)+y2(my1+t-4)=0,整理得2my1y2+(t-4)(y1+y2)=0,所以2𝑚(3𝑡2-12)+(𝑡-4)(-6𝑚𝑡)3𝑚2-4=0,所以24𝑚(𝑡-1)3𝑚2-4=

0,即t=1,所以直线MP过定点(1,0),即D(1,0).因为双曲线C的渐近线方程为√3x±2y=0,所以点D到双曲线C的一条渐近线的距离为√3√7=√217,