【文档说明】2024届高考二轮复习数学试题（新高考新教材） 题型专项练5　解答题组合练（B） Word版含答案.docx，共(9)页，194.722 KB，由小赞的店铺上传

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题型专项练5解答题组合练(B)1.已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,满足6Sn=an·an+1+2(n∈N*),a1<2,(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=(-1)nlg(an·an+1),记数列{bn}的前n项和为Tn,求T33.2.在①cos2A+2√2c

os(B+C)+2=0,②√2+2cosCcosB=cos(C-B)-cos(C+B),③2ctanB=√2b(tanA+tanB)这三个条件中任选一个,补充到下面的横线上并作答.问题:在△ABC中,角

A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=√5,c=√2,.(1)求cosC;(2)在边AC上取一点D,使得cos∠ADB=45,求sin∠DBC.3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BB1=2BC=2,∠CBB1=2∠CA

B=π3,且平面ABC⊥平面B1C1CB.(1)求证:平面ABC⊥平面ACB1;(2)设点P为直线BC的中点,求直线A1P与平面ACB1所成角的正弦值.4.某大二学生小明准备利用暑假的7月和8月勤工俭学,现有“送外卖员”和“销售员”两份工作可供其选择.已知“销售员”工作每

日底薪为50元,每日销售的前5件每件奖励20元,超过5件的部分每件奖励30元.小明通过调查,统计了100名销售员1天的销售记录,其柱状图如图1.“送外卖员”没有底薪,收入与送的单数相关,在一日内1至20单(含20单)每送一单3元,超过20单且不超过40单的部分每送一单4元,

超过40单的部分每送一单4.5元.小明通过随机调查,统计了100名“送外卖员”的日送单数,并绘制成如下频率分布直方图(如图2).图1图2(1)分别求出“销售员”的日薪y1(单位:元)与销售件数x1的函数关系式,“送外卖员”的日薪y2(单位:元)与所送单数x2

的函数关系式;(2)若将频率视为概率,试根据统计图分别估计“销售员”的日薪X1和“送外卖员”的日薪X2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)的数学期望,分析选择哪种工作比较合适,并说明你的理由.5.在平面直角坐标系xOy中:①已知点A(√3,0),直线l:x=4√33,动点P满足到

点A的距离与到直线l的距离之比为√32;②已知点S,T分别在x轴、y轴上运动,且|ST|=3,动点P满足𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=23𝑂𝑆⃗⃗⃗⃗⃗+13𝑂𝑇⃗⃗⃗⃗⃗;③已知圆C的方程为x2+y2=4,直线l为圆C的切线,记点A(√3,0),B(-√3,0)到直线l的距离分别为d1,d2

,动点P满足|PA|=d1,|PB|=d2.(1)在①,②,③这三个条件中任选一个,求动点P的轨迹方程;(2)记(1)中动点P的轨迹为曲线E,经过点D(1,0)的直线l'交曲线E于M,N两点,若线段MN的垂直平分线与y轴相交于点Q,求点Q纵

坐标的取值范围.6.已知函数f(x)=a(x2-x)-lnx(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)证明:当x>1时,2e𝑥-1ln𝑥≥𝑥2+1𝑥2-𝑥.题型专项练5解答题组合练(B)1.解(1)设等差数列{an}的公差为d

,则由6Sn=an·an+1+2,得6Sn-1=an-1·an+2(n≥2),相减得6(Sn-Sn-1)=an(an+1-an-1),即6an=an·2d(n≥2).又an>0,所以d=3.由6S1=a1·a2+2,得6a1=a1·(a1+3)+2

,解得a1=1(a1=2舍去),由an=a1+(n-1)d,得an=3n-2.(2)bn=(-1)nlg(an·an+1)=(-1)n(lgan+lgan+1),T33=b1+b2+b3+…+b33=-lga1-lga2+lga2+lga3-

lga3-lga4+…-lga33-lga34=-lga1-lga34=-lg100=-2.2.解选①:cos2A+2√2cos(B+C)+2=0,得2cos2A-1-2√2cosA+2=0,即(√2cosA-1)2=0,解得cosA=√22.因为0<A<π,所以A

=π4.选②:因为√2+2cosCcosB=cos(C-B)-cos(C+B),所以√2+2cosCcosB=cosCcosB+sinCsinB-cosCcosB+sinCsinB,即2cos(C+B)=-√2,cosA=√22,因为0<A<π,所以A=π4.选③:2ctanB=√2b(

tanA+tanB),所以2sin𝐵sin𝐶cos𝐵=√2sinB(sin𝐴cos𝐴+sin𝐵cos𝐵),所以2sinBsinCcosA=√2sinBsinC.因为sinB≠0,sinC≠0,所以cosA=√22.

因为A∈(0,π),所以A=π4.(1)在△ABC中,由余弦定理:cosA=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=𝑏2+2-52√2𝑏,可得b=3,所以cosC=𝑎2+𝑏2-𝑐22𝑎𝑏=2√55.(2)因为cos∠ADB=45,所以cos∠BDC=-45.即∠BDC为钝角,且s

in∠BDC=35.又∠BDC+∠C+∠DBC=180°.由(1)知,cosC=2√55,sinC=√1-cos2𝐶=√55.所以sin∠DBC=sin(∠C+∠BDC)=sin∠BDCcos∠C+cos∠BDCsin∠C=35×2√5

5−45×√55=2√525.3.(1)证明连接AB1,B1C.因为AC=2BC=2,所以BC=1.因为2∠CAB=π3,所以∠CAB=π6.在△ABC中,𝐵𝐶sin𝐴=𝐴𝐶sin𝐵,即1sinπ6=2sin𝐵,所以sinB=1.

即AB⊥BC.又因为平面ABC⊥平面B1C1CB,平面ABC∩平面B1C1CB=BC,AB⊂平面ABC,所以AB⊥平面B1C1CB.又B1C⊂平面B1C1CB,所以AB⊥B1C.在△B1BC中,B1B=2,BC

=1,∠CBB1=π3,所以B1C2=B1B2+BC2-2B1B·BC·cosπ3=3,即B1C=√3,所以B1C⊥BC.而AB⊥B1C,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,AB∩BC=B,所以B1C⊥平面ABC.又B1C⊂平面A

CB1,所以平面ABC⊥平面ACB1.(2)解以B为坐标原点,以BC为x轴,BA为y轴,过B作平面ABC的垂线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),C(1,0,0),A(0,√3,0).∵B1C⊥平面ABC,∴B1(1,0,√3)

,∴𝐵𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,√3).在三棱柱中,AA1∥BB1∥CC1,可得C1(2,0,√3),A1(1,√3,√3),∵P为BC中点,∴P(12,0,0).∴𝐴1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-12,-√3,-√3),𝐴𝐵1⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗=(1,-√3,√3),𝐶𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,0,√3).设平面ACB1的一个法向量为n=(x,y,z),则{𝐴𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑛=0,𝐶𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑛=0,即{𝑥-√3𝑦+√3𝑧=0,√3𝑧=0,不妨取x=√3,可得y=

1,z=0,则n=(√3,1,0).设直线A1P与平面ACB1所成角为θ,则sinθ=|cos<𝐴1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,n>|=|𝐴1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑛|𝐴1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·|𝑛||=|-√32-√3+052×2|=3√310.故直线A1P与平面ACB1所成角的

正弦值为3√310.4.解(1)“销售员”的日薪y1(单位:元)与销售件数x1的函数关系式为y1={20𝑥1+50,𝑥1≤5,𝑥1∈N,30𝑥1,𝑥1>5,𝑥1∈N,“送外卖员”的日薪y2(单位:元)与所送

单数x2的函数关系式为y2={3𝑥2,𝑥2≤20,𝑥2∈N,4𝑥2-20,20<𝑥2≤40,𝑥2∈N,4.5𝑥2-40,𝑥2>40,𝑥2∈N.(2)由柱状图知,日平均销售量满足如下表格.销售量/件34567频率0.050.20.250.

40.1所以X1的分布列为X1110130150180210P0.050.20.250.40.1所以E(X1)=110×0.05+130×0.2+150×0.25+180×0.4+210×0.1=162(元).由频率分布直方图可知,日送单数满足如下表格.单数/单10

30507090频率0.050.250.450.20.05所以X2的分布列如下表:X230100185275365P0.050.250.450.20.05所以E(X2)=30×0.05+100×0.25+182×0.45+275

×0.2+365×0.05=183(元).由以上计算得E(X2)>E(X1),做“送外卖员”挣的更多,故小明选择做“送外卖员”的工作比较合适.5.解(1)若选①:设P(x,y),根据题意,得√(𝑥-√3)2+𝑦2|

𝑥-4√33|=√32,整理得𝑥24+y2=1,所以动点P的轨迹方程为𝑥24+y2=1.若选②:设P(x,y),S(x',0),T(0,y'),则√(𝑥')2+(𝑦')2=3.(i)因为𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=23𝑂𝑆⃗⃗⃗⃗⃗+13𝑂𝑇⃗⃗⃗⃗⃗,所以{

𝑥=23𝑥',𝑦=13𝑦',整理,得{𝑥'=32𝑥,𝑦'=3𝑦,代入(i)得𝑥24+y2=1,所以动点P的轨迹方程为𝑥24+y2=1.若选③:设P(x,y),直线l与圆相切于点H,则|PA|+|PB|=d1+d2=2|OH|=4>2√3=|AB|.由椭圆的定义,知点P的轨迹是以

A,B为焦点的椭圆,所以2a=4,2c=|AB|=2√3,故a=2,c=√3,b=1.所以动点P的轨迹方程为𝑥24+y2=1.(2)设Q(0,y0),当直线l'的斜率不存在时,y0=0.当直线l'的斜率存在时,设直线l'的斜率为k,M(x1,y1),N(

x2,y2),线段MN的中点为G(x3,y3).由{𝑥124+𝑦12=1,𝑥224+𝑦22=1,得(𝑥1+𝑥2)(𝑥1-𝑥2)4+(y1+y2)(y1-y2)=0,所以k=𝑦1-𝑦2𝑥1-𝑥2=-𝑥1+𝑥24(𝑦1+𝑦2)=-2

𝑥34×2𝑦3=-𝑥34𝑦3.线段MN的垂直平分线的方程为y-y3=4𝑦3𝑥3(x-x3).令x=0,得y0=-3y3.由k=-𝑥34𝑦3=𝑦3𝑥3-1,得𝑦32=-14𝑥32+14

x3=-14(𝑥3-12)2+116.由𝑦32>0得0<x3<1,所以0<𝑦32≤116,则-14≤y3<0或0<y3≤14,所以-34≤y0<0或0<y0≤34.综上所述,点Q纵坐标的取值范围是[-34,34].6.(1)解函数f(x)的定义

域为(0,+∞),f'(x)=a(2x-1)-1𝑥=2𝑎𝑥2-𝑎𝑥-1𝑥.令g(x)=2ax2-ax-1.①当a=0时,g(x)=-1<0,f'(x)=𝑔(𝑥)𝑥<0,故f(x)在(0,+∞)内单调递减;②当a≠0时,g(x)为二次函数,Δ=

a2+8a.若Δ≤0,即-8≤a<0,则g(x)的图象为开口向下的抛物线且g(x)≤0,所以f'(x)≤0,故f(x)在(0,+∞)内单调递减;若Δ>0,即a<-8或a>0.令g(x)=0,得x1=𝑎-√

𝑎2+8𝑎4𝑎,x2=𝑎+√𝑎2+8𝑎4𝑎.当a<-8时,g(x)图象为开口向下的抛物线,0<x2<x1,所以当x∈(0,x2)或x∈(x1,+∞)时,g(x)<0,所以f'(x)<0,f(x)单调

递减;当x∈(x2,x1)时,g(x)>0,所以f'(x)>0,f(x)单调递增;当a>0时,g(x)图象为开口向上的抛物线,x1<0<x2,所以当x∈(0,x2)时,g(x)≤0,所以f'(x)<0,故f(x)单调递减;当x∈(x2,+∞)时,

g(x)>0,所以f'(x)>0,f(x)单调递增.综上,当a<-8时,f(x)在区间(0,𝑎+√𝑎2+8𝑎4𝑎)和区间𝑎-√𝑎2+8𝑎4𝑎,+∞内单调递减,在区间𝑎+√𝑎2+8𝑎

4𝑎,𝑎-√𝑎2+8𝑎4𝑎内单调递增;当a>0时,f(x)在区间(0,𝑎+√𝑎2+8𝑎4𝑎)内单调递减,在区间(𝑎+√𝑎2+8𝑎4𝑎,+∞)内单调递增;当-8≤a≤0时,f(x)在(0,+∞)内单调递减.(2)证明由(1)知,当a=1时,f(x)在(0,1

)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,因此对任意x>1恒有f(x)>f(1),即x2-x>lnx.因为0<lnx<x2-x,若2ex-1≥x2+1成立,则2e𝑥-1ln𝑥≥𝑥2+1𝑥2-𝑥成立.令φ(x)=ex-1-12(x2

+1)(x≥1),则φ'(x)=ex-1-x,φ″(x)=ex-1-1.因为x≥1,所以φ″(x)≥0,所以φ'(x)在[1,+∞)内单调递增,又φ'(1)=0,所以当x≥1时,φ'(x)≥0,所以φ(x)

在[1,+∞)内单调递增,又φ(1)=0,所以对任意x>1恒有φ(x)>φ(1)=0,即2ex-1≥x2+1.当x>1时,0<lnx<x2-x,则1ln𝑥>1𝑥2-𝑥>0.由不等式的基本性质可得2

e𝑥-1ln𝑥≥𝑥2+1𝑥2-𝑥.